está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A.

Transcripción

1 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos MEMÁICS ÁSICS MRICES DEFINICIÓN DE MRIZ U mtrz es cojto de úmeros, ojetos operdores, dspestos e rrego dmeso de regoes y coms, ecerrdos etre prétess rectgres, qe oedece certs regs gercs. Ejempos de mtrces:,, c e g d f h, [ ] Cd de s prtes tegrtes de rrego es mdo eemeto de mtrz y s oczcó e e rrego es detfcdo por sstem de doe sídce, e e c e prmer sídce dc e regó y e segdo sídce dc com. m m m m E dode e eemeto j está oczdo e e regó -ésmo y j-ésm com de rrego. U mtrz qe tee regoes y m coms se dce qe es mtrz de orde m (se ee como mtrz de orde por m ). Cdo se trt de mtrces my grdes se represet co so etr myúsc, o por soo eemeto co doe ídce: [ j ] dode v desde hst yj v desde hst m U mtrz co soo regó o co so com es coocd como vector regó o vector com respectvmete. Por ejempo, mtrz es vector regó de y mtrz C es vector com de : c [ ], C c c

2 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos U mtrz es cdrd s posee e msmo úmero de regoes y de coms: D L dgo prcp de mtrz cdrd es e cojto de eemetos qe prece sore dgo de rrego qe v desde e etremo speror zqerdo etremo feror derecho, es decr, qeos eemetos. E e ejempo teror os eemetos de dgo prcp so,,,. L trz de mtrz cdrd es sm de os eemetos de s dgo prcp. Se deot como ( ) tr. Pr mtrz teror, s trz es: ( ) ( ) D tr L trspest de mtrz es mtrz desgd por ' ó e dode os regoes de so s coms de, esto es, s: [ ] [ ] j j Ejempos. ) E ; E ) j h g f e d c F ; j e d h c g f F Dos mtrces se dce qe so ges s so de msmo orde y todos os eemetos de mtrz so détcos ss correspodetes eemetos de otr mtrz. P ; Q Q P

3 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos OPERCIONES CON MRICES Sm L sm de mtrces C se defe como j j j c. Esto es, sm de mtrces es g sm de os eemetos correspodetes de ms mtrces qe tee e msmo orde. ; L opercó sm cmpe co s sgetes propeddes: Propedd soctv: ( ) ( ) C C Propedd comttv: ( ) ( ) Ejempos. ) ) Dferec L dferec o rest de mtrces C se defe como j j j c. Esto es, dferec de mtrces es g rest de os eemetos correspodetes de ms mtrces qe tee e msmo orde. C ; D D C

4 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos Mtpccó de mtrz por escr E prodcto de mtrz por escr k se defe como: o de os eemetos de mtrz por e escr. k k j, esto es, se mtpc cd C ; k ; k C Mtpccó de mtrces Pr efectr e prodcto de dos mtrces se reqere qe e úmero de coms de prmer mtrz se g qe e úmero de regoes de segd. Cdo scede esto se dce qe s mtrces so coformes pr mtpccó. Esto es, s es de orde p y es de orde q e orde de mtrz prodcto es p q. Los eemetos de mtrz prodcto se defe de sgete mer: c j k k kj dode v desde hst p yj v desde hst q. E eemeto qe ocp poscó (, j) de mtrz C de p fs y q coms, se otee smdo os prodctos de os eemetos de f de por os eemetos de com j de. Ejempos. ) ; ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ; ) ;

5 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos ) [ ] ; [ ] [ ] ) ; [ ] No so coformes pr e prodcto. E geer, e prodcto de mtrces o es comttvo: ; ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos E prodcto defdo de mtrces cept s sgetes propeddes: Propedd soctv: ( ) ( )C C Propedd dstrtv de mtpccó respecto sm: ( ) C C C MRICES ESPECILES. Mtrz cero (mtrz ) Es qe mtrz, c pede ser de cqer orde, e qe todos ss eemetos ve cero. m ss propeddes so: Se: ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Mtrz detdd (mtrz tr) Es mtrz cdrd de orde t qe todos os eemetos de s dgo prcp so o y os eemetos fer de e so cero. I L propedd prcp de mtrz cdrd es qe: I I

7 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos Se: ; I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I. Mtrz dgo Es mtrz cdrd de orde t qe todos os eemetos fer de s dgo prcp so cero. d d d d D D. Mtrz trgr speror Es mtrz cdrd de orde e c todos os eemetos dejo de dgo prcp so cero. j pr j > U U

8 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos. Mtrz trgr feror Es mtrz cdrd de orde e c todos os eemetos por rr de dgo prcp so cero. j pr j < L L. Mtrz smétrc Se dce qe mtrz cdrd es smétrc s es g s prop trspest: j j pr tod y pr tod j. Mtrz tsmétrc Se dce qe mtrz cdrd es tsmétrc s es g egtvo de s prop trspest: j j pr tod y pr tod j. Mtrz cojgd Se mtrz de úmeros compejos. S se reempz cd eemeto por s compejo cojgdo se otee qe es s mtrz cojgd.

9 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos. Mtrz hermt Se dce qe mtrz de úmeros compejos cdrd es hermt, deotd como *, s es g s prop trspest cojgd: * j j pr tod y pr tod j *. Mtrz thermt Se dce qe mtrz de úmeros compejos cdrd es thermt s es g egtvo de s prop trspest cojgd: * j j pr tod y pr tod j * Ls mtrces smétrcs so cso espec de s hermts y s mtrces tsmétrcs so cso espec de s thermts. Por o tto, tod mtrz smétrc es hermt, pero mtrz hermt o ecesrmete es smétrc. De msm form, tod mtrz tsmétrc es thermt, pero mtrz thermt o ecesrmete es tsmétrc.

10 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos * MRIZ INVERS MRIZ INVERS POR RNSFORMCIONES ELEMENLES E e áger mtrc, dvsó o está defd. L versó de mtrces es cotrprte de dvsó e áger. L vers de mtrz está defd como qe mtrz, qe mtpcd por org d por restdo mtrz detdd, se deot como : I E método se s e gregr mtrz org mtrz detdd de msmo orde. E ojetvo de este método es prodcr ceros y os e e do de mtrz org, os os dee estr ojdos e dgo prcp, y os ceros fer de dgo prcp, cdo se terme e proceso, mtrz qe rest de do dode se ñdó mtrz tr, será mtrz vers. Oteer mtrz vers de: Socó. Se greg mtrz tr de segdo orde: dvdedo etre e prmer regó: mtpcdo por e prmer regó y smdo segdo: dvdedo etre e segdo regó:

11 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos mtpcdo por e segdo regó y smdo prmero: por o tto: Comprocó: I Oteer mtrz vers de: Socó. Se greg mtrz tr de tercer orde: dvdedo etre e prmer regó: mtpcdo por e prmer regó y smdo segdo: mtpcdo por e prmer regó y smdo tercero:

12 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos dvdedo etre mtpcdo por mtpcdo por e segdo regó: e segdo regó y smdo prmero: e segdo regó y smdo tercero: dvdedo etre e tercer regó: mtpcdo por e tercer regó y smdo prmero:

13 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos mtpcdo por e tercer regó y smdo segdo: por o tto: Comprocó: I SOLUCIÓN DE SISEMS DE ECUCIONES LINELES Mchos proems de vd re og resover smtáemete vrs eccoes ees pr hr s socoes comes tods es. mé rest my útes e geometrí (s eccoes

14 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos ees se terpret como rects y pos, y resover sstem eqve estdr poscó retv de ests fgrs geométrcs e e po o e e espco). U sstem de eccoes ees es cojto de eccoes ees qe se pede escrr de form trdco sí : m MÉODO DE ELIMINCIÓN DE GUSS m Ddo sstem de m eccoes co cógts e método de emcó de Gss cosste e oteer sstem eqvete cy prmer eccó teg cógts, segd, tercer, y sí scesvmete hst egr útm eccó, qe tedrá so cógt. Hecho esto, se reseve útm eccó, cotcó peútm, y sí hst egr prmer. Es decr, e método de Gss cosste e trgr mtrz de coefcetes. m Esto sgfc qe se dee emr e segd eccó, y e tercer eccó,, y e tercer eccó, etc. Fmete e útm eccó, se dee emr todos os coefcetes ecepto e de vre. U vez qe se modfcro tods s eccoes, socó es competd por ssttcó desde útm eccó hc s terores. Ejempos. Resover os sgetes sstems de eccoes: ) y y Socó. _( ) _( ) mtpcdo eccó ( ) por : y _( ' ) mtpcdo eccó ( ) por y _( ' ) m m y se sm eccó ( ) : m

15 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos mtpcdo eccó ( ') por : y coocd y, se ssttye e (') ; y ) Socó. ( ) y se despej, termdo e proceso: _( ) _( ) _( ) Mtpcdo eccó ( ) por : _' ( ) mtpcdo eccó ( ) por _( ' ) mtpcdo eccó ( ') por : _( ' ') mtpcdo eccó ( ) _( ' ) por mtpcdo eccó ( ') por _( ' ') y se sm eccó ( ) : : y se sm eccó ( ) y se sm eccó ( ') f de precr mejor e restdo, se dopt e sgete orde: _( ' ') _( ' ') _' ( ) se oserv qe se dee covertr e e coefcete de : de ( '') vre y comezr socó hc trás, sí qe se mtpc dch eccó por pr oteer socó de es :

16 Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos coocd, se ssttye e ( ) ' ' y se despej : estos dos vores se ssttye e ( ) ' y se despej, termdo e proceso: ; ;