ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 3

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1 ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso ) 15. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (b) En una matriz cuadrada de orden n escribimos las filas en orden inverso. Su determinante queda multiplicado por 1. FALSO. Por ejemplo si la matriz es de orden 1 su determinante no varía. Su determinante queda invariante. FALSO. Por ejemplo si la matriz es no singular de orden 2, invertir el orden de sus filas es hacer exactamente un único cambio de posición de dos de ellas, por tanto el determinante cambia de signo. Su determinante queda multiplicado por ( 1) n. FALSO. De nuevo no se cumple para matrices no singulares de orden 2. Ninguna de las restantes respuestas es correcta. VERDADERO. Para saber si cambia de signo hay que contar cuantos cambios de posición de filas se hacen para invertir el orden completamente: - Si n es par (n = 2k), entonces intercambiamos posiciones de las filas 1 y n; 2 y n 1;... ; k y k + 1. Es decir hacemos k cambios. Por tanto el determinante queda multiplicado por ( 1) k. Si k es par, se mantiene igual; si k es impar cambia de signo. - Si n es impar (n = 2k + 1), entonces hacemos intercambios de las filas 1 y n; 2 y n 1;... ; k y k + 2. El determinante queda multiplicado por ( 1) k. Si k es par, se mantiene igual; si k es impar cambia de signo. En definitiva el determinante cambia de signo sólo cuando n = 2k ó n = 2k + 1 con k impar. Equivalentemente, cuando n es de la forma n = 4m + 2 ó n = 4m + 3. (c) Sea A M n n (IR). A 2 = Ω A = Ω. FALSO. Por ejemplo tomando A = A 2 singular A singular. 0 1 se cumple A = Ω, pero A Ω. VERDADERO. Si A 2 es singuar, A 2 = 0. Pero A 2 = A 2, luego A es también singular. A 2 simétrica A simétrica. FALSO. Otra vez el ejemplo del primer apartado, A = 0 1 no es simétrica pero 0 0

2 su cuadrado si lo es. A 2 triangular inferior A triangular inferior. FALSO. El mismo ejemplo de los puntos anteriores. (d) Sean A y B matrices reales invertibles n n. Indicar la proposición falsa. Si A y B conmutan entonces A 1 y B conmutan. VERDADERA. Se tiene: AB = BA A 1 ABA 1 = A 1 BAA 1 BA 1 = A 1 B Si A y B conmutan entonces A 1 y B 1 conmutan. VERDADERA. Se tiene: AB = BA (AB) 1 = (BA) 1 B 1 A 1 = A 1 B 1 La matriz (A 1 B) t siempre tiene inversa. VERDADERA. Ya que si A y B son inversibles su determinantes es no nulo. Por tanto det(a 1 B) = det(a) 1 det(b) 0 (A 1 B) t siempre tiene inversa la matriz (A 1 + B) t siempre tiene inversa. FALSA. Por ejemplo: A = (1) y B = ( 1).

3 ÁLGEBRA Problemas adicionales Matrices y determinantes (Curso ) I. En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que si AA T = Ω, entonces A = Ω. Llamemos B = A T. Entonces por definición de traspuesta, b ij = a ji. Ahora por hipotésis Ω = AA t = AB. Haciendo el producto vemos que para cualquier i, j con, 1 i, j n: 0 = a ik b kj = a ik a jk k=0 k=0 En particular, si i = j: 0 = a ik a ik = a 2 ik k=0 k=0 Por ser A una matriz con coeficientes reales, los cuadrados a 2 ik son siempre números no negativos. Si su suma es cero, todos ellos han de ser cero, y deducimos que a ik = 0 para cualquier i, k con, 1 i, k n. Por tanto A = Ω. II. Calcular las potencias n-simas de las siguientes matrices: El método ( de momento!) más usual es hacer a mano las primeras potencias y luego encontrar una regla general: (a) A = Calculamos las primeras potencias A 2 = , A 3 = , A 4 = 0 0 8, Parece razonable pensar que, en general: A n = n 0 2n 0 1 Hay que comprobarlo. Se hace por inducción. Para ello: - Vemos que se cumple para A 1.

4 - Comprobamos que, si suponemos cierta la fórmula para n 1, entonces se cumple para n, es decir: A n = A A n 1 = A n = n 0 2(n 1) 0 1 2n 0 1 (b) C = 0 a b c 0 0 Hacemos las primeras potencias: C 2 = 0 0 ab bc 0 0, C 3 = abc abc 0 = abc ac abc Paramos en la tercera potencia. Nos fijamos que C 3 = abcid. Ahora es muy fácil multiplicar por C 3. Podemos en general hacer lo siguiente. Dado n > 0, sabemos que n = 3q + r, donde q es el cociente y r < 3 es el resto de dividir n por 3. Por tanto: y, C n = C n = C 3q+r = (C 3 ) q C r = (abci) q C r = a q b q c q C r aq b q c q a q b q c q a q b q c q, si n = 3q; 0 a q+1 b q c q 0 C n = 0 0 a q + b q+1 c q, si n = 3q + 1; a q b q c q a q+1 b q+1 c q C n = a q b q+1 c q+ 0, si n = 3q a q+1 b q c q+ (c) D = a2 ab ac ab b 2 bc. Hacemos las primeras potencias: ac bc c 2 D 2 = a4 + a 2 b 2 + a 2 c 2 a 3 b + ab 3 + abc 2 a 3 c + ab 2 c + ac 3 a 3 b + ab 3 + abc 2 a 2 b 2 + b 4 + b 2 c 2 a 2 bc + b 3 c + bc 3 = (a 2 + b 2 + c 2 )D a 3 c + ab 2 c + ac 3 a 2 bc + b 3 c + bc 3 a 2 c 2 + b 2 c 2 + c 4 Ahora es fácil seguir haciendo las potencias de D, porque: D 3 = D 2 D = (a 2 + b 2 + c 2 )D 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 D D 4 = D 3 D = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 D 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 3 D...

5 En general vemos que; D n = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 1 D De nuevo hay que comprobarlo por inducción: - Para n = 1 es cierto, ya que D 1 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 1 1 D = D. - Lo suponemos cierto para n 1 y lo probamos para n: D n = D n 1 D = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 2 D D = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 2 D 2 = = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 2 (a 2 + b 2 + c 2 )D = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 1 D. III. Para las siguientes familias de matrices no singulares de M n n (K), decidir si verifican alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también pertenece a la familia. (1) las matrices simétricas regulares (a) CIERTO. Que sea regular simplemente significa que tiene inversa. Y una matriz simétrica es aquella que coincide con su traspuesta. Hay que probar que si una matriz es simétrica su inversa es también simétrica. Basta usar las propiedades de la trasposición: (A 1 ) t = (A t ) 1 pero por ser A simétrica A t = A, luego (A 1 ) t = A 1 y por tanto la inversa es simétrica. (b) FALSO. Dadas A, B simétricas, veamos si lo es AB. Tenemos (AB) t = B t A t ; por ser A, B simétricas deducimos que (AB) t = BA. Teniendo en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo, en general BA AB y por tanto AB no tiene porque ser simétrica. Veamos un ejemplo del de dos matrices simétricas cuyo prdoducto NO lo es: A = ( 0 1 ), B = ( 0 2 ), AB = ( 0 2 (2) las matrices regulares que conmutan con una matriz dada A M n n (K) (a) CIERTO. Supongamos que una matriz regular B conmuta con A. Veamos que también conmuta su inversa. Por conmutar A yb se tiene AB = BA. Multiplicando ambos términos, por la derecha y por la izquierda por B 1 tenemos, B 1 ABB 1 = B 1 BAB 1. Y como BB 1 = B 1 B = I queda, B 1 A = AB 1. (b) CIERTO. Supongamos que B y C conmutan con A. Veamos que entonces BC también conmuta con A: (3) las matrices ortogonales (BC)A = B(CA) = B(AC) = (BA)C = A(BC) Una matriz ortogonal es aquella cuya inversa es igual a su traspuesta. (a) CIERTO. Sea A ortogonal (A t = A 1 ). Veamos que A 1 es ortogonal: (A 1 ) t = (A t ) 1 = (A 1 ) 1 )

6 Vemos que su traspuesta coincide con su inversa y es ortogonal. (b) CIERTO. Sean A, B ortogonales. Veamos que AB es ortogonal. (AB) t = B t A t = B 1 A 1 = (AB) 1 Luego vemos que su inversa coincide con su traspuesta. IV. En el espacio vectorial real M n n sea U el conjunto de matrices que cumplen que la suma de todos los elementos de cualquier fila y la suma de todos los elementos de cualquier columna es constante. Si A U, denotamos esa constante por S(A), es decir: a ij = a i1 + a i2 + + a in = S(A) i {1, 2,, n} j=1 a ij = a 1j + a 2j + + a nj = S(A) j {1, 2,, n} i=1 (a) Si se llama F a la matriz n n que tiene todos sus elementos iguales a 1, demostrar que: Hallar α en función de S(A). A U ( α IR AF = F A = αf ) Tenemos en cuenta lo siguiente. Dada una matriz A M n n cualquiera, se tiene que: - La matriz AF tiene todos los elementos de cada fila iguales; en particular en la fila n-sima de AF aparece repetida la suma de todos los elementos de la fila n-sima de A. - Análogamente, en la columna n-sima de F A aparece repetida la suma de todos los elementos de la columna n-sima de A. Por tanto si A U todas las sumas de cada fila de A son iguales a S(A) y por tanto AF = S(A)F. Análogamente, todas las sumas de cada columna de A son iguales a S(A) y por tanto F A = S(A)F. Recíprocamente si AF = αf = F A, entonces la suma de los elementos de cada fila y cada columna de A suman precisamente α por tanto son iguales, A U y S(A) = α. (b) Si A U y es regular, probar que S(A) es distinto de cero y que A 1 U. Hallar S(A 1 ) en función de S(A). Supongamos que A es regular, es decir, que tiene inversa. Por el aparatado anterior, si A U, entonces: AF = S(A)F F = S(A)A 1 F Por tanto S(A) no puede ser 0, ya que F no es la matriz 0. Además: A 1 F = S(A) 1 F y análogamente F A 1 = S(A) 1 F

7 luego A 1 U y además S(A 1 ) = S(A) 1. V. (a) Sea n un número natural. Se considera la matriz A de dimensión n y cuyos elementos son Calcular el determinante de A. a ij = máx {i, j}, i, j {1,..., n} El aspecto que tiene la matriz es el siguiente: n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n 1 n 1 n 1... n 1 n n n n n... n n Restándole a cada columna la posterior queda: n n n n n n Ahora es una matriz triangular superior y su determinante es el producto de los términos de la diagonal: ( 1) n 1 n. (b) Lo mismo siendo a ij = i j. Ahora la matriz es de la siguiente forma: n 2 n n 3 n n 4 n n 5 n n 2 n 3 n 4 n n 1 n 2 n 3 n 4...

8 De nuevo restándole a cada columna la posterior queda: n n n n Para hacer ceros sumamos ahora la primera fila a las demas, para que se vayan anulando los unos con signo opuesto: n n n n n n 1 Por ser una matriz triangular superior, el determinante es el producto de los términos de la diagonal: ( 2) n 2 (1 n) Nota: En este tipo de ejercicios es aconsejable primero trabajar con casos concretos (n=2, n=3, n=4) para ver que ocurre, y luego generalizar. VI. Dada la matriz m n con m, n > 1, n 1 n A = n + 1 n n 1 2n (m 1)n + 1 (m 1)n mn 1 mn expresar a ij en función de i y j, y calcular su rango. El término a ij es de la forma: a ij = j + (i 1) n Para hallar el rango hacemos operaciones fila y columna sobre la matriz A. Le restamos la primera fila a todas las demás: n 1 n n n... n n (m 1)n (m 1)n... (m 1)n (m 1)n

9 Ahora le restamos la primera columna a todas las demás: n 2 n 1 n (m 1)n Vemos que las filas 3,..., m son proporcionales a la segunda. Por tanto el rango es a lo sumo 2. Para ver que el rango es exactamente 2 basta mostrar un menor 2 2 de determinante no nulo: 1 1 n 0 = n. VII. Calcular razonadamente el siguiente determinante: Restamos a cada columna la anterior multiplicada por 10 y queda: = = = 10 = = 10 = 10 = VIII. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (a) Sea A una matriz real cuadrada regular n n y sea B una matriz que se obtiene realizando sobre A la operación elemental fila H ij (λ), con λ 0 e i j. Sabemos que B = H ij (λ)a. Por tanto: B 1 = A 1 H ij (λ) 1 = A 1 H ij ( λ) = A 1 ν ji ( λ). B puede no tener inversa. FALSO. La inversa de B se obtiene realizando sobre la inversa de A la operación fila H ij ( λ). FALSO.

10 La inversa de B se obtiene realizando sobre la inversa de A la operación columna ν ij ( λ). FALSO. Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta. VERDADERO. (b) Sean A, B dos matrices cuadradas reales de dimensión 2 2 tales que A B = Ω. Entonces: A = Ω ó B = Ω. FALSO. Por ejemplo, si A = rango(a) < 2. y B = 0 0 FALSO. Por ejemplo, si A = Id y B = Ω. rango(a) + rango(b) < 3. VERDADERO. Veamos los casos posibles: - Si rango(a) = 2 entonces A es inversible, y A B = Ω A 1 A B = A 1 Ω B = Ω rango(b) = 0 por tanto rango(a) + rango(b) = 2 < 3. - Si rango(b) = 2 entonces razonando como antes, volvemos a obtener rango(a) + rango(b) = 2 < 3. - En otro caso, rango(a) 1 y rango(b) 1 y por tanto rango(a) + rango(b) 2 < 3. A = B = Ω. FALSO. Por ejemplo, si A = Id y B = Ω. (c) De una matriz A real 7 7 se sabe que su rango es 5 y que A 4 = Ω. Debido a que A 4 = Ω, sabemos que 0 es el único autovalor de A y que A es triangularizable. Además la multiplicidad geométrica del 0 es 7 rango(a) = 2, por lo que hay dos cajas de Jordan. Las posibilidades para sus dimensiones son 6 + 1, o Pero como A 4 = Ω no puede haber una caja de dimensión superior a 4. Deducimos que la forma de Jordan tiene dos cajas de dimensiones 4 y 3 respectivamente. Por tanto, el rango de A 2 es 3 y el rango de A 3 es 1. El rango de A 3 es 2. FALSO. El rango de A 3 es 3. FALSO. El rango de A 2 es 2. FALSO. El rango de A 2 es 3. VERDADERO. (d) Sean A y B dos matrices reales n n diagonalizables por semejanza. A + B es diagonalizable por semejanza.

11 FALSA. Ejemplo: A = ; B = 1 2 Donde A y B diagonalizan, pero A + B no. A B es diagonzalizable por semejanza. FALSA. Ejemplo: A = ; B = 1 2 Donde A y B diagonalizan, pero A B no. A nunca es singular. FALSA. Ejemplo A = B = Ω. 2 0 ; A + B = ; A B = 1 1 Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta. VERDADERA. 3 0 ; ; 4 2

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