SOLUCIÓN AL PROBLEMA COMBINATORIO USANDO UNA FUNCIÓN DE CLASE HÖLDER

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1 European Scentfc Journal December 03 /SPECIAL/ edton vol4 ISSN: (Prnt) e - ISSN SOLUCIÓN AL PROBLEMA COMBINATORIO USANDO UNA FUNCIÓN DE CLASE HÖLDER Anna Tarasenko, PhD Área Académca de Matemátcas y Físca, Insttuto de Cencas Báscas e Ingenería, Unversdad Autónoma del Estado de Hdalgo, Pachuca, Méxco Oleksandr Kareln, PhD Manuel González-Hernández, PhD Área Académca de Ingenería Industral, Insttuto de Cencas Báscas e Ingenería, Unversdad Autónoma del Estado de Hdalgo, Pachuca, Méxco Abstract A combnatoral problem on the dstrbuton and common area of nscrbed squares s consdered In ths paper we propose to nvestgate ths problem based on the propertes of Hölder functons Peano curve gves us an example of a contnuous curve that has the measure of the set of ts graphc ponts greater than zero All dfferentable curves have the measure zero Hölder curves are "better" than the contnuous curves and "worse" than dfferentable curves, they occupy ntermedate postons All the Hölder curves wth the exponent greater than ½ have the measure zero In ths work, based on the Serpnsk carpet, we constructed a Hölder curve wth the exponent ½, and the measure greater than zero The consdered combnatoral problem s solved through the propertes of ths curve Keywords: Hölder functon, Hölder curves, Measure, Graphc pont Introduccón Las funcones de clase Hölder y relaconados con ellos las espacos de Hölder con peso tenen aprovechamento amplo en problemas teórcos tales como problemas de contorno de funcones analítcas, ecuacones ntegrales sngulares (Muskhelshvl 008), (Gakhov 990), (Duduchava 70) y en dferentes aplcacones (Muskhelshvl 75), (Duduchava 79) En este artículo se presenta una propedad conectada con la medda del conjunto de puntos de la grafca de curvas de clase Hölder Planteamento del problema combnatoro Sea K (a) un cuadrado con lado de longtud a y sean dos cuadrados con lados aλ, 0 < λ <, es decr λ a,), λa,) nscrtos en el cuadrado K (a) El área de la fgura común está dada por λa) = λa, )) ) = Desgnamos por S{ λ a)} o S( λ a) su área Posterormente se nscrben en el cuadrado λ a,) dos cuadrados λ a,,), λ a,, ) con los lados λ a y en el cuadrado λ a,) se nscrben dos cuadrados λ a,,), λ a,,) con los lados λ a El área de la fgura común ahora es: λ a) = λ a, )) ) = 658

2 European Scentfc Journal December 03 /SPECIAL/ edton vol4 ISSN: (Prnt) e - ISSN Desgnamos por α =, β =, µ =, o S( λ a) su área Con cada cuadrado λ a, )), λ a, )) se procede analógcamente, y de esta forma se 3 obtenen cuadradtos λ a, ), 3)) ; n ( ) =,, n () =,, n (3) =,, obtenéndose la fgura de cuadrados por: K 3 ( a) λ = λ 3 a, ), 3)) con ara ), 3) = SK 3 { ( a)} λ o S( λ 3 a) De esta forma se contnúa con el proceso y en el paso de número se obtenen cuadradtos λ a, ),, )), n ( j) =,; j =,, ; por lo tanto la fgura resulta es: λ a) = λ a, ),, )) ) =,, ) = y su área es entonces SK { ( λ a)} o S( λ a) Este proceso se sgue nfntamente Entonces nos preguntamos Se pueden escoger tales dsposcones de los cuadrados en cada paso, y que el área común de los cuadradtos sea mayor qua un numero postvo q, S( λ a) q > 0?, es decr lm S( λ a) > 0 Exponente de la condcón de Hölder mayor que ½ Con la dea de responder a la pregunta sobre el área común de los cuadrados, se propone la una curva L defnda en forma paramétrca dada como: x = x( t) y = y( t), t [ α, β ] S las funcones contnua, es decr, L C([ αβ, ]) x (t), y(t) son contnuas, entonces el sstema defne la curva L Y s las funcones (t), y(t) L C([ αβ, ]) (t) x son dferencales, entonces el sstema defne la curva dferencable L, esto es, Una funcón f que satsface la condcón: µ f ( t) f ( t ) Cµ t t, t [ α, β ], t [ α, β ], µ (0,] se llama funcón de clase Hölder con exponente µ y constante C Cuando las funcones x (t), y y(t) son de clase Hölder con exponente µ, entonces el sstema defne la curva L de clase de Hölder La clase de curvas de Hölder con exponente µ se desgnan por ([, ]) H µ αβ, y mantenen la nclusón C ([ ab, ]) H ([ ab, ]) C( [ ab, ]) µ µ Ejemplo La funcón f ( t) = t, t [, + ], µ (0,] es una funcón de Hölder con µ exponente µ Su dervada f (t) es gual a µt con t [,0) Dcha funcón es contnua La dervada de la funcón f (t) con t [, + ] no exste en el punto Cualquer funcón dferencable es funcón de Hölder con exponente µ = o de Lpschtz 659

3 European Scentfc Journal December 03 /SPECIAL/ edton vol4 ISSN: (Prnt) e - ISSN La curva de Peano (Gelbaum, 90) nos da un ejemplo de una curva contnua que tene la medda de conjunto de sus puntos de gráfca mayores que cero Las curvas dferencables tenen medda gual a cero Qué medda tene las curvas clase Hölder? L C αβ,, entonces Incaremos prmero con el smple hecho: s ([ ]) mes ( L ) = 0, la medda del conjunto de los puntos de su grafca es gual a cero Por x t y y( t ) son guales smplcdad suponemos las constantes de Hölder para las funcones ( ) a, a = y b = : x( t ) x( t ) < t t, y( t ) y( t ) < t t, t [, + ], t [, + ] La gráfca de L pertenece el cuadrado con el lado de longtud y área 4, x t x t < +, y t y t < + realmente: ( ) ( ) ( ) ( ) Partmos el segmento [, + ] en dos ntervalos [, 0] y [ 0, ] Cuando t [, 0] la curva L está ubcada en un cuadrado con el lado de longtud y área uno Lo msmo tenemos para t [ 0,] La gráfca de L pertenece a la unón de los dos cuadrados con la área común de dos 3 Partmos en cuatro los cuadrados [ ] [ ] [ ] [ ], /, /,0, 0,/, \, Cuando t [-,-/] la curva L está ubcada en un cuadrado con el lado de longtud / y área /4 Lo msmo tenemos para otros segmentos parcales La grafca de L pertenece a la unón de los cuatros cuadrados con la área común gual uno Este proceso se sgue en la forma menconada En cada paso posteror el área ocupada de L será dsmnuda al doble, y por supuesto mes (L)=0 No es dfícl mostrar, que s L H µ ([ αβ, ]), µ ( /, ], entonces mes ( L ) = 0, la medda del conjunto de los puntos de su grafca es gual a cero Exponente de Hölder menor que ½ Para construr una curva clase Hölder que tene medda del conjunto de sus puntos de la gráfca mayores que cero se requere de la alfombra de Serpnsk (Serpnsk 96) Esto es: Sea q una sere de números que converge a q <, a + a + a + = q<, a > 0, 3 además la sere debe ser estrctamente monótona crecente er paso Del cuadrado untaro cortamos un cruce de grueso θ < a /4 El área de cruce es S < a / Conectamos los cuadrados entre sí

4 European Scentfc Journal December 03 /SPECIAL/ edton vol4 ISSN: (Prnt) e - ISSN Sea J una undad que se dvde en 8 partes Jk, k =,, 8, mpares guales θ y tomamos partes pares guales ( 4 θ ) / 4 Los segmentos J k los aplcamos a líneas conectadas k Esta transformacón representa la funcón buscada en los segmentos Jk 0 paso De cada cuadrado k, k =,, 3, 4 se corta en el cruce de área S < a /4 y de grosor θ < a /3x4 líneas determnadas Se conectan los cuadrados entre sí Se enumeran los cuadrados y J, k =,, 3, 4 en 8 partes, Nuevamente se dvde cada uno de los segmentos k θ y las pares se toman guales 4 θ /4 θ Las correspondencas se ntroducen como en el prmer paso Este Jk, k =,, 8 Las partes mpares se toman guales a a ( ) proceso se sgue La transformacón construda representa la funcón buscada en los segmentos mpares Representamos la funcón buscada en los segmentos pares de J Para t que no se encuentra en partes mpares, el valor de la funcón buscada de este punto la damos como punto de la nterseccón de los cuadrados encajados, los cuales corresponden a partes pares encajadas en el segmento J en cada paso De la convergenca de la sere a + a + a 3 + se tene r = mesr, la medda de R, donde R es la unón de todos segmentos colectados en todos los pasos, r < En realdad este subconjunto R del conjunto J se aplca para f ( t ) al conjunto (segmentos vertcales y horzontales) con la medda cero Solamente puntos de J \ R se mes J \ R = r aplcan al conjunto con la medda plano postva ( ) Ahora demostramos que la curva construda L satsface a la condcón de Hölder con exponente µ = / S después de algunos pasos f ( t ) y f ( t ) pertenecen a un msmo segmento conectado de los dos cuadrados, entonces: 66

5 European Scentfc Journal December 03 /SPECIAL/ edton vol4 ISSN: (Prnt) e - ISSN ( ) ( ) f t f t = t t Investgamos los casos cuando después del prmer paso los puntos f ( t ) y ( ) f ( t ) a ( ) f t, t < t tenen la sguente poscón de un punto respecto a otro, para llegar de Esto es : f t es necesaro pasar por un cuadrado que no tene puntos f ( t ) y f ( t ) f(t ) f(t ) ( ) ( ) f t f t = t t / Los casos restantes se reducen a los sguentes, o casos análogos Por fn para la estmacón de las dferencas f ( t ) f ( t ) stuacones de los puntos en la fgura y t t se usan las 66

6 European Scentfc Journal December 03 /SPECIAL/ edton vol4 ISSN: (Prnt) e - ISSN Afrmacón Prncpal I: La curva construda L tene la medda mayor que cero y pertenece a la clase de Hölder con el exponente µ = / Solucón al problema combnatoro Sea L una curva clase Hölder x= xt () t [ αβ, ], y = yt () xt ( ) xt ( ) < C t t µ, y( t) yt ( ) < C t t µ, µ (0, ] () Un ejemplo de tal curva L nos da la alfombra de Serpnsk Sea S (L) el área que ocupa esta curva que es gual a q 0, mesl = q Suponemos α = 0, β =, µ =, C = C Cuando t [0,] la curva L está ubcada en el cuadrado K con lado a = C, esto se sgue de () Cuando t [0, ], tenemos la parte L( λa,) de L La curva L( λ a,) pertenece al cuadrado λ a,) con el lado λ a, donde λ =, L( λa,) λa,), esto sgue de () Cuando t [,], la parte L( λa,) de L pertenece al cuadrado λ a,) con el lado λ a Las partes L( λa,) y L( λ a,) componen toda curva L, L = L( λa,) λa,) De esta manera la curva L pertenece al área común F( λ a) de cuadrados λ a,) y λ a,), así L F( λa), F( λa) = λa,) λa,) 3 3 De los segmentos [ 0, ], [, ], [, ], [,] se generan curvas L( λ a,, ), L( λ a,, ), L( λ a,,), L( λ a,,), con lo cual L( λa,) = L( λ a,,) λ a,,), L( λa,) = L( λ a,,) λ a,,), por supuesto la curva L= L( λ a,,) λ a,,) λ a,,) λ a,,) y se reproducen cuadradtos ( K λ a,,), λ a,,), λ a,,), λ a,,) con todo eso λ a,,) L( λ a,,), λ a,,) L( λ a,, ), λ a,,) L( λ a,,), λ a,,) L( λ a,,) 663

7 European Scentfc Journal December 03 /SPECIAL/ edton vol4 ISSN: (Prnt) e - ISSN Por consguente L F( λ a), donde F( λ a) es el área común de los cuadradtos F( λ a) = λ a,,) λ a,, ) λ a,,) λ a,,) Estas consderacones se hacen posterormente En el paso número se tendrán los segmentos [ 3 0, ],[, ],[, ],,[,]; las curvas L ( a, ),, )), n ( j) =,; j =,, forman L = ) =,, ) = L( λ a, ),, )) y los cuadradtos λ a, ),, )), n ( j) =,; j =,,, con lados λ a y área común F( λ a) = λ a, ),, )) ) =,, ) = Se cumplen las propedades L( a,, )) aλ,, )), L F( λ a) De aquí se puede deducr que mesl mesf( λ a) y esto sgnfca 0 < q mesf( λ a), para cualquera ; q lm mesf( λ a) mes lm F( λ a) Hemos demostrado el sguente Afrmacón Prncpal II: Exsten dsposcones de los cuadrados en cada paso, tal que el área común de ellos sea mayor que un número postvo q, q > 0 Desgualdades que defnen una curva de clase de Hölder permten encontrar la longtud de lados del cuadrado λ a, ),, )) en el cual se encuentra la curva L = L( λ a, ),, )), donde s s n ( j) =,; j =,, ; t [, ] Para localzar el cuadrado en el plano, hay que encontrar valores mínmo y máxmo s s de las funcones x ( t), y( t), t [, ] Como las funcones x ( t), y( t) son contnuas, entonces tenen valores máxmos y mínmos, los cuales se obtenen en este 664

8 European Scentfc Journal December 03 /SPECIAL/ edton vol4 ISSN: (Prnt) e - ISSN s s segmento [, ] Así hemos encontrado la poscón del cuadrado en el que se encuentra L( λ a, ),, )) Por lo tanto se ha resuelto un problema combnatoro References: Duduchava R: On the boundedness of the sngular ntegral operator n H ölder spaces wth weghts (n Russan), Matematcheske Issledovana vol5, No, 56 76, Kshnev, Stntsa 970 Duduchava R,: Integral equatons of convoluton type wth dscontnuous presymbols, sngular ntegral equatons wth fxed sngulartes and ther applcatons to some problems of mechancs (n Russan), Trud Tblskogo Mathematcheskogo Insttuta Academ Nauk Gruznsko SSR, vol 60, -35, 979 Gakhov FD,: Boundary Value Problems Dover Publcatons, 990 Gelbaum, BR and Olmsted, JMH,: Theorems and Counterexamples n Mathematcs, Sprnger-Verlag, 990 Muskhelsvl NI: Sngular ntegral equatons, Boundary value problems of the theory of functons and some of ther applcatons to mathematcal physcs Dover Publcatons, nd Edton 008 NIMuskhelsvl,: Some Basc Problems of the Mathematcal Theory of Elastcty, Sprnger,975 Serpnsk Wacław,: Sur une courbe cantorenne qu content une mage bunvoque et contnue de toute courbe donnée (n French), C r hebd Seanc Acad Sc, Pars, vol 6: JFM , 69 63,