17/02/2015. Ángel Serrano Sánchez de León

Transcripción

1 Ángel Serrano Sánchez de León 1

2 Índce Introduccón Varables estadístcas Dstrbucones esde frecuencas c Introduccón a la representacón gráfca de datos Meddas de tendenca central: meda (artmétca, geométrca, armónca, cuadrátca), medana, moda, cuartles, decles, percentles Meddas de dspersón: Recorrdo (total/ntercuartílco/ semntercuartílco), desvacón meda, desvacón típca, varanza, coefcentes de varacón Momentos. Meddas de asmetría: Sesgo, curtoss Varables estadístcas bdmensonales

3 Introduccón Hasta ahora hemos descrto varables bl de manera ndependente. Una muestra estadístca bdmensonal consste en varables observadas de manera smultánea de un fenómeno. Ejemplos: Altura peso de los alumnos UFV. Superfce preco de la vvenda. Ingresos número de hjos en dstntas famlas. Color de pelo ojos de una sere de personas. En general, varable epresada como una pareja de valores (, ). ) S añadmos más varables Multdmensonales. 3 3

4 Dstrbucón de frecuencas de una varable bdmensonal Tenemos una muestra formada por pares de valores de una varable bdmensonal: ( 1, 1 ), (, ) úmero de valores dferentes (varable dscreta): 1, k 1,, l, donde k l no tenen por qué ser guales. En caso de que la varable bl sea contnua, la agruparíamos en dstntos ntervalos. Dos pares de datos ( 1, 1 ), (, ) son dferentes s ambas componentes son dferentes: 1, 1 Frecuenca absoluta n j : el número de veces que se repte el par (, j ). 4 4

5 Dstrbucón de frecuencas de una varable bdmensonal Tabla de frecuencas de doble entrada (tabla de contngenca): 5 5

6 Dstrbucón de frecuencas de una varable bdmensonal Propedad de la frecuenca absoluta: La suma total de todas las frecuencas absolutas es el total de datos. k l 1 j1 n j Frecuenca relatva f j dl del valor (, j ) respecto del total de valores: nj fj Propedad de la frecuenca relatva: La suma total de todas las frecuencas relatvas es 1. k l 1 j1 f j 1 6 6

7 Ejemplo: color de pelo ojos Color de pelo ojos (ambas son varables nomnales por tanto dscretas). pelo \ ojos marrón azul avellana verde moreno castaño pelrrojo rubo

8 Ejemplo: alturas pesos Alturas (cm) pesos (kg) de 0 personas (ambas son varables cuanttatvas contnuas): (164, 64), (176, 77), (179, 8), (165, 6), (168, 71), (165, 7), (186, 85), (18, 68), (173, 7), (175, 75), (159, 81), (187, 88), (173, 7), (157, 71), (163, 74), (171, 69), (168, 81), (173, 67), (153, 65), (18, 73) altura \ peso [60, 69] [70, 79] [80, 89] [150, 159] [160, 169] 3 1 [170, 179] 4 1 [180, 189] 1 1 frontera nferor: 179,5 cm, frontera nferor: 69,5 kg, frontera superor: 189,5 cm frontera superor: 79,5 kg 8 8

9 Dstrbucones margnales Para una varable bdmensonal (, ), con k valores de l valores de, se llama frecuenca absoluta margnal de una componente al número de parejas de valores que toma la varable ndependentemente de la otra componente. l n n j j1 k n j n 1 n j Dstrbucón margnal de : conjunto de frecuencas margnales n (columna más a la derecha). Dstrbucón margnal de : conjunto de frecuencas margnales n j j (fla nferor). 9 9

10 Dstrbucones margnales 10 10

11 Dstrbucones margnales Propedad: la suma de todas las frecuencas absolutas margnales es el total de datos. k k l l l k n 1 1 j1 n j n j j1 j1 1 n j De manera equvalente, podemos defnr la frecuenca relatva margnal: Propedad: k f f 1 1 j1 k l f n j f l j n 1 f j j j1 j1 1 l k f 1 j 11 11

12 Ejemplo: color de pelo ojos pelo \ ojos marrón azul avellana verde Frec. margnales pelo moreno castaño pelrrojo rubo Frec. margnales ojos

13 Ejemplo: color de pelo ojos pelo \ ojos marrón azul avellana verde Frec. margnales pelo moreno 11,5 3,9 3,6 1,1 0,1 castaño 19,0 17,9 9,0 5,4 51,3 pelrrojo 3,6 3,6,5,5 1, rubo 1,1 10,8 1,8,9 16,6 Frec. margnales ojos 35, 36, 16,9 11,9 100,0 Valores en % 13 13

14 Ejemplo: alturas pesos altura \ peso [60, 69] [70, 79] [80, 89] Frec. margnales alturas [150, 159] [160, 169] [170, 179] [180, 189] Frec. margnales pesos

15 Ejemplo: alturas pesos altura \ peso [60, 69] [70, 79] [80, 89] Frec. margnales alturas [150, 159] [160, 169] [170, 179] [180, 189] Frec. margnales pesos Valores en % 15 15

16 Meda artmétca a partr de frecuencas margnales Recordemos del tema anteror el cálculo de la meda artmétca para datos agrupados de una varable undmensonal cuanttatva según su frecuenca: k n k 1 1 Para una varable bdmensonal (, ), podemos calcular la meda artmétca de cada componente con las frecuencas margnales: k 1 l n n k j j1 f 1 f j l j1 f j j 16 16

17 Desvacón típca a partr de frecuencas margnales De manera equvalente, la desvacón típca de una varable undmensonal cuanttatva con datos agrupados según su frecuenca: s k 1 Para una varable bdmensonal, entonces la desvacón típca de cada componente es: s k 1 n n l n j j Desvacón típca sn sesgo: 1 en el denomnador. s j

18 Entre paréntess, la marca de cada ntervalo Ejemplo: alturas pesos peso [60,69] [70,79] [80,89] (64,5) (74,5) (84,5) Frec. margnales pesos ,5 9 74,5 5 84,5 p 74 kg s p 6 (64,5 74) 9 (74,5 74) 0 5 (84,5 74) 7,4 kg altura [150,159] (154,5) Frec. margnales alturas [160,169] (164,5) [170,179] (174,5) [180,189] (184,5) a 3 154, , , ,5 170,5 cm s a 3 (154,5 170,5) 6 (164,5 170,5) 7 (174,5 170,5) 0 4 (184,5 170,5) 9,7 cm 18 18

19 Dstrbucón condconada Cuando fjamos el valor de una componente estudamos las frecuencas de los valores que toma la otra componente: dstrbucón condconada. Dstrbucón de condconada a = j. Para un valor concreto,, esta frecuenca condconada es: n( = j ) = n j Dstrbucón de condconada a =. Para un valor concreto j, esta frecuenca condconada es: n( j = ) = n j 19 19

20 Dstrbucón condconada Dstrbucón de condconada a = j : 0 0

21 1 Dstrbucón condconada OJO! Para calcular las frecuencas relatvas condconadas se dvde por la frecuenca margnal: j j j j j n n n n f ) ( ) ( ) ( P dd j j j n n n n f ) ( ) ( Propedades: k j j n n 1 ) ( l j j n n 1 ) ( j k j f 1 1 ) ( l j j f 1 1 ) ( 1

22 Ejemplo: color de pelo ojos Dstrbucón de color del pelo condconada a ojos azules: pelo n(pelo ojos=azul) f(pelo ojos=azul) moreno 11 10,9 castaño 50 49,5 pelrrojo 10 9,9 rubo 30 9,7 Suma ,0 en %

23 Ejemplo: color de pelo ojos Dstrbucón de color de ojos condconada a pelo rubo: ojos n(ojos pelo=rubo) f(ojos pelo=rubo) marrón 3 6,5 azul 30 65, avellana 5 10,9 verde 8 17,4 Suma ,0 en % 3 3

24 Ejemplo: alturas pesos Dstrbucón de la altura condconada a que el peso esté en el ntervalo [70, 79]: altura n(altura peso[70,79]) f(altura peso [70,79]) [150,159] 1 11,1 [160,169] 3 33,3 [170, 179] 4 44,4 [180, 189] 1 11,1 Suma 9 99,9 (por redondeo) en % 4 4

25 Ejemplo: alturas pesos Dstrbucón del peso condconada a que la altura esté en el ntervalo [170, 179]: peso n(peso altura[170,179]) f(peso altura[170,179]) [60,69] 8,6 [70,79] 4 57,1 [80,89] 1 14,3 Suma 7 100,00 en % 5 5

26 Representacones gráfcas Dagrama de dspersón ( frente a ): 6 6

27 Representacones gráfcas Hstograma 3D: 7 7

28 Representacones gráfcas Dagrama de barras apladas: 8 8

29 Representacones gráfcas Dagrama de barras agrupadas: 9 9

30 Representacones gráfcas Dagrama de mosaco: 30 30

31 Representacones gráfcas Dagrama de barras apladas: 31 31

32 Representacones gráfcas Dagrama de barras agrupadas: 3 3

33 Representacones gráfcas Dagrama de mosaco: 33 33

34 Representacones gráfcas Matrz de dagramas de dspersón: Para varables multdmensonales ( 1,,, n ), es una representacón en formato matrcal de dagramas de dspersón entre pares de componentes (, j ). Ej.: Conjunto de datos de la flor Irs de Anderson. Longtud de sépalos (cm). Anchura de sépalos (cm). Longtud de pétalos (cm). Anchura de pétalos (cm). Espece (setosa, verscolor, vrgnca)

35 35

36 Representacones gráfcas Dagrama de caja bgotes múltple

37 Covaranza Recordemos la defncón de varanza de una varable undmensonal: s 1 n k Para una varable bdmensonal (, ), se defne la covaranza como: s 1 s 1 k l nj j A veces el denomnador d se pone como 1. s j

38 Covaranza La covaranza mde el grado de dspersón de los valores de respecto de su meda de manera coordnada a la dspersón de los valores de respecto de su meda. Es una generalzacón de la varanza. La covaranza de una varable consgo msma es precsamente su varanza

39 39 Covaranza P l d d d ( j!) Por otro lado, se puede demostrar ( ejercco!) que la covaranza tambén se puede calcular como la dferenca entre la meda de los productos de los p valores de e el producto de las medas de e : s Para ello se ha de tomar la defncón de covaranza con denomnador. 39

40 40 Matrz de covaranza Para varables multdmensonales ( 1,, n ), la matrz de covaranza es una matrz cuo elemento (, j) es la covaranza entre la componente la es la covaranza entre la componente la componente j. Es smétrca respecto de la dagonal prncpal. Es smétrca respecto de la dagonal prncpal. La dagonal prncpal contene las varanzas n s s s 1 j s s s s 1 n n j s s 40

41 Correlacón lneal La correlacón es una medda de la dependenca de una varable respecto de otra: Cuando una varable bl crece, crece tambén la otra? Decrece? Permanece constante o ndferente? Correlacón perfecta: este una dependenca funconal entre ambas varables. Ej: longtud área de un círculo. Sn correlacón. Ej.: altura apelldo. Correlacón lneal: estudamos s este alguna dependenca d de tpo lneal lentre ambas varables

42 Correlacón lneal correlacón postva correlacón negatva correlacón déblmente postva sn correlacón 4 4

43 Correlacón lneal Coefcente de correlacón lneal de Pearson entre dos varables e : cocente entre la covaranza las desvacones típcas de de. s ( ( )( ) 1 r s s ( ) 1 1 ( ) 1 r

44 Correlacón lneal Los valores de r están comprenddos entre 1 1: 0 < r 1 Correlacón postva (ambas crecen). r = 0 Sn correlacón (el valor de una varable no afecta a la otra varable. 1 r < 0 Correlacón negatva (una crece, la otra decrece). Precaucones con la correlacón: Correlacón no mplca causaldad. Correlacón no mplca tampoco necesaramente una dependenca funconal lneal entre las varables (ver sguente transparenca)

45 Correlacón lneal

46 Matrz de correlacón lneal Para una varable multdmensonal construmos la matrz de correlacón lneal como aquella cuo elemento (, j) contene la correlacón lneal entre la componente la componente j. Matrz smétrca. En la dagonal prncpal contene 1 (correlacón perfecta de una varable consgo msma). 1 r r n 1 r 1 1 r 1 1 j r 1n

47 Ejemplo Conjunto de datos de la espece Irs de Anderson. Matrz de covaranza: Matrz de correlacón: 47 47

48 Regresón (o ajuste) lneal Dada una varable bdmensonal (,), a veces nteresa estudar la posble relacón funconal (matemátca) entre e. En general s la funcón es del tpo = f(), hablaremos de regresón de sobre. El caso más sencllo es cuando la funcón es lneal, es decr, es del tpo = f()= a + b (ecuacón de una recta), sendo a b dos parámetros que ha que calcular. a es la ordenada en el orgen. b es la pendente

49 Método de Mínmos Cuadrados Método para calcular los parámetros del ajuste, en este caso, a b. Datos: ( 1, 1 ), (, ),..., (, ). Cada tene un valor observado, pero le corresponde un valor ajustado * según el ajuste. La dstanca entre ambos valores es d = *. Estas dstancas pueden ser postvas (cuando el dato observado queda por debajo de la recta) o negatva (cuando queda por encma)

50 Método de Mínmos Cuadrados 50 50

51 51 Método de Mínmos Cuadrados Para no tener en cuenta el sgno, el método mnmza la suma de los cuadrados de las dstancas, que llamaremos M llamaremos M. ), ( 1 1 * 1 b a M b a d M Para mnmzar la funcón M, que depende de dos varables (a, b), ha que tomar las dervadas parcales e varables (a, b), ha que tomar las dervadas parcales e gualar a 0. b a a M b a b M 1 0

52 Método de Mínmos Cuadrados Smplfcando la notacón (todos los sumatoros van desde = 1 hasta ), desarrollando las ecuacones, obtenemos: 0 a b 0 a b 0 a b 0 a b Surge un sstema de ecuacones lneales con dos ncógntas: a b. a b a b 5 5

53 53 Método de Mínmos Cuadrados La solucón del sstema de ecuacones es: a b a b Se puede reescrbr como: b a 53, 1 1 s s b