Contenido. Prólogo... Prólogo a la edición en español Argumentos y proposiciones lógicas Introducción

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1 CONTENIDO vii Contenido Prólogo... Prólogo a la edición en español... XVIl XXI 1 Cálculo proposicional Argumentos y proposiciones lógicas Introducción Algunos argumentos lógicos importantes Proposiciones Conexiones lógicas Introducción Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional Comentarios adicionales sobre conexiones Proposiciones compuestas Introducción Expresiones lógicas Análisis de proposiciones compuestas Reglas de prioridad Evaluaciónde expresiones y tablas de verdad Ejemplos de proposiciones compuestas Tautología y contradicciones Introducción. 22

2 viii MATEMÁTICA DISCRETA y LÓGICA Tautologías Tautología y razonamiento válido Contradicciones Tipos importantes de tautologías Equivalencias lógicas y su utilización Introducción Demostración de equivalencias lógicas mediantes tablas de verdad Álgebra declarativa Eliminación de condicionales y bicondicionales Leyes para el álgebra declarativa Métodos abreviados para manipular expresiones Formas normales Tablas de verdad y formas normales disyuntivas Formas normales conjuntivas y complementación Implicaciones y derivaciones lógicas Introducción Implicaciones lógicas Demostraciones de validez mediante tablas de verdad Demostraciones Sistemas para derivaciones El Teorema de la deducción 49 2 Cálculo de predicados oo oo Componentes sintácticos del cálculo de predicados Introducción El universo de discurso Predicados Variables y particularizaciones (casos o ejemplares) Cuantificadores Restricciones de los cuantificadores a ciertos grupos Interpretaciones y validez Introducción Interpretaciones Validez Expresiones no válidas Demostración de la validez Derivaciones Introducción Particularización universal Generalización universal El Teorema de la deducción y la generalización universal Eliminación de los cuantificadores universales Generalización existencial Particularización existencial 83

3 CONTENIDO 2.4 Equivalencias lógicas Introducción Equivalencias lógicas básicas Otras equivalencias importantes Lógica de las ecuaciones Introducción Igualdad Igualdad y unicidad Funciones y lógica de ecuaciones Composición de funciones Propiedades de los operadores Elementos nulo e identidad Las derivaciones en la lógica de ecuaciones La lógica de ecuaciones en la práctica Álgebra de Boole 110 ix 3 Inducción y recursividad La inducción en números naturales Introducción Los números naturales Inducción matemática La inducción para demostrar propiedades de la suma Modificación de la base inductiva Inducción fuerte Sumas y construcciones relacionadas Introducción Definiciones recursivas de sumas y productos Identidades que implican sumas Sumas dobles y matrices Demostración por recursividad Introducción Definiciones recursivas Sucesiones fescendentes El Principio de demostraciones por recursividad Inducción estructural Aplicaciones de la recursividad a la programación Introducción La programación como composición de funciones La recursividad en los programas Programas que implican árboles Funciones recursivas Introducción Funciones recursivas primitivas Programación y recursividad primitiva Minimalizacíón

4 X MATEMÁTICA DISCRETA y LÓGICA 4 Prolog Prolog básico Introducción Hechos, reglas y consultas Derivaciones que implican hechos Derivaciones que implican reglas Particularizaciones y unificación Retroceso (backtracking) Resolución Ejecución y depuración de programas Introducción Compiladores e intérpretes de Prolog Consulta de una base de datos Depuración y seguimiento Características adicionales de Prolog Introducción Entrada y salida Estructuras Notación infija Aritmética Predicados de igualdad Recursividad Introducción Predicados recursivos Terminación Bucles y Prolog Listas Predicados recursivos que contienen listas Refinamiento sucesivo Negación en Prolog Introducción Prolog como lenguaje lógico La negación como fracaso Utilización del orden de cláusulas Cortes Aplicación de Prolog a la lógica Introducción Las listas como expresiones lógicas Representación de expresiones lógicas como estructuras... 5 Conjuntos y relaciones Conjuntos y operaciones de conjuntos Introducción Los conjuntos y sus miembros Subconjuntos

5 CONTENIDO Intersecciones... Uniones... Diferencias y complementos... Expresiones que involucran conjuntos... xi Tuplas, sucesiones y conjuntos potencia Introducción Tuplas y productos cartesianos Sucesiones y cadenas Conjuntos potencia Tipos y signaturas Relaciones Introducción Relaciones y su representación Dominios y rangos Algunas operaciones de relaciones Composición de relaciones Ejemplos Propiedades de las relaciones Introducción Relaciones sobre un conjunto Relaciones reflexivas Relaciones simétricas Transitividad Cierres Relaciones de equivalencia Ordenes parciales Funciones Representaciones y manipulaciones que involucran funciones Introducción Definiciones y notación Representaciones de funciones La notación lambda Restricciones y sobrecarga Composición de funciones Inyecciones, sobreyecciones (o epiyecciones) e inversas Creación de inversas mediante creación de tipos Enumeraciones, isomorfismos y homomorfismos Introducción Enumeraciones Conjuntos contables e incontables Permutaciones y combinaciones Isomorfismos y homomorfismos Complejidad computacional Introducción Polinomios y algoritmos de tiempo polinómico 301

6 xii MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA Funciones y algoritmos relacionados con las exponenciales Los límites de la computabilidad Análisis asintótico Divide y vencerás Polinomios no deterministas Relaciones de recurrencia Introducción Relaciones de recurrencia homogéneas Ecuaciones de recurrencia no homogéneas Miranda Introducción El nivel de órdenes Definiciones de función Tipos, funciones y declaraciones Reconocimiento de patrones y reescritura Un problema de programación... 7 Grafos y árboles Introducción y ejemplos de modelado de grafos Definiciones básicas de la teoría de grafos Caminos, accesibilidad y conexiones Cálculo de caminos a partir de una representación matricial de los grafos Recorrido de grafos representados como listas de adyacencia Introducción Representación de grafos mediante listas de adyacencia Búsqueda en amplitud Búsqueda en profundidad El Algoritmo de Dijkstra para la búsqueda de caminos mínimos Árboles y árboles de expansión Introducción Árboles libres Árboles de expansión Árboles de expansión mínimos Redes de planificación Introducción Un modelo de administración de proyectos Ordenación topológica... 8 Especificación formal de requisitos en Z Introducción El ciclo vital del software La necesidad de las especificaciones formales... Introducción a Z Introducción Alfabeto y elementos léxicos

7 CONTENIDO Tipos y declaraciones... Especificación de un sistema mediante lógica y conjuntos... Esquemas Relaciones Funciones... Sucesiones... xiii Verificaciónde programas Conceptos preliminares Introducción Programas y códigos Aserciones (asertos) Corrección Reglas generales relativas a las precondiciones y postcondiciones Introducción Reforzamiento de precondiciones Debilitamiento de postcondiciones Reglas de conjunción y disyunción Verificación de códigos sin bucles Introducción Sentencias de asignación Concatenación de código La sentencia if Bucles y arrays Introducción Una regla while preliminar La regla while general Arrays Terminación del programa Gramáticas, lenguajes y análisis sintácticos Lenguajes y gramáticas Introducción Tratamiento de las gramáticas Definición formal de un lenguaje Nociones de análisis sintáctico Gramáticas ambiguas Gramáticas reducidas Análisis sintáctico descendente Introducción Estrategia general de análisis sintáctico descendente Análisis sintáctico descendente determinista con gramáticas LL(1) 521

8 xiv MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA 11 Derivaciones Derivaciones en cálculo proposicional Introducción Conceptos básicos de la derivación natural Implementación del teorema de la deducción Resolución Algunos resultados del cálculo de predicados Introducción Complementos Formas normales prenex Derivaciones en el cálculo de predicados Introducción Derivaciones canónicas Cuantificadores en la deducción natural Sustitución de cuantificadores por funciones y variables libres Resolución en el cálculo de predicados Una panorámica de los sistemas de bases de datos relacionales Conceptos básicos Introducción Definiciones y conceptos Ejemplo introductorio de una base de datos relacional Panoramica de un sistema de base de datos El modelo de datos relacional Introducción Panorámica de la estructura relacional Las relaciones y sus esquemas Representación de las relaciones en el modelo lineal Reglas de integridad Álgebra relacional Introducción Operaciones básicas Operaciones relacionales adicionales Ejemplos Cálculo relacional Introducción Cálculo de tuplas Ejemplos El lenguaje de consulta estructurado (SQL) Introducción Definición de datos Administración de datos Consultas de datos Comentarios finales 608

9 Bibliografía... CONTENIDO Soluciones a los problemas pares xv 611 Índice analítico