Análisis de Datos en Física de Partículas

Transcripción

1 Análisis de Datos en Física de Partículas Sección de Posgrado Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Ingeniería C. Javier Solano Página del curso: curso-analisis-estadistico-de-datos-en-fisica-de-particulas-mf708/ J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 1

2 Análisis de Datos en Física de Partículas: Capítulo 4 1 Teorema de Probabilidad de Bayes, Variables aleatorias, y pdfs 2 Funciones de r.v.s, Valores de expectación, propagación de errores 3 Catálogo de pdfs 4 El método de Monte Carlo 5 Test estadísticos: conceptos generales 6 Test statistics, métodos multivariantes 7 Tests Bondad de ajuste (goodness-of-fit) 8 Parámetros de estimación, maximum likelihood 9 Mas de maximum likelihood 10 Método de mínimos cuadrados (least squares) 11 Intervalo de estimación, establecimiento de límites 12 Parámetros molestos (nuisance), incertidumbres sistemáticas 13 Ejemplos de aproximación Bayesiana J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 2

3 El Método MC Qué es?: una técnica numérica para el cálculo de probabilidades y cantidades relacionadas usando secuencias de números aleatorios. Los pasos habituales: (1) Generar secuencia r 1, r 2,..., r m uniforme en [0, 1]. (2) Use esto para producir otra secuencia x 1, x 2,..., x n distribuida de acuerdo con algún pdf f(x) en el que estemos interesados (x puede ser un vector). (3) Use los valores de x para estimar alguna propiedad de f (x), ej., fracción de valores de x con a<x<b da cálculo MC = integración (al menos formalmente) valores generados MC = datos simulados use para probar los procedimientos estadísticos J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 3

4 Generadores de números aleatorios Objetivo: generar uniformemente valores distribuidos en [0,1] Tirar moneda para ej. número de 32 bits... (muy cansado :( ). generador de números aleatorios = algoritmo de computadora para generar r 1, r 2,..., r n. Ejemplo: generador de congruencia lineal multiplicativo (MLCG) n i+1 = (a n i ) mod m, donde n i = número entero a = multiplicador m = módulo n 0 = semilla ( valor inicial) N.B. mod = módulo (resto), ej. 27 mod 5 = 2. Esta regla genera una secuencia de números n 0, n 1,... J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 4

5 Generadores de números aleatorios (2) La secuencia es (desafortunadamente) periódica! Ejemplo: a = 3, m = 7, n 0 = 1 secuencia se repite Elija a, m para obtener periodos largos (máximo = m-1), en gral. m cerca del mayor entero que puede representar la computadora. Use sólo un subconjunto de un solo período de la secuencia. J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 5

6 Generadores de números aleatorios (3) están en [0, 1] pero son aleatorios? Escoger a, m tal que los r i pasen varios tests de aleatoriedad: distribución uniforme en [0, 1], todos los valores independientes (no correlación entre pares), ej. L Ecuyer, Commun. ACM 31 (1988) 742 sugiere a = m = Mejores generadores disponibles, ej. TRandom3, basado en algoritmo 'twister' de Mersenne, periodo = (un # primo Mersenne ). Ver F. James, Comp. Phys. Comm. 60 (1990) 111 J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 6

7 El método de transformación Dado r 1, r 2,..., r n uniforme en [0, 1], hallar x 1, x 2,..., x n que sigue f(x) encontrando una transformación adecuada x(r). Requiere: es decir Es decir, definir y resolver para x(r). J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 7

8 Ejemplos del método de transformación Exponencial pdf: Definir y resolver para x(r). también funciona.) J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 8

9 El método de aceptación-rechazo Encerrar la pdf en una caja: (1) Generar un número aleatorio x, uniforme en [x min, x max ], es decir r 1 es uniforme en [0,1]. (2) Generar un 2do número aleatorio independentie u uniformemente distribuido entre 0 y f max, es decir (3) Si u < f (x), entonces acepta x. Si no, rechaza x y repite. J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 9

10 Mejorando la eficiencia en el método de aceptación-rechazo La fracción de puntos aceptados es igual a la fracción del área de la caja bajo la curva. Para distribuciones muy puntiagudas, esto puede ser muy bajo y por lo tanto el algoritmo puede ser lento. Mejorarlo encerrando el pdf f(x) en una curva C h(x) que se ajusta a f(x) más de cerca, donde h(x) es una pdf de la que podemos generar valores aleatorios y C es una constante. Generar puntos uniformemente sobre C h(x). Si el punto está debajo f(x), aceptar x. J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 10

11 Generadores de eventos MC Ejemplo simple: e + e µ + µ Generar cosθ y φ: Menos simple: generadores de eventos para variedad de reacciones: e + e - µ + µ, hadrons,... pp hadrons, D-Y, SUSY,... e.g. PYTHIA, HERWIG, ISAJET... Salida = eventos, es decir, para cada evento tenemos una lista de partículas generadas y sus vectores momenta, tipos, etc. J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 11

12 Un evento simulado PYTHIA Monte Carlo pp gluino-gluino J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 12

13 Simulación MD del detector Tomar como entrada la lista de partículas y momenta de generador. Simular la respuesta del detector: multiple Coulomb scattering (generar ángulo de scattering, decaimientos de partículas (generar tiempo de vida media), pérdida de energía por ionización (generar ), cascadas hadrónicas, electromagnéticas producción de señales, respuesta de la electrónica,... Salida = datos raw simulados entrada al software de reconstrucción: hallar trazos (tracking), ajuste (fit), etc. Predice que deberías ver al nivel detector dada una cierta hipótesis para el nivel generador. Comparar con los datos reales. Estimar efficiencias = #eventos hallados / # eventos generados. Paquete de programación: GEANT J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 13

14 Terminando Capítulo 4 Hemos visto el método MC: cálculos basados en secuencias de números aleatorio, usados para simular colisiones de partículas, respuesta del detector. Hasta ahora, hemos estado hablando acerca de probabilidad. Pero supongamos ahora que nos enfrentamos a datos experimentales. Queremos inferir algo acerca de los procesos (probabilística) que produjo los datos. Esto es estadística, el tema principal de las siguientes clases. J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 4 página 14