Guía didáctica: Álgebra Curso de Extensión

Transcripción

1 VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinción Generl de Estudios Interctivos Distnci (CEIDIS) NÚCLEO UNIVERSITARIO ALBERTO ADRIANI Guí didáctic: Álgebr Curso de Etensión PARTE C SESIONES 0 - Derechos reservdos. Prohibid l reproducción prcil o totl por culquier medio, de este documento sin utorizción del utor Contenidos desrrolldos por: Frncísco Crrer, José Luis Grcí. MATERIAL EN REVISIÓN Hciend Judibn. Kilómetro 0, Sector L Pedregos. El Vigí. Mérid - Venezuel. Portl Web: Correo-e: nu@ul.ve. Teléfonos: / Telef:

2 NÚCLEO UNIVERSITARIO ALBERTO ADRIANI FACILITADORES CURSO DE EXTENSIÓN ÁLGEBRA MARTES MIÉRCOLES JUEVES Horrio: 8:0 A.M. :0 A.M. :00 P.M. :00 P.M. CONSULTAS SEMANA : 0//007 l 09//007 SESIONES - SEMANA : //007 l 6//007 SESIONES - 9 MODALIDAD: NO PRESENCIAL DURACIÓN: SEMANAS SEMANA : 9//007 l //007 SESIONES 0 - SEMANA : 6//007 l 0//007 SESIONES - 6 SEMANA : 0//007 l 07//007 SESIONES 7-9 Hciend Judibn. Kilómetro 0, Sector L Pedregos. El Vigí. Mérid - Venezuel. Portl Web: Correo-e: nu@ul.ve. Teléfonos: / Telef:

3 Informción generl: Introducción. Objetivos. Estrtegis. Contenido Progrmático. Curso Básico de Nivelción en el áre de Álgebr Dtos de Identificción Ciclo: Introductorio Durción: 0 semns Unidd Acdémic: Correo electrónico: Profesores del áre: Dtos de Identificción Índice Introducción.. i Objetivos ii Estrtegis.. iv Contenido Progrmático. vi Tem Preliminres Sesión : Preliminres... Problems propuestos Autoevlución... Tem Operciones notbles Sesión : Operciones notbles.. 6 Problems propuestos Autoevlución. Sesión : Operciones notbles.. Problems propuestos Autoevlución Contenidos desrrolldos por: Prof. Frncisco Crrer Lic. José Luís Grcí Sesión : Operciones notbles.. 7 Problems propuestos 66 Autoevlución 67 Contenidos desrrolldos por: Nive Jrmillo, José Luís Grcí

4 Informción generl: Introducción. Objetivos. Estrtegis. Contenido Progrmático. Tem Teorem del resto Sesión : Teorem del resto. 69 Problems propuestos 78 Autoevlución...79 Sesión 6: Teorem del resto. 8 Problems propuestos 9 Autoevlución Tem Fctorizción Sesión 7: Fctorizción.9 Problems propuestos. 07 Autoevlución 7.08 Sesión 8: Fctorizción.. 0 Problems propuestos. 6 Autoevlución 8. 7 Sesión 9: Fctorizción.. 9 Problems propuestos. 9 Autoevlución 9. 0 Tem Máimo común divisor mínimo común múltiplo de polinomios Sesión 0: Máimo común divisor mínimo común múltiplo de polinomios Problems propuestos. 8 Autoevlución 0 8 Tem 6 Epresiones rcionles Sesión : Epresiones rcionles.. 87 Problems propuestos... 0 Autoevlución 0 Sesión : Epresiones rcionles.. 09 Problems propuestos... Autoevlución 7 Sesión : Epresiones rcionles.. Problems propuestos... 8 Autoevlución 0 Tem 7 Ecuciones Sesión : Ecuciones... Problems propuestos... 0 Autoevlución Sesión : Ecuciones... 6 Problems propuestos... 6 Autoevlución 6 Tem 8 Mtrices, determinntes sistem de ecuciones Contenidos desrrolldos por: Nive Jrmillo, José Luís Grcí

5 Informción generl: Introducción. Objetivos. Estrtegis. Contenido Progrmático. Sesión 6: Mtrices, determinntes sistem de ecuciones Problems propuestos.. 80 Autoevlución Sesión 7: Mtrices, determinntes sistem de ecuciones Problems propuestos.. 99 Autoevlución Sesión 8: Mtrices, determinntes sistem de ecuciones Problems propuestos... 0 Autoevlución 8.. Tem 9 Números complejos Sesión 9: Números complejos... 6 Problems propuestos... Autoevlución 9.. Contenidos desrrolldos por: Nive Jrmillo, José Luís Grcí

6 Informción generl: Introducción. Objetivos. Estrtegis. Contenido Progrmático. Introducción Álgebr es el áre de l mtemátic que estudi ls cntiddes en un form bstrct, trvés de símbolos, relcionándols por medio de operciones simbólics que resumen operciones ritmétics. Ls signturs de ls crrers de ingenierí requieren dominr con destrez dichs operciones. Procurndo cubrir est necesidd, se h elbordo el curso de nivelción en Álgebr, dirigido estudintes de nuevo ingreso de l Fcultd de Ingenierí de l Universidd de Los Andes. Esencilmente orientdo l propición de los conceptos básicos del Álgebr, el curso ofrece contenidos tles como: Operciones Notbles, Teorem del Resto, Fctorizción, Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios, Epresiones Rcionles, Ecuciones, Mtrices, Determinntes Sistems de Ecuciones. Así pues, se complementrá l formción en el áre, pr logrr un nivel decudo que fcilite el proceso de enseñnz-prendizje de los estudintes Objetivos Objetivo generl Cpcitr l estudinte en l plicción de ls herrmients básics del álgebr. Objetivos específicos Tem : Preliminres Aplicr ls propieddes de l potencición, los productos los cocientes notbles en l solución de problems. Tem : Operciones Notbles Resolver problems relciondos con l división de polinomios. Empler los teorems del resto del fctor. Tem : Teorem del Resto Resolver problems utilizndo todos los productos de dos o tres fctores. Tem : Fctorizción Utilizr los conceptos de divisor, múltiplos, máimo mínimo común. Contenidos desrrolldos por: Nive Jrmillo, José Luís Grcí

7 Informción generl: Introducción. Objetivos. Estrtegis. Contenido Progrmático. Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios Mnejr epresiones rcionles de todo tipo. Tem 6: Epresiones Rcionles Resolver ecuciones de primer grdo. Tem 7: Ecuciones Resolver ecuciones de segundo grdo con un incógnit. Tem 8: Mtrices, Determinntes Sistem de Ecuciones Discutir resolver un sistem de ecuciones lineles utilizndo los principios básicos de mtrices determinntes de hllr l invers de un mtriz. Tem 9: Números Complejos Reconocer empler los números complejos. Estrtegis Relizr estudios distnci es un tre que requiere esfuerzo, voluntd dedicción, pero que su vez depr grndes stisfcciones, tnto de índole personl como profesionl. Est modlidd le permitirá..- Estudir su propio ritmo dministrr su propio tiempo, en l comodidd de su domicilio..- Disponer de Módulos Instruccionles Asistidos Por El Computdor, M.I.A.C., que fcilitn el proceso de enseñnz prendizje. Los Módulos Instruccionles Asistidos Por El Computdor, M.I.A.C. están estructurdos de l siguiente mner dentro del PLAN DEL CURSO: Tems: comprendids por sesiones de clses teórics, ls cules brcn todos los contenidos del curso. Sesiones: conformds por tems que deben leerse, pr ser nlizdos e interpretdos por ctividdes que deben relizrse en un tiempo determindo. Objetivos específicos por cd tem: muestrn de mner clr los prendizjes que logrrán durnte l intercción con cd sesión. Contenidos: trvés de éstos se puede interctur con los diferentes tems que comprende cd sesión. Contenidos desrrolldos por: Nive Jrmillo, José Luís Grcí

8 Informción generl: Introducción. Objetivos. Estrtegis. Contenido Progrmático. 6 Actividdes: se plnte de form sencill los psos que deben seguirse pr el logro de los objetivos de enseñnz prendizje de cd sesión. Como estudinte podrás descrgr /o revisr los contenidos en formto PDF, repsr los tems más importntes (críticos) trvés de clses interctivs, relizr ejercicios prácticos, l finlizr, podrás relizr un utoevlución, l que te permitirá determinr el nivel de prendizje obtenido en cd sesión. Recursos: contienen los enlces págins recomendds por el utor, ejercicios propuestos resueltos, bibliogrfí vocbulrio empledo. Autoevluciones: contiene un enlce, l que se ccede después de finlizr ls ctividdes de cd tem. Est l relizrás cundo te sients preprdo pr presentr l evlución finl. Respuests ls utoevluciones: l finl de cd tem se encuentrn ls respuests ls utoevluciones. Respuests los ejercicios propuestos: l finl de cd tem se encuentrn ls respuests los ejercicios propuestos. Recomendciones generles pr cursr est signtur: - Relizr tods ls ctividdes propuests en cd sesión - Relizr dos sesiones semnles como mínimo durnte el trnscurso de 0 semns. - Leer pusdmente cd sesión de clse. - Relizr cuiddosmente los ejercicios resueltos propuestos verificr ls soluciones los mismos, cus respuests se encuentrn l finl de cd tem. - Es indispensble relizr ls utoevluciones de cd sesión con l finlidd de verificr individulmente el prendizje logrdo en cd sesión de clses. - No ver los resultdos de ls utoevluciones que se encuentrn l finl de l unidd, ntes de relizr ls misms. - Es importnte consultr trvés del correo culquier dud de los tems epuestos. Contenidos desrrolldos por: Nive Jrmillo, José Luís Grcí

9 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios Tem / Sesión 0 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios Sesión 0 Objetivos específicos Actividdes Recursos * Aplicr ls propieddes del máimo común divisor mínimo común múltiplo de polinomios * Leer el contenido de l sesión 0 sobre Máimo común divisor mínimo común múltiplo de polinomios * Visitr ls págins recomendds * Relizr ejercicios resueltos * Relizr l utoevlución propuest l finl de l sesión * Contenido de l sesión 0 sobre Máimo común divisor mínimo común múltiplo de polinomios * Págins Web recomendds * L utoevlución de l sesión 0 Máimo común divisor (M.C.D.) L epresión lgebric llmd Común Divisor o Divisor Común de dos o más epresiones lgebrics, es quell que divide cd un de ls nteriores, es decir, es equivlente l epresión fctor común (ver sesión 7) entre ls epresiones lgebrics considerds. Un epresión lgebric se llm prim sólo cundo es divisible por ell mism por l unidd, por ejemplo,,,, o culquier número primo. Dds dos o más epresiones lgebrics, diremos que son prims entre sí cundo tienen como único divisor común l unidd, por ejemplo, e, -. Ahor, puede presentrse que dos o más epresiones lgebrics tengn más de un divisor común, por ejemplo, tienen dos divisores comunes:. Aquí tendremos que hblr de l mor epresión lgebric que divid mbos términos, o se, del Máimo Común Divisor, que en el ejemplo nterior serí. Definición Llmremos Máimo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más epresiones lgebrics l epresión lgebric de mor coeficiente numérico de mor potenci que divid cd un de ls epresiones dds.

10 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios Tem / Sesión 0 Ejemplo. El M.C.D. de 6 z 9 z es z Clrmente vemos que el mor coeficiente numérico que divide mbs epresiones es. L mor potenci pr cd un de ls vribles ( z), que hce que divid cd un de ls epresiones, es, pr l,, pr l z. De est form el M.C.D. es l epresión z. De est form el M.C.D. es l epresión z.. M.C.D. de monomios El ejemplo nterior es un ejemplo del Máimo Común Divisor de dos monomios, pero en generl podemos estblecer l siguiente regl: Regl Primero se hll el M.C.D. de los coeficientes descomponiendo cd uno de ellos en el producto de sus fctores primos, después se multiplic por cd un de ls vribles comunes elevds su menor potenci. Ejemplo.. Determinr el M.C.M. de 8 ; ; z Comenzmos con los coeficientes: 8,,. Clrmente el M.C.D. es. Ls vribles comunes son: e, siendo l menor potenci de l menor potenci de. Luego el M.C.D. es ()( )(). L vrible z no es común tods ls epresiones, luego no form prte del M.C.D.. Hllr el M.C.D. de ; 0 b ; 0b. Los coeficientes son:, 0, 0, clrmente el M.C.D. es porque es el mor coeficiente que los divide todos. Ls vribles comunes son: e, l menor potenci es en mbos csos. Ls vribles b no son comunes tods ls epresiones. De est form el M.C.D. es ()( )( ).. M.C.D. de polinomios El M.C.D. de dos o más polinomios, es el polinomio de mor grdo que divide ectmente todos los polinomios ddos. Al relizr el proceso, puede ocurrir que los polinomios puedn ser fctorizdos

11 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios Tem / Sesión 0 fácilmente en sus fctores irreductibles o que l descomposición no se sencill... Descomposición de fctores Máimo Común Divisor es.. Hllr el M.C.D. de En este proceso el polinomio puede descomponerse en sus fctores irreductibles o primos. El procedimiento o regl es el siguiente: Regl: Se fctoriz cd uno de los polinomios por seprdo en sus fctores primos después se multiplicn los fctores comunes elevdos su menor potenci. Ejemplo. 6 8 ; 6 7 7; 6 6 Fctorizmos los polinomios: 6 8 ( 8) ( 9)( 9) ( )( )( 9) ( 7 7) ( ) ( 0 9) 6 6 ( ) ( )( ). Determinr el M.C.M. de ; ; Luego los términos comunes son: ( ), ellos serán el M.C.D. Comenzmos fctorizndo cd uno de los polinomios:.. Descomposición por divisiones sucesivs ( )( ) ( )( ) ( )( ) Así, vemos que el único fctor común es, por lo tnto el Este proceso se us cundo tenemos dos o más polinomios que no pueden descomponerse en fctores fácilmente. El método está bsdo en l regl siguiente: Regl Se ordenn los polinomios con relción un mism

12 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios Tem / Sesión 0 vrible se divide el polinomio de mor grdo entre el de menor grdo, si son del mismo grdo entonces culquier puede ser el divisor. Aquí se nos presentn los siguientes csos:. Si l división es ect, entonces el divisor es el M.C.D.. Si l división no es ect, entonces se divide el divisor por el resto el proceso se continu hst que l división se ect. De est mner, el M.C.D. será el último divisor. Ejemplo. Luego, /6 - / 0/ / 0/ De est form el resto es el polinomio / 0/ /( ), como l división no es ect continumos el proceso dividiendo el polinomio divisor entre el resto, es decir, 6 0 entre. Así: Determinr el M.C.D. de 6; 6 0 Si plicmos el método nterior debemos dividir el polinomio 6 entre el polinomio 6 0. Pr relizr este proceso en un form más sencill, comenzmos multiplicndo por el primer polinomio, es decir, ( 6) De est form según el procedimiento podemos firmr que el M.C.D. es.

13 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 6 Tem / Sesión 0 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) L epresión lgebric llmd Común Múltiplo de dos o más epresiones lgebrics es quell epresión que puede dividirse por cd un de ls nteriores. Por ejemplo, 7 ; es común múltiplo de 9, porque cd un de ells divide 7, sin embrgo, no es l menor epresión que es múltiplo de ls nteriores. Definición Regl Primero se hll el m.c.m. de los coeficientes descomponiendo cd uno de ellos en el producto de sus fctores primos, después se multiplicn los fctores comunes no comunes de los coeficientes por cd un de ls vribles elevds su mor potenci. Ejemplo. Llmremos mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más epresiones lgebrics l epresión lgebric de menor coeficiente numérico de menor potenci que es divisible por cd un de ls epresiones dds. Volviendo l ejemplo, el menor coeficiente numérico que es divisible por los coeficientes de cd un de ls epresiones es 9. De igul form, l menor potenci de ls vribles que permite que se divisible por cd epresión es, respectivmente, pr l pr l. Así, el m.c.m es 9, el cul es dividido por ls epresiones 9.. m.c.m. de monomios El ejemplo nterior es un cso de dos monomios, pero en generl podemos estblecer l siguiente regl:. Determinr el m.c.m. de 8 ; Comenzmos descomponiendo los coeficientes: 8 ()()() ()()(). Determinr el m.c.m. de ; 0 b ; 0b : Descomponemos los coeficientes: ()(); 0 ()()() 0 ()()()sí el m.c.m. será: ()()()() 00. Con ls vribles tenemos: Luego, el m.c.m. de los coeficientes es: ()()()(),

14 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 7 Tem / Sesión 0 que éste es el menor número que es dividido entre 8. Ejemplo.6 Ahor, ls vribles con su mor potenci son:.. Determinr el m.c.m. de ; ; Por lo tnto, el m.c.m. de los monomios es: Comenzmos fctorizndo cd uno de los polinomios: mor potenci, mor potenci, mor potenci b mor potenci ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Luego el m.c.m. es: 00 b.. m.c.m. de polinomios El m.c.m. de dos o más polinomios es el polinomio de menor grdo que es divisible por todos los polinomios ddos. El procedimiento o regl es el siguiente: Regl Se descompone cd uno de los polinomios por seprdo en sus fctores primos o irreductibles, después se multiplicn los fctores comunes no comunes elevdos su mor potenci. Ahor utilizndo l regl grupmos los fctores comunes no comunes elevdos su mor potenci, sí el m.c.m. es: ( ) ( )( ). Hllr el m.c.m. de: 6 8 ; 6 7 7; 6 6 Fctorizmos los polinomios:

15 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 8 Tem / Sesión ( 8) ( 9)( 9) ( 9)( )( ) ( 7 7) ( )( 7) ( )( )( 9) 6 6 ( ) ( )( ) Luego los fctores comunes no comunes elevdos su mor potenci son: ( 9)( )( )( )( 9) ellos serán el m.c.m.. Hllr el m.c.m. de ( ) ; ;. Fctorizmos los polinomios: ( ) ( ). ; ( )( ). ( )( ) De est form los fctores comunes no comunes elevdos su mor potenci son: ( ) ( )( ), los cules serán el m.c.m.

16 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 9 Tem / Sesión 0 Tem : MáimoComún Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios Sesión 0: Ejercicios Resueltos Ejercicios: Máimo común divisor de monomios Procedimiento. Se hll el m.c.d. (mínimo común divisor) de los coeficientes:. Se descomponen los números en sus fctores primos b. Se multiplicn los fctores primos comunes con el menor eponente c. Pr representr el m.c.d., k, de los números b, se utiliz l simbologí (, b) k. A continución del m.c.d. de los coeficientes se escriben ls letrs comunes, con el menor eponente De tl mner que:., (b c, bc) bc Los coeficientes de los monomios son, (, ) L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es De tl mner que:. (, 6 b, b ) Hllr el m.c.d. de:., Los coeficientes de los monomios son, (, ) L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es De tl mner que: (, ) Los coeficientes de los monomios son 6, (6, ) L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es b De tl mner que: ( 6 b, b ) b 6. b c, bc. 8m n, 0 m Los coeficientes de los monomios son, (, ) L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es bc Los coeficientes de los monomios son 8 0, (8, 0) L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es m

17 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 60 Tem / Sesión 0 De tl mner que: ( 8m n, 0 m ) m mn, 7 m n 8. z, 8 z, z Los coeficientes de los monomios son 8 7, (8, 7) 9 L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es mn De tl mner que: ( 8mn, 7 m n ) 9mn Los coeficientes de los monomios son, 8,, (, 8, ) 6 L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es b c De tl mner que: ( z, 8 z, z ) 7 b c 7. b c, b, 6b Los coeficientes de los monomios son,, 6, (,, 6) L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es De tl mner que: ( b c, b, 6b ) b b 9. 8 b c, b c, b c Los coeficientes de los monomios son 8,,, (8,, ) 7 L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es b c De tl mner que: 6

18 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 6 Tem / Sesión 0 0. (8 b c, b c, b c ) 7 b z, 96 z, 0 z 7 Los coeficientes de los monomios son 7, 96, 0, (7, 96, 0) L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es z De tl mner que: ( 7 z, 96 z, 0 z ) 7 6 c z Los coeficientes de los monomios son, 6, 70, (, 6, 70) L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es m n De tl mner que:. 7 b c (m n, 6m n, 70m n ) m n 7, 0 b, b 6 Los coeficientes de los monomios son 7, 0,, (7, 0, ) 7 L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es b De tl mner que:. 7 ( 7 b c, 0 b, b ) 7 b b, 8 b, bc, b c Los coeficientes de los monomios son, 8, 0, (, 8,, 0) L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es De tl mner que:. 8 6 ( b, 8 b, bc, b c ) b, 76m 7, 9 6 b. m n, 6m n, 70m n Los coeficientes de los monomios son 8, 76 9, (8, 76, 9) 9 L prte literl común, cd letr con su menor eponente, es

19 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 6 Tem / Sesión 0 De tl mner que: 6 ( 8, 76m, 9 ) Fctoricemos los polinomios ( ) El fctor común es ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: (6 6, ) 8 9 ( ) Ejercicios: Máimo común divisor de polinomios por descomposición en fctores. b, b 8 b Procedimiento. Se fctoriz cd polinomio. Se identificn los fctores comunes. El m.c.d. será el producto de los fctores comunes Hllr, por descomposición en fctores, el m.c.d. de:. b, b Fctoricemos los polinomios b ( b) El fctor común es ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: b, b b ( b) Fctoricemos los polinomios b b 8 El fctor común es b ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será:. b b, ( b, b 8 b ) b Fctoricemos los polinomios b b ( ) ( ) El fctor común es (); Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: (b b, ) b b ( b). 6 6, 9 8.,

20 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 6 Tem / Sesión 0 Fctoricemos los polinomios, ( ) ( ) Los fctores comunes son ( ), su producto es ( ); Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: 6. (, ) ( ) 0, 0 0 Fctoricemos los polinomios 0 ( ) 0 El fctor común es ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: 7. (0, 0 8, 6 8 Fctoricemos los polinomios 8 0 ) 6 8 El fctor común es 6 ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: 0 ( 8, 6 8 ) 6 0 ( ) 6 ( ) El fctores comunes son ( ), su producto es ( ) ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: 9. (,, Fctoricemos los polinomios ) ( ) ( ) ( ) El fctores comunes son ( ), su producto es ( ) ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: 0. ( b, b b Fctoricemos los polinomios, ) ( ) b ( b)( b) El fctor común es ( b); Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será:. m ( b, n, m n b b ) b b b ( b) 8., Fctoricemos los polinomios ( ) ( ) Fctoricemos los polinomios m n (m n)(m mn n ) m n (m n) El fctor común es (mn); Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será:

21 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 6 Tem / Sesión 0 (m n, m n) m n. b b, b b b., 8 Fctoricemos los polinomios ( )( ) El fctor común es ( ); Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: (, 8) 8 ( )( ) Fctoricemos los polinomios b b ( b) b b b El fctor común es ( b); Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: ( b b, ( b) b( b) ( b)( b) b b b ) b., , 6 8 Fctoricemos los polinomios ( ) 6 ( )( ) El fctores comunes son ( ), su producto es ( ) ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: (, 6) ( ) Fctoricemos los polinomios 60 ( )( ) 6 8 6( )( ) El fctores comunes son ( ), su producto es ( ) ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: ( 60, 6 8 ) ( ). 9, , Fctoricemos los polinomios 9 ( )( ) El fctor común es ( ); Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: (9, 9 6 ) 9 6 ( ) Fctoricemos los polinomios 8 ( )( ) ( )( ) El fctor común es ( ); Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: (8, )

22 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 6 Tem / Sesión 0 8. b 8b, 9b Fctoricemos los polinomios b 8b ( b) 9b ( b)( b) El fctores comunes son ( b), su producto es ( b) ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: 9. ( b 8b, 9b ) ( b) c d bc bd, c cd d Fctoricemos los polinomios c d bc bd (c d) b(c d) (c d)( b) c cd d (c d) El fctor común es (cd); Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: (c d bc bd, c cd d ) c d., ( ) Fctoricemos los polinomios ( )( ) El fctor común es ( ) ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será:., ( 9, 9 ( Fctoricemos los polinomios ) ) ( ) ( ) ( )( ) 9 9 9( ) El fctores comunes son ( ), su producto es ( ); Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: (, 9 9) ( ) 0. m 6 m, 6m m 0 Fctoricemos los polinomios m 6 m (m m ) (m )(m ) 6m m 0 6(m m ) 6(m )(m ) El fctores comunes son ( m ), su producto es (m ) ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: ( m 6 m, 6m m 0) (m ). b, b b, Fctoricemos los polinomios b ( b), b b b( b) El fctor común es ( b) ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: ( b, b b, b b) b b ( b)

23 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 66 Tem / Sesión 0.,, Fctoricemos los polinomios ( ), ( ) ( ) El fctores comunes son ( ), su producto es ( ) ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: (,, ) ( ). 9, 6, 6 9 Fctoricemos los polinomios 9 ( 9) ( )( ), 6 ( 6) ( )( ) 6 9 El fctores comunes son ( 6 9) ( ) ( ), su producto es ( ) ; Por lo tnto, el m.c.d. de los polinomios será: ( 9, 6, 6 9 ) ( ) Ejercicios: Misceláne sobre los diez csos de descomposición en fctores Descomponer en fctores:. El fctor común es. Así: ( ). m m m m L ríz cudrd del primer término es ; l ríz cudrd del tercer termino es. Y el doble producto de ests ríces es m, el segundo termino. Además, el primero el tercer término tienen el mismo signo. Por lo tnto el polinomio es un trinomio cudrdo perfecto se fctoriz como tl:.. m m (m ) b b 6 b b b b ( b) ( b) {socindo convenientemente} b b ( b) ( b) {fctorizndo el primer préntesis por } b b ( b)( ) {fctorizndo por ( b)}

24 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 67 Tem / Sesión ( 6)( 6) {fctorizndo l diferenci de cudrdos} 9 6 L ríz cudrd del primer término es ; l ríz cudrd del tercer termino es. Y el doble producto de ests ríces es 6, el segundo termino. Además, el primero el tercer término tienen el mismo signo. Por lo tnto el polinomio es un trinomio cudrdo perfecto se fctoriz como tl: ( ) El trinomio es de l form b c L ríz cudrd del primer término es El signo del segundo término es El producto de los signos del segundo tercer termino del trinomio es Como los signos son diferentes, se buscn dos números cu diferenci se cuo producto se. De tl mner que: ( )( ) Multiplicmos el trinomio por 6 lo escribimos de un form decud 6(6 ) (6) (6) Fctorizmos l epresión resultnte (6) (6) 6 : ríz cudrd del primer término del trinomio : signo del segundo término del trinomio por d : plicmos l Le de los signos l producto de los signos del segundo tercer términos : coeficiente del segundo término del trinomio (vlor bsoluto) : coeficiente del tercer termino del trinomio (vlor bsoluto) De tl mner que: (6) (6) (6 )(6 ) ( )( ) 6( )( ) Dividimos l fctorizción obtenid en el pso nterior por 6, simplificmos: (6) (6) 6( )( ) ( )( ) ( )( ) 8. : sum de cubos perfectos, ( )( );

25 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 68 Tem / Sesión ( )( ) {socindo convenientemente} 6 z z ( ) z( ) {etrendo fctor común} 6 z z ( )( z) {etrendo fctor común} 0. m ( )[() ( )[9 : diferenci de cubos perfectos, ] m es divisible por (m) n n ]; {Criterios de divisibilidd: b es divisible por b siendo n impr} ( ( m ) ( m) m ) ( m)( m m m m. b b b b ( b b ) {scndo fctor común }. 6 z z 6 z z ( 6) (z z) m m ; m m ). b b b b L ríz cudrd del primer término es ; l ríz cudrd del tercer término es b. Y el doble producto de ests ríces es b, el segundo termino. Además, el primero el tercer término tienen el mismo signo. Por lo tnto el polinomio es un trinomio cudrdo perfecto se fctoriz como tl:. b b ( b) ( ) {sumndo restndo } ( ) () {fctorizndo el trinomio cudrdo perfecto} ( )( ) {fctorizndo l diferenci de cudrdos} ( )( )

26 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 69 Tem / Sesión 0 {ordenndo} ( 8 { 6 } ) 6 ( ) ( ) {fctorizndo el trinomio cudrdo perfecto} ( )( {fctorizndo l diferenci de cudrdos} {ordenndo} 8 ( )( 0 : ríz cudrd del primer término del trinomio : signo del segundo término del trinomio por d : plicmos l Le de los signos l producto de los signos del segundo tercer términos 6 : coeficiente del segundo término del trinomio (vlor bsoluto) 6 0: coeficiente del tercer termino del trinomio (vlor bsoluto) De tl mner que: 0 ( 6)( ) ) ) m m Multiplicmos el trinomio por lo escribimos de un form decud (m m ) (m) Fctorizmos l epresión resultnte (m ) (m) 0 (m) 0 m : ríz cudrd del primer término del trinomio : signo del segundo término del trinomio por d : plicmos l Le de los signos l producto de los signos del segundo tercer términos 0 : coeficiente del segundo término del trinomio (vlor bsoluto) 0 0: coeficiente del tercer termino del trinomio (vlor bsoluto) De tl mner que: (m ) (m) 0 (m )(m 0) (m 7)(m ) (m 7)(m ) Dividimos l fctorizción obtenid en el pso nterior por, simplificmos: (m ) (m) 0 (m 7)(m ) (m 7)(m ) ; (m) (m) 0 (m 7)(m ) 7. m m

27 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 70 Tem / Sesión ( ) {sum de cubos perfectos}, 6 ( )[( ) () ]; 6 ( )[ ] 7 es divisible por () {Criterio de divisibilidd: b es divisible por b siendo n impr } 7 ( ) ( ) 7 6 n n ( ) ( ) 6 6 ( ) ; 9. 8m : 6 8m 7 (m) ( {diferenci de cubos perfectos} 6 8m 7 (m )[(m) ( m)( ) ( 8m 7 6 (m ) )[m 6m 9 ] ) ]; 8 6 () () () {es el desrrollo del cubo de un binomio: ( b) } 8 6 ( ) 0. 6 b 9b. m 6 b 9b L ríz cudrd del primer término es ; l ríz cudrd del tercer término es b. Y el doble producto de ests ríces es b, el segundo termino. Además, el primero el tercer término tienen el mismo signo. Por lo tnto el polinomio es un trinomio cudrdo perfecto se fctoriz como tl:. 7 6 b 9b ( b) m. m m ( m)( m) {fctorizndo l diferenci de cudrdos} : ríz cudrd del primer término del trinomio : signo del segundo término del trinomio por d : plicmos l Le de los signos l producto de los

28 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 7 Tem / Sesión 0 signos del segundo tercer términos 7 : coeficiente del segundo término del trinomio (vlor bsoluto) 7 : coeficiente del tercer término del trinomio (vlor bsoluto) De tl mner que: : 6 ( 7)( ) ( ) {sum de cubos perfectos} 6 b b ( 6 ( m b b )[( m ) )[ ( {socindo propidmente} b b m ( b) ]; ] b b ) m m {fctorizndo el trinomio cudrdo perfecto} b b m ( b m)( b m) {fctorizndo l diferenci de cudrdos} 8 b 6 b b 8 b 6 b b {fctor común b } 8 8 b( b) ( ) ( ) {socindo propidmente} ( ) ( ) {el fctor común del primer préntesis ( )( ) {fctor común ( )} } Multiplicmos el trinomio por 6 lo escribimos de un form decud 6(6 9 0) (6) 9(6) 0 Fctorizmos l epresión resultnte (6) 9(6) 0 6 : ríz cudrd del primer término del trinomio : signo del segundo término del trinomio por d : plicmos l Le de los signos l producto de los signos del segundo tercer términos 9: coeficiente del segundo término del trinomio (vlor bsoluto) 0: coeficiente del tercer término del trinomio (vlor bsoluto) 0 60

29 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 7 Tem / Sesión 0 0 De tl mner que: (6) 9(6) 0 (6 )(6 ) 6( )(6 ) Dividimos l fctorizción obtenid en el pso nterior por, simplificmos: (6) 9(6) 0 6( )(6 ) ( )(6 ) 6 6 (6) 9(6) 0 ( )(6 ) m 8 ( ) (9) ( 9)( {fctorizndo l diferenci de cudrdos} 9) m m {fctorizndo l diferenci de cudrdos} m ( m)( m m ) {fctorizndo l diferenci de cubos}. {fctorizndo por el segundo()} b b ( ) ( b) {fctorizndo los trinomio cudrdos perfectos} b b [ ( b)]( ( b)] {fctorizndo l diferenci de cudrdos} b b [ b] [ b] m n 7m n 7m n m n 7m n 7m n 7m n {fctor común 7m n }. ( ) b( ) c( ). 7m n 7m n(m ( ) b( ) c( ) ( )( b c) {fctor común ( ) } ( ) ( ) m n mn ). b b ( ) ( ) b b ( ) ( {socindo convenientemente} b b ( ) ( b b b b ) ) L ríz cudrd del primer término es ; l ríz cudrd del tercer término es ( ). Y el doble producto de ests ríces es ( ), el segundo termino. Además, el primero el tercer término tienen el mismo signo. Por lo tnto el polinomio es un trinomio cudrdo perfecto se fctoriz como tl:

30 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 7 Tem / Sesión b ( ) ( ) ( ) b (b b ) ( b )( b ) {fctorizndo l diferenci de cudrdos} b b 6 b b 6 L ríz cudrd del primer término es b; l ríz cudrd del tercer término es 6. Y el doble producto de ests ríces es b, el segundo termino. Además, el primero el tercer término tienen el mismo signo. Por lo tnto el polinomio es un trinomio cudrdo perfecto se fctoriz como tl: 8. 6 b b 6 (b 6) (6 b) : ríz cudrd del primer término del trinomio : signo del segundo término del trinomio por d : plicmos l Le de los signos l producto de los signos del segundo tercer términos 7 : coeficiente del segundo término del trinomio (vlor bsoluto) 7 77: coeficiente del tercer término del trinomio (vlor bsoluto) De tl mner que: : 77 ( )( 7) ( 7 ) 7 {Multiplicndo dividiendo por el coeficiente de } ( ) 7( ) 60 7 {escribiendo los productos en el numerdor en un form decud} ( 0)( 7 {fctorizndo el numerdor} ( )( ) 7 {scndo el fctor común de los préntesis en el numerdor} ( b) 7 ( b) ( )( ) ) {simplificndo} [ ( b)][ ( b) ( b) ]

31 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 7 Tem / Sesión 0 {fctorizndo l diferenci de cubos} ( b) [ b][ b {suprimiendo préntesis} 6b 9b ] ( m n)(m n) n(m n) (m n)(m n) {reduciendo}. 9 b b 9 b b 7 b : ríz cudrd del primer término del trinomio : ríz cudrd del tercer término del trinomio (7b)()b : segundo término del trinomio Por lo tnto, se trt de un trinomio cudrdo perfecto, se fctoriz como tl (se escriben ls ríces cudrds del primero tercer términos dentro de un préntesis, seprdos por el signo del segundo término):.. ( ) 9 b b (7b ) ( ) ( ) ( ) {fctorizndo por - los dos últimos términos} ( ) ( )( ) {scndo fctor común} ( m n)(m n) n(m n) ( m n)(m n) n(m n) (m n)(m n n) {scndo fctor común}. 9 9 : ríz cudrd del primer término del trinomio : ríz cudrd del tercer término del trinomio () : segundo término del trinomio Por lo tnto, se trt de un trinomio cudrdo perfecto, se fctoriz como tl (se escriben ls ríces cudrds del primero tercer términos dentro de un préntesis, seprdos por el signo del segundo término): 9 Ejercicios: Máimo común divisor de dos polinomios por divisiones sucesivs Procedimiento. Se ordenn los polinomios con relción un mism letr. Si es posible, se fctorizn los polinomios; los fctores comunes mbos polinomios hrán prte del m.c.d.. Se divide el polinomio de mor grdo entre el de menor grdo. Si l división es ect, el divisor es el m.c.d.. Si l división no es ect, se divide el divisor por el primer

32 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 7 Tem / Sesión 0 residuo, éste por el segundo residuo sí sucesivmente hst llegr un división ect 6. El último divisor es el m.c.d. buscdo Not: tods ls divisiones deben continurse hst que el primer término del residuo se de grdo inferior l primer término del divisor Not: durnte el proceso, se puede dividir o multiplicr el dividendo, o el divisor o el residuo por un fctor culquier. Not: l simbologí pr denotr el m.c.d., k, de los números, b,... es l siguiente: (, b,...) k Hllr, por divisiones sucesivs, el m.c.d. de: ( 8,. 6 0 Se ) 6 : dividendo 6 0 : divisor 6 Multiplicmos el dividendo por lo dividimos por, efectumos l división: Como l división no es ect, dividimos el divisor por el resultdo de dividirle residuo por 9: Como l división es ect, el m.c.d. es el último divisor, ; Como l división no es ect, dividimos el divisor por el resultdo de multiplicr el residuo por -: Como l división es ect, el m.c.d. es el último divisor, ; (6 0, 6)

33 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 76 Tem / Sesión 0. 6 Se 6 ( ( 6 ) : dividendo ) : divisor Y encontrmos el primer fctor m.c.d.,. Hllemos el otro, ordenndo los polinomios, en form descendente, con respecto, efectundo ls divisiones sucesivs: Multiplicmos el dividendo por lo dividimos por, efectumos l división: ( 6,. 6 ) ( ) 6 Como l división no es ect, dividimos el divisor por el resultdo de multiplicr el residuo por : 6 Como l división no es ect, dividimos el divisor por el resultdo de multiplicr el residuo por -/: 0 Como l división no es ect, el último divisor,, tmbién hce prte del m.c.d.: Los fctores comunes son, su producto es ( ) 0 Como l división es ect, el m.c.d. es el último divisor, ; ( 6, Se (8 ) 6 7 ( ): divisor ) : dividendo

34 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 77 Tem / Sesión 0 Y encontrmos el primer fctor m.c.d.,. Hllemos el otro efectundo ls divisiones sucesivs: Multiplicmos el dividendo por lo dividimos por, efectumos l división: Dividimos el dividendo por, efectumos l división: Como l división no es ect, multiplicmos el divisor por, el resultdo, lo dividimos por el residuo: Como l división no es ect, dividimos el divisor por el resultdo de dividir el residuo por : 0 Como l división es ect, el último divisor, ; tmbién hce prte del m.c.d. Los fctores comunes son, su producto es ( ) (8 6 7, ) ( ) Se dividendo 6 0 ( : divisor 6 0) : Como l división no es ect, dividimos el último divisor por el resultdo de multiplicr el residuo por 9: 70 70

35 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 78 Tem / Sesión Como l división es ect, el m.c.d. es el último divisor, ; ( 6 0, ) Como l división no es ect, multiplicmos el divisor por 7; el resultdo lo dividimos por el resultdo de dividir es residuo por : 0 Como l división es ect, el m.c.d. es el último divisor, ( 9 6, 6 Ejercicios: M.C.M. de monomios Procedimiento ; ). Se hll el M.C.M de los coeficientes numéricos. Pr lo cul, si es necesrio, se descomponen en sus fctores primos; el M.C. M. será el producto de los fctores comunes no comunes con el mor eponente. Se Hll el M.C.M. de l prte literl; el cul es el producto indicdo de ls letrs comunes no comunes con el mor eponente. El M.C.M. de ls epresiones será entonces el producto indicdo del mínimo común múltiplo de l prte numéric el de l prte literl Not: l notción utilizd pr epresr el M.C.M., z, de ls epresiones, b,... es Como l división no es ect, dividimos el divisor por el resultdo de multiplicr el residuo por 7 8 : 7 7 Hllr el M.C.M. de:., b [, b,...] z

36 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 79 Tem / Sesión 0 Ls letrs que precen en un culquier de ls epresiones son b, el mor eponente con que precen es ; de tl mner que:., [, b ] b Ls letrs que precen en un culquier de ls epresiones son, el mor eponente con que precen es ; de tl mner que:. b c, [, ] bc Ls letrs que precen en un culquier de ls epresiones son, b c, el mor eponente con que precen es, pr, pr b pr c ; de tl mner que:., [b c, bc] b c b Ls letrs que precen en un culquier de ls epresiones son, b, el mor eponente con que precen es, pr, pr b pr ; de tl mner que:. 6m n, [, b ] b m Ls letrs que precen en un culquier de ls epresiones son m n, el mor eponente con que precen es, pr m, pr n ; de tl mner que: 6. [6m n, m ] m n 9, [ 9, ] Ls letrs que precen en un culquier de ls epresiones son,, el mor eponente con que precen es, pr, pr, pr ; de tl mner que: 7., b [ 9, ], b Ls letrs que precen en un culquier de ls epresiones son b, el mor eponente con que precen es, pr, pr b ; de tl mner que: 8., [, b, b] b, z

37 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 80 Tem / Sesión 0 Ls letrs que precen en un culquier de ls epresiones son, z, el mor eponente con que precen es, pr, pr, pr z ; de tl mner que: 9. b, [,, z] z b, 8 [,, 8] 8 Ls letrs que precen en un culquier de ls epresiones son b, el mor eponente con que precen es, pr, pr b ; de tl mner que: fctores Not: l notción utilizd pr epresr el M.C.M., z, de ls epresiones, b,... es Hllr el M.C.M. de:., 8 Fctorizmos el polinomio:, ( ) [, b,...] z [, ] No h fctores comunes en los otros fctores; de tl mner que: [, 8] ( ) [ b, b, 8 ] 8 b Ejercicios: M.C.M. de monomios polinomios. b, b b Procedimiento. Se fctorizn los polinomios. Se hll el M.C.M de los coeficientes numéricos. Pr lo cul, si es necesrio, se descomponen en sus fctores primos; el M.C. M. será el producto de los fctores comunes no comunes con el mor eponente. Se Hll el M.C.M. de los otros fctores; el cul es el producto indicdo de los fctores comunes no comunes con el mor eponente. El M.C.M. de ls epresines será entonces el producto indicdo del mínimo común múltiplo de l prte numéric el de los otros Fctorizmos el polinomio: b, b( b) El mor eponente del fctor común b es ; de tl mner que:., [b, b b ] b ( b) Fctorizmos el polinomio:, ( )

38 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 8 Tem / Sesión 0 El mor eponente del fctor común es, del fctor común es ; de tl mner que: [, ], ( ). 8, 8 Fctorizmos el polinomio: 8, ( ) [, 8] 8 De tl mner que: [ 8, 8] 8( )

39 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 8 Tem / Sesión 0 b. 6 0, Tem : MáimoComún Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios Sesión 0: Ejercicios Propuesto c , Hllr el mínimo común múltiplo de cd un de ls siguientes epresiones:., 8, 0. Hllr el Máimo Común Divisor de cd un de ls siguientes epresiones: b. c., ( ),,, d.,, 0 ;., 0, e.,, 0 b. b z, 6 b z, 9b z c.,, d., 9, e. f. 7, 9 6, b b 6, 6,,,. Hllr, por divisiones sucesivs, el M.C.D. de ls siguientes epresiones:. 6 0, 6

40 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 8 Tem / Sesión 0 Unidd : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios Sesión 0 b. c. d. MCD b mcm 0 b MCD b mcm 0 MCD b mcm 0 b b c c c Autoevlución 0 Pregunt Nº Hllr por divisiones sucesivs el M.C.D de l siguiente epresión: ;. b. c. d. M.CD.. M.C.D. M.C.D. M.C.D. Pregunt Nº Hllr el M.C.D m.c.m de l siguiente epresión m.c.m: b c ; 0 b ; 6 bc Pregunt Nº Hllr por divisiones sucesivs el m.c.m de l siguiente epresión: ; ;. m.c.m. b. m.c.m. c. m.c.m. ( )( ) ( )( ) ( )( ) d. m.c.m. ( )( ) Pregunt Nº Hllr el M.C.D de l siguiente epresión: 8 b c ;. b. c. d b b b b c c c c 6 b c ; b c 6. MCD b mcm 0 b c Pregunt Nº Hllr el m.c.m de l siguiente epresión: 6mn ; 9m n ; m n

41 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 8 Tem / Sesión 0. b. c. d. n 6m n 6m n 6m n 6m Un vez contestds ls pregunts, puede ver respuests l finl de l Unidd. Si sus respuests hn sido corrects, continúe con l sesión siguiente, de lo contrrio se le recomiend repsr l sesión ntes de continur.

42 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 8 Tem / Sesión 0 Unidd : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios Sesión 0 Respuests de l Autoevlución 0 b. MCD b mcm 0 b c MCD b c. Correcto mcm 0 b c d. MCD b mcm 0 Pregunt Nº b c Hllr por divisiones sucesivs el m.c.m de l siguiente epresión: ; ; Pregunt Nº Hllr por divisiones sucesivs el M.C.D de l siguiente epresión: ;. M.CD.. Correcto b. c. d. M.C.D. M.C.D. M.C.D. Pregunt Nº Hllr el M.C.D m.c.m de l siguiente epresión m.c.m: b c ; 0 b ; 6 bc. MCD b mcm 0 b c. m.c.m. b. m.c.m. ( )( ) ( )( ) c. m.c.m. ( )( ) Correcto d. m.c.m. ( )( ) Pregunt Nº Hllr el M.C.D de l siguiente epresión: 8. b 7 c b ; c b c ; b. 7 b c Correcto c. d. 7 7 b b c c 6 Pregunt Nº Hllr el m.c.m de l siguiente epresión: 6mn ; b c 6 9m n ; m n

43 Tem : Máimo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo de Polinomios 86 Tem / Sesión 0. b. c. n 6m n 6m n 6m d. 6m n Correcto

44 Tem 6: Operciones Rcionles 87 Tem 6 / Sesión Tem 6: Epresiones Rcionles Sesión Objetivos específicos Actividdes * Aplicr ls propieddes de ls epresiones rcionles l simplificción de monomios, polinomios un frcción mit o enter. Conceptos básicos Un epresión lgebric rcionl es quell formd por el cociente de dos epresiones lgebrics o polinomios; tmbién es conocid como epresión frccionri. Así, l podemos denotr P como o, () en donde tendremos un numerdor ( o P ()) un P () denomindor o P ()). ( Recursos * Leer el contenido de l sesión sobre Conceptos básicos * Visitr ls págins recomendds * Relizr ejercicios resueltos * Relizr l utoevlución propuest l finl de l sesión * Contenido de l sesión : Conceptos básicos * Págins Web recomendds * L utoevlución de l sesión Un epresión lgebric es enter, cundo no tiene denomindor es mit, cundo tiene un prte enter otr frccionri. Por ejemplo,, son epresiones enters, son epresiones mits. El vlor numérico de un epresión lgebric rcionl, es el vlor que tom l frcción l sustituir ls vribles por ciertos vlores ddos, efectundo ls operciones que correspondn simplificndo su máimo vlor. Ejemplo 6. Consideremos l epresión rcionl numérico, cundo l vrible,.. Determinr su vlor

45 Tem 6: Operciones Rcionles 88 Tem 6 / Sesión Clrmente l evlur tendremos: Principio Fundmentl de ls Epresiones Rcionles () () ( ) ( ) Si el numerdor el denomindor de un epresión rcionl se multiplicn o dividen por un mismo número, l frcción no se lter. () () Cmbio de Signo en un Epresión Rcionl En un epresión rcionl se pueden considerr tres signos: el signo del numerdor, el del denomindor el de l frcción. Entenderemos por el signo de l frcción l signo o -,escrito delnte de l r de frcción, Por ejemplo: o o El principio nterior, nos permite hblr del cmbio de signo en un epresión lgebric rcionl, en el cul considerremos dos posibiliddes: cundo los términos son polinomios o cundo son productos indicdos, se de monomios o polinomios. Es importnte señlr que cundo cmbimos el signo del numerdor el denomindor de un epresión rcionl, en relidd estmos multiplicndo por - tnto el numerdor como el denomindor. En consecuenci, l frcción no se lter. En este cso, ls tres frcciones representn l mism epresión rcionl. En los csos en que este signo se omite, se sobrentiende que el signo de l frcción es, por ejemplo: nunc se escribe., por lo generl el signo Ejemplo 6.. Hcer un cmbio de signo pr l frcción que no se ltere l mism. Al hcer el cmbio de signo nos qued:, de mner

46 Tem 6: Operciones Rcionles 89 Tem 6 / Sesión ( )( ) ( )( ) Ls cules diremos que son epresiones equivlentes, que por el principio fundmentl de ls epresiones rcionles l frcción no se lter.. Dd l epresión rcionl cmbios de signo:. b. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ). Podemos relizr vrios ( )( ) ls epresiones son igules porque se dieron dos cmbios de signo. ( )( ) ( )( ) ls epresiones no son igules l ( )( ) ( )( ) cmbir los signos tenemos que incluir un signo l frcción pr mntener l iguldd, porque el número de cmbios de signo es impr (). originl.. Si se cmbi el signo en un número impr de fctores, entonces l epresión resultnte cmbi el signo de l epresión originl. Simplificción de un epresión rcionl Simplificr un epresión rcionl es trnsformrl en un epresión equivlente, que conviert l numerdor denomindor en epresiones de menor grdo que sen prims entre sí. El proceso de simplificción equivle un división del numerdor denomindor por el mismo término o fctor. Dicho fctor, se obtiene medinte l descomposición del numerdor denomindor en sus fctores comunes. Esto quiere decir que l epresión rcionl qued reducid su mínim epresión. De llí que se irreducible.. Simplificción de monomios L simplificción de epresiones rcionles, donde el numerdor denomindor son monomios, se rige por l siguiente regl: En bse lo visto en el ejemplo., podemos desrrollr l siguiente regl: Regl. Si se cmbi el signo en un número pr de fctores, entonces l epresión resultnte es equivlente l Regl Se divide el numerdor denomindor entre sus fctores comunes hst que sen primos entre sí.

47 Tem 6: Operciones Rcionles 90 Tem 6 / Sesión Ejemplo 6.. Simplificción de polinomios. Simplificr l epresión 6 z Comenzmos viendo que los fctores comunes son ls vribles e, demás los coeficientes son uno múltiplo del otro, es decir, tienen fctores comunes tmbién. De est form, dividimos por estos fctores comunes elevdos l menor potenci obtendremos: 6 z. Simplificr l epresión 6 z z z z En el cso de los polinomios, tenemos que descomponer el numerdor el denomindor en sus fctores comunes pr luego relizr el proceso de simplificción o división. En generl, podemos decir que en mbos csos se divide entre el M.C.D. de ls epresiones del numerdor denomindor, siguiendo l presente regl: Regl. Buscmos los fctores comunes de los polinomios que formn el numerdor denomindor.. Dividimos el numerdor denomindor por esos fctores elevdos su menor potenci, es decir, dividimos por el M.C.D. de los dos polinomios. Comenzmos viendo que los fctores comunes son ls vribles, z e, demás los coeficientes tmbién tienen fctores en común. Ejemplo 6.. Simplificr l epresión Luego plicndo l regl: Comenzmos fctorizndo cd uno de los polinomios z z ()(8) ()() z z z z 8 z ( ) ( )( ) ( )

48 Tem 6: Operciones Rcionles 9 Tem 6 / Sesión Luego determinmos el M.C.D. entre esos dos polinomios, vemos que el mismo es: ( ). Ahor dividimos o simplificmos tnto el numerdor como el 8 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) denomindor por es epresión: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Simplificr Fctorizmos los polinomios. Simplificr 8 0 Fctorizmos los polinomios ( )( ) ( )( ) Entonces, pr obtener el M.C.D. debemos relizr un cmbio de signo en lguno de ellos, sí: ( ) ( )( ) 8 0 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) El M.C.D. es: ( ). Encontrmos que el M.C.D. es: ( ). Luego procedemos l simplificción: Entre tnto, procedemos l simplificción:

49 Tem 6: Operciones Rcionles 9 Tem 6 / Sesión ( )( ) ( )( ( )( ) ( )( ) ) ( )( ) ( )( ( )( ) ( )( ) ) Ejemplo 6. Simplificr l epresión Notemos el cmbio de signo que se hizo en el denomindor que le cmbi el signo tod l epresión.. Simplificr Inicimos fctorizndo los polinomios Fctorizmos los polinomios: ( )( ) ( )( ) Podemos notr que el M.C.D. es el denomindor completo ( )( ), sí, simplificmos: ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Vemos que no eisten fctores comunes, luego l epresión es irreductible, es decir, no es posible simplificrl.. Simplificción de un frcción un epresión mit o enter Cundo simplificmos un epresión rcionl podemos tener el cso de que l división se ect entonces el resultdo es un epresión enter. Que es un epresión enter Cundo simplificmos un epresión rcionl en donde el denomindor divide ectmente lguno de los términos del numerdor, entonces el resultdo es un epresión mit en relidd, estmos reduciendo l epresión un epresión equivlente.

50 Tem 6: Operciones Rcionles 9 Tem 6 / Sesión Ejemplo 6.6. Reducir l epresión Si dividimos cd uno de los términos por el denomindor tendremos:. Reducir l epresión En este cso no podemos seprr término término con el denomindor porque no logrremos nd. Sin embrgo, podemos descomponer prcilmente el numerdor pr poder reducir l epresión: L cul es un epresión mit. ( ) ( ). Reducir l epresión. Reducir l epresión 6 6 Clrmente vemos que el denomindor no divide todos los términos del numerdor, por lo tnto l división nos llevrá un epresión mit: Si fctorizmos el numerdor veremos que no tiene ningún fctor del denomindor: ( 8)( ) Entonces, l únic form de poder reducirl un epresión mit es por simple división

51 Tem 6: Operciones Rcionles 9 Tem 6 / Sesión Luego l reducción es:

52 Tem 6: Operciones Rcionles 9 Tem 6 / Sesión Tem 6: Epresiones Rcionles Sesión : Ejercicios Resueltos Ejercicios: Cmbios de signos en l sum rest de frcciones Procedimiento. Se ordenn los polinomios lfbéticmente en form descendente. Se cmbi el signo de l frcción los signos de los términos en el denomindor con el objeto de que el primer término de los denomindores se positivo. Se fctorizn los denomindores. Se deduce el m.c.d. (mínimo común denomindor). Se divide el m.c.d. por cd denomindor el resultdo se multiplic por el numerdor respectivo 6. Se destruen préntesis, se reduce se simplific Simplificr:. m n n m m m m m n m n n m n m {cmbindo tnto el signo de l frcción como el del último denomindor se orden este lfbéticmente} m m m n n m (m n) (m n)(m n) {fctorizndo los denomindores}; El m.c.d. es (m n)( m n) Dividimos el m.c.d. por el denomindor de cd término el resultdo lo multiplicmos por el numerdor respectivo: m (m n) m m n n m (m n)(m n) m n n {reduciendo} m n (m n)(m n) n m m n. {cmbindo tnto el signo de l frcción como el del último denomindor se orden este lfbéticmente} ( ) ( ) {fctorizndo los denomindores}; El m.c.d. es ( ) Dividimos el m.c.d. por el denomindor de cd término el resultdo lo multiplicmos por el numerdor respectivo: ( ) {reduciendo}; ( ) {simplificndo}