PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 005 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 De la función f : definida por f ( ) a b c d se sabe que tiene un máimo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de infleión en el punto de abscisa 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa tiene pendiente 9. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. Al ser polinómica la función f ( ) a b c d su dominio es, por lo tanto, es continua y derivable en. Calculamos su derivada primera y segunda: f '( ) a b c ; f ''( ) 6a b Máimo en f '( ) 0 a b c 0 Corta al eje OX en f ( ) 0 8a 4b c d 0 Punto de infleión en 0 f ''(0) 0 b 0 La tangente en tiene de pendiente 9 f '() 9 a 4b c 9 a b c 0 8a 4b c d 0 Resolviendo el sistema formado por las 4 ecuaciones que hemos obtenido: b 0 a 4b c 9 Resulta: a ; b 0 ; c ; d

3 Sea f la función definida para 0 por f( ). a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtiene y los valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) El dominio de la función f() es R { 0 } Asíntotas Verticales: La recta = 0 es una asíntota vertical ya que lim f( ) Asíntotas Horizontales: No tiene ya que lim f( ) Asíntota Oblicua: La ecuación es y = m + n : lim m lim ; n lim lim lim 0 Luego es: y = b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' ; y '= 0 = (, ) (,0) (0,) (,) Signo y ' c) Función C D D C Máimo(, ) No eiste mínimo(,)

4 Sea f la función definida para por f( ). a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Determina los intervalos de concavidad y de conveidad de f. d) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. e a) El dominio de la función f ( ) es Asíntotas Verticales: La recta = es una asíntota vertical ya que lim f( ) e e Asíntotas Horizontales: lim f( ) lim No tiene e lim f ( ) 0 y 0 Luego, y 0 es una asíntota horizontal cuando. Al tener asíntota horizontal, no tiene asíntota oblicua. e ( ) b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y' 0 ( ) (,) (,) (,) Signo y ' + Función D D C No eiste mínimo c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: d) (,) (,) Signo y ' + Función Cn C No eiste (, e ) e ( 4 5) y '' 0 No ( )

5 Determina los puntos de la parábola de ecuación y 5 que están más próimos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de coordenadas. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Cualquier punto P de la parábola tendrá de coordenadas P ( a,5 a ), y el origen de coordenadas es el punto O (0,0). Queremos que sea mínima la distancia entre estos dos puntos, luego tiene que ser mínimo el módulo del vector que une esos dos puntos. OP ( a,5 a ) D a a a a 4 min (5 ) 9 5 4a 8a D ' min 0 0; ; 4 a 9a 5 Calculamos la segunda derivada para ver que valor de los obtenidos corresponde al mínimo. D '' 6 4 a 7a 50a 5 ( a 9a 5) 4 9 D ''(0) 0 Máimo 5 D 6 9 '' 0 9 mínimo 6 9 D'' 0 9 mínimo Luego los puntos que están a mínima distancia son: P, y P, La distancia es: 9 u

6 sen Se sabe que lim es finito. Determina el valor de y calcula el límite. 0 MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. sen 0 Como lim, le aplicamos la regla de L Hôpital 0 0 sen 0 cos lim lim Como nos dicen que el límite es finito deberíamos haber obtenido 0 0, con lo cual, 0 Ahora, calculamos cuanto vale el límite para sen 0 cos 0 sen 0 lim lim lim

7 Considera las tres funciones cuyas epresiones respectivas vienen dadas, para 0, por f ( ) ; g( ) e y h( ) Ln siendo Ln la función logaritmo neperiano. a) Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h. b) Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta. Gráfica Gráfica Gráfica Gráfica 4 MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. El dominio de la función f() es R { 0 } Asíntotas Verticales: La recta = 0 es una asíntota vertical ya que Asíntotas Horizontales: No tiene ya que lim f( ) Asíntota Oblicua: La ecuación es y = m + n : Luego es: y lim f( ) m lim lim ; n lim lim lim 0 Por lo tanto, su dibujo corresponde a la gráfica 4. El dominio de la función g ( ) es R { 0 } Asíntotas Verticales: La recta = 0 es una asíntota vertical ya que Asíntotas Horizontales: lim g( ) 0 e, luego es y Asíntota Oblicua: No tiene, ya que tiene asíntota horizontal. Por lo tanto, su dibujo corresponde a la gráfica. El dominio de la función h ( ) es R { 0 }. Asíntotas Verticales: La recta = 0 es una asíntota vertical ya que Asíntotas Horizontales: No tiene ya que lim h ( ) Asíntota Oblicua: No tiene, ya que tiene asíntota horizontal. ln m lim lim 0 No tiene Por lo tanto, su dibujo corresponde a la gráfica. 0 lim g ( ) 0 lim h ( ) 0

8 a b De la función f : (0, ) definida por f( ) se sabe que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa viene dada por y. a) Calcula a y b. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Calculamos la derivada de la función. a ( a b) a b f '( ) La recta tangente en tendrá de ecuación: y f () f '() ( ) y como nos dice el enunciado que esta recta es y, se tiene que cumplir que: a b f () a ; b f '() 0 a b 0 b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' ; y '= 0 = Como el dominio dice que es (0, ), sólo tomamos el valor (0,) (,) Signo y ' + Función C D Máimo (, )

9 4 Sea f la función definida para por f( ) R E S O L U C I Ó N a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Calcula, si eisten, el máimo y el mínimo absolutos de f en el intervalo [0; ) (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) El dominio de la función ( ) f es Asíntotas Verticales: La recta es una asíntota vertical ya que Asíntotas Horizontales: No tiene ya que lim f( ) Asíntota Oblicua: La ecuación es y m n : 4 4 m lim lim ; lim f( ) 4 4 n lim lim lim Luego es: y b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 45 y' ; y' 0 ( ) NO (, ) (, ) Signo y ' + + Función C C Luego la función es creciente en su dominio. c) Los etremos absolutos se pueden alcanzar en los puntos donde la función no es continua, donde no es derivable o en los etremos del intervalo 0,. En nuestro caso la función f ( ) es continua y derivable en. Luego sólo tenemos que estudiar en el punto 0. En este punto tiene un mínimo absoluto y vale f (0)

10 5 8 Sea f : la función definida por f( ) a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. b) Halla las asíntotas de la gráfica de f. c) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). d) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Punto de corte eje X y 0 0 ;, Punto de corte eje Y 0 y ; y 8 (0,8) b) El dominio de la función f ( ) es Asíntotas Verticales: No tiene. 5 8 Asíntotas Horizontales: lim f ( ) lim 0 y 0 Asíntota Oblicua: No tiene ya que posee asíntota horizontal. c) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' 0 y 5 6 ( ) 5 d),, 5, 5 Signo y ' + Función D C D Mínimo (, ) Máimo 5, 5

11 De un terreno se desea vender un solar rectangular de.800 m dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. Llamamos a la longitud e y al ancho del solar. Paso : Escribimos la función que queremos que sea mínima: Lmin 4y Paso : Escribimos la relación entre las variables:.800 y.800 ; y Paso : Sustituimos: Lmin 4y Paso 4: Derivamos e igualamos a cero: L' min 0 60 Paso 5: Calculamos la ª derivada L'' L''( 60) 0'05 mínimo L''( 60) 0'05 Máimo Luego las dimensiones del solar son = 60 m ; y = 80 m

12 Sea f : la función definida por f ( ) ( ) e a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si eisten, sus etremos relativos o locales y sus etremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. ( ) a) La función f( ) e denominador., no tiene asíntota vertical ya que no hay ningún valor de que anule el Vamos a ver si tiene asíntota horizontal ( ) ( ) lim lim lim 0 e e e Por lo tanto, la asíntota horizontal es y 0. Como tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua. ( ) e ( ) e 4 b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' ( e ) e y ' 0 ; (,) (,) (,) Signo y ' + Función D C D mínimo (,0) Máimo (,4 e ) El punto (,0), además de ser el mínimo relativo, es el mínimo absoluto. La función no tiene máimo absoluto.

13 De una función se sabe que y que su función derivada está dada por: a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La recta tangente en es y f () f '() ( ) f () 6 f f Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 6 ( ) y 9 '( ) 6 8 '() 68 b) Igualamos a cero la derivada: y ' y ' ; 4 (0, ) 5 (,) 5 (,) (,4) (4,5) Signo y ' Función D C C D C mínimo, 0 Máimo, 5 0 mínimo 6 4, Para poder calcular las coordenadas del máimo y de los mínimos, necesitamos calcular la función f() 5 (5 ) d C ; ( 6 8) d 8 D 7 Como f () D D 0 Como f() es continua en el punto =, tenemos: Luego: f( ) 5 9 si 0 6 si lim f ( ) lim f ( ) 8 C C 6