RELACION DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/ e I =

Transcripción

1 IES "Jándul" RELACION DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Prolems propuestos pr l prue de cceso del curso 996/97 º Consider ls mtrices A e I Clcul un mtri X tl que A AX I, clcul, si eiste, l invers de X º Estudi el siguiente sistem según los vlores del prámetro k e interpret geométricmente los resultdos: (k ) 5 5 k 6 5k º De un mtri cudrd de orden se se que su determinnte vle () Eplic cuánto vle el determinnte de l mtri A () Si B es l mtri invers de A, eplic cuánto vle el determinnte de B () Al plicr el método de eliminción de Guss l mtri A, l finl del proceso otenemos, sin que h hido intercmio de fils ni de columns, l mtri Cuánto vle α? Justific l respuest α º () Eplic revemente el concepto de independenci linel de vectores en R enunci lgun condición equivlente que tres vectores de R sen linelmente independientes () Escrie el vector como cominción linel de los vectores u, v w, siendo: u, v, w º Consider el sistem de ecuciones: () Añde un ecución l sistem nterior de modo que el sistem resultnte se incomptile () Si ñdimos l sistem l ecución m, PATF Pág Prolems de Selectividd RúlGM 7

2 IES "Jándul" determin pr qué vlores del prámetro m el sistem resultnte es comptile indetermindo resuélvelo 6º Un tiend vende un clse de clcetines pts el pr Al llegr ls rejs, durnte el primer mes reli un % de descuento sore el precio inicil en el segundo mes un % tmién sore el precio inicil Siendo que vende un totl de 6 pres de clcetines por 5976 pts Y que en ls rejs h vendido l mitd de dicho totl, cuántos pres de clcetines se les h plicdo el descuento del %? 7º Determin según los vlores del prámetro m cuándo tiene solución el sistem m m m ( m ) (m ) m m m m resuélvelo cundo se comptile indetermindo Prolems propuestos pr l prue de cceso del curso 997/98 8º L mtri cudrd X de orden verific l relción 7 X X Determin, si es posile, el rngo de X Verific lgun de ls mtrices A B siguientes l relción del enuncido? A B 9º Se el sistem de ecuciones m ( m) m m Estudi su comportmiento según los vlores del prámetro m resuélvelo pr m º Un person trt de divinr, medinte cierts pists, el coste de tres productos A, B C que un migo suo h comprdo: PATF Pág Prolems de Selectividd RúlGM 7

3 IES "Jándul" Pist : Si compro un unidd de A, dos de B un de C me gsto 9 Pts Pist : Si compro m uniddes de A, m uniddes de B de C me gsto 95 Pts () H lgún vlor de m pr el cul ests dos pists no son comptiles? () Si en l Pist se tom m, es posile ser el coste de cd uno de los productos? () Pist : El migo le dice finlmente que el producto C vle 5 veces lo que vle el producto A que en l Pist se tiene m Cuánto vlen A, B C? º Consider el sistem de ecuciones lineles k k 5 () Pr qué vlores de k no tiene invers l mtri de los coeficientes? () Discut el sistem según los vlores de k º De l mtri A dd por A 5 8 α Se se que no tiene invers () Cuánto vle α? Justific l respuest () Resuelve el sistem 5 8 α () Eiste lgun solución de dicho sistem con? º Puedes construir un mtri cudrd de orden que verifique ls condiciones (i) (ii) escrits continución? (i) Su trnspuest su invers coinciden (ii) Su determinnte vle 5 Ron l respuest º () Dds ls mtrices A cumple que: B ( ), clcul l mtri X que PATF Pág Prolems de Selectividd RúlGM 7

4 IES "Jándul" 7 X (AB) t (El superíndice t represent l mtri trspuest) () Tiene X mtri invers? Justific l respuest 5º Consider ls mtrices A X Eiste lgún vlor rel pr el cul el sistem AX X tiene solución distint de l trivil? Si l respuest es firmtiv, indic el vlor de resuelve el sistem; si es negtiv, di por qué 6º Se A un mtri no nul dd consider l ecución mtricil AXAX, donde X es l incógnit () Encuentr rondmente l relción que dee de eistir entre ls dimensiones de A de X pr que l ecución teng sentido () Puede ser l sum de dos soluciones un nuev solución? Y el producto de un número por un solución? Justific l respuest () Si A k es l mtri A uscmos un solución de l form X, discute l ecución mtricil que result resuélvel cundo se posile 7º Consider el sistem de ecuciones: 5 m m () Discute el sistem según los vlores del prámetro m () Resuélvelo cundo se comptile indetermindo () Ron pr qué vlores de m tiene invers l mtri de los coeficientes del sistem 8º Se C l mtri que depende de un prámetro m, dd por: m C () Pr qué vlores del prámetro m no tiene invers l mtri C? () Clcul l mtri invers de C pr m 9º En un supermercdo se ofrecen dos lotes formdos por distints cntiddes de los mismos productos: El primer lote está compuesto por un otell de cerve, tres olss de cchuetes siete vsos su precio es de 565 pts El segundo lote está compuesto por un otell de cerve, cutro PATF Pág Prolems de Selectividd RúlGM 7

5 IES "Jándul" olss de cchuetes die vsos su precio es de 7 pts Con estos dtos podrís verigur cuánto deerí vler un lote formdo por un otell de cerve, un ols de cchuetes un vso? Justific l respuest º Consider ls mtrices: A B () Determin si A B son invertiles, en su cso, clcul l mtri invers () Resuelve l ecución mtricil BA A AB X º El determinnte 8 vle cero pr Comprue est firmción sin desrrollrlo e indicndo ls propieddes de los determinntes que pliques Determin todos los vlores de pr los que ls tres columns del determinnte nterior representn vectores linelmente dependientes Justific l respuest º Se dice que dos mtrices A B son semejntes cundo eiste un mtri invertile P tl que AP BP () Prue que ls mtrices A B son semejntes () Resuelve los sistems: º Se dice que un mtri A cudrd de orden tres es ortogonl si su invers A su trspuest A t coinciden Ddo un número rel, se l mtri B cos() sen() B sen() cos() () Es ortogonl l mtri B? () Es B ortogonl? º Se A l mtri dd por 5 5 A c 7 d PATF Pág 5 Prolems de Selectividd RúlGM 7

6 IES "Jándul" Hllr,, c d siendo que: () El vector cus coordends son ls que precen en l primer column de A es ortogonl l vector (,,) () El producto vectoril del vector cus coordends son ls de l tercer column de A por el vector (,,) es el vector (,,) () El rngo de l mtri A es 5º Discute el siguiente sistem según los vlores del prámetro : resuélvelo cundo se comptile indetermindo Prolems propuestos pr l prue de cceso del curso 998/99 6º Consider l mtri c A c, c donde, c son no nulos () Determin el número de columns de A que son linelmente independientes () Clcul el rngo de A ron si dich mtri tiene invers 7º Consider l mtri A Clcul A t A AA t donde A t denot l mtri trspuest de A () Siendo X un mtri column, discute, en su cso, resuelve, l ecución mtricil según los vlores del prámetro rel AA t X X 8º Clsific el siguiente sistem de ecuciones según los vlores del prámetro, ( ) ( ) ( ) 9º () Si todos los elementos de un mtri de orden se multiplicn por (), qué relción h entre los determinntes de l mtri originl de l nuev mtri? () Y si se multiplicn por ()? (c) Indic un de ls PATF Pág 6 Prolems de Selectividd RúlGM 7

7 IES "Jándul" propieddes de los determinntes que hs utilido en l resolución de los prtdos nteriores 6 º Se se que 5 () Clcul el vlor de () c d c d 6c d Enunci un propiedd de los determinntes que hs usdo en el prtdo nterior º Clsific el siguiente sistem de ecuciones lineles según los vlores del prámetro rel m: 5 m m º Define el concepto de invers de un mtri cudrd D lgún criterio que permit decidir si un mtri cudrd es invertile Es invertile l mtri A siguiente? Justific l respuest A º Consider el sistem de ecuciones que depende de un prámetro rel : 5 6 () Discute el sistem según los vlores de () Resuélvelo pr 8 º Consider l mtri B que depende de un prámetro : B () Pr qué vlores de tiene B invers? Justific l respuest () Pr hll l invers de B Prolems propuestos pr l prue de cceso del curso 999/ 5º Dd l mtri A PATF Pág 7 Prolems de Selectividd RúlGM 7

8 Prolems de Selectividd RúlGM 7 IES "Jándul" PATF Pág 8 Clcul (A t A ) A 6º Consider l mtri A Hll los vlores de pr los que l mtri A no tiene invers Tomndo, resuelve el sistem escrito en form mtricil A 7º Resuelve l ecución mtricil A X B, siendo A B 8º Discute resuelve el siguiente sistem según los vlores de : 9º Un morist de cfé dispone de tres tipos se, Mok, Brsil Colomi, pr preprr tres tipos de mecl, A, B C, que envs en scos de 6 Kg Con los siguientes contenidos en kilos precios del kilo en euros: Mecl A Mecl B Mecl C Mok 5 Brsil 8 Colomi 5 Precio (cd Kg) '5 '7 Suponiendo que el preprdo de ls mecls no supone coste lguno, cuál es el precio de cd un de los tipos se de cfé? º Consider el sistem de ecuciones escrito en form mtricil

9 IES "Jándul" () Discute el sistem según los vlores del prámetro () Resuelve el sistem cundo se comptile indetermindo c º Siendo que d e f clcul los siguientes determinntes g h i enunci ls propieddes que utilices pr clculrlos: 5c () d e 5f g h 5i c () d e f e g h i h º Consider el sistem de ecuciones: 7 () Hll todos los vlores del prámetro pr los que el sistem correspondiente tiene infinits soluciones () Resuelve el sistem pr los vlores de en el prtdo nterior (c) Discute el sistem pr los restntes vlores de º Consider el sistem de ecuciones 5 () Determin siendo que el sistem tiene infinits soluciones () Resuelve el sistem resultnte º Consider l mtri A () Determin pr qué vlores del prámetro eiste A () Clcul A pr 5º Consider ls mtrices: 7 A, X U 9 PATF Pág 9 Prolems de Selectividd RúlGM 7

10 IES "Jándul" () Hll los vlores de e tles que AX U () Hll l mtri A clcul A U (c) Encuentr los posiles vlores de m pr los que los vectores: A m m son linelmente dependientes 6º Consider el sistem de ecuciones: ( ) () Hll todos los posiles vlores del prámetro pr los que el sistem correspondiente tiene l menos dos soluciones distints () Resuelve el sistem pr los vlores de otenidos en el prtdo nterior (c) Discute el sistem pr los restntes vlores de Prolems propuestos pr l prue de cceso del curso / 7º Se l mtri: A sen cos cos sen sen cos sen cos Pr qué vlores de eiste l mtri invers de A? Clcul dich mtri invers 8º Consider l mtri A 5 () Siendo I l mtri identidd de orden O l mtri nul de orden, prue que A I O () Clcul A 9º Clsific el siguiente sistem según los vlores del prámetro "m" resuélvelo pr m 6 m m m PATF Pág Prolems de Selectividd RúlGM 7

11 Prolems de Selectividd RúlGM 7 IES "Jándul" PATF Pág 5º Determin el vlor de, c, siendo que l mtri A rngo(a) 9 A verific : c 5º De ls mtrices A, B 6 5, C D, determin cuáles tienen invers, en los csos en que eist, clcul el determinnte de dichs inverss 5º Consider A, B X () Determin el rngo de A en función del prámetro () Discute, en función de, el sistem ddo en form mtricil AX B (c) Resuelve el sistem AX B en los csos en que se comptile determindo 5º Se se que l mtri A verific que det(a) sus columns son vectores perpendiculres dos dos () Clcul los vlores de () Comprue que pr dichos vlores se verific que A A t, donde A t denot l mtri trspuest de A 5º Consider el sistem m m m m () Discútelo según los vlores de m () Cuál es, según los vlores de m, l posición reltiv delos plnos cus ecuciones respectivs son ls tres que formn el sistem? 55º Determin l mtri X tl que AX B, siendo: A B 7

12 Prolems de Selectividd RúlGM 7 IES "Jándul" PATF Pág 56º Consider l mtri A () Clcul el determinnte de ls mtrices A, A (A ) () Hll l mtri A 57º Resuelve el sistem de ecuciones, ddo en form mtricil, AX AX B, siendo A X B, 58º Consider l mtri A () Determin pr qué vlores del prámetro l mtri A no tiene invers () Clcul, si es posile, l mtri invers de A pr Prolems propuestos pr l prue de cceso del curso / 59º Determin un mtri A simétric (A coincide con su trspuest) siendo que: det(a) 7 A 6 6º Determin l mtri X que verific l ecución AX X B, siendo: A B 6º Consider l mtrí A t t Clcul los vlores de t pr los que el determinnte de A es positivo hll el mor vlor que lcn dicho determinnte

13 IES "Jándul" 6º Consider el siguiente sistem de ecuciones: m m 5 m 5 () Determin, si es posile, un vlor de m pr que el correspondiente sistem teng un sólo un solución () Determin, si es posile, un vlor de m pr que el correspondiente sistem teng l menos dos soluciones (c) Determin, si es posile, un vlor de m pr que el correspondiente sistem no teng solución Prolems propuestos pr l prue de cceso del curso / 6º Consider los vectores u (,,), v (,, ) w (,,) () Hll los vlores de pr los que los vectores u, v w son linelmente independientes () Determin los vlores de pr los que los vectores u v u w son ortogonles 6º Sen C, C C ls columns primer, segund tercer, respectivmente, de un mtri cudrd A de orden cuo determinnte vle 5 Clcul, indicndo ls propieddes que utilices: () El determinnte de A () El determinnte de A (c) El determinnte de A (d) El determinnte de un mtri cudrd cus columns primer, segund tercer son, respectivmente, C C, C C 65º Consider ls mtrices: A m, B C () Pr qué vlores de m tiene solución l ecución mtricil AX B C? () Resuelve l ecución mtricil dd pr m 66º Consider ls mtrices A X () Siendo I l mtri identidd de orden, clcul los vlores de pr los que l mtri A I no tiene invers () Resuelve el sistem AX X e interpret geométricmente el conjunto de tods sus soluciones PATF Pág Prolems de Selectividd RúlGM 7