INGENIERO EN COMPUTACION TEMA: DETERMINANTES

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1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO CENTRO UNIVERSITARIO UAEM ZUMPANGO INGENIERO EN COMPUTACION TEMA: DETERMINANTES ELABORÓ: M. EN C. LUIS ENRIQUE KU MOO FECHA: MARZO DE 2017

2 UNIDAD DE APRENDIZAJE ALGEBRA LINEAL UNIDAD DE COMPETENCIA II: DETERMINANTES 2.1 Definición de determinante de orden 2x2 y 3x3 2.2 Regla de Sarrus 2.3 Definición de matriz menor 2.4 Definición de cofactor 2.5 Definición de determinante de orden nxn 2.6 Propiedades de los determinantes 2.7 Matriz inversa utilizando la matriz Adjunta 2.8 Solución de sistemas de ecuaciones por Regla de Cramer

3 OBJETIVOS OBJETIVOS General: Calcular determinantes hasta de orden 4x4 aplicando las propiedades fundamentales

4 CONCEPTOS: Determinantes DETERMINANTE. La suma de los n productos formados por n-factores que se obtienen al multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un sólo elemento de cada fila y columna de A. DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 1x1. Sea A una matriz de orden n, si n=1. Entonces, se tiene: A=[a 11 ], det A = a 11 Ejemplos: A=[7], det A = 7 B=[15], det B = 15 C=[152], det C = 152

5 CONCEPTOS: Determinantes DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 2X2. Se llama determinante de la matriz A de orden 2 al número a 11.a 22 - a 12.a 21 y escribimos: A = a 11 a 12 a 21 a 22, Det A = a 11 a 22 a 21 a 12 Ejemplos: A = 3 5 ; Det A = = = B = 3 2 ; Det B = = =

6 DETERMINANTES: USO

7 CONCEPTOS: Menores y Cofactores MENORES. Si A es una matriz cuadrada, se llama menor Mij del elemento a ij de la matriz A, al determinante de matriz de orden n-1 que resulta de suprimir en A la fila i y la columna j. Ejemplo: A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23, M 12 = a 21 a 23 a a 31 a 32 a 31 a COFACTORES. El cofactor Cij del elemento aij es el número real Cij = (-1) i+j M ij. Ejemplo: C 12 = ( 1) 1+2 [ a 11 a 22 a 21 a 12 ]

8 MENORES Y COFACTORES. Ejemplo

9 MENORES Y COFACTORES. Ejemplo Sea A = , Calcular los menores y los cofactores. M 11 = = 1 M 12 = = 5 M 13 = = 4 M 21 = = 2 M 22 = = 4 M 23 = = 8 M 31 = = 5 M 32 = = 3 M 33 = = 6 C 11 = = 1 C 12 = = 5 C 13 = = 4 C 21 = = 2 C 22 = = 4 C 23 = = 8 C = = 5 C 32 = = 3 C 33 = = 6 Cofactores o adjuntos

10 MENORES Y COFACTORES. Ejercicio Sea A = M 11 = M 12 = M 13 = M 21 = M 22 = M 23 = M 31 = M 32 = M 33 =, Calcular los menores y los cofactores. C 11 = C 12 = C 13 = C 21 = C 22 = C 23 = C 31 = C 32 = C 33 =

11 DETERMINANTE DE LA MATRIZ 3 3 a 11 a 12 a 13 Sea A = a 21 a 22 a 3 23 ; entonces det A = j=1 a 1j C 1j a 31 a 32 a 33 det A = A = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Se denomina determinante por desarrollo de cofactores de la primera fila. o expansión Sea A = ; det A = A = = 10 8 = 2

12 DETERMINANTE DE LA MATRIZ 3 3: Ejercicios Sea A = de cofactores. 1 ; calcular el determinante por expansión A = = = 14 A = = A = =

13 DETERMINANTE DE LA MATRIZ 3 3: Significado El significado geométrico de la magnitud de un determinante de orden 3x3 es el volumen de un paralelepípedo.

14 DETERMINANTE Si los vértices del paralelepípedo son el origen 0 = (0, 0, 0), v 1 = (a 1, b 1, c 1 ), v 2 = (a 2, b 2, c 2 ), y v 3 = (a 3, b 3, c 3 ), entonces su volumen es el valor absoluto del determinante de la matriz de coeficientes del sistema:

15 DETERMINANTE

16 REGLA DE SARRUS: Paso 1 1. Copie la primera y segunda columna(fila) de la matriz a su derecha(abajo) Sea A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23, a 31 a 32 a 33 A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32

17 REGLA DE SARRUS: Paso 2 Multiplique como se indica en las gráficas. Sarrus

18 REGLA DE SARRUS: Ejercicios Sea A = ; Calcule el determinante. = = 2 Sea B= = ; Calcule el determinante.

19 DETERMINANTE DE LA MATRIZ n n Sea A una matriz de n n. Entonces el determinante de A, denotado por det A o A, esta dado por A = n j=1 a 1j C 1j = a 11 C 11 + a 12 C a 1n C 1n Que se denomina desarrollo por los cofactores o expansión por cofactores de la primera fila. EJEMPLO, Sea A = , A = j=1 a 1j C 1j A = = =

20 DETERMINANTE DE LA MATRIZ n n

21 DETERMINANTE DE LA MATRIZ n n

22 MATRIZ ADJUNTA Sea A una matriz de n n y sea C, la matriz de sus cofactores. Entonces, la adjunta de A, denotada por Adj (A) es la transpuesta de la matriz C de los cofactores. Adj A = C = c 11 c 21 c 12 c 22 c n2 c n1 c 1n c 2n c nn Ejemplo:

23 MATRIZ ADJUNTA: Ejercicios Sea A = Adj (A) =, Entonces C = , Calcular la adjunta de las siguientes matrices. B= D=

24 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. Determinante de la transpuesta Si A es cualquier matriz cuadrada, entonces: det(a)= det(a t )

25 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 2. Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos filas de A, entonces el determinante cambia de signo: det B = - det t A (OPERACIÓN ELEMENTAL 1)

26 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 3. Si B se obtiene MULTIPLICANDO una fila de A por el escalar c, entonces el determinante queda multiplicado por c. det B = c (det A) (OPERACIÓN ELEMENTAL 2)

27 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 4. Si B se obtiene sumando a una fila de A un múltiplo de otra fila de A, entonces el determinante no se altera det B = det A (OPERACIÓN ELEMENTAL 3)

28 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 5. Determinante de una matriz triangular El determinante de una matriz triangular está dado por el producto de los elementos de su diagonal. a11 a12 a13... a1 0 a22 a23... a2 det 0 0 a33... a a n n n nn a a a a nn

29 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 6. Determinante de la inversa Si A es no singular, entonces det(a) 0, y : det( 1 A ) = 1 det( A) Es decir una matriz tiene inversa si su determinante es diferente de cero. Si el determinante de una matriz es cero, la matriz no tiene inversa.

30 MATRIZ INVERSA CON DETERMINANTES Fórmula de la inversa de una matriz invertible. Sea A una matriz de n n con det (A) 0. Entonces A 1 = 1 det A Ejemplo: adj (A) A = ; det A = Adj A = A 1 = = 2; C = A 1 =

31 MATRIZ INVERSA: Ejercicios Encontrar las inversas de las siguientes matrices B = B 1 = D = D 1 =

32 REGLA DE CRAMER Cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales puede expresarse como la razón de dos determinantes con denominador D y con numerador obtenido a partir de D, al reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes independientes b 1, b 2,, b n. x 1 = det(a 1), x det(a) 2= det(a 2) det(a),, x n = det(a n) det(a) x 1 = b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n b n a n2 a 11 a 12 a nn a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn

33 REGLA DE CRAMER Encontrar la solución del siguiente sistema de ecuaciones

34 BIBLIOGRAFIA David Poole (2004) Álgebra Lineal. Math Thomsom. Traducción. México Fernando Puerta Sales (1981) Álgebra Lineal. Universidad Pública de Barcelona. 1ª impresión. España Gareth Williams (2002) Álgebra Lineal. Mc Graw Hill. Traducción. México Jesús Rojo (2001) Álgebra Lineal. Mc Graw Hill. Primera edición. España Rafael Bru, Joan Josep Climent (2004) Álgebra Lineal. Alfaomega. Segunda edición. México Stanley I. Grossman (1996) Álgebra Lineal. Mc Graw Hill. Quinta edición. México Steven J. Leon (2006) Lineal Álgebra with Applicactions. Pearson Prentice Hall. Séptima edición. USA

35 FIN DE LA PRESENTACION