Estas medidas serán más significativas cuanto más homogéneos sean los datos y pueden ser engañosas cuando mezclamos poblaciones distintas.

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1 UIDAD 3: Meddas estadístcas Las meddas estadístcas o parámetros estadístcos son valores representatvos de una coleccón de datos y que resumen en unos pocos valores la normacón del total de datos. Estas meddas estadístcas nos darán normacón sobre la stuacón, dspersón y otros patrones de comportamento de los datos, de manera que sea posble captar rápdamente la estructura de los msmos y tambén la comparacón entre dstntos conjuntos de datos. Las más mportantes son: las de tendenca central o centralzacón, que ndcan el valor medo de los datos, las de dspersón que mden la varabldad de los datos respecto a los parámetros de centralzacón y las de orma: smetría y apuntamento, que nos ndcan la orma de dstrbucón de los datos. Estas meddas serán más sgncatvas cuanto más homogéneos sean los datos y pueden ser engañosas cuando mezclamos poblacones dstntas. 3.. Meddas de centralzacón os dan los valores centrales de los datos obtendos. Las más usuales son: la meda, la moda y la medana. Meda (x ) Es el resultado de sumar el valor de la varable de todos los ndvduos y dvdr por el total de ndvduos. x n = = X Supondremos que toma la varable X toma k valores dstntos x, x, x3..., x k que se repten el número de veces que ndca la recuenca relatva, susttuyendo en la órmula, la expresón de la meda quedaría como: Σx x = Σ Σx = Para datos agrupados el valor de x será el de la marca de clase.

2 Ejemplo. Varable dscreta Vamos a calcular la meda de edad de los alumnos entrevstados. Añadmos a la tabla de recuencas absolutas la columna con el producto de cada valor de la x varable por su recuenca Frecuenca Valores x absoluta Σx x = = = 4, Σ La meda de edad de los alumnos del centro entrevstados es de 4, años TOTAL = Característcas de la meda: - La meda artmétca sólo se puede calcular para varables numércas. - Un conjunto de datos numércos sólo tene una meda. - La meda es un parámetro sensble a la presenca de valores muy separados del resto de datos. Por ejemplo, la sere de valores,,,, 3, 3, 5, 7, 8, 8, 50 posee un valor extremo que es el 50. La meda artmétca calculada con los 9 prmeros valores es 4., lo que consttuye un valor central razonable. Por el contraro, s se consdera tambén el últmo valor, la meda artmétca resulta ser 8.8, que es un valor muy poco ndcatvodel conjunto pues está muy nludo por ese valor extremo. Moda (Mo) La moda es el valor más recuente de la varable estadístca. La moda, como la meda, representa un valor central de la dstrbucón de datos y su determnacón vsual la podemos obtener a partr de la tabla de recuencas o de su gráco, en el caso de ser de columnas corresponde con la columna más alta. Este parámetro se puede calcular para cualquer tpo de varable. Ejemplo. Varable cualtatva Podemos dentcar la moda de la actvdades del tempo lbre

3 preerda de los alumnos observando la tabla de recuencas: Valores Frecuenca absoluta Deportes 5 Mantenmento 8 Músca 7 Cne 0 Lectura 6 Otros 5 TOTAL =97 El conjunto de datos puede ser unmodal ( moda), bmodal ( modas) o amodal (sn moda), grácamente sería: Bmodal Unmodal Amodal Para datos agrupados Para datos agrupados no se puede calcular exactamente el valor de la moda. Sn embargo, se puede estmar utlzando los sguentes pasos: Para obtener la moda en datos agrupados, se buscará la clase o ntervalo que tenga el mayor cocente entre recuenca y ampltud, es decr, valor máxmo de h =. c Tal y como vmos en la construccón de los hstogramas, esta clase estará asocada al rectángulo de mayor altura. S todos los ntervalos tenen la msma ampltud, dcho ntervalo será el de mayor recuenca.

4 Esta clase o ntervalo se denomna ntervalo modal, y una vez hallado, se aplca la sguente expresón dervada del cálculo de proporcones para calcular la moda: D Mo= L + ( ) c D + D Donde: L = Límte neror de la clase modal. D = h h D = h h+ h = c c = ampltud del ntervalo. = recuenca absoluta de la clase modal. y = recuenca absoluta de la clase neror y superor + respectvamente. En el caso de trabajar con ntervalos de gual ampltud se puede trabajar drectamente con las recuencas absolutas. Ejemplo. Para datos agrupados Vamos a calcular la moda del número de horas semanales que pasan los alumnos del centro anteror vendo la televsón Valores Frecuenca Frecuenca absoluta acumulada [0,4) 4 4 [4,8) 8 3 [8,) 53 [,6) 5 68 [6,0) 9 77 [0,4) 5 8 TOTAL =8 La clase modal es [4,8), la de mayor recuenca absoluta. Al tratarse de ntervalos de gual ampltud podemos susttur en la órmula las

5 recuencas absolutas: L = 4 D =8-4=4 = D =8-=7 = + c = ampltud del ntervalo=4 4 Mo = 4 + 4= Característcas de la moda: - La moda es de ácl nterpretacón. - Su cálculo es sencllo para varables dscretas y cualtatvas pero la expresón para varables agrupadas se complca. - o ntervenen en su determnacón todas las observacones. - Es útl para detectar posbles mezclas de dstntas poblacones en una msma masa de datos. - Se puede calcular para todo tpo de varable. Medana (Me) La medana es el valor de la varable que dvde la sere estadístca ordenada en dos partes guales, dejando tantos valores por encma como por debajo y por consguente la recuenca a uno y a otro lado de la medana tambén son guales. S los n datos no están agrupados y están enumerados del al el valor de la medana será: + - S es mpar, el valor que ocupa el lugar - S es par, la meda artmétca de los valores que ocupan el lugar y +. Este procedmento es útl cuando dsponemos de pocos datos, pero cuando el número de estos es elevado es mejor nclur en la tabla de recuencas las recuencas acumuladas. Datos no agrupados: La medana será el prmer valor cuya recuenca acumulada es F. Datos agrupados: Se buscará la prmera clase cuya recuenca acumulada supere la mtad de las observacones. Esta clase se denomna clase medana y su marca de clase, se podría dar como una

6 aproxmacón de la medana. Sn embargo podemos obtener un valor más aproxmado empleando la órmula sguente: F Me= L + c Donde: L = Límte neror de la clase medana. c = ampltud del ntervalo. = recuenca absoluta de la clase medana. F = recuenca absoluta acumulada de la clase neror a la clase medana. Ejemplo. Varable contnua Vamos a calcular la medana del número de horas semanales que pasan los alumnos del centro anteror vendo la televsón Valores Frecuenca Frecuenca absoluta acumulada [0,4) 4 4 [4,8) 8 3 [8,) 53 [,6) 5 68 [6,0) 9 77 [0,4) 5 8 TOTAL =8 8 = 4. La prmera recuenca acumulada que supera / es 53, por tanto la clase medana es el ntervalo [8,). Para calcular el valor de la medana aplcamos la órmula denda: 4 3 Me = 8 + 4= 9.7 Característcas de la medana: - La medana es senclla de calcular y de nterpretar. - Por depender de los valores a través de su orden, la medana no varía demasado por los valores extremos, por ello, s nuestros datos contenen valores de este tpo, será preerble usar la medana en vez de la meda artmétca como medda central.

7 Relacón entre meda, medana y moda. Es recomendable comparar los valores obtendos para la moda, meda y medana, para conocer mejor la dstrbucón de los datos que estamos analzando. Derencas mportantes entre la meda y la moda o la meda y la medana ndcan que la dstrbucón de los datos es asmétrca, y s son guales o muy cercanos la dstrbucón de los datos será smétrca. Observa los sguentes grácos: 3.. Otras meddas. Meddas de poscón Para descrbr otros aspectos relevantes de la dstrbucón de recuenca se utlzan las meddas de poscón: los cuartles y los percentles. Son valores que dvden la dstrbucón en partes guales: Cuartles: Hay 3 cuartles que dvden a una dstrbucón en 4 partes guales: prmero, segundo y tecer cuartl. Percentles: Hay 99 percentles que dvden a una sere en 00 partes guales: (prmero al noventa y nueve percentl). Cuartles Los cuartles son los tres valores de la varable que dvden a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes guales. Q, Q yq 3 determnan los valores correspondentes al 5%, 50% y 75% de los datos. Q concde con la medana.

8 S tenemos n datos, para hallar el prmer cuartl, se ordenan los valores de menor a mayor y a contnuacón se busca en dcha sere ordenada el prmer valor cuyo orden de lugar supere n/4. Puede ocurrr que el valor concda exactamente con n/4 (sucede cuando n es múltplo de 4), en tal caso, el prmer cuartl se obtene tomando dcha observacón y la sguente, y calculando su meda artmétca, tal y como hacíamos para la medana. Veamos el sguente ejemplo. Ejemplo. Varable dscreta Vamos a calcular el prmer y tercer cuartl de la dstrbucón de las edades de los alumnos del centro Valores Frecuenca Frecuencas absoluta acumuladas Q /4=5 buscamos aquél valor que su recuenca acumulada sea mayor que 5, en este caso Q =3, es decr el 5% de los datos están por debajo de esa cantdad. Q 3/4=75 buscamos aquél valor que su recuenca acumulada sea 3 TOTAL =00 mayor que 75, en este caso Q 3 =5, es decr el 75% de los datos están por debajo de esa cantdad. Para datos agrupados En este caso los cuartles se buscará la prmera clase cuya recuenca acumulada supere /4, /4 o 3/4 de las observacones, según estemos hallando el prmer, segundo o tercer cuartl. La marca de clase de dcho ntervalo, se podría dar como una aproxmacón de la medana. Sn embargo podemos obtener un valor más aproxmado empleando la órmula sguente, smlar a la empleada para hallar la medana:

9 Donde: Q k = L K F + 4 c K= número del cuartl que queremos hallar L = Límte neror de la clase del cuartl que queremos hallar. c = ampltud del ntervalo. = recuenca absoluta de la clase del cuartl. F = recuenca absoluta acumulada de la clase neror a la clase del cuartl. Percentles Los percentles son los valores de la varable que dvden a un conjunto de datos ordenados en cen partes guales. P, P... P00 determnan los valores correspondentes al %, %...00% de los datos. P 50 concde con la medana. Su cálculo es smlar al de los cuartles, veamos el sguente ejemplo para datos agrupados Ejemplo. Varable contnua Vamos a calcular el percentl 5 ( P 5 ) del número de horas semanales que pasan los alumnos del centro anteror vendo la televsón. Usamos la recuenca acumulada en porcentajes para hallar los percentles Valores Frecuenca Frecuenca Porcentajes absoluta acumulada acumulados [0,4) 4 4 4,87% [4,8) ,0% [8,) 53 64,63% [,6) ,93% [6,0) ,90% [0,4) % TOTAL =8 5= 0,50. La prmera recuenca porcentual que supera 5/00 es 39,0%, por tanto la clase del percentl 5 es el ntervalo [4,8). Para calcular el valor aplcamos la órmula:

10 K F Pk = L + 00 c 0,50 4 P 5 = 4+ 4= 6,36 8 Podemos decr que el 75% de los alumnos ve la televsón más de 6 horas semanales 3.3. Meddas de dspersón Medante la meda, la medana y la moda conocemos una parte de la normacón acerca de las característcas de los datos, pero para completar esa normacón necestaríamos saber s todos los están próxmos o no a estas meddas. Para medr esta desvacón respecto a los valores centrales utlzamos los parámetros de dspersón. Rango (R). Es la derenca entre el mayor y el menor de los valores que toma la varable. Característcas del rango: - El rango es sencllo de calcular y de nterpretar. - o es una medda muy sgncatva. Varanza (V) y desvacón típca. La varanza es una medda de dspersón que se basa en la desvacón de las observacones con respecto a la meda artmétca, y se denota por V o σ. Para su cálculo segumos los sguentes pasos: ) hallamos la «dstanca» de cada valor observado con respecto a la meda, x x ) la elevamos al cuadrado ( x x), con el n de convertrlas en postvas; 3) multplcamos por su recuenca absoluta ( x x) para tener en cuenta las veces que se repte cada dato, 4) sumamos todos los valores obtendos hasta ahora para consegur una medda global 5) dvdmos el resultado anteror por (número de datos), para conocer el valor medo, Con estos pasos llegamos a la expresón:

11 ( x x) Σ V = σ = s desarrollamos el cuadrado de esta expresón, obtenemos: Σx V =σ = x que es una expresón más senclla de manejar. S hallamos la raíz cuadrada de la expresón de la varanza compensamos el cuadrado tomado ncalmente. A este valor se le denomna desvacón típca y es la medda de desvacón más usual. Ejemplo. Varable dscreta σ = Σ x Habíamos obtendo que la meda de edad de los alumnos del colego entrevstados era de 4,33. Vamos a calcular la desvacón típca para saber s las edades están dspersas o concetradas respecto a la meda. x Frecuenca Valores x x absoluta Suttuyendo los valores obtenemos σ = ,33, = Y vemos que las edades deren de la meda en un año y medo por encma y por debajo. Tenendo en cuenta que el rango de edades es de 6 años, los datos presentan poca dspersón, aunque la conclusón de mucha o poca depende del contexto del problema y de la comparacón con otras poblacones o muestras. Característcas de la desvacón típca: - La desvacón típca tene más sgncado s usa para comparar dos o más poblacones.

12 - Es más sensble que la meda a valores erróneos al usar el cuadrado en su expresón. - o es sensble al cambo de escala a derenca de la varanza, es decr, s medmos en metros o en klómetros obtendremos valores smlares.

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