Mediciones Indirectas

Transcripción

1 Mediciones Indirectas Diego Luna April 7, 2017 Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

2 Motivación Cuando se informa el resultado de una medición, se debe proporcionar alguna indicación cuantitativa de la calidad del resultado. Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

3 Motivación Cuando se informa el resultado de una medición, se debe proporcionar alguna indicación cuantitativa de la calidad del resultado. Sin esa indicación, los resultados de las mediciones no podrían ser comparados. Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

4 Usos De un proceso de medición se obtiene: Resultado = }{{} x ± }{{} x mejor estimador incertidumbre Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

5 Usos De un proceso de medición se obtiene: Resultado = }{{} x ± }{{} x mejor estimador incertidumbre Incertidumbres aleatorias (tipo A): Se cuantifican por análisis estadístico. Por ejemplo, el desvío estándar de la muestra. Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

6 Usos De un proceso de medición se obtiene: Resultado = }{{} x ± }{{} x mejor estimador incertidumbre Incertidumbres aleatorias (tipo A): Se cuantifican por análisis estadístico. Por ejemplo, el desvío estándar de la muestra. Incertidumbres sistemáticas (tipo B): Siguen tendencia por exceso o por defecto Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

7 Tipos de Incertidumbre Ejemplos de incertidumbres Tipo A: Ruido de medición Repetibilidad Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

8 Tipos de Incertidumbre Ejemplos de incertidumbres Tipo A: Ruido de medición Repetibilidad Tipo B: Instrumentales (Error de cero, de ganancia) Observación (paralaje) Ambientales (temperatura de la regla) Teóricas (Modelo de medición) Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

9 Definiciones x debe incluir incertidumbres aleatorias y sistemáticas Tomamos: x 2 = σ 2 B + σ2 A σ A : algún estimador de la distribución estadística: σ promedio, p. ej. σ 2 B = σ2 apreciacion + σ2 interaccion + σ2 definicion Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

10 Definiciones x debe incluir incertidumbres aleatorias y sistemáticas Tomamos: x 2 = σ 2 B + σ2 A σ A : algún estimador de la distribución estadística: σ promedio, p. ej. σ 2 B = σ2 apreciacion + σ2 interaccion + σ2 definicion σ 2 apreciacion : Mínima división del instrumento de medición σinteraccion 2 : Interacción del operador, por ej., el tiempo de reacción. σdefinicion 2 : Modelo de medición, por ejemplo s = 1 2 at2 a = 2s t 2 Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

11 Tipos de Mediciones Mediciones Directas ( las que vimos hasta ahora) Ejemplos: Período de un péndulo medido con un cronómetro Medición de la mesa con cinta métrica Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

12 Tipos de Mediciones Mediciones Directas ( las que vimos hasta ahora) Ejemplos: Período de un péndulo medido con un cronómetro Medición de la mesa con cinta métrica Mediciones Indirectas ( Clase de hoy) Ejemplos: Medir una velocidad a partir de una distancia y un tiempo: v = s t Determinación de un volúmen. Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

13 Tipos de Mediciones Lo que acabamos de ver, es para mediciones DIRECTAS Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

14 Mediciones indirectas Qué sucede cuando el resultado de medición es una función de una o más mediciones? Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

15 Mediciones indirectas Qué sucede cuando el resultado de medición es una función de una o más mediciones? Medición indirecta f = f(x 1, x 2, x 3,..., x N ) siendo x i mediciones directas con sus respectivas incertidumbres x i Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

16 Medición indirecta: transformación lineal Medición indirecta Q = mx + b Mido X con una incertidumbre X y quiero conocer Q y Q Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

17 Medición indirecta: transformación lineal Medición indirecta Q = mx + b Mido X con una incertidumbre X y quiero conocer Q y Q Si g(x) = Ae 1 2( X µ σ ) 2 y realizo la transformación X mx + b g (Q) también es normal con σ = m σ Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

18 Medición indirecta: Ejemplo Transformación de grados Celsius a Fahrenheit F = 9 5 C + 32 Resultado de medición: C = 25 o C ± 1 o C Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

19 Medición indirecta: Ejemplo Transformación de grados Celsius a Fahrenheit F = 9 5 C + 32 Resultado de medición: C = 25 o C ± 1 o C Cuál es el resultado de medición en grados Fahrenheit? Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

20 Medición indirecta: Ejemplo Transformación de grados Celsius a Fahrenheit F = 9 5 C + 32 Resultado de medición: C = 25 o C ± 1 o C Cuál es el resultado de medición en grados Fahrenheit? RESPUESTA: F = 45 o F ± 9 5 o F Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

21 Mediciones indirectas Un caso un poco mas general Medición indirecta f = f(x) Siendo x una medición directa con su incertidumbre x y f una función no-lineal Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

22 Mediciones indirectas Un caso un poco mas general Medición indirecta f = f(x) Siendo x una medición directa con su incertidumbre x y f una función no-lineal Cómo calculo la incertidumbre f a partir de x? Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

23 Mediciones indirectas RESPUESTA: Como la función no es lineal, aproximo a una recta: f x µx f = f ( x) µx x es la pendiente de la recta evaluada en µ x Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

24 Mediciones indirectas Generalizacion a más de una variable f = f(x 1, x 2, x 3,..., x N ) f = ( ) f 2 ( x i ) 2 x i i f x i : Derivada parcial de f respecto de x i Esto se conoce como propagación de incertidumbres por series de Taylor Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

25 Mediciones indirectas Generalizacion a más de una variable f = f(x 1, x 2, x 3,..., x N ) f = ( ) f 2 ( x i ) 2 x i i f x i : Derivada parcial de f respecto de x i Esto se conoce como propagación de incertidumbres por series de Taylor Importante: no olvidar supuestos Distribución normal Variables independientes (no correlacionadas) Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

26 Mediciones indirectas h R Práctica del día Medir el volumen de una pieza con tres técnicas y calcular las incertidumbre de medición. a) A partir de mediciones dimensionales: V = ( 2 3r 2 πr 2) h b) Por volumen desplazado: V = V final V inicial c) A partir de su densidad: V = m ρ Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

27 Uso de calibre Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

28 Uso de calibre Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

29 Escritura de resultados de medición Ejemplo: Mido una mesa con una regla. Obtengo x = 1234, 78 mm y σ = 3, 39 mm. Cómo se reporta este resultado? Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

30 Escritura de resultados de medición Ejemplo: Mido una mesa con una regla. Obtengo x = 1234, 78 mm y σ = 3, 39 mm. Cómo se reporta este resultado? 1 Redondeo la incertidumbre a una cifra: σ = 3 mm Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

31 Escritura de resultados de medición Ejemplo: Mido una mesa con una regla. Obtengo x = 1234, 78 mm y σ = 3, 39 mm. Cómo se reporta este resultado? 1 Redondeo la incertidumbre a una cifra: σ = 3 mm 2 Redondeo el valor medio hasta la posición que obtuve en la incertidumbre: x = 1235 mm. Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

32 Escritura de resultados de medición Ejemplo: Mido una mesa con una regla. Obtengo x = 1234, 78 mm y σ = 3, 39 mm. Cómo se reporta este resultado? 1 Redondeo la incertidumbre a una cifra: σ = 3 mm 2 Redondeo el valor medio hasta la posición que obtuve en la incertidumbre: x = 1235 mm. 3 Resultado: La longitud de L de la mesa es L = (1235 ± 3) mm. Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

33 Escritura de resultados de medición Ejemplo: Mido una mesa con una regla. Obtengo x = 1234, 78 mm y σ = 3, 39 mm. Cómo se reporta este resultado? 1 Redondeo la incertidumbre a una cifra: σ = 3 mm 2 Redondeo el valor medio hasta la posición que obtuve en la incertidumbre: x = 1235 mm. 3 Resultado: La longitud de L de la mesa es L = (1235 ± 3) mm. Nota: En este caso, se dice que conocemos L con 4 cifras significativas. Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

34 Escritura de resultados de medición Ejemplo: Mido una mesa con una regla. Obtengo x = 1234, 78 mm y σ = 3, 39 mm. Cómo se reporta este resultado? 1 Redondeo la incertidumbre a una cifra: σ = 3 mm 2 Redondeo el valor medio hasta la posición que obtuve en la incertidumbre: x = 1235 mm. 3 Resultado: La longitud de L de la mesa es L = (1235 ± 3) mm. Nota: En este caso, se dice que conocemos L con 4 cifras significativas. Ejercicio: Repetir para σ = 11, 3 mm. Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

35 A MEDIR! Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

36 Comparabilidad de resultados Resultados no-comparables: x 1 x 1 x 1 x1 + x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 + x 2 x Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

37 Comparabilidad de resultados Resultados comparables: x 1 x 1 x 1 x1 + x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 + x 2 x Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

38 Comparabilidad de resultados En términos matemáticos Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

39 Comparabilidad de resultados Resultados comparables: x 2 x 1 x 1 + x 2 En términos matemáticos Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

40 Comparabilidad de resultados Resultados comparables: x 2 x 1 x 1 + x 2 Resultados no-comparables: x 2 x 1 > x 1 + x 2 En términos matemáticos Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

41 Incertidumbres relativas x ± x Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

42 Incertidumbres relativas x ± x Incertidumbre relativa: x rel = x x Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

43 Incertidumbres relativas x ± x Incertidumbre relativa: x rel = x x Incertidumbre porcentual: x % = 100 x x = 100 x rel Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

44 Incertidumbres relativas x ± x Incertidumbre relativa: x rel = x x Incertidumbre porcentual: x % = 100 x x = 100 x rel Caso particular: f(x, y) = αx β y γ ( 2 ( ) 2 f = f x) x 2 + f y y 2 ; y se puede demostrar que f 2 f 2 = β 2 x2 x 2 + γ 2 y2 y 2 Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

45 Incertidumbres relativas x ± x Incertidumbre relativa: x rel = x x Incertidumbre porcentual: x % = 100 x x = 100 x rel Caso particular: f(x, y) = αx β y γ ( 2 ( ) 2 f = f x) x 2 + f y y 2 ; y se puede demostrar que f 2 f 2 = β 2 x2 x 2 + γ 2 y2 y 2 Tarea: Interpretar los casos f(x, y) = xy y f(x, y) = x/y Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23

46 Referencias Baird, D. C. (1962). Experimentation: an introduction to measurement theory and experiment design. Prentice Hall. Fornasini, P. (2008). The uncertainty in physical measurements: an introduction to data analysis in the physics laboratory. Springer Science and Business Media. Laboratorio 1 Mediciones Indirectas April 7, / 23