Definición. a) La transformada de Laplace (TL) de una función causal se define por medio de:

Transcripción

1 a Tranformada d aplac Dfinición a) a ranformada d aplac (T) d una función caual dfin por mdio d: f F f d En odo lo valor para lo cual la ingral impropia anrior convrja f F dirmo qu la ranformada invra d aplac d b) Si F lo qu dnoarmo como: A a conxión nr f y F f F l ul cribir como f F - f T por dfinición Ejmplo Calculmo la T d la función calón uniario, u, lim R U u d d, nonc: R lim R R R Obrvamo ahora qu l lími anrior xi ólo i En cao,, n concuncia, U D a manra, hmo hallado nura primr fórmula d T, concramn u, a Ejmplo Calculmo la T d la función f, para Ahora, a F d R R a a lim d lim R R a lim ar a R Si ahora udiamo l lími anrior, llgarmo a la concluión d qu é xiirá impr a R y cuando a En cao, por lo ano: R R

2 F, a a a f co k Ejmplo Calculmo la T d la funcion: a), b) f nk Uamo l jmplo con a = ki, nonc: También, Por lo ano: ki k i k i k i d k i k i k i k i k k k k co k i n k d co k d i n k d co k k d i n k d i k k D aquí, al igualar la par ral imaginaria, drminamo qu: a) cok k, k b) nk k, Rumn d propidad d la T Rumimo n la iguin abla lo rulado dicuido anriormn TABA DE TRANSFOMADAS DE APACE i para Función Tranformada FÓRMUAS BÁSICAS f () F n ; n,, F f n! n

3 PROPIEDADES BÁSICAS a n a co ( k) n (k) coh( k) n h(k) u a a 4 a n (b) 5 a co ( b) inalidad a f b g a n! a k k k k k k a a b n a b a a b a F bg Tranformada d una drivada Tranformada d una drivada Tranformada d una drivada f f F f F f f 4 f n n n n F f f Tranformada d una ingral 5 f u du F

4 Propidad d ralación Propidad d ralación Torma d convolución Drivada d una ranformada Drivada d una ranformada Ingral d una ranformada 6 a f 7 u a f a 8 9 f * g f ug u du n f f f F a a F() F G F n F n F u du Tranformada d una función priódica f, priodo p p p f d Cambio d cala f (a) a F a Ejrcicio Ilurarmo n lo iguin jmplo l uo d lo rulado anrior indicarmo n alguna ocaion la plauibilidad d lo rulado D aquí n adlan, uarmo inrcambiablmn la noación: f F f F ó Conrvarmo la rlación nr minúcula y mayúcula para rlacionar a la ranformada con u ranformada invra Aimimo, cada una d la funcion involucrada n la propidad upondrmo qu aifacn la condicion d uficincia para la xincia d la T inalidad Ejmplo 4 Calculmo: Por linalidad: = co4 - (*), fórmula (6) y (8) co 4 n, fórmula (9) 5

5 Primra propidad d ralación f a propidad ablc nonc qu i F a f F a El iguin diagrama rula muy ugivo n rpco: f F, nonc, para cualquir a R: a a a f F a o qu l diagrama dic qu l fco d muliplicar por n una ralación d a a n la T Ejmplo 5 Hallmo: - 5 Complamo cuadrado, aí a a la función f raduc Ahora, pnando n qu uarmo la 5 4 propidad d ralación, conidramo únicamn a D acurdo con la abla, la 4 fórmula (9) no prmi cribir: n 4 Por lo ano: Ejmplo 6 Hallmo: - 6 n 4 n 4 En concuncia, - n Complamo cuadrado 5 Conidramo ahora únicamn a 6 D acurdo con la abla, la fórmula (8) no prmi cribir: co

6 Por lo ano: co Claro, no ha rulado co 4 4 y no implmn Dicho n ora palabra, para uilizar a ida indipnabl qu l corrimino d la a l mimo n oda par Arrglamo a pquña dificulad d la iguin manra Incorporamo a ida ( liminando lo corrimino n ) para hallar: co n co n 4 4 En concuncia, - co n 6 Ejmplo 7 Vamo un úlimo jmplo n nido, hallmo: - Nuvamn complamo cuadrado Conidramo olamn D acurdo con la abla, la fórmula () no da: Por lo ano: 4 nh nh 9 4 nh 9 4

7 Drivada d una ranformada An d ablcr a propidad, cab dcir qu éa úil cuando rquir calcular ranformada invra d funcion para la cual rul ncillo obnr u F drivada o u ingral indfinida También, harmo uo d a propidad para l cálculo d T d funcion racndn a propidad ablc: n Si f F, nonc n n f F, para n,,, Hay una obrvación qu rula frcunmn úil: l facor o n la T invra, gún rquira n pud aplicar n T Ejmplo 8 Hallmo coh É un jrcicio ncillo, dond ólo dbmo idnificar qu F F coh 4 o qu ra la aplicación dirca d la propidad d la cual dprnd qu: d d coh F( ) d d Ejmplo 9 Hallmo arcan Primro dbmo djar n claro qu amo bucando f al qu - f arcan Para llo, conidrarmo ahora un proco d drivación n F ( ) arcan, para uilizar dpué la propidad Al drivar, hallamo: d F d / (*) (Dond hmo muliplicado numrador y dnominador n (*) por Si uamo la propidad, nmo: )

8 Ya qu d d f F() n, lugo f n, d dond f Ejmplo Calculmo - Un poco d prácica n ingración no djará aprciar qu d calcular Aí, n primr lugar bucarmo una función Tnmo: F n in una primiiva fácil al qu F d, F Dond, in pérdida d gnralidad (vr l iguin darrollo) podmo omar al como conan d ingración D a forma: - (Obrvmo la poición dl facor ) - E dcir, n Ejmplo Calculmo ahora - - d = d - n ln En jmplo no nfrnamo con la diyuniva d qu ano la drivación como la ingración d F( ) ln on proco ncillo Sin mbargo, n érmino d la abla d T, podrmo rconocr qu in duda, la ida má ncilla aplicar drivación a a manra: d d F ln d d Aí, por la propidad d drivación d una ranformada: F D

9 Como n concuncia f f d F() d, dond f F (por la fórmula () y la propidad d linalidad), nmo f, 4 Tranformada d una ingral Nura iguin propidad ablc qu: Si f F, nonc F f u d u Ejmplo Calculmo ahora - Nura primra obrvación qu: Por lo ano, - dond: f u d u 4, F & f - - F 4 4 n D a manra: - nu d u 4 co u co 4 Ejmplo Rolvamo la cuación dl ipo ingro-difrncial: f f u d u Aplicamo T n ambo mimbro y uamo la propidad d linalidad, ranformada d una ingral y la fórmula () d la abla para obnr: f f ud u f f ud u

10 D aquí F F F, dond f F F (dpué d muliplicar la úlima cuación por ) d dond: F por lo cual F Obrvamo qu para rminar ólo no hac fala calcular la ranformada invra, hallamo: 5 Ingral d una ranformada Eablcmo la iguin propidad in dmoración f Si f F, nonc F udu f - n Ejmplo 4 a) Hallmo la T d f El incio b) no llvará a una cuión qu d manra colaral rula inran dd la prpciva dl cálculo d alguna ingral no rolubl con la écnica ándar n b) A parir dl rulado n a), obngamo l valor d la ingral impropia d a) Tnmo: n F u du lim arcan R u du u lim arcan R arcan arcan R b) Para dar rpua al incio b) rlacionamo l rulado n a) con la dfinición d T, hallamo: n n d arcan Si n l rulado anrior omamo, obnmo: n d arcan, d dond: n R d

11 6 Tranformada d una función priódica Obrvamo qu a fórmula n ciro nido la mima qu aparc n la dfinición d T con do conidracion a primra qu ólo ingra a lo largo d un priodo, la gunda qu inroduc l facor p Ejmplo 5 Calculmo la T d la función f cuya gráfica mura n la iguin figura An d comnzar, obrvamo qu la xprión analíica d a función n l inrvalo, una función priódica con priodo, :, p, x f x ; véa la figura, x Por lo ano, d acurdo con l rulado rcién xpuo: f f d d d Aunqu é un rulado prfcamn válido, odavía poibl dar una xprión alrnaiva; ólo dbmo rcordar qu la función angn hiprbólica dfin por: x x anh x x x / Si n la úlima xprión muliplicamo numrador y dnominador por hallamo finalmn qu:

12 f / / / / / / anh 7 Sgunda propidad d ralación Ahora prnarmo una propidad d uma imporancia qu no prmiirá rolvr n brv cuacion difrncial n la qu aparcn funcion diconinua Para nndr a propidad indipnabl inroducir una función con la qu á rchamn rlacionada, a abr, la función calón uniario d Haviid Dfinición Función calón uniario d Haviid Ea función (conidrada como caual) dfin para, a u a u a, a Dicho in ímbolo, a cada la función l aigna l valor i ncunra a la izquirda d a y i ncunra a la drcha d a El fco qu in a función obr ora pud aprciar n l iguin jmplo Ejmplo 6 Conidrmo la función f dada por f, y comparmo u gráfica con g u f, a En primr lugar, para : g ; para a por: nmo g f qu rprna un corrimino d unidad d la gráfica d f hacia la drcha Al mplar a conidracion obnmo: En gnral, l fco qu in obr una función f la muliplicación por u a corrr la gráfica a unidad a la drcha, proycando al j x aqulla par d la gráfica qu ncunr a la izquirda d a Con o n mn podmo ablcr la gunda propidad d ralación Sgunda propidad d ralación a Para f F u a f a F En paricular, i a, i, nonc a f dduc qu u a Ejmplo 7 Calculmo la T d la función, h ;, d ora forma

13 Claro qu l cálculo d la T podría hacr mdian la dfinición, pro prnamo ora poibilidad qu no podría ayudar n iuacion má complicada a ida qu prnarmo coni n cribir a la función h mdian una combinación linal d funcion calón uniario d Haviid para la cual uilizamo lo valor a como aqullo valor qu aparcn n la propia función ccionada h, aí cribimo h d la iguin manra, dond A y B on facor dconocido: h Au Bu Ahora, ralizamo l iguin análii: i) A B A : ii) : A B B A D a manra h u u Por lo ano, a parir d la propidad d linalidad y d la propidad d ralación, hallamo: u h u Ejmplo 8 Calculmo la T d la función f cuya gráfica mura n la iguin figura: Nura primra obrvación coni n la drminación analíica d la función f, éa :, f,,d ora forma Ahora, cribirmo a f como combinación (no ncariamn linal) d funcion calón uniario Proponmo, copiando la ida dl jmplo anrior: f Au Bu Cu Aclaramo qu n A, B y C no ncariamn on conan Analizamo d manra imilar a lo qu hizo n l jmplo anrior, nmo: i) A B C A ii) iii) ugo, : : : A B C B A 4 A B C C A B 4 4 u u u f u u u

14 D aquí rula (por la linalidad d la T) qu: u f u u Si ahora aplicamo la gunda propidad d ralación y la fórmula a u a, obnmo: F Hay un auno imporan a conidrar n la aplicación d a propidad d ralación y Db obrvar qu la propidad xig qu lo argumno d la funcion u a iguin jmplo & f a an lo mimo, n cao d qu o no ocurra db procdr como n l Ejmplo 9 Calculmo la T d la función f n u Como podmo obrvar, lo argumno d la funcion n y calón uniario u no on lo mimo Dbmo hallar l mcanimo adcuado para hacrlo igual, procdmo n cao d la iguin manra: f n u n u n co n co u n u