UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES FACULTAD DE FARMACIA Y BIOQUÍMICA MATEMÁTICA CURSO INTRODUCTORIO. Guía de Trabajos Prácticos

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1 UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES FACULTAD DE FARMACIA Y BIOQUÍMICA MATEMÁTICA CURSO INTRODUCTORIO Guía de Trabajos Prácticos Esta guía fue realizada por los docentes de la Cátedra de Matemática CÁTEDRA DE MATEMÁTICA Primer Cuatrimestre 2017

2 1. Resolver OPERACIONES ALGEBRAICAS a) 2 (3 + 5: 8) c) e) g) ( 2 3 ) 2 : 16 9 i) ( ) 2 ( 11 3 ) 3 k) 1 (3: 5 + 4) 1 2 m) [( ) + ( ) 2] 1 2 b) (2 3,5) ( 1 + 5: 2) 2 d) [ 1 5 ( )] : (1 7 6 ) f) h) j) (2 4 3 ) 9 8 l) (3 + 16) 1 : ( 1 7 ) 2 ñ) 2 3 { ( ) [ 1 ( ) ]} 2. Reducir (no utilizar calculadora) a) e 8 + e 2 3e 8 + 4e e 8 + e0 = b) e 5 e 2 3e 5 4e 2 = c) = d) log ( a 2 ) + log(2 a) log (a 5 ) = e) ln(z 7 ) + ln(z 9 ) ln 1 = f) ln(e 5x ) = g) log ( 10 5 ) = 3. Simplificar las siguientes expresiones a) b) c) (x + 2) 5 2 (x2 4) 1 30 (x 2) 7 : (x2 4) 49 x 2 ( 1 x + x 2 ) (x + 1) 2 Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 1

3 d) e) (5x 25) ( 1 1 (x : 5 ) 125 ) x2 8x x 3x 1 2 x 1 4. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones a) 2x 5 = 7 c) x 3 = 5 e) x 2 4 = 5 g) (x 3) 2 = 9 i) x 2 = 3 k) 2x + 2 = 10 m) 3x 2 = 75 b) 3x = 5x 2 d) x + 3 = 2 f) x 2 4 = x h) (x 3) 3 = 27 j) x = 5 d) x 6 : 2 4 = 4 Resolver las siguientes inecuaciones y representar la solución en la recta real a) 2x 2 x 3 h) 2x b) 3 x x + 2 2x + 3 c) x 2 4x + 4 > 0 d) x 2 5x + 6 > 0 e) x 3 2x 2 + 4x < 0 f) x 1 < 4 g) 3 2x < 1 i) 3 2x > 3 j) 3 x > 4 k) x 2 x + 3 < 0 l) x 2 x m) x Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 2

4 INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES 5. Indicar cuáles de los siguientes gráficos se corresponden con el gráfico de una función f: R R 6. Dado el gráfico de la función f, hallar: i) Hallar el conjunto de ceros ii) Hallar el conjunto de positividad y negatividad iii) Hallar el conjunto de crecimiento y decrecimiento iv) Decidir si los siguientes puntos pertenecen al gráfico de la función: (6; 3), ((0; 1), ( 3; 1), (7; 0), (9; 4), (0; 3) Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 3

5 RECTA EN EL PLANO FUNCIÓN LINEAL 7. Decidir cuáles de las siguientes ecuaciones se corresponden con el gráfico de una función lineal. Indicar, cuando corresponda, el valor de la pendiente y de la ordenada al origen. a) y = 3x + 1 b) y = 2x + 3 c) y = 3x d) x = 3 e) y = 9x f) y = 5 g) y = 9 2x h) x = 3y + 2 i) y = x j) 2x = x + y 8. Hallar la expresión en forma explícita y = mx + b"de las siguientes rectas en los casos que: i) La ecuación de la recta se encuentra expresada en la forma y = a(x x 0 ) + y 0 a) y = 2(x 1) + 3 b) y = 3(x + 2) + 1 c) y = 1 (x 4) 3 2 d) y = 2(x + 5) 9 e) y = 3(x 1) + 8 ii) La ecuación de la recta se encuentra expresada en la forma ax + by + c = 0 a) 3x + 2y 6 = 0 b) 2x + y 5 = 0 c) 2x + 5y 3 = 0 d) 3x 2y = 0 e) 3y + 5 = 0 f) 7y 9x 10 = 0 9. Hallar y graficar la ecuación de la recta que tiene pendiente m y pasa por el punto P 0 = (x 0 ; y 0 ) a) m = 2 P 0 = (2; 1) b) m = 3 P 0 = ( 2; 3) c) m = 0 P 0 = (3; 1) Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 4

6 10. Hallar y graficar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 0 = (x 0 ; y 0 ) y P 1 = (x 1 ; y 1 ) a) P 0 = (3; 1) P 1 = (5; 2) b) P 0 = ( 5; 1) P 1 = (3; 2) c) P 0 = (2; 1) P 1 = ( 3; 1) 11. Dados los siguientes gráficos, hallar la ecuación de la recta identificando previamente la pendiente y la ordenada al origen (cuando sea posible). 12. Indicar cuáles de las rectas son paralelas y cuáles son perpendiculares a: i) la recta de ecuación y = 2x 3. a) y = 2x + 1 b) y = 2x 3 c) y = 1 2 x + 5 Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 5

7 d) y = 1 2 x ii) la recta de ecuación y = 3x + 1. a) y = 3x b) y = 1 3 x + 5 c) 2x y + 9 = 0 d) y = 1 3 x 1 6 iii) la recta de ecuación 2x + 4y + 7 = 0. a) y = 8 3 x b) y = 1 2 x 4 c) y = 1 2 x + 8 d) 14x + 7y + 6 = 0 iv) la recta de ecuación 6x + 2y + 3 = 0. a) y = x 9 6 b) y = 3x + 1 c) y = 1 3 x 2 d) y = 1 3 x Para las siguientes funciones lineales hallar el conjunto de ceros, positividad y negatividad a) f(x) = 2x + 3 b) f(x) = 3(x 5) + 1 c) f(x) = 1 2 x + 5 d) f(x) = 2 3 x + 2 Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 6

8 e) f(x) = 2 Hallar f(0), f(3), f( 1). 14. Hallara analítica y gráficamente, si existen, los puntos de intersección de las siguientes rectas: y = 2x 1 a) { y = 3x + 2 2x 3y = 6 b) { 3x + 4y = 12 3x + y = 5 c) { 6x + 2y = 12 x y = 3 d) { 2x 2y = 5 y = 5x + 2 y = 8x 3 4x + 7y = 8 e) { y = 3 4 x + 4 f) { y = 7 g) { 3y + 5x = 6 2 x 1 x + 2y = 3 g) { 3 y = 3 5 x Dos rectas r1 y r2 se intersecan en el punto ( 9; 14). Si se sabe que una de las rectas posee ordenada al origen igual a 4 y que la otra recta posee pendiente igual a 1, hallar las ecuaciones de las rectas r1 y r Dos rectas r1 y r2 se intersecan en el punto (34; 12). Sabiendo que una de ellas posee pendiente igual a 8 y que la otra tiene ordenada al origen igual a 1, hallar las ecuaciones de las rectas r1 y r2 17. Se estima que a un laboratorio de producción farmacéutica le cuesta $1550 producir 100 unidades de cierto medicamento en un día, y $4350 fabricar 300 unidades del mismo medicamento también en un día. Suponiendo que la relación entre el costo y la producción es lineal, establecer la función f que expresa el costo (en pesos) de fabricar x unidades del medicamento en un día. Hallar el dominio de f. Graficar la función lineal obtenida. Qué representa la ordenada al origen? Y la pendiente de dicha recta? 18. Graficar las siguientes funciones: a) f(x) = x b) f(x) = x 1 c) f(x) = x + 1 d) f(x) = x e) f(x) = x Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 7

9 PARÁBOLA - FUNCIÓN CUADRÁTICA 19. Graficar las siguientes parábolas en un mismo gráfico a) y = x 2 b) y = x c) y = x 2 1 d) y = (x 1) e) y = (x 1) Dadas las ecuaciones de las siguientes parábolas a) y = x 2 3x + 2 b) y = x 2 2x + 4 c) y = 2x 2 + 3x + 1 d) y = x 2 + x + 2 i) Hallar (si existen) las raíces reales y expresar la ecuación, cuando sea posible, en forma factorizada. ii) Hallar las coordenadas del vértice y expresar la ecuación en la forma y = a(x x v ) 2 + y v iii) Graficar. 21. Dadas las ecuaciones de las siguientes parábolas expresadas en la forma y = a(x x v ) 2 + y v, identificar las coordenadas del vértice, hallar (si existen) raíces reales y graficar. a) y = 2(x 3) 2 8 b) y = (x + 1) c) y = (x 2) 2 d) y = (x 2) A 23. partir de los siguientes gráficos, expresar la ecuación de la parábola en la forma y = a(x x v ) 2 + y v Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 8

10 24. Indicar cuál de las siguientes funciones cuadráticas se corresponde con cada gráfico. Justificar. a) f(x) = (x 3) 2 1 b) f(x) = 2(x + 1) c) f(x) = (x 3) 2 d) f(x) = (x 2)(x + 1) e) f(x) = x 2 + 4x 3 f) f(x) = 3x 2 4x + 2 Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 9

11 25. Para las siguientes funciones cuadráticas a) f 3 (x) = (x 2) 2 4 b) f 4 (x) = x 2 + 3x + 2 c) f 2 (x) = (x + 2)(x 1) d) f 1 (x) = 3(x 1) i) Hallar el conjunto de ceros, positividad y negatividad ii) Decidir (justificando) si: (1; 2) Im(f 1 ), (3; 1) Im(f 3 ) (3; 2) Im(f 3 ) Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 10

12 26. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía un alto contenido de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje x de levadura en la mezcla de proteína, se estimó que el peso promedio ganado en gramos de una rata en un período fue de P(x) = x 2 + 2x + 3. Encontrar el peso promedio máximo ganado. 27. El consumo de oxígeno, en mililitros por minuto, para una persona que camina a x kilómetros por hora, está dada por la función f(x) = 5 3 x2 + 5 x + 10, mientras que el consumo de oxígeno para una 3 persona que trota a x kilómetros por hora, está dado por g(x) = 11x i) Trazar las gráficas de f y g (en un mismo gráfico) ii) A qué velocidad es idéntico el consumo de oxígeno para una persona que camina y para otra que trota? iii) Qué sucede con el consumo de oxígeno para ambas personas a velocidades mayores que la determinada en la parte ii)? 28. Hallar analítica y gráficamente, si existen, los puntos de intersección de las siguientes funciones: a) { f(x) = x2 5x + 6 g(x) = x 2 + 2x + 1 f(x) = 2x + 1 b) { g(x) = x 2 2x + 1 c) { f(x) = x2 + 4x 3 g(x) = x 2 + 4x + 3 d) { f(x) = x 1 g(x) = 3x 2 4x + 2 Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 11

13 FUNCIÓN EXPONENCIAL 29. Indicar cuáles de las siguientes expresiones definen una función exponencial y en dicho caso realizar un gráfico aproximado. a) f(x) = 2 5x b) f(x) = 4e x 1 c) f(x) = ( 3) x d) f(x) = 5 x+2 e) f(x) = e Hallar el valor de x R tal que: a) 3 1 x = 27 1 b) 4x+1 = 128 2x+2 c) 5 2x 5 x+1 = Hallar el conjunto de ceros, positividad, negatividad y ordenada al origen de las siguientes funciones exponenciales a) f(x) = 10 x b) f(x) = 4e x c) f(x) = e 2x+1 + e e) f(x) = 2 1 x Las funciones exponenciales son adecuadas para representar el crecimiento poblacional como también el proceso de desintegración de partículas. La cantidad de masa (medida en gramos) que va quedando de un elemento radioactivo a través del tiempo se representa por la siguiente función f(t) = 10 ( 1 t 2 ) 25 donde t es el tiempo medido en años. i) Qué masa tenía el elemento al inicio? Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 12

14 ii) Cuánta masa quedará al término de 100 años? iii) Cuántos años deberán trascurrir para que la masa inicial se reduzca a la mitad? 33. La concentración de un medicamento en un órgano al instante t (en segundos) está dada por la función f(t) = e 0.02t donde f(t) son gramos/centímetros cúbicos (gr/cm3) i) Cuál es la concentración pasado 1 minuto? ii) Cuánto tiempo tardará en alcanzar 0.18 gr/cm3 de medicamento en el órgano? 34. Resolver las siguientes ecuaciones: a) 6 ln ( x 2 ) 2 ln (x 3 ) = 3 ln(x) ln (64 9 ) b) log(20x + 20) 2 log(x + 1) = 1 FUNCIÓN LOGARÍTMICA 35. Graficar en forma aproximada las siguientes funciones a) f(x) = log (x 5) b) f(x) = 3 + ln (x) c) f(x) = 1 + ln (x + 3) 36. Indicar a que representación gráfica corresponde cada uno de los siguientes bloques de funciones e identificar las funciones. f 1 (x) = log(x) a) { f 2 (x) = log (x 2) f 3 (x) = log (x + 2) f 1 (x) = ln (x) b) { f 2 (x) = x f 3 (x) = e x Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 13

15 Curso Introductorio de Matemática er Cuatrimestre 37. Considere la población del ejercicio 32. Existe otra sustancia radioactiva que comienza su proceso de desintegración en el mismo momento pero según la siguiente función: g(t) = 10 ( 1 3 ) t 20 Existe algún instante de tiempo donde ambas sustancias tienen la misma masa? 38. Un decibel, llamado así en honor de Alexander Graham Bell, es el incremento mínimo del volumen del sonido detectable por el oído humano. En física, se demuestra que cuando se dan dos sonidos de intensidades I1 e I2 (vatios/cm3), la diferencia en volumen es D decibeles, donde D = 10log(I1/I2) Cuando el sonido se clasifica en relación con el umbral de audición humana (I0 = 10 12), el nivel de conversación normal es aproximadamente 60 decibeles, mientras que en un concierto de rock puede ser 50 decibeles más alto. i) Cuánto más intenso es un concierto de rock que una conversación normal? ii) El umbral de dolor se alcanza cuando el nivel de sonido es aproximadamente 10 veces tan alto como el de un concierto de rock. Cuál es el nivel del umbral de dolor en decibeles? FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS 39. Graficar en forma aproximada las siguientes funciones: a) f(x) = 2 + sen(x) b) f(x) = 2sen(x) c) f(x) = 1 2 sen(x) Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 14

16 d) f(x) = sen ( x 2 ) e) f(x) = sen(2x) f) f(x) = sen(2x π) g) f(x) = cos (x π) h) f(x) = cos (x + π 2 ) i) f(x) = cos(2x π) j) f(x) = cos( x) + 1 k) f(x) = tg(x) 40. Hallar el o los valores de x [0; 2π] que son solución de las siguientes ecuaciones: a) 2sen(x) = 1 b) sen(x) = tg(x) c) sen(x) + 2 cos 2 (x) = 1 d) cos(2x π) = 1 2 e) cos(x) = 3 2 f) sen(2x) = 2 2 g) cos(x) = 0,2 41. Al inyectar un determinado fármaco a una rata de laboratorio, se observa que el animal presenta variaciones de temperatura en su medio interno. Se logra establecer que dichas variaciones de temperatura, en grados Celsius, se modelan mediante la siguiente función: f(t) = sen(2t π) donde t es el tiempo transcurrido desde que se inyecta el fármaco (en minutos). Representar gráficamente la función indicando amplitud, período y desplazamiento de fase. ~ 15 ~

17 42. Hallar las funciones derivadas de: DERIVADAS a) y = x 2 + ln (x) 3 b) y = x + x c) y = x 3 e x d) y = tg(x) x 2 e) y = sen(x) + cos (x) xln(x) f) y = 3x2 + e 2 2sen(x) g) y = cos (3x) h) y = e tg(x) i) y = sen(x) j) y = 3 x k) y = sen(x + cos(x)) l) y = sen( x) m) y = (x 2 3x x7 ) n) y = ( x2 1/3 + 1 x 2 1 ) ñ) y = ex + e x 2 ~ 16 ~

18 INTEGRALES 43. Hallar las siguientes primitivas: a) (cos(x) + 2 x ) dx b) x(1 + x) dx c) x2 + 1 dx x d) 4 + x dx x e) 2 x 3 x dx f) (x + 2 x) 2 dx 1 + x cos(x) + x g) dx x h) (2e x + 7x) dx i) 49x2 9 7x + 3 dx 44. Hallar las siguientes primitivas utilizando el método de sustitución a) cos (x + 1) dx b) 2 5x dx c) (2x + 10) 9 dx 3 d) 2x 1 dx e) x x dx f) xe x2 dx g) 1 x + 2 dx ~ 17 ~

19 h) ln (x) x dx i) 15x2 + 8x 3 (5x 3 + 2x 4 ) 3 dx j) 6 + 2ex e x + 3x dx k) e 10x6 x 5 dx l) x 1 + x dx m) e x + 1 dx x n) x(ln (x2 + 1) x 2 dx + 1 x ñ) e x 2 dx o) e x dx 45. Hallar las siguientes primitivas utilizando el método de integración por partes a) xe x dx b) x 1 + x dx c) x 2 cos (x) dx d) x 3 ln(x) dx e) e x sen(x) dx f) cos (ln(x)) dx g) sen 2 (x) dx h) e x (3x 2) dx i) e x ln (x) dx ~ 18 ~

20 j) (x 2 + 1) sen(x) dx k) e x2 x dx l) (2e x 2e x )xe x dx 46. Hallar la función F(x) que verifica: a) F (x) = 3x + 2 y F(1) = 3 b) F (x) = cos (x) y F ( π 2 ) = 4 c) F (x) = x 3 sen(x) y F(0) = 1 2 d) F (x) = x 2 + e x y F(0) = 3 e) F (θ) = sen(θ) y F(π) = 3 f) F (t) = 2t + e t y F(1) = 0 g) F (α) = 1 α y F(1) = 0 h) F (θ) = 2 3 θ 3 y F(1) = 2 ~ 19 ~