Facultad de Ingeniería Matemática intermedia 1. Proyecto 2

Transcripción

1 Univrsidad d San Carlos d Guatmala Dpartamnto d matmática Facultad d Ingniría Matmática intrmdia 1 Introducción: Proycto Fcha d ntrga: marts 10 d octubr d 017 El dsarrollo d proyctos s important n la formación dl studiant ya qu l prmit intractuar con sus compañros n la solución d problmas, los cuals rquirn l uso d tcnología para su solución. Para rsolvr los problmas, l grupo d studiants db ralizar un análisis matmático así como ralizar los cálculos utilizando l softwar qu considrn convnint. Entr los programas qu pudn utilizar stán: Scintific Notbok, Mathmatica, Mapl, driv, Mathlab, tc. El inform db sr prsntado utilizando un procsador d txtos, n cuyo caso dbn importars los rsultados dl programa matmático o bin ditando compltamnt l inform con l ditor qu incluyn algunos programas como Scintific Notbook, Mathmatica y Mapl. Problma 1: Sris Considr un xágono d lado L, a st xágono s l inscrib un triángulo quilátro, dl cual s quitan los vértics y s dja un circulo tangnt a dicho triángulo, como s mustra n la figura 1. A la par d uno d los lados dl xágono inicial s coloca un nuvo xágono d lado 10*M% d la longitud dl lado dl xágono antrior, a st sgundo xágono s l coloca un trcr xágono d lado d longitud 10*M% mnor a la dl sgundo xágono. El procso antrior s rpit d manra rcurrnt, hasta l infinito como s pud obsrvar n la figura. Cada vz qu s agrgu un nuvo xágono s db incribir un triángulo quilátro dl cual s quitan los vértics y s d j a u n c í r c u l o t a n g n t a l t r i á n g u l o. Tomando n cunta l procso antrior y sabindo qu: L s la suma d los dígitos dl númro d carnt. M s l rsiduo d la división d la suma d los dígitos dl carnt ntr 3, si n caso l rsiduo da cro us M=. En los incisos d s db usar una sri para calcular lo siguint: a. La suma d las áras d todos los xágonos. b. La suma d las áras qu s quitan d todos los triángulos inscritos. c. La suma d las áras d todos los círculos inscritos n los triángulos. d. La suma d las áras d todas las áras blancas (la aqu quda al quitar los vértics d los triángulos y dar los círculos inscritos a dichos triángulos) Nota: Rcurd qu n su rport, db aparcr todo l procso para ncontrar las sris n función d L, ya qu rspustas sin procdiminto, no tinn valor.

2 Problma : Ecuacions Polars Problma a. Puntos d intrscción y gráficas: Dados los siguints pars d curvas. r =cos r = 1 r =8cosθ r = 3snθ r =3cosθ r =1+cosθ a. Us un SAC para ncontrar la intrscción d las siguints curvas polars b. Lugo ncuntr las intrsccions d las curvas a mano, djando constancia d los procdimintos qu lo llvaron a dichas rspustas. c. Compar los rsultados qu obtuvo con su programa d cómputo con los obtnidos a mano d. Us un SAC para graficar las dos curvas n un mismo sistma d coordnadas.. Plant y rsulva la o las intgrals ncsarias para calcular l ára qu stá dntro d la primra curva y fura d la sgunda curva. Problma b. Puntos d intrscción y áras: Dados los siguints pars d curvas. r =1 cos r =1+cosθ r r =cos θ r = snθ r =cosθ = sn θ + 1 a. Us un SAC para ncontrar la intrscción d las siguints curvas polars b. Lugo ncuntr las intrsccions d las curvas a mano, djando constancia d los procdimintos qu lo llvaron a dichas rspustas. c. Us un SAC para graficar las dos curvas n un mismo sistma d coordnadas. d. Plant y rsulva la o las intgrals ncsarias para calcular l ára qu stá dntro d ambas curvas. Problma c. Puntos d intrscción y áras: Dadas las siguints curvas. r =cos r =5θ r =θ r =+cosθ iv. a. Us un SAC para ncontrar los valors d θ dond la curva pasa por l polo. b. Plant y rsulva una intgral para calcular la longitud d la curva xacta. Problma c. Puntos d intrscción y áras:

3 Dadas las curvas: r =4cos3 r = sn5θ r = 1+ snθ ( buclxtrno ). a. Us un SAC para ncontrar los valors d θ dond la curva pasa por l polo. b. Us un SAC para graficar la curva. c. Plant y rsulva una intgral para calcular l ára ncrrada por uno d los bucls. d. Plant y rsulva una intgral para calcular la longitud uno d los bucls. Problma 3: Ecuacions polars d las cónicas En 1609 l matmático y astrónomo almán Johanns Kplr, con bas a norms cantidads d datos astronómicos, publicó trs lys dl moviminto plantario, d stas, mncionarmos solamnt la primra: Un planta gira alrddor dl Sol n órbita líptica con l sol n un foco. Aun cuando Kplr formuló sus lys n términos dl moviminto d plantas alrddor dl Sol, aplican bin al moviminto d comtas, satélits y otros curpos qu giran sujtos a una sola furza gravitacional. Para fins d cálculos astronómicos, s útil xprsar la cuación d una lips, n términos d su xcntricidad y su smij mayor a. S pud scribir la distancia d dl foco a la dirctriz n términos d a si usa: a d = ( 1 ) d a 1 ( ) Entoncs d = a( 1 ), si la dirctriz s x = d. = d = a ( 1 ) Entoncs la cuación polar d una lips con foco n l orign con smij mayor a y xcntricidad s: d r = 1+ cosθ Las posicions más crcana y más ljana d un planta qu al Sol, s dnominan prihlio (prigo o priluna) y aflio (apogo apoluna), rspctivamnt, y corrspondn a los vértics d la lips. Las distancias antriors stán dadas por: Al prihlio: a( 1 ) Al aflio: a ( 1+).1 Utilic un programa d cómputo qu tnga la capacidad d dibujar gráficas n coordnadas polars. Para 0 < < 1, dibuj simultánamnt las rprsntacions gráficas para los valors d =0.1, 0.3, 0.5, 0. 7 mantnindo d fijo n d =3.

4 . Lugo dibuj simultánamnt una rprsntación gráfica mantnindo fijo n = 0.6 y hacindo variar d n d =, 4, 6, 7. Expliqu los rsultados obtnidos n ambas gráficas. Qué cónica s produc?.3 Para =1, dibuj simultánamnt cuando s hac variar l valor d d =3, 5, 7. Qué cónica s obtin?.4 Para >1. Dibuj Simultánamnt la rprsntación gráfica para los valors d =1.5, 1.50,.5, 3, 6. mantnindo d fijo n d =3..5 Dibuj simultánamnt la rprsntación gráfica para los valors d d =3, 4, 6, 8. y mantnindo fijo n =3. Qué cónica s obtin?.6 Cómo cambia la gráfica al variar los valors d y d d? Expliqu claramnt..7 Us los datos d la tabla siguint para fctuar lo qu s l pid, n todos los casos l j polar intrsca con la órbita dl planta n l prihlio (la distancia más pquña al Sol) d los trs plantas. Planta Excntricidad Smij mayor (unidads astronómicas) HD a HD b HD c Encuntr una cuación para las órbitas d los plantas HD a, HD b y HD c stán dadas rspctivamnt por las cuacions.8 Dibuj simultánamnt las órbitas d los plantas HD 69830a, HD 69830b y HD 69830c plantas d HD qu s una strlla d tipo G7,5-K0 V d la constlación d Puppis. A su alrddor orbitan trs plantas y un posibl cinturón d astroids. Es l primr sistma plantario xtrasolar con una strlla smjant al Sol qu no contin un planta joviano, "planta joviano" quir dcir qu son plantas similars a Júpitr, s dcir, qu son gigantscos, qu stán compustos sncialmnt d hidrógno y hlio, y qu su dnsidad s baja. S toma a Júpitr como rfrncia, porqu s l primr planta con sas caractrísticas qu nos ncontramos. D los trs plantas dscubirtos, l más xtrior s ncuntra n la llamada "zona habitabl" dl sistma, s dcir, n l rango d distancias a la strlla dond s pud ncontrar agua n stado líquido. Los plantas tinn 10, 1 y 18 vcs la masa d la Tirra y orbitan alrddor d la strlla con príodos d 9, 3 y 197 días, rspctivamnt. Furon dscubirtos mdiant l spctrógrafo HARPS dl tlscopio d 3,6 mtros dl Obsrvatorio d La Silla qu forma part dl Europan Southrn Obsrvatory, n l dsirto d Atacama (Chil). Escoja una scala d tal forma qu la órbita d HD c ocup casi todo l rctángulo d visualización..9 Calcul los valors corrspondints dl prihlio y l aflio d cada uno d los plantas.

5 .10 Calcul las distancias qu s l indican para cada planta, sgún l valor dl ángulo θ indicado n la tabla. Planta HD a HD b HD c Angulo 5π 6 7π 4 3π Rfrncias [1] Cálculo Trascndnts tmpranas. Dnis G. Zill, Warrn S. Wright. Mc Graw Hill, cuarta dición. [] Jams Stwart. Cálculo d varias variabls, Sxta dición. CENGAGE Larning. [3] Edwards y Pnny. Cálculo con Gomtría analítica, 4a dición, Editorial PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA, S. A. [4] Edwin J. Purcll y Dall Varbrg. Calculo con gomtría analítica. PRENTICE HALL. Sxta dición. [5] Rfrncia:. An xtrasolar plantary systm with thr Nptun-mass plants, Natur, 18 d mayo d 006. [6] Castillo Migul. Instructivo para l uso d los Programas Scintific Notbook, Matmática y Mathcad [7] [8]