Capítulo. Resumir datos numéricamente Pearson Prentice Hall. All rights reserved

Transcripción

1 Capítulo 3 Resumir datos numéricamente

2 Medidas de tendencia central Una medida de tendencia central describe numéricamente el valor promedio o dato típico de un conjunto de datos. Es un dato representativo de un grupo de datos. Discutimos las medidas de tendencia central más ampliamente utilizados: la media la mediana la moda 3-2

3 La media aritmética de una variable se calcula sumando todos los valores de la variable en el conjunto de datos y dividiendo la suma entre el número total de observaciones. 3-3

4 La media aritmética de la población se calcula utilizando todos los individuos de la población. La media aritmética de la población es un parámetro. La media aritmética de la población se denota μ (se pronunica miu). La media aritmética de la muestra se computa utilizando los datos de la muestra. La media aritmética de la muestra es una estadística. La media aritmética de la muestra se denota x. (se lee x barra) 3-4

5 Si x 1, x 2,, x N son las N observaciones de una variable de la población, entonces la media de la población, µ, esta dada por x x x 1 2 N N Si x 1, x 2,, x n son las n observaciones de la muestra, entonces la media de la muestra, x, esta dada por ó x x x x 1 2 n n ó x = x i n 3-5

6 ACTIVIDAD Calcular la media de una población y la media de varias muestras. Los siguientes datos representan la duración del viaje al trabajo (en minutos) para los diez empleados de una empresa. 23, 36, 23, 18, 5, 26, 43, 45, 65, 75 (a) Calcule la μ para estos datos. (b)tome una muestra aleatoria simple de n = 3 empleados. Calcule x. (c) Tome una segunda muestra aleatoria simple de n = 3 empleados. Calcule x para esta segunda muestra. 3-6

7 ACTIVIDAD Calcular la media de una población y la media de varias muestras. (a) 3-7

8 EXAMPLE Computing a Population Mean and a Sample Mean (b) Tome una muestra aleatoria simple de n = 3 empleados. Calcule x. Tome una segunda muestra aleatoria simple de n = 3 empleados. Calcule x para esta segunda muestra. 3-8

9 EXAMPLE Computing a Population Mean and a Sample Mean b) Tome una segunda muestra aleatoria simple de n = 3 empleados. Calcule x para esta segunda muestra. Haga lo mismo para una segunda muestra aleatoria simple de n = 3. x = x i n 3-9

10 La mediana de una variable es el valor que se encuentra en el medio de los datos cuando éstos se han ordenado de forma ascendente. Utilizamos M para representar a la mediana. 3-10

11 Pasos para determinar la mediana de un conjunto de datos Paso 1: Organizar los datos en orden ascendente. Paso 2: Determinar el número de observaciones, n. Paso 3: Determinar la observación en el centro del conjunto de datos. Si el número de observaciones es impar, la mediana es el valor que está exactamente en el medio del conjunto. Valor que se encuentra en la posición n+1 2 Si el número de observaciones es par, entonces la mediana es la media de la dos observaciones intermedias del conjunto. Hallar la media de los valores en posiciones n y n

12 EJEMPLO Calcular la mediana de un conjunto de datos con número impar de observaciones Los siguientes datos representan los pulsos (latidos por minuto) de nueve estudiantes matriculados en una sección de Estadística de alguna universidad. 76, 60, 60, 81, 72, 89, 89, 68, 73 Determine la mediana del conjunto. 3-12

13 EJEMPLO Calcular la mediana de un conjunto de datos con número par de observaciones Supongamos que llega un estudiante tarde a la clase. El pulso de este estudiante es 80. Determine la mediana del conjunto nuevo. 76, 60, 60, 81, 72, 89, 89, 68, 73, 80

14 EJEMPLO Medidas resistentes o robustas Los siguientes datos representan la duración del viaje al trabajo (en minutos) para los diez empleados de una empresa. 5, 18, 23, 23, 26, 36, 43, 45, 65, 75 Supongamos que se contrata a un nuevo empleado y este tiene que hacer un viaje de 180 minutos. Cuál es el impacto sobre el valor de la media y la mediana de este nuevo conjunto? Media antes: 35.9 minutos Mediana antes: 31 minutos Media después: Mediana después: 3-14

15 Medidas resistentes o robustas A numerical summary of data is said to be resistant if extreme values (very large or small) relative to the data do not affect its value substantially. Un resumen numérico de un conjunto de datos se dice que es resistente si los valores extremos (muy grandes o muy pequeños) relativos a los datos, no afecta, sustancialmente, a su valor. La mediana es una medida más robusta o resistente que la media. Cuando los datos son asimétricos (sesgados hacia izquierda o derecha) debemos usar la mediana como medida de tendencia central 3-15

16 Relación entre la media, mediana y la forma de la distribución de frecuencias Sesgado hacia la izquierda (sesgo negativo) La media es sustancialmente menor que la mediana Simétrica Sesgado hacia la izquierda (sesgo negativo) La media es aproximadamente igual a la mediana La media es sustancialmente mayor que la mediana 3-16

17 EJEMPLO Describir la forma de una distribución Los siguientes datos representan los precios de venta de casas en Lincoln, New Hampshire. 79, , , ,900 99, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,900 Source:

18 EJEMPLO Describir la forma de una distribución (cont.) 1. Encuentre la media y la mediana de los datos sobre precios de venta de casas. 3-18

19 EJEMPLO Describir la forma de una distribución (cont.) 1. Encuentre la media y la mediana de los datos sobre precios de venta de casas.

20 1. Encuentre la media y la mediana de los datos sobre precios de venta de casas. 2. Utilice la media y la mediana para identificar la forma de la distribución. 3. Verifique el resultado dibujando un histograma de los datos. 3-20

21 Verifique el resultado dibujando un histograma de los datos. (cont) 1. Usaremos 10 clases. 2. Ancho de clase 3-21

22 3-22

23 Medidas de tendencia central (cont.) Una tercera medida de tendencia central es la moda. La moda de una variable es la observación que se produce con mayor frecuencia. Si no hay ninguna observación que se produce con la mayor frecuencia, o si más de dos observaciones se producen con la misma frecuencia decimos que el conjunto de datos NO tiene moda. El conjunto de datos puede tener más de un modo. En este caso, decimos que el conjunto es bimodal. 3-23

24 EJEMPLO Identificar la Moda de un conjunto de datos Los datos que siguen muestran los gobernadores electos de Puerto Rico y el pueblo donde nacieron. Identificar la moda. # Nombre Pueblo de nacimiento 1 Luis Muñoz Marín San Juan 2 Roberto Sánchez Vilella Mayaguez 3 Luis A. Ferré Ponce 4 Rafael Hernández Colón Ponce 5 Carlos Romero Barceló Santurce 6 Pedro Rosselló González San Juan 7 Sila M. Calderón San Juan 8 Aníbal Acevedo Vilá Hato Rey 9 Luis Fortuño Santurce 10 Alejandro Garcia Padilla Coamo 3-24

25 EJEMPLO Identificar la moda, media y mediana Benjamin es dueño de una pequeña empresa de Internet. Además de sí mismo, se emplea a otras nueve personas. Los salarios que reciben por los empleados se ofrecen a continuación en miles de dólares (el salario de Benjamin es el más grande, por supuesto): Determine la moda, la media y la mediana. 30, 60,30, 75, 50, 60, 50, 55, 45, 50, 55, 30, 70 Solución: 3-25

26 EJEMPLO cont. 30, 30,30, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 60, 60, 70, 75 Moda: Mediana: Media: 3-26

27 Medidas de dispersión La variación entre los valores de un conjunto de datos se conoce como dispersión Cuando la dispersión es grande, los valores se dispersan ampliamente; cuando es pequeña, están agrupados estrechamente. Hay varias medidas de dispersión, entre ellas el rango, la varianza y la desviación estándar. Estas medidas indican hasta qué punto las observaciones individuales de un conjunto de datos se dispersan o son "repartidos" en torno a su media. 3-27

28 Exploración Se presentan datos que describen el tiempo de espera (en minutos) en una fila, de una muestra aleatoria simple de 30 clientes, en dos restaurantes de comida rápida durante la hora del almuerzo. Para cada muestra, responda a las siguientes preguntas. a) Cuál es la media del tiempo de espera? b) Construya un histograma de los tiempos de espera de cada restaurante. c) Cuál conjunto aparenta estar más disperso? En cuál fila preferirías esperar? Por qué? 3-28

29 Tiempo de espera en Wendy s Tiempo de espera en McDonald s

30 Exploración (cont.) Cuál conjunto aparenta estar más disperso? En cuál fila preferirías esperar? Por qué? 3-30

31 Medidas de dispersión (cont.) El rango, R, de una variable es la diferencia entre el valor máximo y mínimo de los datos. Es decir: Rango = R = Valor máximo Valor mínimo 3-31

32 EJEMPLO Determinar el rango de un conjunto de datos Los siguientes datos representan los tiempos de viaje (en minutos) hacia el trabajo para siete empleados de una empresa de desarrollo para la Web. Determinar el rango. 23, 36, 23, 18, 5, 26,

33 Medidas de dispersión (cont.) La varianza poblacional de una variable es la suma de desviaciones cuadráticas de la población alrededor de la media poblacional, μ, dividida entre el número de observaciones en la población, N. La varianza poblacional se representa simbólicamente por una letra minúscula del alfabeto griego, sigma, σ 2 Nota: Cuando utilices la fórmula anterior, no debe redondear hasta el último cómputo. Utilice tantos decimales como lo permite su calculadora para evitar errores redondea. 3-33

34 EJEMPLO Calcular la varianza poblacional mediante fórmula Los siguientes datos representan los tiempos de viaje (en minutos) hacia el trabajo para siete empleados de una empresa de desarrollo para la Web. 23, 36, 23, 18, 5, 26, 43 Calcular la varianza poblacional para estos datos usando Solución: 3-34

35 EJEMPLO Calcular la varianza poblacional mediante fórmula (cont) Calculemos las desviaciones y sus cuadrados x i μ x i μ (x i μ)

36 Fórmulas para varianza 3-36

37 EJEMPLO Calcular la varianza poblacional mediante otra fórmula Los siguientes datos representan los tiempos de viaje (en minutos) hacia el trabajo para siete empleados de una empresa de desarrollo para la Web. 23, 36, 23, 18, 5, 26, 43 Calcular la varianza poblacional para estos datos usando la fórmula 3-37

38 EJEMPLO Calcular la varianza poblacional mediante otra fórmula (cont.) 23, 36, 23, 18, 5, 26, 43 N =

39 Varianza muestral La varianza muestral se calcula determinando la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones alrededor de la media muestral y dividiendola entre n 1. La varianza muestral se denota s

40 Nota: Siempre que una estadística sobreestima o subestima consistentemente a un parámetro, el estadístico se conoce como sesgado. Para obtener una estimación sin sesgo de la varianza poblacional, dividimos la suma de las desviaciones cuadradas alrededor de la media entre n

41 EJEMPLO calcular la varianza muestral Supongamos que hemos obtenido una muestra aleatoria simple de los datos sobre tiempo de traslado de los empleados del ejemplo anterior: 5, 36, 26. Calcular la varianza muestral del tiempo de traslado. Solución: 3-41

42 EJEMPLO calcular la varianza muestral (cont) Tiempo de traslado, x i Media muestral, x Deviación, xi Deviaciones cuadradas x x x 2 i

43 Desviación estándar La desviación estándar poblacional se denota. Se obtiene tomando la raíz cuadrada de la varianza poblacional, de manera que La desviación estándar muestral se denota s. Se obtiene tomando la raíz cuadrada de la varianza muestral, de manera que s s

44 EJEMPLO Calcular la desviación estándar poblacional Los siguientes datos representan los tiempos de traslado (en minutos) hacia el trabajo para siete empleados de una empresa de desarrollo para la Web. 23, 36, 23, 18, 5, 26, 43 Calcular la desviación estándar de la población. 3-44

45 EJEMPLO Calcular la desviación estándar muestral Para la muestra aleatoria simple de los datos sobre tiempo de traslado : 5, 36, 26, se calculó que la varianza muestral es s 2 = minutos 2 Use este resultado para determinar la desviación estándar muestral. 3-45

46 EJEMPLO Comparar desviación estándar de dos conjuntos (cont.) Determinar la deviación estándar para el tiempo de espera en las filas de Wendy s y McDonald s. Cuál es mayor? Por qué? 3-46

47 EJEMPLO Comparar desviación estándar de dos conjuntos (cont.) 1. Encuentre la desviación estándar de los datos sobre tiempo de espera. 3-47

48 Tiempo de espera en Wendy s Tiempo de espera a en McDonald s

49 EJEMPLO Comparar desviación estándar de dos conjuntos (cont.) Deviación estándar para el tiempo de espera en las filas de Wendy s y McDonald s Desviación estándar muestral para Wendy s: Desviación estándar muestral para McDonald s: 3-49