Dónde estamos? MODELOS DE PROBABILIDAD

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Dónde estamos? MODELOS DE PROBABILIDAD"

María Victoria Aranda Méndez
hace 6 años
Vistas:

1 Dónde estamos? MODELOS DE PROBABILIDAD DESCR. 98 CÁLC. P. Probabilidad INFERENCIA 988 MODELOS DISCRETOS MODELOS CONTINUOS TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Variables aleatorias Modelos de robabilidad Emilio Letón Dto. Estadística, UC3M YT: DLICBTO I could be your sea of sand I could be your warmth of desire I could be your rayer of hoe I could be ordinary I could be your green eyed monster Frentes abiertos P P(suceso) ( a < X b )

2 Catálogo de modelos MODELOS DISCRETOS X A qué se arece diag. barras / hist.? Uniforme discr., Bernoulli, Binomial Geométrica, Poisson x i Naturaleza del fenómeno MODELOS CONTINUOS TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE MODELOS DISCRETOS F P ( x ) P ( X x ) ( xi ) x x i ( a < X b ) ( x ) a < x b i i Media y varianza E V [ ] n n X x ( x ) x [ ] [ X ] E ( X E [ X ]) E [ ] X E [ X ]

3 Otras estadísticos [( ) ] k k X µ ( x ) ( x ) E µ [ X ] CV D E [ X ] [ X ] x Uniforme discreta E{S,,S k } {,,k} Función de robabilidad (/) X... k ( )... ( k ) UniD ( k ) Función de robabilidad (/) ( x ) x,..., k k

4 F(x) (/) 0 L, / k, / k + / k,..., x < x < x < 3 k x F(x) (/) Media E [ X ] Varianza (/) E [ ] X ( +) k k + k + 6 ( )( )

5 Varianza (/) V [ X ] ( k + )( k + ) ( k ) + 6 Resumen: uniforme discreta k ( ) Bernoulli Función de robabilidad (/) { S, } {,0} E S X 0 ( ) Ber James Bernoulli (Jaime, Jacobo, Santiago, Iago); fin XVII

6 Función de robabilidad (/) ( ) 0,, x x x F(x) (/) < < x x x, 0, 0, 0 F(x) (/) Media [ ] X E

7 Varianza (/) E [ ] X Varianza (/) V [ X ] q CAS CAS [ X ] µ 3 E X 3 σ σ [( ) ] 3 µ 3 CV CV [ X ] q q q q

8 Resumen: Bernoulli Binomial Número de éxitos observados al reetir n veces un exerimento Bernoulli E { SSS, SSS, SSS, SSS S SS, SSS, SSS, SSS } { 0,,,3 } Función de robabilidad (/3) 0... n X Bin, ( 0)... ( n ) ( n ) Función de robabilidad (/3) n x ( ) ( ) n x x x

9 Función de robabilidad (3/3) n x ( ) ( ) n x x x F(x) (/) q q n n 0,, + nq n...,, x < 0 0 x < x < n x F(x) (/) Media (/) E [ X ] ( ) Ber ( ) Bin ( n ) Ber,

10 Media (/) E [ X ] Varianza V [ X ] n nq Resumen: binomial Geométrica... Número de reeticiones de un exerimento Bernoulli hasta obtener el rimer éxito E { S, SS, SSS, SSSS,... } {,,3,... }

11 Función de robabilidad (/3) Función de robabilidad (/3) X ( ) ( ) Geo ( ) x ( x ) ( ) Función de robabilidad (3/3) F(x) (/) x ( x ) ( ) + 0 ( ),,, x < x < x < 3

12 F(x) (/) Media E [ X ] S Varianza (/) Varianza (/) E [ ] X S +q + q q V + q [ X ] q

13 Resumen: geométrica Series 0 + a0r + a0 + S a r... Ejemlo ( ) + ( ) +... S + Ejemlo S + q + 3q + Sq q + q + 3q

14 Ejemlo 3 Resumen: series S + 4q + 9q +... ( S Sq ) S ( q ) q + q q Poisson Poi: función de robabilidad (/4) Número de aarición de sucesos a lo largo de un soorte continuo (tiemo, área, longitud, ) X 0 ( 0) ( ) ( ) Poi Médico militar fr; fin. XIX

15 Poi: función de robabilidad (/4) Poi: función de robabilidad (3/4) Poi: función de robabilidad (4/4) F(x) (/) ( x )... e λ x λ x! e e λ λ 0 + e λ λ,,, x < 0 0 x < x < 3

16 F(x) (/) Media E [ X ] λ Varianza (/) E [ ] X Varianza (/) V [ X ] λ + λ λ λ + λ λ

17 Resumen: Poisson Reroductibilidad Poisson X i v. a. i. i. d. Poi ( λ ) i n i X i Poi n i λi Ejemlo Resumen: rerod. Poisson Llamadas a una centralita son suc. ind. y con una media de 5 llamadas al minuto. Describir: X: número de llamadas en un minuto Y: número de llamadas en una hora λ x 5 llam. min. λ y 300 llam. h.

18 MODELOS DISCRETOS MODELOS CONTINUOS Uniforme continua, Normal, Exonencial, Weibull, LNormal, Ji-Cuadrado, t-student, F MODELOS CONTINUOS F x ( x ) P ( X x ) f ( t )dt P b ( a < X b ) f ( x )dx a TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Media y varianza E V [ ] n n X x f ( x )dx + [ ] [ X ] E ( X E [ X ]) E [ ] X E [ X ] Otras estadísticos E [( ) ] k k X µ ( x µ ) f ( x )dx [ X ] CV D E + [ X ] [ X ]

19 Uniforme continua Función de densidad (/) Función de densidad (/) F(x) (/)

20 F(x) (/) Media E [ X ] ( ) a +b Varianza (/) E [ ] X Varianza (/) V [ ] ( ) ( a + b ) X a + b + ab ( a + b + ab ) ( b a )

21 CAS CAS [ X ] µ 3 E X 3 σ σ [( ) ] 3 µ 3 Resumen: uniforme continua b a 3 ( a + b ) Normal Función de densidad (/3) f ( x ) e σ π σ ( x µ ) ( ) µ,σ X N, x R

22 Función de densidad (/3) f ( z ) e, z R π µ Z X σ z Z N ( 0,) Función de densidad (3/3) F(x) (/) F(x) (/) F x ( x ) P ( X x ) f ( t )dt Tablas

23 Media E [ X ] Varianza (/) E [ ] X µ µ + σ Varianza (/) V [ X ] µ + σ σ Proiedades (/4) - Tiene forma de camana. - Simétrica alrededor de µ media, mediana, moda. - El.i. de su curvatura está a distancia sigma de su eje de simetría. σ

24 Proiedades (/4) k %Obs. Cheb. Cheb.S.U. 68.3% 0% 55.6% 95.4% 75.0% 88.9% % 88.9% 97.%.96 95% 74.0% 88.4% Proiedades (3/4) X N ( µ, σ ) ( a + bµ b σ ) a + bx N, Proiedades (4/4) n X i i a i ( µ, σ ) v. a. i. i. d N. X i i N n i i i i n i i a µ, a σ Resumen: normal

25 Función Q Q ( x ) P ( X > x ) Φ( x ) Q: roiedades (/) Q ( x ) Q ( x ) t + + x f ( t ) dt e dt x π Q: roiedades (/) Resumen: función Q Q ( 0) Q ( ) Q ( + )

26 Tabla N(0,) Tab N(0,): ejemlo P ( Z < 0, 3) Tab N(0,): ejemlo Resumen: Tabla N(0,) P P ( Z < 0, 3) ( Z > 0, 3)

27 Cauchy ( x ) con x R π f ( + x ) Origen π π tg U, C (,0) N N ( 0,) ( 0,) C (,0) Resumen: Cauchy Exonencial Tiemo que asa entre dos sucesos consecutivos en un roceso Poisson Xnúm. clientes or h. en un mostrador Ttiemo entre dos clientes consecutivos

28 Función de distribución (/3) ( t ) P ( T t ) P ( T t ) F T > ( nohayasucesosen ( 0t )) P, Función de distribución (/3) ( ) P X Poisson ( λt ) 0 ( ) P X Poisson ( λt ) 0 Función de distribución (3/3) Función de densidad F ( t ) e 0 λt sit 0 resto f ( t ) λe 0 λt sit 0 resto

29 Media E [ T ] tf ( t ) + dt... λ Varianza (/) E [ ] T t f ( t ) dt... + λ Varianza (/) V [ ] [ ] T ET E [ T ]... λ Mediana F ( t ) t med e 0... Ln λ λt sit 0 resto

30 CAS CAS E [ T ] µ E T σ [( ) ] 3 µ σ [( ) ] k k T µ ( t µ ) f ( t )dt + Resumen: Exonencial Ausencia de memoria (/) P ( T > 70 T > 60) P ( T > 0) ( T t + t T > t ) P ( ) > P Ausencia de memoria (/) F F ( t + t ) ( t )

31 Resumen: ausencia de memoria Fiabilidad Tiemo hasta ; T no negativa; T asim.; datos cens. Función de riesgo h ( t ) lim δt 0 P ( t T t + δt T > t ) δt Función de suervivencia S ( t ) P ( T > t ) + f ( x )dx t f ( ) ( t ) S' ( t ) ht S ( t ) S ( t )

32 Resumen: fiabilidad Weibull Rearametrización Caracterización

33 Media y varianza Resumen: Weibull Log-Normal Caracterización

34 Media y varianza Mediana y moda Resumen: log-normal Ji-Cuadrado χ ( N ( 0, )) χ n n ( N ( 0,) ) i n i X i

35 Media y varianza Resumen: Ji-Cuadrado [ ] χ n E n [ ] V χ n n t-student X t n N ( 0,) χ n X 0, X,..., X n v. a. i. i. d. N n ( 0,) n X 0 n i X i Media y varianza E [ ] 0 t n n n [ t ], n > V n

36 Resumen: t-student F-Fisher X F m, n χ m χ n m n Media y varianza Resumen: F-Fisher

37 MODELOS DISCRETOS MODELOS CONTINUOS TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Hace fácil lo difícil TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Condiciones de alicación Formas de alicación Condiciones de alicación Formas de alicación De Moivre ( ) Lalace (749-87) Levy (886-97)

Binomial y Normal Poisson y Normal Binostato htt://www.educar.

38 Binomial y Normal Poisson y Normal Binostato htt:// matematicas/distribucionnormal/default.as Resumen: TCL

39 Webgrafía: web de la asignatura Software; Prácticas; ABP; Autoevaluación; Ejercicios; Mini-Vídeos; CPC; Tutorías; Webgrafía

Documentos relacionados

Probabilidad II Algunas distribuciones notables. Antonio Cuevas Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid

Probabilidad II Algunas distribuciones notables Antonio Cuevas Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid La distribución normal f (x; µ, σ) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2, x R, µ R, σ > 0 E(X