LA PROPORCIONALIDAD EN LOS TRIÁNGULOS. Las áreas de triángulos de igual altura son proporcionales a las medidas de las bases respectivas

Transcripción

1 Proporionlidd Semejnz Rzones trigonométris Mtemáti 3º Año Cód P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. D n i e l C n d i o P r o f. N o e m í L g r e P r o f. M. D e l L u j á n M r t í n e z Dpto. de Mtemáti

2 CONSIDERACIONES GENERALES LA PROPORCIONALIDAD EN LOS TRIÁNGULOS Dds dos rets R1 // R y los triángulos ue se oservn en el siguiente gráfio, siendo h l medid de l ltur de los mismos: R h h es onstnte pues R 1 // R R si lulmos ls áres respetivs, result: Informión: Convenimos en simolizr on l medid del segmento A( ) = h 1 1 = A( ) = h 1 1 = h h A( 1 1 A( 1 ) ) h 1 1 h 1 1 De uerdo lo expuesto, result: Ls áres de triángulos de igul ltur son proporionles ls medids de ls ses respetivs TEOREMA Tod prlel un ldo de un triángulo determin sore ls rets en ls ue están inluidos los otros dos ldos, segmentos de medids diretmente proporionles o simplemente segmentos proporionles. P O L I T E C N I C O 1

3 H) mn // r p T) pm m pn nr m n r D) mn y mnp tienen igul ltur (l distni del vértie n l ret p). Por l propiedd nterior result : A(mnp) A(mn) pm m (1) p m n Análogmente mnp y mnr tienen igul ltur (l distni del vértie m l ret pr, por lo tnto: A(mnp) A(mnr ) pn nr () r Además mn y por lo ue A(mn) A(mnr ) (3) De (1); () y (3) result: mnr tienen l mism se mn y l mism ltur respeto de es se, A(mnp) A(mnp) pm pn A(mn) A(mnr ) m nr Se puede demostrr ue l propiedd tmién vle en los siguientes sos: p n m r p m n r P O L I T E C N I C O

4 TEOREMA RECÍPROCO Si un ret interse dos ldos de un triángulo o sus prolongiones y determin sore ellos segmentos proporionles, entones es prlel l terer ldo. TEOREMA DE THALES Si tres o más prlels son interseds por dos trnsversles, ls medids de los segmentos determindos en un de ells son diretmente proporionles ls medids de los segmentos determindos en l otr. H) p // // r, T y T trnsversles. p T) r D) Trzmos por el punto l ret S // T T T p r r S Llmmos y r los puntos de interseión de S on y r respetivmente. En el r ' es ' // r'. Por el teorem nterior result: ' 'r' Pero p y r r son prlelogrmos por onstruión (poseen dos pres de ldos ' p opuestos prlelos). Por propiedd de los prlelogrmos result: 'r' r Reemplzndo en : p r En prtiulr, si =, entones p = r ( segmentos ongruentes en un de ls trnsversles, orresponden segmentos ongruentes en l otr). P O L I T E C N I C O 3

5 ACTIVIDADES 1) Siendo ue ht // omplet: t ) d) h t h t ) e) h h t h t ) f) h h ) Si h // r y l medid de los segmentos respeto l mism unidd de medid, es l ue se indi en d prtdo, lul l medid del segmento ue se soliit. ) rh = 4 hf = 8 f = 10 = r ) rh = 6 hf =10 = 3 f = h ) rh = 5 rf = 0 f = 18 f = f 3) Complet ls siguientes igulddes ) d) x ) x e) x 60º x y ) x y x x f) y y 60º P O L I T E C N I C O 4

6 4) Si los segmentos de l figur poseen ls medids indids, respeto l m, es p //? Justifi l respuest p PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO INTERIOR DE UN TRIÁNGULO L isetriz de un ángulo interior de un triángulo determin sore el ldo opuesto segmentos uys longitudes son diretmente proporionles los ldos dyentes diho ángulo. H) ; n isetriz de ĉ T) n n D) Trzmos por un ret S // n.se prolong el segmento tl ue S Aplindo el teorem de un prlel un ldo de n un triángulo result: (1) n (5) En todo triángulo ángulos ongruentes se le oponen ldos ongruentes n por orrespondientes entre n por lternos internos entre n n por n isetriz de ĉ (4) n // S //() n // S // (3) Result de (), (3), y (4) por pliión de l propiedd trnsitiv ue: (6) (5) Reemplzndo (6) en (1) n n P O L I T E C N I C O 5

7 ACTIVIDADES 5) Si n ise ˆ y los ldos poseen ls medids indids en l figur, respeto l entímetro, hll el perímetro del triángulo 8m 5m 4m n 6) Clul l longitud del respeto l entímetro, ddo ue d ise l ángulo y d = d. 7) En l figur es: ef // ; fg // y gh // d Prue ue he // d d h g e f 8) Se dn dos triángulos // yx ; // yz Prue ue // xz y xyz tles ue x ; y y z se intersen en o y x o y z P O L I T E C N I C O 6

8 9) Si p = x + 4; p = x + ; = 3x + 1; = x + 3 y = 4 (ls medids se dn on respeto l m) es p //? Justifi tu respuest. p 10) Si A // B // C, T y T trnsversles y ef = 4,4, fg = 7,7 y m = 11 respeto l m, lul l medid de los mp y p respeto l m. T A B C e f g T m p 11) A ué distni se enuentrn entre sí, el orreo y l esuel? (Ls lles A y B son prlels).l unidd de medid utilizd es el metro orreo Clle A x x Clle B esuel 1) Enuentr l longitud de (Utiliz vlores extos pr efetur los álulos) A // B // C A B C f e d fe ed x m 0 5 1m m 5 1m P O L I T E C N I C O 7

9 SEMEJANZA Polígonos Semejntes Pr omenzr desrrollr este tem estleeremos lgunos oneptos vinuldos polígonos semejntes ( en prtiulr triángulos semejntes).primermente definiremos polígonos semejntes Definiión Dos polígonos son semejntes undo uno es imgen de otro por pliión de un funión, tl ue se umpln ls siguientes ondiiones: sus puntos onservn el orden y l perteneni sus ldos homólogos son proporionles sus ángulos homólogos son ongruentes Ejemplo: f e s r d m n p Siendo ue def mnprs result: m mn n np p d p de r y d ef rs e r f ms f s NOTA: El símolo Se lee...es semejnte... Semejnz de triángulos Dos triángulos semejntes y tienen por l definiión dd los ángulos homólogos ongruentes: ' ' ' y los ldos proporionles: ' ' ' ' ' ' P O L I T E C N I C O 8

10 Criterios de semejnz de triángulos El onjunto de ls ondiiones mínims pr ue dos triángulos sen semejntes se resumen en los denomindos riterios de semejnz de triángulos, ue enunimos ontinuión: Dos triángulos son semejntes si y sólo si: Tienen dos ldos respetivmente proporionles y el ángulo omprendido entre ellos respetivmente ongruente. Ejemplo: Si ' ' ' ' y ' entones ' ' ' ' ' ' Tienen sus tres ldos respetivmente proporionles. Ejemplo: Si ' ' ' ' ' ' entones ' ' ' ' ' ' Tienen dos ángulos respetivmente ongruentes. Ejemplo: Si ' ' entones ' ' ' ' ' ' Oservión: L semejnz entre triángulos umple on l relión de euivleni y ue umple on ls propieddes: reflexiv, simétri y trnsitiv. P O L I T E C N I C O 9

11 ACTIVIDADES 13) Indi en d so si los triángulos y mp son semejntes de uerdo los dtos ddos, esrie el riterio de semejnz utilizdo. m ) 60º 50º 70º 80º p ) triángulo retángulo y mp triángulo isóseles on p =40º (siendo este el opuesto l se) ) 40º m 60º 60º 80º p d) En el triángulo ls medids de sus ldos son: =5 m =6 m = 7 m y el triángulo mp tiene un perímetro de m 14) Si d y d = 4. Demuestr ue d = 5. l Ayudit: Pr plnter l proporionlidd de los ldos orden el nomre de los triángulos según sus ángulos ongruentes l d 15) Ddo y rs, demuestr ue s r s r P O L I T E C N I C O 10

12 16) n m Siendo ue jnk jkm, demuestr ue knj mkj j k 17) Ddo el prlelogrmo r on l digonl y el segmento f ue se intersen en h, demuestr ue h. hf = h. h r h f 1 18) En l figur si d y d = = =, demuestr ue: ) ) d d d d ) d d rw l lm son semejntes. 19) En ls figurs ws y l son medins y Demuestr ue rwt y rt m ws l w r s t m l 0) Dd est figur, en l ue r ; f ; rh f r f Demuestr ue h hr f y hr. f = h. P O L I T E C N I C O 11

13 1) Ddo y = d demuestr ue d // e d Semejnz de triángulos retángulos. En los triángulos retángulos tenemos l ventj de onoer uno de sus ángulos (el ángulo reto). Esto he ue en este tipo de triángulos existn propieddes prtiulres. Propieddes. ) Demuestr ue si dos triángulos retángulos tienen un ángulo gudo respetivmente ongruentes, entones son semejntes ) Demuestr ue en todo triángulo retángulo l ltur orrespondiente l hipotenus determin en el triángulo dos triángulos semejntes entre sí y tmién semejntes l originl. ) En todo triángulo retángulo l ltur orrespondiente l hipotenus es medio proporionl entre los segmentos ue determin sore l hipotenus. Justifi. d) En todo triángulo retángulo d teto es medio proporionl entre l hipotenus y l proyeión ortogonl de diho teto sore ell. Justifi. ACTIVIDADES ) Demuestr ue en triángulos semejntes ls lturs homólogs son diretmente proporionles ls ses respetivs. 3) Demuestr ue l rzón de ls áres de dos triángulos semejntes es igul l udrdo de l rzón de un pr de ldos homólogos ulesuier. 4) Dtos: on â 1 Reto m ) m = 5 y m = 4. Hll: x, y, z ) = 1 y m = 8. Hll: x; m y z y m x z P O L I T E C N I C O 1

14 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Lee tentmente l siguiente situión: PROBLEMA MOTIVADOR: Estmos en l orill de un río y desemos medir el nho del mismo, pr ello elegimos un ojeto(en este so un árol omo muestr el diujo) ue se enuentr l mínim distni, en l orill de enfrente y nos movemos lo lrgo de l orill un distni de 100 m y desde llí on refereni l ojeto otenemos un ángulo ˆ 4º. Con estos dtos lul el nho del río. Antes ue omienes resolverlo, nos pree oportuno ue preisemos lgunos oneptos. A prtir del gráfio ue esuemtiz el prolem plntedo, oservrás ue ued determindo el triángulo retángulo en â. Pr resolver situiones de este tipo es neesrio reurrir reliones ue vinulen ldos y ángulos de un triángulo y sí enontrr los elementos desonoidos del mismo. Esto se onoe on el nomre de Resoluión de triángulos retángulos; situiones de este tipo dieron omienzo est rm de l Mtemáti llmd TRIGONOMETRÍA En primer lugr es onveniente drles nomres lgunos elementos ue omponen el triángulo retángulo. P O L I T E C N I C O 13

15 Llmmos: Cteto dyente on refereni l ˆ del l segmento. Cteto opuesto on refereni l ˆ del l segmento. Hipotenus del triángulo l segmento. Oservión: L hipotenus de un triángulo retángulo es siempre el ldo opuesto l ángulo reto. En se lo expuesto y onsiderndo el,omplet: En el triángulo, on refereni l ˆ, se llm: Cteto opuesto l segmento. Cteto dyente l segmento. Hipotenus l segmento. DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO. Consideremos un ángulo uluier gudo. Sen 1 1 ; ; 33 lgunos de los triángulos retángulos ue podemos onstruir según indimos en l figur, on ángulo omún y 1 ; ; 3 ; 1 ; ; 3 puntos perteneientes los ldos de diho ángulo: 3 Según hemos visto, result: 1 1 ~ ~ P O L I T E C N I C O 14

16 Entones, ls medids de sus ldos son proporionles, es deir: k k k Cd un de est serie de rzones igules, ue son independientes de los triángulos onsiderdos y ue sólo vrín si vrí, reien nomres espeiles. Así: medid del tetoopuesto ˆ k ˆ ˆ 1 seno de sen medid de l hipotenus medid del teto dyente ˆ k ˆ ˆ oseno de os medid de l hipotenus medid del tetoopuesto ˆ k ˆ ˆ 3 tngente de tg medid del teto dyente ˆ A tles expresiones: sen ˆ ; TRIGONOMETRICAS DE â. ACTIVIDADES os ˆ ; y ˆ tg se ls denomin FUNCIONES 5) El seno y el oseno de un ángulo gudo; son números: menores ue 1? Cuándo? Justifi. myores ue 1? Cuándo? Justifi. 6) Qué vlores puede sumir l tngente de un ángulo gudo?justifi 7) De uerdo los dtos de l figur, omplet: sen = os = tg = α P O L I T E C N I C O 15

17 8) Clul x, y ls rzones trigonométris de los ángulos gudos del triángulo sen ˆ 9) Demuestr ue tg ˆ os ˆ 30) Demuestr ue: sen + os = 1 Oserv ue: (sen ) =sen 31) Utilizndo lo demostrdo en los ejeriios 9 y 30, omplet: ) sen ˆ = 0,5 os ˆ =... tg ˆ =... ) os ˆ = 1 5 sen ˆ =... tg ˆ =... 3) Usndo tu luldor, resuelve: ) sen 17º + sen 73º = ) os 46º + os 45º = ) sen 3º 15 4 = d) os 35º = e) tg 63º 7 1 = 33) Clul el ángulo gudo en d so: ) os = 0,7649 = ) sen = 0,561 = ) tg =,155 = d) sen = 0,134 = e) os = 0,145 = f) tg = 5,314 = P O L I T E C N I C O 16

18 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. PROBLEMA Nº 1 Te proponemos los siguientes prolems donde en lguno de ellos ontrás on nuestr yud: Te enuentrs en el prue remontndo un rrilete, hs soltdo y 100 m de hilo y oservs ue el ángulo ˆ ue form l uerd del rrilete on l horizontl es de 60º. A ué ltur se enuentr diho rrilete respeto de tu mno? Oservmos ue nos ued determindo un triángulo Identifiuemos los elementos de diho triángulo. Medid de l hipotenus. Medid del teto dyente ˆ. Medid del teto opuesto ˆ. retángulo en. El prolem nos pide lulr l ltur respeto l mno del niño, es deir l medid del segmento (l medid del teto opuesto ˆ ). Vemos los dtos: = 100 (on respeto l metro). ˆ = 60º = x En uáles de ls reliones definids nteriormente interviene l inógnit?. Segurmente pensste en ls funiones trigonométris seno ˆ y tngente ˆ. Consideremos l tg ˆ. Oservmos ue son dos ls inógnits, y, luego est euión no te permitirá enontrr. P O L I T E C N I C O 17

19 Consideremos el sen ˆ. Oservmos ue l úni inógnit es, plntemos entones l euión: x sen 60º x El rrilete se enuentr..respeto de l mno del niño. Te proponemos el siguiente desfío: PROBLEMA Nº El nho de un lle es de 0 metros. Si te olos en el entro de l mism podrás oservr los edifiios ue están situdos mos ldos. Al medir los ángulos ue formn ls visules on los puntos más ltos de los edifiios y l horizontl, resultn de 45º y 60º respetivmente. Cuál es l ltur orrespondiente d uno de los edifiios? Pr est situión oserv los triángulos retángulos: respetivmente; sí: en el triángulo retángulo result: ˆ 60º 10 (on respeto l metro) x 1 y ed retángulos en ĉ y ê En uáles de ls reliones trigonométris vists nteriormente interviene l inógnit?... Segurmente pensste en ls funiones trigonométris seno ˆ y tngente ˆ. De ests dos, pr ontinur tu trjo te ueds on porue... P O L I T E C N I C O 18

20 A ontinuión omplet: tg 60º x 1 De l mism form proede lulr x. ACTIVIDADES 34) Resuelve el prolem motivdor de págin ) Si l somr de un olumn de lumrdo púlio es l mitd de su ltur en un momento del dí. Qué ángulo formn los ryos del sol on l horizontl? 36) En un triángulo isóseles uy se tiene un longitud de 5m y ángulo opuesto ell de 30º; enuentr: ) l ltur del triángulo on respeto dih se. ) ls lturs orrespondientes los ldos ongruentes. 37) Clul l ntidd de superfiie del triángulo isóseles en d so: ) Siendo ue los ángulos ongruentes miden respetivmente 43º 8 y l ltur orrespondiente l ldo no ongruente es de 5 m. ) Siendo ue el ángulo no ongruente es de 5º 30 y l ltur orrespondiente uno de sus dos ldos ongruentes es de 15 m. 38) Clul l ltur de un fro ue se enuentr lejdo de un ntildo. Desde un ro se tomn ls medids del ángulo ue form l visul on l luz y l horizontl, es de 70º. Luego retroede 40 metros y el ángulo ue form hor on l visul es de 50º. 39) Clul l ltur de un torre siendo ue su somr mide 13 m undo los ryos del sol formn un ángulo de 50º on el suelo. 40) En un triángulo isóseles no euilátero, el ldo desigul mide 10 m y los ángulos ongruentes miden 70º. Clul su áre y su perímetro. 41) Hll el ángulo de elevión de un gloo erostátio ue reorre 459 m en el ire pr suir 450 m. 4) Clul los ángulos de un romo uys digonles miden 1 m y 8 m respetivmente. 43) Clul el perímetro de un prlelogrmo siendo ue su ntidd de superfiie es de 360 m, l ltur de 7, m y uno de sus ángulos es de 50º. 44) Un esler de 4 m está poyd ontr l pred Cuál será su inlinión si su se dist metros de l pred? P O L I T E C N I C O 19

21 45) Dtos: d trpeio retángulo en d ˆ. d 4 m Triángulo d isóseles on d. d ˆ 35º 43' d Clul: Cntidd de superfiie del d. 46) A ué distni del oservdor se enuentr un vión, si lo ve jo un ángulo de 50º de elevión on respeto l horizonte undo está un ltur de 400m? 47) Si prs es un trpeio isóseles de 8 m de ltur y 4 m de se menor. Cuál es l longitud de l se myor? ( = 15º). Rzones trigonométris en un triángulo retángulo Autores : Prof. J. C. Bue Prof. D. Cndio Prof. N. Lgre Prof. M L. Mrtínez P O L I T E C N I C O 0

22 MÁS ACTIVIDADES 1) En el triángulo isóseles mp on mp p l medid de l se es 8 m y l superfiie es de 4 m.clul l ltur respeto de l se y l medid de los ángulos del triángulo. (Utiliz vlores extos pr efetur los álulos) ) Seleion l respuest orret. Justifi 8 m 18 4 m ) L superfiie del es: i) 8 m ii) 7 4m iii) 16 4m iv) 8 1m ) L tg es : i) 1 ii) iii) 4 5 iv) P O L I T E C N I C O 1

23 Respuests: 1) ) t ) t t ) t h d) h e) t f) h ) ) = 5 ) f = 8 ) f =13,5 3) ) y x ) x y x ) x d) y e) x y y f) y 4) p no es prlel 5) Perímetro = 19,5 m 6) = 1,5 m 7) y 8) A CARGO DEL ALUMNO 9) p // 10) p = 7m; mp = 4m 11) Distni del orreo l esuel: 746,1 m 7 1) m 13) ) no )no )sí d)no 14) l 3) A rgo del lumno 4) ) x 5 m, y 6 m, z 3 5 m ) x 4 5 m, m 10 m, 6 5 m 5) 0 sen 1, 0 os 1 6) tg R si 0 90º 4 7) sen 3, os 4, tg ) x 7 - sen, os 7, tg 7 7 sen 1 7, os, tg ) y 30) A rgo del lumno P O L I T E C N I C O

24 15 31) ) os 15 ; tg ) sen ; tg 4 5 3) ) 1,5 ) 1,4 ) 0,39 d) 0,8 e) 1,97 33) ) 40º6 6 ) 34º1 4 ) 64º48 14 d) 1º19 18 e)81º48 6 f)79º ) ltur 44,5m 35) 63º 6' 58' ' 36)) ltur 9,33 m ) ltur 4,83 m 37) ) 659,38m ) 141,8 m 38) ltur 83,83 m 39) ltur de l torre 15,49 m 40) Áre 68,69 m Perímetro 39,4 m 41) Ángulo de elevión 78º 38' 6'', 44 4) Los ángulos son 11º 37 11,5 y 67º 48,49 43) Perímetro 118,8 m 44) L inlinión de l esler es de 60º 45) Superfiie d 11,38 m 46) Distni = 5,16 m 47) Longitud se myor=8,9m P O L I T E C N I C O 3