ESTADÍSTICA. Tema 4 Intervalos de confianza

Transcripción

1 ESTADÍSTICA Grado en Biología Tema 4 Intervalos de confianza Javier Cárcamo Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid javier.carcamo@uam.es Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 1

2 Estructura de este tema Intervalo de confianza (IC). IC para la media de una población normal. Distribuciones asociadas a la normal. IC para poblaciones normales. IC para datos emparejados y normales. IC para proporciones. IC para la distribución de Poisson. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 2

3 Intervalos de confianza La estimación puntual nos proporciona un valor concreto como aproximación de un parámetro desconocido. Sin embargo, en general no se precisa la incertidumbre existente en dicha estimación. La estimación por intervalos nos proporciona un intervalo de valores donde el parámetro se puede encontrar, junto con un nivel de exactitud o fiabilidad de la estimación, el nivel de confianza. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 3

4 Intervalos de confianza Un intervalo de confianza (IC) para un parámetro es un intervalo, calculado a partir de la muestra, que contiene al parámetro con un alto grado de seguridad. La fórmula general de los intervalos que vamos a estudiar es: IC =[Estimador Margen de error] En general, el centro del intervalo es el estimador del parámetro en el que estamos interesados. Aunque esto no ocurrirá en todos los intervalos que veremos en este tema. El margen de error depende de la precisión del estimador utilizado, del grado de seguridad con el que queremos que el intervalo contenga al parámetro (el nivel de confianza). Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 4

5 IC para la media de una población normal (varianza conocida) Queremos estimar la longitud media de una especie de peces (en cm.), µ. Para ello extraemos una muestra de 12 peces para la que la longitud media es x = 24,93. Esto significa que µ 24,93. Por supuesto, µ 24,93. Si tomáramos otros 12 peces distintos nos habría resultado una estimación de µ diferente. Un IC es una forma de precisar qué significa µ 24,93. Suposición: Suponemos que la población es normal y que la desviación típica de la población es conocida y vale σ = 0,25. Como X N(µ, 0,25/ 12) = N(µ, 0,072), sabemos qué valores podríamos esperar si tomáramos muchas muestras de tamaño 12. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 5

6 IC para la media de una población normal (varianza conocida) Como Z = X µ 0,072 N(0, 1), aproximadamente para el 95 % de las muestras de tamaño 12 se cumple: 0,072 1,96 < X µ < 0,072 1,96. N 0,1 Área 0,95 Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 6

7 IC para la media de una población normal (varianza conocida) Aproximadamente para el 95 % de las muestras de tamaño 12 se cumple: 0,072 1,96 < X µ < 0,072 1,96. Las desigualdades anteriores son equivalentes a: X 0,072 1,96 < µ < X + 0,072 1,96. Aproximadamente para el 95 % de las muestras de tamaño 12 se cumple que µ [ X 0,1411]. Confiamos (con un nivel del 95 %) en que la única muestra de la que disponemos sea una de las que verifican la condición. Decimos que [24,93 0,1411] es un IC para µ de nivel 95 %. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 7

8 Cuestiones: IC para la media de una población normal (varianza conocida) Con los mismos datos del ejemplo anterior calcula dos intervalos cuyos nivel de confianza sean 90 % y 99 %. Se ha obtenido x = 24,93 pero la muestra era de 36 peces en lugar de 12. Calcula un intervalo de nivel 95 %. Se ha obtenido x = 24,93 con una muestra de 36 peces pero σ = 1 en lugar de σ = 0,25. Calcula un intervalo de nivel 95 %. Fórmula general: Un IC con nivel de confianza 1 α para la media de una población normal con σ conocida viene dado por: ] σ IC 1 α (µ) = [ x z α/2 n Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 8

9 IC para la media de una población normal (varianza conocida) ] σ IC 1 α (µ) = [ x z α/2 n Aparecen tres cantidades variables: la confianza, 1 α; el tamaño muestral, n; la semiamplitud o error, E = z α/2 σ n. A mayor tamaño muestral, n, se reduce el intervalo de confianza (se reduce el error). A mayor confianza exigida, 1 α, aumenta el intervalo de confianza (aumenta el error). Nota: Cualesquiera dos de estas tres cantidades permiten determinar la otra tercera. Fijado un nivel de confianza, podemos encontrar el tamaño de la muestra necesario para que el error de la estimación sea tan pequeño como queramos. Esto ocurre en el resto de los intervalos de confianza que veremos. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 9

10 Interpretación del nivel de confianza Si tenemos muchas realizaciones muestrales para estimar un parámetro, con cada realización obtendremos distintos intervalos de confianza. Entre éstos algunos contendrán el verdadero valor del parámetro y otros no. Al tomar muchos intervalos, la proporción de ellos que contiene al parámetro será aproximadamente el (1 α)100 %. Técnicamente, estamos un (1 α)100 % seguros de que el procedimiento para generar el intervalo de confianza produce un intervalo conteniendo el verdadero valor del parámetro. Esta es la razón por la que se llama nivel de confianza y no de probabilidad. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 10

11 Interpretación del nivel de confianza Población: normal con media µ = 0 y σ = 1. Se extraen 100 muestras de tamaño n = 20. Para cada muestra se calcula x y el intervalo de confianza para µ de nivel 95 % (suponemos varianza poblacional conocida): ] σ IC 0,95 (µ) = [ x z 0,025 n. Se representa un histograma de las 100 medias obtenidas, así como los 100 intervalos (en verde si contienen el valor 0 y en rojo si no). Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 11

12 Interpretación del nivel de confianza Medias Intervalos Frecuencias Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 12

13 Si σ no es conocida y la población no es normal Como no conocemos σ, sustituimos en la fórmula σ por su estimación s calculada a partir de la muestra. Debido al TCL, cuando el tamaño muestral n es suficientemente grande la fórmula sigue dando un intervalo de confianza aproximadamente válido: [ ] s IC 1 α (µ) x z α/2. n El nivel de confianza ya no es exactamente 1 α. Este nivel es aproximado. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 13

14 Margen de error y mínimo tamaño muestral Al radio o semiamplitud del intervalo se le suele llamar margen de error, E. En la situación anterior: s E = z α/2. n El margen de error depende de: El nivel de confianza deseado, a través de z α/2. Se suele tomar α = 0,05 lo que da z 0,025 = 1,96 2. La heterogeneidad de la población, medida a través de s. El tamaño muestral n. Cálculo del mínimo tamaño muestral: Fijado un nivel de confianza 1 α, si queremos un error menor que una cantidad cualquiera E, necesitaremos un tamaño muestral: ( szα/2 ) 2 n. E Nota: Un cálculo similar se podrá efectuar para los diferentes intervalos que veremos en este tema. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 14

15 Si σ no es conocida y la población es normal Cuando la población es normal y σ no es conocida, es posible dar un IC exacto incluso cuando el tamaño muestral es pequeño. Para ello, basta mirar en unas tablas distintas. En lugar de buscar z α/2 en las tablas de la normal, buscamos t n 1,α/2 en las tablas de la distribución t de Student. La fórmula del IC queda [ ] s IC 1 α (µ) = x t n 1,α/2. n Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 15

16 Distribución t de Student La distribución t de Student con n 1 grados de libertad (t n 1 ) es la distribución de en una población normal. X µ S/ n La forma de la densidad de t n es similar a la de la normal. Es simétrica alrededor de cero. Sin embargo, la distribución t n da más probabilidad a valores lejanos al centro. Si n es grande t n = N(0, 1). Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 16

17 Densidad de la distribución t-student Densidad de la t N(0,1) t 5 t Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 17

18 P[ t > 1.812] = 0.05 P[ t < ] = 0.05 Tablas de la distribución t-student D 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 r 1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63, , ,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31, ,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12, ,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8, ,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6, ,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5, ,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5, ,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5, ,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4, ,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4, ,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4, ,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4, ,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4, ,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4, ,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4, ,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4, ,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3, ,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3, ,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3, ,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3, ,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3, ,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3, ,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3, ,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3, ,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3, ,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3, ,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3, ,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3, ,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3, ,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3, ,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3, ,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3, ,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,290 Javier Cárcamo 3 Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 18

19 Busca en las tablas de la distribución t de Student un valor de c que verifique: Cuestiones Si tenemos n = 15 datos, la probabilidad de es 0,025. X µ S/ n > c Si tenemos n = 15 datos, la probabilidad de es 0,75. X µ S/ n < c Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 19

20 Un ejemplo resuelto El envenenamiento por DDT causa temblores y convulsiones. En un estudio se ha administrado una dosis de DDT a 4 ratones y se ha medido posteriormente en cada uno el periodo absolutamente refractario, es decir, el tiempo que tardan sus nervios en recuperarse tras un estímulo. Las 4 medidas en milisegundos son: 1,7 1,6 1,8 1,9 (a) Estima el periodo absolutamente refractario medio µ para toda la población de ratones de la misma cepa sujeta al mismo tratamiento con DDT. (b) Calcula una estimación de la desviación típica del periodo absolutamente refractario en la población de ratones. (c) Calcula un intervalo de confianza para µ con nivel de confianza 90 %. (Se supone normalidad). (d) Calcula otro intervalo, pero ahora con un nivel del 95 %. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 20

21 Un ejemplo resuelto (a) La estimación de µ es la media muestral: x = 1,7 + 1,6 + 1,8 + 1,9 4 = 1,75. (b) Una estimación de la varianza poblacional es la cuasi-varianza muestral: s 2 = (1,7 1,75)2 + (1,6 1,75) 2 + (1,8 1,75) 2 + (1,9 1,75) 2 3 Por lo tanto s 2 0,017 y s = 0,017 0,13. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 21

22 Un ejemplo resuelto (c) Como t 3,0,05 = 2,353, un I.C. con nivel de confianza 1 α = 0,90 es IC 0,90 (µ) = [1,75 2,353 0,065] = [1,597, 1,903]. Podemos afirmar que 1,597 < µ < 1,903 con un nivel de confianza del 90 %. (d) Como t 3,0,025 = 3,182, un I.C. con nivel de confianza 1 α = 0,95 es IC 0,95 (µ) = [1,75 3,182 0,065] = [1,543, 1,957]. Podemos afirmar que 1,543 < µ < 1,957 con un nivel de confianza del 95 %. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 22

23 Cuestiones: IC para la media de una población normal En un informe leemos que un intervalo de confianza para la puntuación media de los estudiantes españoles en un test de inglés es (267,8, 276,2) con una confianza del 95 %. (a) Verdadero o falso: El 95 % de los estudiantes han tenido puntuaciones entre 267,8 y 276,2 (b) Cuál fue la puntuación media de los estudiantes de la muestra utilizada para calcular el intervalo? (c) Es correcto afirmar que la puntuación media está en el intervalo (267,8, 276,2)? (d) Es correcto decir que la puntuación media pertenece al intervalo (267,8, 276,2) con probabilidad 0,95? Mirando en las tablas de la distribución t-student, determina un valor c tal que la probabilidad de que una distribución normal estándar sea mayor que c es 0,2. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 23

24 Distribuciones asociadas a la normal Para encontrar los intervalos de confianza para otros parámetros de interés bajo normalidad es necesario conocer algunas distribuciones de probabilidad asociadas a la normal. La distribución χ 2 de Pearson. La distribución t de Student, que ya hemos visto. La distribución F de Fisher Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 24

25 La distribución χ 2 de Pearson La distribución χ 2 de Pearson con n grados de libertad es la distribución de una variable aleatoria χ 2 n con densidad como en el dibujo de abajo: Densidad de la χ 2 n χ 2 1 χ 2 2 χ 2 3 χ 2 4 χ Las probabilidades de la distribución χ 2 están tabuladas. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 25

26 La distribución F de Fisher F de Fisher con m y n grados de libertad: F m,n = 1 m χ2 m 1 n χ2 n Densidad de la F. F 5,3 F 4, Observación: Para el uso de las tablas hay que tener en cuenta que F m;n;1 α = 1 F n;m;α. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 26

27 IC en poblaciones normales Disponemos de una muestra aleatoria x 1,..., x n de una población normal X N(µ, σ). Los intervalos de confianza para los parámetros µ y σ 2 son: Si σ es conocido, el intervalo para µ es: ] σ IC 1 α (µ) = [ x z α/2 n. Si σ es desconocido, el intervalo para µ es: [ ] s IC 1 α (µ) = x t n 1,α/2. n El intervalo para σ 2 es: IC 1 α (σ 2 ) = [ (n 1)s 2 χ 2, n 1;α/2 (n 1)s 2 χ 2 n 1;1 α/2 Nota: En este último caso, el valor de la estimación de σ 2 no es el centro del intervalo de confianza. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 27, ].

28 IC en poblaciones normales Sean x 1,..., x m e y 1,..., y n dos muestras independientes de X N(µ 1, σ 1 ) e Y N(µ 2, σ 2 ) respectivamente. Entonces, los intervalos de confianza para la diferencia de las medias son: Si σ 1 y σ 2 son conocido, el intervalo para µ 1 µ 2 es: [ ] IC 1 α (µ 1 µ 2 ) = σ 2 ( x ȳ) z 1 α/2 m + σ2 2 n Si σ 1 = σ 2 desconocido, el intervalo para µ 1 µ 2 es: [ IC 1 α (µ 1 µ 2 ) = donde ( x ȳ) t m+n 2;α/2 s p 1 m + 1 n s 2 p = (m 1)s2 1 + (n 1)s2 2 m + n 2 es una media ponderada de las cuasivarianzas muestrales. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 28. ],

29 IC en poblaciones normales Sean x 1,..., x m e y 1,..., y n dos muestras independientes de X N(µ 1, σ 1 ) e Y N(µ 2, σ 2 ) respectivamente. Entonces, los intervalos de confianza para la diferencia de las medias son: Si σ 1 y σ 2 son desconocidas, el intervalo para µ 1 µ 2 es: [ ] IC 1 α (µ 1 µ 2 ) = ( x ȳ) z α/2 t f ;α/2 s 2 1 m + s2 2 n, donde f es el entero más próximo a ( s 2 1m + s2 2 n ) 2 (s 2 1 /m)2 m 1 El intervalo para el cociente de varianzas σ1 2/σ2 2 es: ( ) [ σ 2 IC 1 s1 2 1 α σ2 2 = /s2 2 s1 2, /s2 2 F m 1;n 1;α/2 F m 1;n 1;1 α/2 + (s2 2 /n)2 n 1 ].. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 29

30 Un ejemplo en una población normal Ejemplo: Se quiere comparar la grasa corporal (en kg.) entre nadadoras oĺımpicas y corredoras oĺımpicas. Se observan los siguientes datos: Corredoras Nadadoras Suponiendo que la distribución de las variables observadas es normal con la misma varianza, calcular un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia media de grasa corporal entre ambos tipos de deportistas. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 30

31 Un ejemplo en una población normal Ejemplo (cont.): Suponiendo que las distribuciones de las dos variables observadas son normales con distintas medias y distintas varianzas, calcular un intervalo de confianza al 90 % para el cociente de las varianzas. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 31

32 Datos emparejados (y normales) Sea (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) una muestra aleatoria de (X, Y ) donde X e Y no son independientes, pero los pares (X i, Y i ) son independientes entre sí. Denotemos E(X ) = µ 1 y E(Y ) = µ 2 y supongamos que la diferencia D = X Y N(µ D = µ 1 µ 2, σ D ). Entonces, D 1 = X 1 Y 1,..., D n = X n Y n es una muestra aleatoria de D. Podemos construir intervalos de confianza para µ D = µ 1 µ 2 y para σ D como se indica en las transparencias anteriores. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 32

33 Ejemplo (Ensayo cĺınico cruzado): Se quieren comparar los efectos X de un nuevo medicamento con Y, los de otro ya comercializado. Se administran ambos a 14 personas con insuficiencia respiratoria, asignando aleatoriamente a cada paciente un tratamiento, y manteniéndolo durante un mes. Luego se le da el tratamiento alternativo durante otro mes. En la cuarta semana de cada tratamiento se observa la FEV1 (forced expiratory volume), el volumen de aire que un paciente expulsa en un segundo, tras una inhalación profunda. Paciente X Y D Paciente X Y D Calcular un intervalo de confianza al 90 % para la diferencia media de FEV1 con ambos medicamentos. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 33

34 IC para la proporción p Sea X 1,..., X n una muestra aleatoria de una v.a. X Bernoulli(p). Entonces, por el TCL, ( ) ( ) X aprox p(1 p) ˆp(1 ˆp) N p, N p,, n n siendo ˆp = X. IC 1 α (p) [ x z α/2 x(1 x) n ] (aproximadamente, para n grande (n 30)) Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 34

35 IC para la diferencia de proporciones p 1 p 2 Sean X 1,..., X m e Y 1,..., Y n muestras aleatorias independientes de X Bernoulli(p 1 ) e Y Bernoulli(p 2 ) respectivamente. Entonces ( ) ( ) X aprox ˆp1 (1 ˆp 1 ) N p 1, e Ȳ aprox ˆp2 (1 ˆp 2 ) N p 2,, m n siendo ˆp 1 = X y ˆp 2 = Ȳ. El intervalo para la diferencia de proporciones p 1 p 2 es: [ ] x(1 x) ȳ(1 ȳ) IC 1 α (p 1 p 2 ) ( x ȳ) z α/2 + m n (aproximadamente, para m y n grandes). Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 35

36 IC para el parámetro λ de una Poisson Sea X 1,..., X n una muestra aleatoria de X P(λ). Entonces, por el TCL, ( ) X aprox λ ˆλ N λ, N λ,, n n donde ˆλ = X. De aquí se puede deducir un IC de confianza aproximada 1 α, [ ] x (aproximadamente, IC 1 α (λ) x z α/2 n para n grande) Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 36

37 IC para el parámetro λ de una Poisson Ejemplo: Lord Ernest Rutherford, el famoso físico británico de principios del siglo XX, se dedicó a observar desintegraciones radiactivas en su laboratorio. Rutherford tomó n = 2608 intervalos de 7.5 segundos cada uno y contabilizó el número X de partículas que alcanzaban un contador en cada uno de esos intervalos. Sus observaciones fueron Num. de partículas por intervalo de tiempo (x) Num. de intervalos de tiempo con x partículas observadas Suponiendo que X sigue una distribución de Poisson(λ), calcular un intervalo de confianza al 95 % para λ. Javier Cárcamo Estadística. Tema 4: Intervalos de confianza 37