Portal Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORCA (2000)

Transcripción

1 Portl Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTIA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORA (000) Problem. Sen los polinomios: P(x) = x 4 + x + bx + cx + ; Q(x) = x 4 + cx + bx + x +. Hll ls condiciones que deben cumplir los prámetros reles, b y c ( c) pr que P(x) y Q(x) tengn dos ríces comunes y resuelve en ese cso ls ecuciones P(x) = 0; Q(x) = 0. Ls ríces comunes mbos polinomios serán ríces de l diferenci: P(x) - Q(x) = ( -c) x + (c - ) x Resolvemos l ecución P(x) - Q(x) = 0, scndo primero x fctor común: x cx c 0 Ls tres ríces son: 0, y -, entre ells tienen que estr ls ríces comunes omo 0 no es ríz ni de P(x) ni de Q(x), ls dos ríces comunes tiene que ser y -. Sustituyendo estos vlores en P(x) y Q(x) obtenemos el sistem: b c 0 b c 0 que nos d ls condiciones: b = - = -c Los polinomios quedn en l form: P(x) = x 4 + x - x - x + Q(x) = x 4 - x - x + x + Pr resolver ls ecuciones P(x) = 0, Q(x) = 0, seprmos por Ruffini ls ríces conocid y - y quedn ls ecuciones en l form: P(x) = (x + )(x - ) (x + x - ) = 0 Q(x) =(x + )(x - ) (x - x - ) = 0 Resolviendo ls ecuciones de segundo grdo qued finlmente: Soluciones de P(x) = 0: x = ; x = -; x 4 ; x 4 Soluciones de Q(x) = 0:

2 x = ; x = -; x 4 ; x 4 Problem. L figur muestr un plno con clles que delimitn mnzns cudrds. Un person P v desde A hst y otr Q desde hst A. Ambs prten l vez siguiendo cminos de longitud mínim con l mism velocidd constnte. En cd punto con dos posibles direcciones tomr, mbs tienen l mism probbilidd. Hll l probbilidd de que se crucen. A Definmos un sistem de coordends con origen en A y unidd el ldo de un cudrdo. omo P y Q recorren cminos de longitud mínim, P sólo puede ir l derech o rrib y Q l izquierd o bjo. Todos los cminos tienen longitud 7, P y Q sólo se podrán encontrr entre el º y el 4º movimiento, se hn mrcdo en rojo tods ls posibles posiciones de P trs el tercer movimiento y en verde ls de Q. so. P lleg (0, ). L probbilidd de que P llegue (0, ) es: Sólo se puede cruzr con Q si éste está en (, ) lo que sucede tmbién con probbilidd P está obligdo psr (, ) pero Q ps (0, ) con probbilidd. L probbilidd de que se crucen entre (0, ) y (, ) es: 7 so. P lleg (, ). L probbilidd de que P llegue (, ) es (hy tres modos de llegr (, )). Sólo se puede cruzr con Q si éste está en (, ) o en (, ). Distingmos mbos csos: ) Q lleg (, ) con probbilidd, entonces se cruzrán entre (, ) y (, ) si P se mueve hci (, ) y Q hci (, ) mbos movimientos con probbilidd. L probbilidd de cruzrse es b) Q lleg (, ) con probbilidd, entonces se cruzrán entre (, ) y (, ) si P se mueve hci (, ) y Q hci (, ) mbos movimientos con probbilidd. A

3 9 L probbilidd de cruzrse es so. P lleg (, ). 9 Procediendo de modo nálogo, l probbilidd de cruzrse entre los puntos (, ) y (, ) es: y 9 l de cruzrse entre (, ) y (, ) es. so 4. P lleg (, 0). L probbilidd de cruzrse entre (, 0) y (, ), es y l de cruzrse entre (, 0) y (4, 0) es 7. L probbilidd pedid es l sum de todos los cso, result: Problem. Dos circunferencis secntes y de rdios r y r se cortn en los puntos A y. Por se trz un rect vrible que cort de nuevo y en dos puntos que llmremos P r y Q r respectivmente. Demuestr l siguiente propiedd: Existe un punto M, que depende sólo de y, tl que l meditriz del segmento P r Q r ps por M. Se O el punto medio del segmento M M. demostrré que tods ls meditrices de los M A segmentos P r Q r psn por el simétrico de respecto de O. Sen = P r M ; = M M, Entonces: M M Q r = 0º - ( + ) M O y como el triángulo M Q r es isósceles, P r M Q r = 0º - M Q r = -0º + ( + ) Q r y por tnto, MM Q r = 0º - + M Q r = 0º - - 0º + ( + ) = + De modo nálogo, por ser el triángulo P r M isósceles, se tiene: P r M = 0º - y P r M M = 60º - (P r M + 0º - ) = 60º - 0º + -0º + = + Result que pr culquier posición de l rect vrible los triángulos MM Pr y MM Qr son igules y por tnto MP r = MQ r y M está en l meditriz de P r Q r. omo M no depende de l rect vrible qued probd l propiedd del enuncido.

4 Problem 4. Encuentr el myor número entero N que cumpl ls siguientes condiciones : N ) E tiene sus tres cifrs igules. N b) E es sum de números nturles consecutivos comenzndo en, es decir, existe un nturl n N tl que E = (n-) + n. Not: E(x) es l prte enter de x. ondición ): N z E k; k N; k 9 N n n ondición b): z E... n z (l otr ríz es negtiv). Juntndo ls dos condiciones, qued: n n z 0 n k n omo n es nturl, el rdicndo h ser cudrdo perfecto lo que ocurre sólo pr k = 6 que sustituido en l expresión nterior result n = 6. Recuperndo l condición ): N z E Por tnto el myor N que cumple ) y es N = 000 N N 99 z Problem 5. Tomemos cutro puntos situdos en el interior o el borde de un cudrdo de ldo. Demuestr que l menos dos de ellos están distnci menor o igul que. Vmos demostrrlo por reducción l bsurdo. Supongmos que distribuimos 4 puntos en el cudrdo de mner que cd un de ls seis distncis se myor que. Entonces hy dos posibiliddes: ) Los cutro puntos formn un cudrilátero convexo. b) Los cutro puntos formn un cudrilátero no convexo. Vemos mbos csos: ) sen los ángulos del cudrilátero convexo. Sbemos que = 60º. Además culquier prej de puntos del interior (o fronter) del cudrdo están un distnci d y que el diámetro de dicho cudrdo es. De l condición = 60º, se deduce que necesrimente uno de los ángulos h de ser myor o igul que 90º, digmos por ejemplo 90º. P P P P 4

5 Tenemos (ver figur): luego P i P j, i j P P P P PP P P PP cos como el cudrilátero es convexo, 90º 0º y por tnto cos 0 y en consecuenci: P P P P PP P P lo que es imposible. b) Si se form un cudrilátero no convexo podemos elegir tres de los cutro puntos formndo un triángulo de modo que el curto punto se interior. Supongmos que el punto interior es P 4. d ldo de dicho triángulo es menor o igul que (diámetro del cudrdo) y por tnto estrá contenido en un triángulo equilátero de ldo, y circunrdio. Si su centro es, P 4 estrá en el interior de uno de los tres triángulos que resultn de unir con cd vértice y l distnci de P 4 uno de los vértices será menor o igul que el circunrdio, es decir menor que y por tnto menor que. hemos encontrdo un pr de puntos distnci menor o igul que. Por último si tres puntos están linedos se reduce l cso b) y si los cutro puntos están linedos llmndo x, x, x ls distncis entre puntos consecutivos, tenemos: x x x y por el principio del plomr, uno de ellos, digmos x, cumple: x. Problem 6. Demuestr que no existe ningun función f : N N que cumpl: f(f(n)) = n +. Supongmos que exist f : N N f f n n. Se tiene que f(0) = N. Por el enuncido: f f 0 ; f f 0 f del mismo modo, f() = +, f( + ) =, f() = +,... Supongmos que f(n - ) = + n -, entonces f( + n -) = + n luego hemos probdo por inducción que entonces, f n f n n n n N hemos llegdo un contrdicción y l condición supuest es fls con lo que qued demostrdo l inexistenci de l función f.