1) Determina una primitiva de cada una de las siguientes funciones y verifica tu respuesta por derivación

Transcripción

1 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic º Año Cód. 0-6 P r o f. B E t i n C t t n e o P r o f. M i r t R o s i t o R e s. D e P r o l e m s : P r o f. N e r i n T o s c Dpto. de M t emátic

2 . INTEGRAL INDEFINIDA.. FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición: Se llm función primitiv o ntiderivd de un función f otr función P tl que pr todo perteneciente l dominio de f se cumpl que P () = f(). Es decir: P es un primitiv de f P () = f() Domf Así: P ()= sen es un primitiv de f () = cos pues sen ' cos P ()= rcsen es un primitiv de f () = pues ' rcsen Resuelve: P () = es un primitiv de f () = pues ' ) Determin un primitiv de cd un de ls siguientes funciones verific tu respuest por derivción ) h() ) g() c) h() ( ) d) 6 t() e) f(t) t f) t g() ) Indic si cd un de ls siguientes firmciones es V(verdder) o F (fls). Justific tu respuest. ) Un primitiv de f() / e, es P () e ) Ls funciones F() G() log son primitivs de un mism función. c) Ls funciones F() e ( e ) ln un mism función. 6 G() e ln son primitivs de P O L I T E C N I C O

3 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic Oservndo ls respuests del ejercicio nterior, notmos que eisten dos primitiv pr l mism función. siempre eistirán dos o hrá más?. Si h más, eistirá lgun relción entre ells? El siguiente teorem nos resuelve estos interrogntes. TEOREMA Dos funciones P H son primitivs de un mism función f, en el intervlo (; ), si sólo si dichs funciones difieren en un constnte rel. En símolos: P Hprimitivs de f en (;) P() H() C; ; C Oservción: en el teorem h un si sólo si, por lo tnto tendremos que demostrr l id l vuelt del mismo. ) ) H) P() H() primitivs de f en (; ) H) P() H() C con C T) P() H() C con C T) P() H() primitivs de f en (; ) Demostrción (pr l id l vuelt): P() H() es es primitiv primitiv de f() de f() en en ; ; () () () () P () f() P () H () 0 H () f() () P() H() 0 P() H() C con C () Por definición de primitiv () Restndo miemro miemro () Por propiedd de l derivd de sum de funciones () Por propiedd de l derivd de un función constnte () Not: El teorem nterior nos permite firmr que si f tiene un primitiv P, en relidd tiene infinits primitivs, pero tles que dos culesquier de ells, difieren en un constnte ritrri rel C.- P O L I T E C N I C O

4 Prolem resuelto Encuentr tres primitivs de l función f()= cos Resolución: Tres primitivs de l función f()= cos podrín ser P ()= sen ; P ()= sen e ; P ()= sen pues ' ' sen sen e sen cos.. INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN Definición: Al conjunto de tods ls primitivs P() + C de f, se lo llm integrl indefinid de f se simoliz f () d (est epresión se lee «integrl de efe de equis diferencil de equis») Es decir: ' f () d P() C P() C ' f() En dich epresión, convenimos en llmr: símolo integrl f función integrndo C constnte de integrción Oservciones: Resolver un integrl indefinid, consistirá en clculr tods ls primitivs de f. Diremos que un función f es integrle si eiste l función P() tl que f () d P() C Polems resueltos ) Clcul ls siguientes integrles indefinids ) e d Resolución: e es P() = Puesto que un primitiv de f()= e d e C ) d Resolución: Un primitiv de f()= es P()=, entonces e, entonces d C P O L I T E C N I C O

5 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic t c) d Resolución: Un primitiv de f()= vrile es ), entonces t d t Pr pensr Justific l siguiente firmción: es P()= rctn como t es un constnte (pues l rctn C L integrl indefinid represent un conjunto de funciones cus gráfics constituen un fmili de curvs prlels entre sí, lo lrgo del eje Prolem resuelto Clcul l primitiv de f() = que pse por A(0; ) Resolución: () d C 0 C C P() () pues A(0; ) pertenece un de ls infinits funciones de l form C.. INTEGRALES INMEDIATAS Se denomin integrles inmedits todos los resultdos otenidos en form direct teniendo en cuent l definición de integrl indefinid utilizndo l derivción de funciones elementles. L siguiente tl, llmd tl de integrles inmedits, muestr dichos resultdos, que serán necesrios prender si se pretende ser ágil en el cálculo de otrs integrles menos sencills. d C sen d - cos C n n d C, n - d tn C n cos - d ln C d - cotn C sen sen cos d sen C d sec C cos cos d - cosec C e d e C sen d C, 0 d rc tg C ln - d rcsen C d rccos C - - P O L I T E C N I C O

6 P O L I T E C N I C O Prolems resueltos ) Clcul ls siguientes integrles ) d Resolución: C C d ) d Resolución: C C - C - d d - - c) d Resolución: C 9 C 9 C 7 d d d d) d Resolución: C ln d ) Prue que ) C ln d Resolución: Pr demostrr dich iguldd st con verificr que ln ' Sugerenci: utilizr pr derivr ln ln ' '

7 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic P O L I T E C N I C O 6 Oservción: si en lugr de tener ln, tendrímos ln, l fórmul sólo d l primitiv 0. Al operr con ln, función pr con derivd en todos los reles ecepto en 0, se tiene mor dominio de vlidez. ) C ln - d Resolución: Pr demostrr dich iguldd st con verificr que ' - ln Sugerenci: utilizr pr derivr ' ' ln ln Por lo tnto, podemos concluir que: C ln - d ln () f 0 -

8 ... PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA En ls propieddes que se enuncin continución el símolo D signific derivd P. Si f es integrle D f()d f() Demostrción () ()() f() d P() C D f() d D P() C D P() DC f() () f es integrle () L derivd de l sum es l sum de ls derivds () P() es un primitiv de f() DP() f() () C es un constnte DC 0 Ejemplo: D tg d tg P. Si f es derivle Df() d f() C Demostrción Derivndo el segundo miemro (f es derivle) result: D () () () f() C Df() DC Df() f unción int egrndo () L derivd de l sum es l sum de ls derivds () C es un constnte DC 0 Ejemplo: D( tg ) d tg C P. Si f g son integrles ( αf() βg() ) d α f()d β g() d con α,β h Est propiedd recie el nomre de Propiedd Linel de l Integrl Indefinid. Demostrción Si l propiedd es ciert entonces strá pror que D D α f()d β g() d αf() h βg() () () () α f d β g d Dα f d Dβ g d αd f d βd g d αf() h βg() () L derivd de l sum es l sum de ls derivds () L derivd de un constnte por un función es l constnte por l derivd de l función () Propiedd nterior P P O L I T E C N I C O 7

9 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic Ejemplo: ( Csos prticulres: - 6 sen)d d 6 Complet en cd cso teniendo en cuent P: ) Si 0 result... ) Si result..... INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN sen d Este método consiste en l plicción de l propiedd linel (P), trnsformndo un integrl complej en vris inmedits: Prolems resueltos ) Clcul ls siguientes integrles plicndo el método de descomposición ) (sen - ) d Resolución: (sen - ) d 0 sen d d d - cos - (C - C C ) C Oservción: Los ejercicios serán concluidos con un únic C l finl, sin considerr ls operciones lgerics de constntes previs - ) - e d Resolución: - - e d 6 rc tg - e ln C c) d Resolución: d C d d d d 8 P O L I T E C N I C O

10 d) d Resolución d 7 7 C d 9 d - e) d Resolución: Prolems - d ) d d d - ln C ) Anliz l vercidd o flsedd de ls siguientes firmciones. Justific tu respuest d ) d d d c) Si g(), ls primitivs de g() son G() C d) Si f() ( ), ls primitivs de f() son F() ( ) C e) Si h() cos, ls primitivs de h() son H() sen C f) Si f() cos, ls primitivs de f() son F() sen C g) Si g() cos, ls primitivs de g() son G() sen C h) (sent t )dt cost t C i) / d ln C j) d C k) cos( )d sen( ) C l) f()f'()d f() C P O L I T E C N I C O 9

11 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic ) Clcul ls siguientes integrles ) ( ) d g) (cos e ) d 8 ) (8 8) d c) ( ) d d) ( ) d e) ( ) d k) f) ) Determin d ) g () si g'() 8 g() 0 ) f () si f'() e f(0) c) h () si h''() 8, h(0) 8 h() h) ( ) d i) ( ) d j) ( / ) d d 6) Grfic tods ls funciones f() tles que f' () f() 8 7) Un prtícul se mueve en líne rect con velocidd v(t) t su posición inicil es s() m. Determin su posición en función del tiempo s (t). 8) Un prtícul se mueve en líne rect tiene celerción (t) 6t. Su velocidd inicil es v(0) 6 cm/s. ) Siendo que su posición inicil es s(0) = 9 cm, determin su posición s(t) ) Encuentr l velocidd en función del tiempo, v(t) clcul l velocidd medi entre t = s t = s 9) Determin, en cd cso, f() siendo que ) es continu en su dominio; f(0) l siguiente gráfic es l de f '() 0 P O L I T E C N I C O

12 ) es continu en [0; ]; f(0) l siguiente gráfic es l de f '() 0) Un prtícul se mueve con función celerción (t) cost sent. Su velocidd inicil es v(0) cm/s su posición inicil es s(0) 0 cm. Determin su posición después de t segundos. ) Determin l función f() cu gráfic ps por el punto (, 6) l pendiente de su rect tngente en cd punto (,f()) está dd por l función g(). ) Resolviendo ls integrles, demuestr ls siguientes igulddes. ) sec ( ) d t g rct g C t t ) t t e e (e e ) dt t C 7 c) ( z z z z)zdz C 7 d) 7 / d C 7 e) w / / dw w w C w w f) d rct g C g) d rctg C h) d / / / C z z i) dz z C (z ) z j) ( cos / k) ( )( ) d ) d =tg-rctg+c = C 7 7 P O L I T E C N I C O

13 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic.. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Hst quí, hemos resuelto integrles sencills / o inmedits. Cundo l integrl clculr no es de lguno de estos tipos, se recurre los métodos de integrción. En este curso, sólo desrrollremos dos de ellos, sustitución (cmio de vrile) prtes. Antes de comenzr con los métodos, presentmos un concepto que será de utilidd en el desrrollo de los mismos. Diferencil de un función Definición: Se = f() derivle en el intervlo (; ). Si son dos puntos ritrrios de ;, llmremos diferencil de l función f() lo notremos df(), l producto de l derivd de f() por un incremento de l vrile, es decir : d df() f '() () Ejemplos: Si:. () sen f, entonces df() dsen cos. g(), entonces dg() d c. h(), entonces dh() d () Si reemplzmos () en (), result : d df() f '() f '() d () Es decir, el diferencil de un función f() es igul l producto de l derivd por el diferencil de l vrile independiente. De () surge: Df() d f'() (recordr que D signific derivd) d de modo que l derivd de un función puede ser considerd como l relción entre el diferencil de l mism función el diferencil de l vrile independiente. P O L I T E C N I C O

14 Interpretción geométric del diferencil de un función P Q f() T df()? f() P 0 ;f(0 ) T 0 ;f( 0 ) Q 0 ; Q PQ: rect tngente en P O 0 0 Recordemos demás que l rect tngente en el punto ; f f( 0 ) f'(0 ). 0 Como Q pertenece l rect nterior tendremos: P 0 0 tiene por ecución: Q f( 0 ) f'( 0 ). 0 de donde f'(0 ) Q f(0 ) 0 Q f(0 ) teniendo en cuent l definición de diferencil () otenemos: Luego, si 0 Aplicción f( ) df 0 0 Q 0 Q 0 f'( ).. f( ) f( ) df( ) f () Un plicción en l cul se utiliz l fórmul () es pr l proimción de vlores de funciones. Por ejemplo, si desemos conocer un vlor proimdo de ln, 0 sin el uso de l clculdor, procedemos de l siguiente mner: Consideremos l función f() ln. Si tommos 0 0, 0 (vlor pequeño), l epresión () result: f( 0,0) f() df ln,0 ln 0,0 0, 0 P O L I T E C N I C O

15 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic Es decir, podemos proimr el vlor del ln, 0, siendo 0,0879 el vlor encontrdo con l clculdor. Prolems ) ) Determin gráficmente df 0 f() f0 f 0 ) Complet l relción de orden entre df f() i) 0 en cd uno de los siguientes csos: f() P Q df... f() 0 0 O 0 ii) P Q df... f() ) Utilizndo l epresión (), clcul el vlor proimdo de: ), 0 ) sen º c) 0,0 e P O L I T E C N I C O

16 ... MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Notemos que si = F(u) con u = g(), por l regl de l cden : d d F [g()] = F [g()] g () d(f(g()) = F (g()). g (). d = F (g()). dg() Integrndo miemro miemro plicndo l propiedd P de l integrl indefinid result d(f(g())= F (g()). g (). d. F' g() g'() d F' g() dg() Fg() C () Llmremos: FUNCIÓN EXTERIOR DERIVADA DE LA FUNCIÓN INTERIOR F' g() g'() d F' g() dg() Fg() C FUNCIÓN INTERIOR PRIMITIVA DE f En muchs ocsiones se nos presentrán integrles en ls que teniendo en cuent l epresión () efectundo un elección oportun de l función g(), l mism resultrá fácilmente clculle. Pr logrr dicho ojetivo se present un posile estrtegi de resolución. Estrtegi de integrción por cmio de vrile o sustitución ) Por inspección del integrndo elegimos un g() que llmremos u, es decir g() = u (sustitución). En muchos csos será l prte interior de un potenci, de un ríz, de un logritmo, etc. ) Rescriimos l integrl originl plnted, en términos de u. Recordndo que: u = g() du = dg() = g () d ) Clculmos l integrl en u resultnte. ) Epresmos el resultdo otenido en l vrile inicil, sustituendo u por g(). P O L I T E C N I C O

17 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic Oservciones: El procedimiento de selección de u depende de cd cso. Se trt de simplificr l form de l función integrndo, trnsformándol en inmedit. En lugr de u suelen utilizrse lguns de ls últims letrs del ecedrio. Prolems resueltos 7 ) ( ). d ( 8 u 8 7 ). d C 0 u 8 u 7. du C 0 7 u.du 8 C Sustitución u du d d du du d d ) I t dt t - I dt - t t t - ln t C - ln t dt C Sustitución t d dt d tdt du ) I u u w dw w dw I w w w w - w dw Sustitución u w du dw du w dt w - w ln w C u - u ln u C Prolems ) Demuestr ls siguientes igulddes sen sen ) e cos(e )d sen(e ) C ) e cos d e C c) sen cos d sen C d) d C ln e e) e d rctg e C f) tg e tg d e C cos 6 P O L I T E C N I C O

18 g) d C h) tn d ln cos c 9 i) sencos d sen C j) cos sen d cos C k) d ln C l) d C u m) du u C u d n) rcsen C d 6ln o) rctg C d ln ln C ( ln ) 8 8 z z q) e d e C r) 9 dz 9 C 8 ln9 s) u) d C d rctg C e w) d e C ) 7 p) 00 t) 0 ( ) d C 0 sen cos d cos C v) d C ( ) ln ) d ( ) ( ) ( ) c z) d ln C 7 ) rctg rcsen d rctg C ) d rcsen C log ln0 e c) d log c d) d = 9 e C / ( e ) e) 8 d d ln C f) ln C g) i) (ln ) z z 00 z d ln C h) 0 sen d cos C cos d rctg sen C sen e (0 e ) dz 0 e C 0 e j) k) m) d ln C ( )( ) o) sensen(cos)d cos cos C p) rcsen d rcsen C q) d ln e C e l) d ln C d C sen cos d sen cos C sen cos n) r) tg d tg C P O L I T E C N I C O 7

19 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic ctg 6 s) d C t) d ln C sen sen d sen u) ln ln c v) cos d sen C.ln sencos 6 w) d ln C 0 ) d ( ) ( ) ( ) c z) sen cos d cos cos cos C 7 d ) tg C cos d ) tg ctg C cos sen 7... MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES Este método se s en l integrción de l fórmul de l derivd del producto de dos funciones derivles. Sen f() g() derivles, entonces: D(f().g()) f(). g() ' f'().g() f().g'() f() g() ' d f '() g() g '() f() d g() df() De donde: f() dg() f() g() g() df() f() dg() Si despejmos un de ls integrles, result: f () dg() g() df() (6) Est fórmul se utiliz cundo en el interior de l integrl se present un producto especil. Será importnte l decud selección de f() dg(), puesto que su plicción conduce un nuev integrl, l cul deerá ser más sencill que l inicil. L ecución (6), se puede epresr, teniendo el cuent el concepto de diferencil, de l siguiente mner: f() g'() d f() g()- f() g()- g() f'() d En muchs ocsiones, se presentn dos cminos, uno de los cules puede conducir un integrl más complicd que l originl, o un prolem de otr dificultd. (7) 8 P O L I T E C N I C O

20 Prolems resueltos ) I e d Utilizndo l fórmul (6) I e d d(e ) e - e d e - e C f dg f g g df Utilizndo l fórmul (7) I e d e - e d e - e C f g' f g g f' Cálculos uilires f() df() d dg() e d g() e Cálculos uilires f() f'() g'() e g() e Oservción: Si se huiese elegido: f() e, dg d, resultrí: e d e d( ) e. - d f dg f df g g e - e d f ' f integrl más complicd que l originl Oservción: En los ejemplos que siguen, utilizremos un de ls dos fórmuls, qued criterio del lumno l elección de l mism en l resolución de l práctic. ) I ln. d I ln d ln d( ) ln - f f f dg g g ln - d ln - d df C ln - C Qué huier psdo si elegímos f(), dg ln d? ) I rc tg d f dg d I rc tg d rc tg - rc tg - ln C dg g f df ) I e d P O L I T E C N I C O 9

21 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic I e d d(e ) e - e d () f dg f g I C f dg I e d e - e d ( -) e () Sustituendo () en (), result: I e - ( -)e C ( ) e C ) I sen e d I sen e d = sen. d(e ) f dg f g = e sen e cos d () I I cos e d cos. d(e ) cos e f f g dg e cos e sen d e cos I I - e (-sen) d () Sustituendo () en (), result: I sen e - cos e - I I e (sen - cos ) C e I (sen - cos ) C Concluendo: Estos cinco ejemplos muestrn el universo de lo que puede suceder con l integrción por prtes. ejemplos ; : plicmos l fórmul un únic vez otenemos el resultdo ejemplo : se dee plicr l fórmul vris veces consecutivmente ejemplo : se present l integrl que deemos clculr dentro del resultdo qued plnted un ecución Prolems 6) Resuelve ls siguientes integrles, plicndo integrción por prtes ) send )7 cosd c) ln d d)ln zdz e)(ln ) d f) e d g) t ln tdt h) sen d i)cos d j) ln zdz k)( )e d 0 P O L I T E C N I C O

22 7) Demuestr ls siguientes igulddes, resolviendo l integrl ) sen cos d sen sen cos C ) rcsend rcsen C c) d ln / C d) rctnd rctn rctn C / / e) d ( ) ( ) C / / f) d ( ) ( ) C d 6 g) rctn( 6 / ) C 6 (lnsen cos) h) send C ln i) d ln( ) C ln sen (ln )d senln cosln k) d ln C ( ) j) c sen cos l) d cos ( ) cos ( ) C m) d ln C n) d ln C o) rctn d rctn rctn C dz p) rcsen( z / ) C z q) cos () sen ()d sen () () C 9 sen P O L I T E C N I C O

23 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic. INTEGRAL DEFINIDA.. INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN AL ÁREA En el cálculo eisten dos ides mu importntes, que fueron motivds por dos prolems geométricos. Un de ells fue encontrr l rect tngente un curv, prolem que desencdeno en l definición de derivd. En este cpítulo nos dedicremos encontrrle solución l segundo prolem, el cul consiste en encontrr el áre de figurs no convencionles. Definición: Llmremos PARTICION de un intervlo ;, l conjunto de puntos P tl que P 0 ; ;... ; n que verifique, = 0 < < <... < n =, Oservción: Un prtición del intervlo [, ] determin un colección de suintervlos contenidos en [, ]. Ejemplo: Un prtición del intervlo ; podrí ser P ; 0; ; ; ; l colección de suintervlos determind por P serí ; 0,, 0;, ;, ; ; En generl, indicremos k ; k un intervlo genérico de l colección de suintervlos determindos por l prticipción P. Definimos mplitud del intervlo k ; k k k - k-. A l mor de tods ls mplitudes de todos los intervlos determindos por un prtición l llmmos NORMA de l prtición l simolizremos. Es decir: = m k con k =,,,...,n.. SUMA DE RIEMANN Consideremos l función f : [;]. Efectuemos un prtición P del intervlo [;] en n suintervlos en cd k ; k uiquemos un punto h k ;k k. A l sum n f(hk ) k, l llmremos un sum de Riemnn pr f k correspondiente l prtición P. P O L I T E C N I C O

24 En el siguiente gráfico veremos su interpretción geométric. A An = 0 h A h h A... n- n = h hn A Oservndo el gráfico result: n f( hk ) k A k - A - A A... An Oservciones: A; A;...; An representn ls áres de los rectángulos que se muestrn en l figur no es función de, que dependerá de l prtición hech de l elección de hk Prolems: 8) Clcul l norm de cd un de ls siguientes prticiones del intervlo 0; : P {0; ; ; ; }, P {0; ; ;,;,8; }, P {0;,; ; ; ; }. 9) Escrie un prtición del intervlo ; igul 0,. 0) Grfic l función f en el intervlo ; n f(hk ) k k ;. k k ) f( ) ; P {0;; ; } 0 que teng l menos 8 elementos cu norm se 0, interpret gráficmente el vlor de clcúllo en cd cso, considerndo h k l punto medio del intervlo ) f( ) ( ) ; P {0;; ; ; } ) Resuelve el prtdo () del ejercicio nterior pero considerndo h k l etremo derecho del intervlo ; k- k P O L I T E C N I C O

25 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic Definición: Se f un función definid en ;, si lím f(hk ) k eiste, decimos que f es 0 k integrle en ; llmremos dicho límite integrl definid (o integrl de Riemnn) de f de. En símolos: n f () d lím f(hk ) k 0 k n Llmremos: : etremo inferior de integrción : etremo superior de integrción : vrile ( mud ) de l integrl f : función integrndo [;]: intervlo de integrción Oservciones. Se puede pror que si f es continu en [;], es integrle en dicho intervlo (Teorem de Cuch). L integrl no dependerá de l letr de l vrile, por tl motivo resultn equivlentes ls siguientes epresiones: f () d f(t) dt f(u) du f. Si f es continu no negtiv en [;], podemos encontrr un interpretción geométric de l integrl definid. Pr ello, reitermos pso pso l definición: Gr f P O L I T E C N I C O

26 Podemos visulizr mejor l interpretción gráfic, mplindo un intervlo genérico k. Veremos que el áre del rectángulo ABCD es proimdmente igul l del sector dejo de l gráfic AEFD f F B C E f(h k) A k - hk k D Oservemos que cundo tiende cero, k se proim k- l se del rectángulo es cd vez más pequeñ l proimción nomrd en el párrfo nterior es mor. Definición: Llmremos RECTANGULOIDE R l conjunto de puntos del plno limitdos por ls verticles =, =, el eje l gráfic de f, es decir: Luego: f () d áre de R R = ( ;) / 0 f(). Eisten funciones integrles no continus, como ls que son continus por trmos, tles como ls seccionlmente continus. Un ejemplo de ello es l función f() = [] en [;] Prolem resuelto Resuelve, plicndo l definición, l integrl de f() = c (constnte rel) e interpret geométricmente su resultdo pr c > 0: n c d lím c k 0 k n c lím k 0 k c lím ( - ) c ( - ) 0 Si c > 0, l interpretción gráfic de l integrl nos dice que l integrl es el áre del rectángulo de se ltur c: c P O L I T E C N I C O

27 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic Prolems ) Evlú cd integrl teniendo en cuent su interpretción en términos de áre ) d ) ( )d c) d d) d ) Teniendo en cuent l interpretción de l integrl en términos de áre, clcul un número que se mor que l integrl: ) d ) d c) d 0.. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA i) Linelidd Sen f, g integrles en [;], α,β.plntemos : n n n ( f g) lím f(h k ) g(h k ) k lím f(h k ) k lím g(h k ) k 0 k 0 k 0 k ( f g) f g Es decir, un constnte puede etrerse de l integrl l integrl de un sum es l sum de ls integrles. ( f g) f g En prticulr : Si 0 result f f Si result (f g ) f g ii) Aditividd Si f es integrle en [; ] c (;), entonces result: c f f c f Válid culquier se l posición reltiv de,, c, supuest l integrilidd. 6 P O L I T E C N I C O

28 iii) Comprción Si f g son integrles [; ] f g en [; ], entonces result f g iv) Si f es integrle en [; ] =, entonces result v) Si f es integrle en [; ], entonces result f 0 Prolems: f - f ) Siendo que f() d 7 que g() d clcul: ) f() g() d ) f() g() d f()d ) Escrie como un integrl de l form f ()d ) f ()d f()d ) f ()d f()d c) f ()d f()d f()d d) f ()d 0 8 f()d 6) Siendo que f()d 0 ; f()d 7 f()d, clculr: ) f ()d ) f ()d c) 0 f()d 0.. TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL H) f continu en [;] T) c ; / f f(c)(- ) Demostrción: Como f es continu en [;], por el teorem de Weierstrss, eiste máimo (M) mínimo (m) solutos de f en [;], es decir: m f() M ; P O L I T E C N I C O 7

29 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic Por propiedd de comprción, result Resolviendo l integrl, nos qued m d f() d M d m(-) f() d M( ) Dividiendo miemro miemro por (-), otenemos m f() M - (*) Como f es continu en [;], por el teorem del vlor intermedio, l epresión (*) dee ser un vlor de f, que Im f = [m; M]. Es decir: c ; / f(c) f()d f()d f(c) ( - ) Oservndo el siguiente gráfico podeos encontrr un interpretción gráfic de teorem nterior si f es no negtiv en [;]: f f(c) c El áre del rectnguloide de f es igul l del rectángulo somredo de l mism se Prolem 7) Si f es continu en ; vez sore el intervlo f() d 8, demuestre que f tom el vlor por lo menos un 8 P O L I T E C N I C O

30 . FUNCION INTEGRAL Definición: Se f integrle en ; c un función tl que pr cd ; le hce corresponder el número con g dich función result: g: ; / g()= f(t) dt ;, llmmos FUNCIÓN INTEGRAL de f c c f(t) dt. Si llmmos Oservción: l función g depende de l vrile, que es el etremo superior de l integrl, por lo tnto serán equivlentes ls siguientes epresiones f(t) dt ; c f(u) du; c f() d ; f c c Si f es continu no negtiv, se puede hllr un interpretción geométric de g, como el áre del rectnguloide de f limitdo por sends verticles en c en con c < : f(t) g() c t.. Teorem fundmentl del cálculo integrl H) f continu en ; T) g() = f (t) dt es derivle en (; ) g'() = f() c Demostrción: un punto Pr demostrr que g es derivle ; g'() lím 0 g( ) - g(), recordemos l definición de derivd en P O L I T E C N I C O 9

31 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic Reemplzndo en g() = f (t) dt, otenemos c () g g( ) - g() f(t)dt - f(t)dt c () c () f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt c c () () f(t)dt f(c*) c c () permutndo etremos de integrción () propiedd conmuttiv () propiedd de ditividd () teorem del vlor medio, donde c * está comprendido entre + Entonces podemos escriir: g'() g( ) - g() f(c*) lím lím 0 0 f() c* En conclusión g () eiste es igul f() Prolems 8) Aplic el Teorem Fundmentl del Cálculo pr derivr ls siguientes funciones: 0 7 ) g() (t - ) dt ) g() cos(z ) dz c) g() (cos(u ) u ) du 9) Si F() cos(t ) dt, clcul F(), F () F (0) 0) Si F() g(t) dt t g(t) t dt clcul F () 0 P O L I T E C N I C O

32 .. Teorem de Brrow H) f continu en [;]; g() f(t)dt primitiv de f T) f(t) dt Demostrción: P() - P(), siendo P un primitiv culquier de f Teniendo en cuent por hipótesis que g() f(t)dt es un primitiv de f, puede epresrse g() f(t)dt P() C Si g() f(t)dt P() C 0 C -P() (), con P un primitiv culquier de f () Si g() f(t)dt P() C f(t)dt P() P() P() Es decir: f() d P() - P() P() Prolem resuelto ) Resuelve ls siguientes integrles definids ) ) d cos d sen sen - sen 0 P O L I T E C N I C O

33 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic Prolems ) Evlú ls siguientes integrles definids: ) t ( t - ) dt ) - 0 d c) d d) d e) 0 d f) e ln d g) - 6 d h) 0 e d ) Determin un función f un vlor de l constnte de tl mner que f(t)dt sen - ) Si f ' es continu en [ ; ] demuestr que f() f () d f() - f() ) Determin l epresión de P() si : ) Comprue usndo l Propiedd de Comprción que 6) Suponiendo que 0 f() d 6 ; 0 0 ' '' P() f(0) f (0) f (0) f() d d f() d, hll ) f () d ) f() d c) f() d dt f() t 7) Grfic l región R limitd por = + 6 ; = + = 0.Clcul el áre de R. 0 8) Si un función f es tl que f() d C f() pr todo > 0, clcul un número C tl que P O L I T E C N I C O

34 . APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.. AREAS PLANAS... Ares de rectnguloides En el siguiente cpítulo estudiremos los diferentes csos pr clculr áres de rectnguloides Primer cso: Si f continu no negtiv en [;]. En tl cso (visto en cpítulos nteriores) result: f A A f()d Segundo cso: Si f es continu no positiv en [;]. Definimos llí g() = - f(), siendo que ls gráfics de g de f serán simétrics respecto del eje determinrán rectnguloides de igul áre A. Semos: A g() d - f() d f() d Es decir: g A A f() d f P O L I T E C N I C O

35 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic Tercer cso: Este so es el más generl, es cundo f es continu en [;], nulándose un número finito de veces. Pr clculr el áre A de todos los rectnguloides, utilizremos los csos nteriores en form conjunt: A' A'' c f A'' ' d c A = A' + A'' +A''' = f f d f c Prolems resueltos ) Сlcul el áre rd en cd cso ) 6 A 7 6 A 7+6d= f()= 7+6 ) En este cso conviene pensr en función de A f()= 6 A d 0 0 P O L I T E C N I C O

36 c) A A A A A 0-0 d d 0 0 d - 0 A f()... Áre de dominios normles Definición: Dds f, g, continus en [;] tl que f() g(), se llm DOMINIO NORMAL DEL PLANO reltivo f, g, de se [;], l conjunto de puntos del plno limitdo por ls rects = ; = ls gráfics de f g. En símolos: D = (; ) / f() g() En donde se denomin : f: función minornte g: función mornte Ahor nos interes clculr el áre A de D. Pr ello tendremos en cuent los siguientes csos. Primer cso: Pr 0 f g, es decir ms funciones no negtivs d c g A = áre de - áre ce = g - f (g - f) f A e A = g - f P O L I T E C N I C O

37 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic Segundo cso: Ls funciones pueden encontrrse en culquier lugr del plno. Por el teorem de Weierstrss, l ser f continu en [;], dee tener mínimo soluto m: g A f m Definiendo dos nuevs funciones en [;]: f* = f + m ; g* = g + m. Ls misms resultn tener sus gráfics idéntics ls originles trsldds verticlmente hci rri m uniddes. En consecuenci estrán sore el eje o tocándolo como mínimo: g* A f * Ahor podemos plicr ls conclusiones del primer cso: 6 P O L I T E C N I C O

38 P O L I T E C N I C O 7 g * - f * g + m - (f m ) g - f A Es decir, independientemente de l uicción de ls gráfics en el plno, result: Prolems resueltos ) Clcul el áre rd en cd cso ) A = - d d 0 º º ) Aquí conviene considerr como función de : 0 6 d A 0 º f g A A

39 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic A Prolems 9) Encuentr utilizndo integrción el áre del triángulo en cd cso: ) Sus vértices son los puntos (-;) ; (;-) (;) ) Limitdo por l rect = + ; el eje de ls l verticl = 0) Clcul el áre de l región limitd por l práol = ; l tngente ell en (;) el eje. ) Trz l región limitd por ls curvs dds clcul su áre: ) = cos ; = sen ; = 0; = / ) = I I ; = 0 c) = e ; = e - ; = -, = d) - = 0 ; + = 0 ) Clcul el áre limitd por ls práols = 8( + ); = (8 - ) ) Determin el áre encerrd por l práol = + ² por l cuerd que une los puntos (-; -); (; ). ) Determin el áre limitd por ls siguientes curvs ) ) = ² = = ³ - = 8 P O L I T E C N I C O

40 c) d) ² = + 6 = - = ln = - + = ) Clcul los vlores de c tles que el áre de l región cotd por ls práols = c ; = c se 76. 6) Plnte l o ls integrles que permiten clculr en cd cso el áre de l región somred otiene su vlor con el uso del softwre Geoger ( ) ) c) d) e) f) P O L I T E C N I C O 9

41 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic Respuest lgunos de los prolems ))H()= - 7 )G()=. c)h()= d)t()= e)f(t)= 6 )) Flso, pues P () f() c) Verddero, pues F ()= G () t - t f)g()=-rctg )Verddero, pues F ()= G () ) )Flso ) Flso c) Verddero d)flso e) Flso f)flso g) Flso h) Verddero i) Flso j) Flso k) Flso l) Verddero Todos los prtdos se justificn por derivción de ls primitivs respectivs. 9 ) ) c ) 8 c.ln 9 ( ) d) c 6 e) c g) sen+e +c h) ln c 6 j) c k) c c) ( 0 ) c 7 f) c 7 6 ( 0 80) i) c ) ) G()= + - )F()=e -+ c) h()= ) f()= f()= -6 (no se present l gráfic) 7) s(t)= t 8) ) s(t)=( t + t 6t + 9 ) cm ) v(t)= (t cm +t-6 ) s cm vel.medi= s 9) ) 0 f ( ) ) 0 0; ; ; 0) s(t)=-cost-sent+6t+ ) f()= ++ 0 P O L I T E C N I C O

42 6) )-.cos+sen+c )7.sen+7cos+c.ln c) c d) zlnz-z+c e)ln -ln++c e t lnt t f) ( ) c g) c 9 sencos sencos h) c i) c j) zln z z c k)e ( -+)+c 8) norm P= norm P= norm P=. 0)) )0 6 ) )) ) c) d) )) ) 7 0 )) f ) 8 0 f c) 6 6)) )-7 c) 0 f d) - f 8))g ()=( -) 0 )g ()=cos c)g ()= - cos - 7 9)F()=0 F ()=cos F (0)=0 0)F ()= )) )- c) f) g)0 h) e 8 rctgπ d) ln e) π )f(t)=cost π 6 P O L I T E C N I C O

43 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic )P()= 6))-7 ) c)- 7) 8) entre otros 9) ), ) 0) ) ) 0 ) 9 ) e e e )0/ c) e d)8 ) ) 9 ) c)8 d)e- ) 6 7) ) 8 ) 6 c) 7 d)8/ e) f) P O L I T E C N I C O

44 ) Resuelve ls siguientes integrles Práctic complementri ) e d Rt: e e C ) sen d Rt: cos sen C c) ln d Rt: ln C d) d 6 e) d 6 f) d Rt: Rt: ln 6 C ln 6 C Rt: rctg ln( ) C g) d Rt: ln C h) e d Rt: e e e C i) cos d Rt: sen cos sen C 9 7 j) d Rt: C ( ) k) d Rt: ln 6 C 6 6 l) sen cos co d Rt: cos C cos m) d Rt: ctg C cos sen n) d Rt: ln( 9) rctg C o) ln d Rt: ln C p) ( )e d Rt: ( )e e C q) cos d sencos Rt: C r) ln( ) d Rt: ln ln C s) sen tg d Rt: ln cos C cos cos t) 8 d Rt: rctg C d u) Rt: tg C sen cos P O L I T E C N I C O

45 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic v) di w) d 7 6 d ) 8 0 e e ) d e sen z) d sen cos ) d e Rt:.rcsen C Rt: Rt: Rt: Rt: Rt: rcsen C rctg C e ln(e ) C ln cos ln sen C ln(e ) C ) L función f()=+ tiene infinits primitivs que difieren en un constnte. Cuál de ests funciones tom el vlor 8 pr =? Rt: F() ) Hll un función cu derivd se f ( ) 7 que se nule pr =. Rt: F() 7 ) Hll l función G tl que G"()=6+; G(0)= G()=0 Rt: G() 6 ) Dd l función f() = 6 hll l primitiv que ps por el punto A(; ). Rt: F() 6) Resuelve ls siguientes integrles definids ln e e ) d Rt: - 0 e ) d Rt: Sugerenci: Consider = sen t 0 7) Resuelve. º sen tdt Rt: cos cos 0 P O L I T E C N I C O

46 8) Siendo que f() es derivle su gráfic en el intervlo (-, ) es: 0 ) Diuj f () en form proimd en este intervlo ) Clcul f ' ()d f ' ()d Rts:. 0. f'()d f'()d 0 9) Clcul - f()d, siendo f : ; 0) Clcul h()d, siendo h() = - / Rt: f () si si si Biliogrfí Rt: 0 Cálculo de Rolnd Lrson,Roert Hostetler Bruce Edwrds.Editoril Mc.Grw Hill.Quint edición. Cálculo de Edwin J. Purcell, Dle Vrerg Steven E Rigdon.Editoril Prentice Hll.Octv edición. Apunte Código 0-07 de Prof.Rogelio Blestr, Prof. Eric Hinrichsen, Prof.Mrí del Luján Mrtinez Prof. Grciel Rivs. P O L I T E C N I C O

47 Cálculo Diferencil e Integrl Mtemátic 6 P O L I T E C N I C O