EL ESPACIO AFÍN. se distinguen, además de su origen A y su extremo B, las siguientes

Transcripción

1 VECTOR FIJO Y VECTOR LIBRE. Sea E el espacio ordinario. EL ESPACIO AFÍN Llamaremos vector fijo a cualquier segmento orientado dado por dos puntos A y B del espacio E. Al punto A lo llamamos origen del vector y al punto B lo llamamos extremo. Este vector se denota por. Si A y B coinciden, el vector determinado se llama vector nulo. En un vector fijo características: se distinguen, además de su origen A y su extremo B, las siguientes Módulo: es la longitud del segmento y se denota por. Dirección: la de la recta r que contiene a los puntos A y B (o la de cualquier otra paralela a ella). Sentido: el indicado por su origen y su extremo. Llamaremos F 3 al conjunto de todos los vectores fijos del espacio. Vamos a definir una relación de equivalencia en este conjunto: Diremos que dos vectores fijos y son equipolentes, cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Esta relación divide el espacio F 3 en clases de equivalencia, cada clase de equivalencia está formada por el conjunto de todos los vectores fijos que tienen mismo módulo, dirección y sentido. Cualquier vector de una clase puede considerarse como representante de ella. Llamaremos vector libre del espacio a cada una de las clases de equivalencia anteriores. Se denota por. Al conjunto de los vectores libres del espacio lo representamos por V 3. El módulo, dirección y sentido de un vector libre se define como el módulo, dirección y sentido de uno cualquiera de sus vectores fijos representantes. OPERACIONES CON VECTORES. a) Suma de vectores: dados los vectores libres y, la suma + es otro vector que se obtiene al colocar un vector a continuación del otro y unir el origen de con el extremo de. 1

2 Propiedades de la suma de vectores: Asociativa: Conmutativa: Elemento neutro:, Elemento opuesto:, Con estas propiedades el conjunto de los vectores libres del espacio V 3 tiene estructura de grupo abeliano. b) Producto de un escalar por un vector: dado un nº real λ y un vector, el producto λ es otro vector con la misma dirección que, el mismo sentido si λ es positivo (sentido contrario si λ es negativo) y cuyo módulo es igual a λ Propiedades del producto por un escalar: El conjunto de los vectores libres del espacio V 3 con las operaciones suma y producto por escalares tiene estructura de espacio vectorial. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Dado un sistema de vectores toda expresión del tipo llamaremos combinación lineal del sistema a donde Un vector diremos que es combinación lineal de los vectores si se puede expresar así: donde VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES Dado un sistema de vectores existen escalares diremos que son linealmente dependientes si no todos nulos tales que 2

3 También se dirá que el sistema es ligado. Otra definición equivalente a la anterior: Los vectores son linealmente dependientes si uno de ellos se puede poner como combinación lineal de los restantes. VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Dado un sistema de vectores se cumple diremos que son linealmente independientes si Es decir, la igualdad se cumple si todos los escalares son nulo. También se dirá que el sistema es libre. Los vectores son linealmente independientes cuando ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los restantes. RANGO Dado un conjunto de vectores se define el rango como el nº máximo de vectores linealmente independientes. BASE Diremos que un sistema de vectores cumplen: es una base del espacio cuando son linealmente independientes. Son sistema generador: cualquier otro vector,, del espacio se puede escribir como combinación lineal de estos vectores TEOREMA DE LA BASE Todas las bases tienen el mismo número de elementos. COORDENADAS DE UN VECTOR Todo vector se puede expresar de modo único como combinación lineal de los vectores de una base. 3

4 Llamaremos coordenadas de un vector respecto de la base a los escalares tales que DIMENSIÓN Al número de elementos de una base cualquiera se le llama dimensión del espacio. El espacio de los vectores libres V 3 es un espacio de dimensión tres, en el todas las bases están formas por tres vectores. Por tanto los vectores en cualquier base de este espacio tiene tres coordenadas (, estas coordenadas también reciben el nombre de componentes del vector. Podemos afirmar que en V 3, tres vectores, no nulos, linealmente independientes siempre forman una base. ESPACIO AFÍN Entre los pares de puntos del espacio E y los vectores de V 3 existe una correspondencia f: a cada par de puntos (A,B) de E le corresponde un único vector V 3 tal que. Se llama Espacio Afín, y lo denotamos, a la terna donde es el espacio ordinario, es el espacio de los vectores libres y f es la correspondencia anterior. SISTEMA DE REFERENCIA Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto O y una base del espacio. Se denota y se llama sistema de referencia afín. A O se le llama origen de coordenadas y a las rectas definidas por O y los vectores se les llama ejes coordenados. Fijado un sistema de referencia, a cada punto P del espacio se le asocia un vector al que llamaremos vector de posición del punto P, cuyas coordenadas serán una única terna (x,y,z) de R 3, y a las que llamaremos coordenadas del punto respecto del sistema de referencia. 4

5 Sistema de Referencia Canónico: se denota por, donde El origen de coordenadas es O(0,0,0) Los vectores de la base son de módulo 1 y perpendiculares entre sí. La base B = recibe el nombre de base canónica. Las coordenadas de sus vectores respecto de ella misma son. En un sistema de referencia, dados dos puntos A( y B( las coordenadas de un vector se obtienen Operaciones con vectores. = ( Suma de vectores: dados los vectores y referidos a un sistema de referencia, el vector suma + es: + = Producto de un escalar por un vector: dado un nº real λ y un vector es: (a, b, c), el vector λ ECUACIONES DE LA RECTA λ = λ (a, b, c) = Sea A un punto del espacio y un vector no nulo. La recta r definida por A y por es el conjunto de puntos P tales que = λ con λ. A se le llama vector director de la recta. Llamando al vector de posición de A y al vector de posición del punto P, tenemos como = λ λ, λ expresión que se conoce como ecuación vectorial de la recta r. 5

6 Sean A ( y (a,b,c) el punto y el vector dados referidos al sistema de referencia canónico, y P(x,y,z) un punto cualquiera de la recta r, la ecuación anterior se puede expresar. λ de donde λ que son las ecuaciones paramétricas de la recta r. Despejando λ de las tres ecuaciones e igualándola, se obtiene que son las ecuaciones en forma continua de la recta r. Realizando las operaciones oportunas (multiplicar en cruz, ) en la expresión anterior nos queda que es la ecuación general de la recta r. con A, B, A y B despejando obtenemos con m, n, m y n que son las ecuaciones explícitas (o reducidas) de la recta r. ECUACIONES DEL PLANO Sea A un punto del espacio y y dos vectores linealmente independientes. El conjunto π de puntos P del espacio tales que = λ con λ, es el plano determinado por A y los vectores y. A y los llamamos vectores directores del plano. 6

7 Consideramos los vectores de posición de A y P: y. Tenemos que y como = λ entonces: que es la ecuación vectorial del plano π. ; λ, Sean A (, y las coordenadas del punto y de los vectores dados referidos al sistema de referencia canónico, y P(x,y,z) un punto cualquiera del plano, la ecuación anterior se puede expresar: + λ, de donde λ, que son las ecuaciones paramétricas del plano π. De la ecuación vectorial del plano se obtiene + λ, es decir, los vectores, y son linealmente dependientes, lo que se puede expresar así: desarrollando el determinante queda la siguiente ecuación: que se llama ecuación general o implícita del plano π. con A, B, C y D PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Dados puntos del espacio A ( y B (, el punto medio del segmento determinado por A y B se calcula 7

8 CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS Dados tres puntos A (, B ( y C (, diremos que están alineados cuando se encuentran en una misma recta. Calculamos la ecuación de la recta que pasa por A y B, cuyo vector director es Su ecuación en forma continua es = ( Si el punto C está alineado con A y B es también un punto de esta recta y por tanto cumple su ecuación, es decir expresión que se conoce como la condición para que tres puntos estén alineados. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Consideramos dos rectas: r definida por el punto A ( y el vector s definida por el punto B ( y el vector Las rectas r y s pueden ocupar las siguientes posiciones: 1. Paralelas: r y s son paralelas cuando y tienen la misma dirección, es decir cuando y son proporcionales y por tanto / = o lo que es lo mismo Por tanto la condición de paralelismo es En este caso r y s pueden no tener ningún punto en común o ser coincidentes (coinciden en todos los puntos) 2. Se cortan: si r y s se cortan en un punto P, los vectores, y son coplanarios, por lo tanto linealmente dependientes, es decir: 8

9 Que es la condición para que r y s se corten en un punto P, se halla resolviendo el sistema formado por ambas rectas. 3. Se cruzan: si r y s se cruzan, los vectores, y no son coplanarios, por lo tanto son linealmente independientes, es decir: Si las rectas vienen dadas por su ecuación general, es decir como la intersección de dos planos, el problema se reduce al estudio del sistema formado por las ecuaciones de los planos. Sean r y s Formamos el sistema La matriz del sistema y la matriz ampliada son: y Tenemos los siguientes casos: 1. Rg M = 3 el sistema es incompatible y no tiene solución. En este caso las rectas se cruzan. 2. Rg M = 3 = el sistema es compatible determinado y tiene una única solución. En este caso las rectas se cortan en un punto. 3. Rg M = 2 el sistema es incompatible y no tiene solución. En este caso las rectas son paralelas y no coincidentes. 4. Rg M = 2 = el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. En este caso las rectas se son coincidentes. CONDICIÓN PARA QUE CUATRO PUNTOS SEAN COPLANARIOS Dados los puntos A (, B (, C ( y D ( diremos que son coplanarios cuando los cuatro pertenecen a un mismo plano. 9

10 Calculamos la ecuación del plano que pasa por A, B y C. Su vectores son directores son = ( y = ( Su ecuación general viene dado por el determinante Si el punto D pertenece al plano formado por A, B y C entonces debe cumplir la ecuación anterior y por tanto que es la condición que deben cumplir 4 puntos para ser coplanarios. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Sean los planos π y π Consideramos el sistema: Estudiar la posición relativa de los dos planos se reduce a discutir el sistema formado por sus ecuaciones. Nos encontramos con los siguientes casos: 1. Rg M = 2 = el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. En este caso los planos se cortan en una recta. 2. Rg M = 1 el sistema es incompatible y no tiene solución. En este caso los planos son paralelos. Además como Rango M = 1, los coeficientes A y A, B y B, y C y C son proporcionales, es decir: que es la condición de paralelismo entre dos planos. 3. Rg M = 1 = el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. En este caso los planos son coincidentes. 10

11 POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS Sea la recta r cuya ecuación general es r y el plano π cuya ecuación general es. Para determinar la posición relativa de r y π estudiamos el sistema planteado por sus ecuaciones: Al discutir el sistema nos encontramos los siguientes casos: 1. Rg M = 3 = Rg M* el sistema es compatible determinado y tiene una única solución. En este caso la recta y el plano se cortan en un punto. 2. Rg M = 2 el sistema es incompatible y no tiene solución. En este caso la recta y el plano son paralelos y no coincidentes. 3. Rg M = 2 = el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. En este caso la recta está contenida en el plano. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS Sean los planos de ecuaciones: Discutimos el sistema planteado por sus ecuaciones. Nos encontramos con los siguientes casos: 1. Rg M = 3= Rg M* el sistema es compatible determinado y tiene una única solución. En este caso los planos se cortan en un punto. 2. Rg M = 2 el sistema es incompatible y no tiene solución. En este caso los planos no tienen ningún punto en común. 3. Rg M = 2 = el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. En este caso los planos se cortan en una recta. 4. Rg M = 1 el sistema es incompatible y no tiene solución. En este caso los planos son paralelos. 5. Rg M = 1 = Rg M* el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. En este caso los planos son coincidentes. 11