Desarrollo de las ecuaciones de estado

Transcripción

1 Capíítullo T Dsarrollo d las cuacions d stado. Sa una asa apoyada sobr un rsort d rigidz k, qu s xcitado n su xtro inrior a una vlocidad conocida. ara conzar la ralización dl Bond-Graph, s part dl punto A n dond s aplica la xcitación xtrior d vlocidad qu s conocida y variabl n l tipo v (t). Figura. S:v Figura. Sobr l punto A actúa una unt d lujo conocida cuyo valor s v (t).

2 Capítulo T or otra part, l grao qu rprsnta sta unt d lujo llva asociado un surzo, no conocido, qu s la urza qu s db ralizar n l punto A para qu s dsplac con la vlocidad v (t). El ull d rigidz k stá sotido a todo l surzo y lo counica íntgrant al punto B, s dcir; tanto l ull coo l punto B stán sotidos al iso surzo. or lo antriornt xpusto, quda claro qu l surzo s l iso n l punto A, n l ull y n l punto B. Rcordando ahora qu los nudos n los qu xistía igualdad d surzos ran dl tipo, n la rprsntación con Bond-Graph s tndrá: K S :v (t) Figura. Grao : Rprsnta la xcitación d vlocidad conocida v (t). Grao : Es l ull. Grao : Tin asociados l surzo y la vlocidad n l punto B. En la igura. s obsrva cóo dbido a qu n l rsort xist l iso surzo qu n l punto B, s ha plado una unión. Hay qu rcordar qu cada grao llva asociados l surzo y la vlocidad dl punto o lnto al qu rprsnta. D sta ora, n l caso dl ull s tin: K S :v (t) Figura.4 Continuando con l jplo propusto, n l punto B stá situada una asa d valor. 8

3 Capítulo T S :- g I:- 4 5 K S : v (t) Figura.5 A los graos, y ya dinidos, s añadn ahora l 4, qu rprsnta la inrcia d la asa, y l 5, qu s una unt d surzos qu corrspond al pso propio d la asa. Tanto l grao 4 coo l 5 s unn diant un nudo tipo, ya qu abos, l pso propio y la inrcia d la asa, tinn la isa vlocidad v (t), variabl n l tipo. S :- g I: K S : v (t) Figura.6 Una vz construido l Bond-Graph d un sista s dinn las variabls indpndints dl iso y todos los surzos y lujos asociados a cada grao. Coo variabls indpndints s toan la cantidad d oviinto asociado al grao d la purta d inrcia y l dsplazainto ntr los xtros dl rsort. San y x rspctivant. ara hallar los surzos y lujos asociados a cada grao s coinza por los conocidos. En st caso, s tin: v (t) or sr unt d lujo conocida. 4 or sr la variabl indpndint lgida l onto, y por tratars d una purta d inrcia. 9

4 Capítulo T Coo 5 y stán n la isa unión qu 4 y rcordando qu todos los graos ntrants y salints d una unión tnían igual lujo: 4 ; 5 4 or otra part, n las unions s cupl qu la sua d los lujos d ntrada s igual a la sua d los lujos d salida. En st caso: Y coo y ya son conocidos: + - Y sustituyndo por los valors indicados antriornt: ( v t) En cánica, coo s indicaba n l capítulo antrior, los surzos s corrspondn con las urzas y los lujos con las vlocidads. Así, n st jplo, s tndrá qu 4 v (t) s la vlocidad d la asa. En rsun, s tin: v (t) v ( t) 4 5 Una vz hallados los lujos d todos los graos, s pasa a calcular los surzos. 5 g or sr unt d surzo conocida. k x or habr toado coo variabl indpndint l dsplazainto x y por tratars d una purta rsort. Conocido, son tabién conocidos y ya qu los trs son graos ntrants y salints d una unión n dond, por dinición, s cupl qu todos los surzos son iguals. En las unions s cupl la igualdad d lujos y, por lo tanto, sua d surzos ntrants s igual a la sua d surzos salints. En st caso: Y sustituyndo por los valors hallados: k x g 4 En rsun, los surzos dl sista analizado tinn los siguints valors: k x k x k x 4 k x g

5 Capítulo T g 5 Llgados a st punto, rsulta un jrcicio uy intrsant intrprtar ísicant l signiicado d las cuacions plantadas, para hallar los surzos y los lujos. Cuado s trabaja con étodos gráicos pud aparcr la duda d si al plarlos hay pérdida concptual dl nóno qu s stá studiando. Con Bond-Graph no xist tal pérdida. Esto pud coprobars al invrtir l jrcicio y rconstruir l odlo partindo únicant d un diagraa d graos. No obstant, s prribl avanzar un poco ás n la técnica d Bond-Graph ants d plantar jrcicios invrsos. S :- g 5 - g so propio d la asa 5 k x- g Vlocidad d la asa La urza d inrcia d la asa s igual a la counicada por l ull, no copnsada por l pso propio d la asa I: :k x Furza counicada por l ull a la asa n l punto B v(t) v (t) Vlocidad d la asa n l punto B k x Furza n l ull k k x Furza ncsaria para provocar la vlocidad v (t) S :-v (t) v(t) Dirncia d vlocidads ntr los xtros dl ull Vlocidad d xcitación n l punto A v (t) Figura.7

6 Capítulo T En la igura.8 s prsnta un nuvo odlo d rsort y asa pro a dirncia dl antrior, ahora s incluy un aortiguador d coicint R. S :- g I: Figura.8 Coo s obsrva n la igura, l plantainto diant Bond-Graph s bastant siilar al caso antrior. Conzando l odlo por su part inrior, sabos la vlocidad a la qu s uvn los puntos inriors dl rsort y dl aortiguador qu s v. or st otivo, l coinzo dl Bond- Graph no s ni ás ni nos qu una unt d lujo cuyo valor s la vlocidad v. El grao qu rprsnta sta unt d lujo tin, n conscuncia, una vlocidad conocida y producirá un surzo dsconocido por l onto. Los xtros inriors dl ull y dl aortiguador stán sotidos a st surzo, pro tabién lo stán los xtros supriors, s dcir, xist l iso surzo n l binoio ullaortiguador qu n los puntos xtros d llos. or llo, sta part dl odlo tin qu sr rprsntada diant una unión tipo. El surzo counicado al ull-aortiguador s dividirá n dos parts, la corrspondint al ull y la dl aortiguador. S trata pus, d una sua d surzos (lo cual s rprsntaba diant unions tipo ).

7 Capítulo T Esurzo n puntos supriors dl ull-aortiguador Esurzo n ull-aortiguador Esurzo n puntos inriors dl ull-aortiguador Figura.9 Esurzo n puntos supriors dl ull-aortiguador v Esurzo n ull-aortiguador 6 K 6 Esurzo n l ull 7 7 Esurzo n l aortiguador Esurzo n puntos inriors dl ull-aortiguador R Figura. Esta unión pud xplicars tabién obsrvando qu n los puntos inriors, tanto l ull coo l aortiguador s dsplazan a la isa vlocidad. Llgando a la asa s ncsario vncr su inrcia y al iso tipo su pso propio, por lo qu xistirá otra unión dond s suarán stos surzos con los counicados por l conjunto ull aortiguador.

8 Capítulo T S : - g I: 5sds Esurzo dbido al pso propio v Esurzo utilizado al aclrar la asa kl Esurzo n puntos supriors dl ull-aortiguador Esurzo n ull-aortiguador 6 K 6 Esurzo n l ull x 7 7 Esurzo n l aortiguador Esurzo n puntos inriors dl ull-aortiguador R Figura. El siguint paso consist n dtrinar las variabls indpndints dl sista qu, coo s indicaba n l jplo antrior, s asociarán a las purtas inrcia y rsort, ligindo la cantidad d oviinto n l prir caso y l dsplazainto n l sgundo. Sa la cantidad d oviinto y x l dsplazainto, tal y coo s indica n la igura.. Coo últia tapa d las plantadas hasta ahora quda hallar l surzo y l lujo d cada grao. Conzando por los lujos: 4 or sr variabl indpndint lgida y tratars d una purta inrcia. v v or sr unt d lujo conocida. 5 4 or sr graos d una unión. 4 or sr graos d una unión. or sr graos d unión, n dond la sua d lujos d ntrada s igual a la sua d lujos d salida. v Sustituyndo y por los valors hallados. 6 or sr graos d una unión. or sr graos d una unión. 7 En lo qu s rir a los surzos: 5 g or sr unt d surzo. 6 k x or sr variabl indpndint lgida y tratars d un purta rsort. 7 7 R or tratars d una purta rsistncia. 4

9 Capítulo T 7 (v ) R Sustituyndo 7 por l valor hallado antriornt. or sr graos prtncints a una unión. + (v ) Sustituyndo 6 y 7 por sus valors. k x R or sr graos prtncints a una unión. or sr graos prtncints a una unión or sr graos prtncints a una unión. 4 k x + (v ) R g Sustituyndo y 5 por sus valors hallados. 4 v Vlocidad d la asa 4 k x + (v ) R Furza con la qu s aclra la asa g S: - g 5 g Furza dbida al pso propio d la asa 5 4 Vlocidad d la asa (n l dibujo v ) k x + (v ) R Esurzo n los puntos supriors d ull-aortiguador v Vlocidad d xcitación conocida Vlocidad d los puntos supriors dl ullaortiguador Sua d urzas originadas por l ull y l aortiguador k x + (v ) R v Dirncia d vlocidads a las qu trabaja l ull-aortiguador k x + (v ) R Furza ncsaria para xcitar la vlocidad v 6 k x Furza n l ull v K v 6 Vlocidad a la qu stá sotida l ull. Es la dirncia d vlocidads d sus xtros (v 7 Dirncia d vlocidads a las qu trabaja l aortiguador 7 ) R Furza n l aortiguador R S :v Figura. 5

10 Capítulo T Una vz dinidos los lujos y surzos asociados a cada grao rsulta uy intrsant intrprtar ísicant cada uno d los rsultados. Esta tara sirv tabién para dostrar qu con la técnica d Bond-Graph s obtinn rprsntacions gráicas n las qu no hay pérdida concptual d lo qu sucd n l odlo. Vaos ahora cóo s rsulv un odlo orado por la sua d los dos jplos ostrados antriornt. Figura. El probla consist n hallar las vlocidads v y v d las asas y dada una xcitación d vlocidad conocida; v. Hagaos ahora l Bond-Graph dsd otro plantainto: Sobr l punto A actúa una vlocidad conocida v. El ull K trabaja a la dirncia d vlocidads d sus xtros, v n l suprior y v n l inrior. Dbido a qu l ull trabaja a sta dirncia d vlocidads la purta rsort saldrá d una unión y s tndrá: K S : v Figura.4 Al sr una unión, los surzos son iguals y la sua d los lujos d ntrada s igual a la sua d los lujos d salida. S cupl qu: 6

11 Capítulo T O lo qu s lo iso: + En dond s la vlocidad dl punto inrior dl rsort K, y, la vlocidad dl punto suprior. Continuando con l plantainto, o jor dicho; l grao qu llva asociado l lujo, acaba n la vlocidad v d la asa. En l Bond-Graph s tndrá, pus, una unión d la qu saldrá la purta d inrcia, l pso propio d la asa y los xtros inriors dl ull-aortiguador suprior. Coo todos llos van a la isa vlocidad v, todos llos concurrirán n una unión tipo. 6 S :- g 5 4 Figura.5 Coo ya hos contado, n la unión s tndrá qu: El lujo 6 rprsnta la vlocidad d los xtros inriors dl ull K y dl aortiguador R. Abos trabajan a la dirncia d vlocidads d sus xtros suprior inrior y por lo tanto, n l gráico d Bond-Graph saldrán d una unión. Rspcto al conjunto d ull y aortiguador, abos s dsplazan a la isa vlocidad d odo qu prtncn a una unión tipo. El lujo s la vlocidad d los puntos supriors dl ull K y dl aortiguador R, y tabién la vlocidad d la asa. Así, la rprsntación diant Bond-Graph s ralizará diant una unión. Coo variabls indpndints dl probla s lgirán los ontos asociados a las purtas inrcia y los dsplazaintos n las purtas rsort. En la igura.6, s indican las cuatro variabls indpndints d st odlo. 7

12 Capítulo T Vlocidad n puntos supriors d ull-aortiguador Dirncia d vlocidads ntr puntos supriors inriors Vlocidad n puntos inriors d ull-aortiguador S:- g I: k S:v Figura.6 ara hallar los valors d los surzos y lujos asociados a cada grao, s sigun los isos critrios qu n los jplos antriors. Vlocidad n puntos supriors d ull-aortiguador 6 Dirncia d vlocidads ntr puntos supriors inriors 7 Vlocidad n puntos inriors d ull-aortiguador 8 9 K 5 S:- g 4 I: R k S:v Figura.7 8

13 Capítulo T S:- g I: K X S:- g I: 4 R k X S:v Valors d los lujos: v 4 4 v Figura.8 9

14 Capítulo T Valors d los surzos: x k x k x k R ) ( x k g x k + g R ) ( x k R ) ( x k x k 9 9 R ) ( R + 7 R ) ( x k + g R ) ( x k + + g. ACOLAMIENTO DE MODELOS La técnica d Bond-Graph prsnta una iportant vntaja al pritir aprovchar los surzos ddicados al plantainto d un odlo, ya qu pud utilizars ácilnt n odlos d copljidad suprior. Lo hos podido coprobar n l últio caso analizado; l Bond-Graph dl odlo coplto no ra ás qu la sua d odlos individuals.

15 Capítulo T D sta ora, sipr qu n algún probla aparzca una asa con un rsort, s aplicará l Bond-Graph ya dsarrollado sin ncsidad d plantarlo d nuvo. V K R V V + K R V V K V K V Figura.9

16 Capítulo T S : - g k R S : - g k R S : - g I: S : - g I: k k S : v S : v Figura.. LANTEAMIENTO DE LAS ECUACIONES DEL SISTEMA Volvindo sobr l jplo inicial s tin l siguint Bond-Graph: S :- g 4 I: 5 k x Figura. S :v

17 Capítulo T V ; k x V R ; k x 4 ; k x 4 ; k x 5 4 ; 5 g S habían lgido coo variabls indpndints: la cantidad d oviinto asociada a la purta d inrcia, y l dsplazainto x asociado a la purta rsort. Si V La d/dt d s un surzo, ya qu s l producto d una asa por una aclración. d dt A aclración d la asa. ro la asa ultiplicada por la aclración a, s l surzo 4. d a 4 dt Y sustituyndo 4 por su valor: d k x g dt La otra variabl indpndint lgida ra l dsplazainto x, cuya drivada rspcto al tipo s una vlocidad igual al lujo. dx dt Sustituyndo por su valor: dx V dt Las xprsions antriors constituyn las cuacions dirncials dl odlo. or otra part, s sab qu una asa asociada a un rsort s un sista d un grado d librtad por lo qu su rspusta n l tipo vin dada por una cuación dirncial d sgundo ordn. No obstant, con la técnica d Bond-Graph, la asa asociada al rsort vin dinida por dos cuacions d prir ordn. Esto, qu podría intrprtars coo un dcto d la técnica, s n ralidad una vntaja, ya qu los algoritos para rsolvr cuacions dirncials por ordnador ncsitan transorar las cuacions dirncials d sgundo ordn n cuacions dirncials d prir ordn. En dinitiva, diant la técnica d Bond-Graph cada grado d librtad dl odlo ncsita dos cuacions dirncials d prir ordn. En l caso ahora studiado las cuacions dirncials son: g a d dt k x g

18 Capítulo T dx dt v Coo s vrá ás adlant, a vcs rsulta vntajoso plantar las cuacions dirncials atricialnt. En st caso s tndrá: d dt dx dt - / k x + - g En dond, coo pud obsrvars, l vctor drivadas rspcto al tipo d las variabls indpndints s igual a una atriz caractrística dl sista ultiplicada por l vctor variabls indpndints ás un vctor d térinos indpndints. d /dt(x) (A)(x) + (B) Sindo: (x) Vctor variabls indpndints. (A) Matriz caractrística. (B) Matriz d térinos indpndints. v.4 ALICACIÓN DE LA TÉCNICA DE BOND-GRAH A CIRCUITOS ELÉCTRICOS El odlo qu plantaos s l dl circuito léctrico indicado n la igura. qu stá orado por: un gnrador d tnsión, E; dos rsistncias, R, R ; un condnsador d capacidad, /K ; y una bobina d autoinducción, L. A R B I b R C I a E k L Figura. El gnrador d tnsión s rprsntará n Bond-Graph diant una unt d surzo, rcordos qu n lctricidad los graos llvan asociadas tnsión coo surzo intnsidad coo lujo. S : Figura. 4

19 Capítulo T Toda unt d tnsión sobr un circuito provoca una intnsidad d corrint. Supongaos qu sta intnsidad s i a n l punto A, toda sta intnsidad pasa a través d la rsistncia R y llga al punto B. En Bond-Graph, igualdad d lujos (n st caso intnsidads) signiicaba unión tipo, d odo qu: R Intnsidad qu pasa por la rsistncia R S : Intnsidad qu llga al punto B Figura.4 En l punto B hay una división d intnsidad, part s driva hacia la rsistncia R y otra part hacia l condnsador K. La sua d lujos s ralizaba diant unions d tipo. R Intnsidad I a qu va hacia l condnsador S : Intnsidad qu llga al punto B Intnsidad I b qu va hacia la rsistncia R Figura.5 La intnsidad i b pasa toda lla por la rsistncia R y llga al punto C. Al sr igual la intnsidad qu pasa por la rsistncia R qu la qu llga al punto C, s rprsntará con Bond-Graph diant una unión. or últio, la bobina srá rprsntada diant una purta d inrcia. x R k R S : I:L Figura.6 Coo variabls indpndints s toan: asociado a la purta d inrcia y l dsplazainto x asociado a la purta rsort. Coo sipr, l siguint paso s hallar l valor d lujos y surzos asociados a los graos. Hasta ahora, n los jplos antriors s hallaban priro los lujos y dspués los surzos, sin qu 5

20 Capítulo T sto signiiqu qu dba toars por nora. En gnral, los lujos y surzos s dinn a la vz indistintant conor van sindo conocidos. En st jplo los pasos srían los siguints: 7 / L or sr purta d inrcia / or prtncr a unión. 6 7 L 5 7 / L 4 k x 5 4 k x 4 k x or prtncr a unión. or sr purta rsort. or prtncr a unión. or prtncr a unión. or sr unt d surzo. k or prtncr a unión. x /R ( k x) / R ( k x ) / R ( k x ) / R 4 5 ( k x ) / R / L 6 6 R R / L k x R / L or sr purta rsistncia. or prtncr a unión. or prtncr a unión. or prtncr a unión. or sr purta rsistncia. or prtncr a unión. Las cuacions dirncials dl circuito léctrico srán: d /dt y dx /dt d /dt 7, y dx /dt 4 Sustituyndo por los valors hallados, quda dinitivant: d / dt k x R / Qu n ora atricial srá: d/dt x dx L /dt ( k x )/R / L - R / L - / L - k k / R x + / R.5 ELEMENTOS TRANSFORMER Dada la palanca d la igura.7, vaos a studiar la rlación qu xist ntr las vlocidads y surzos d sus puntos xtros. 6

21 Capítulo T F r F V V A O B a b Figura.7 Supongaos qu la palanca gira alrddor d su punto d apoyo con una vlocidad angular r. S tndrá: V r a V r b or otra part, si la palanca gira a vlocidad angular constant hay quilibrio d surzos y ntoncs: a F b F D todas stas cuacions s pudn dducir las rlacions xistnts ntr las vlocidads y surzos d los puntos xtros. V /a r V /b, d dond: V b V / a F a F b, d dond: F a F / b Coo s dduc d stas cuacions, al pasar dl punto A al punto B d la palanca s han transorado tanto vlocidads coo surzos, pro no ha habido pérdida d potncia y n conscuncia: F V b a F V /a b F V Estas transoracions d surzos y lujos sin pérdida d potncia s rprsntan n Bond- Graph d la siguint ora: b/a TF Figura.8 El lnto transorr vin dinido por un grao d ntrada y otro d salida, así coo por un valor o razón. En stos lntos l lujo d salida s igual al d ntrada ultiplicado por la razón dl transorr y a la invrsa ntr los surzos. San:, Esurzo y lujo d ntrada., Esurzo y lujo d salida. b/a Razón dl transorr. b /a a/b Coo no hay pérdidas, sipr s cupl qu: a b /b a Otro jplo uy claro d la aplicación dl lnto transorr s l ngran ruda-piñón. 7

22 Capítulo T n w n w r r w Vlocidad angular dl piñón n ar dl piñón r Radio priitivo dl piñón w Vlocidad angular d la ruda n ar n la ruda r Radio priitivo d la ruda Figura.9 Su rprsntación diant Bond-Graph s hac con un lnto transorr. S cupl qu: n w r /r TF Figura. w r w / r n r n / r En l caso d oviintos angulars, los surzos asociados a los graos son pars y los lujos, vlocidads angulars. Mcánica rotacional n w Esurzo ar Flujo Vlocidad angular Figura. Coo sipr, s cuplirá qu no hay pérdidas d potncia n l transorr. n w r r n w /r r n w El lnto transorr tin tabién una aplicación iportant n l paso d un sista cánico a otro hidráulico. En l cilindro hidráulico plantado n la igura.4 un surzo F s aplicado al vástago dl cilindro qu s dsplaza a una vlocidad V, provocando n l acit dl cilindro una prsión p y un caudal Q. 8

23 Capítulo T F p Q A Ára dl ébolo V Figura. Mdiant un lnto transorr n l qu l grao d ntrada rprsnta la part cánica; l grao d salida, la hidráulica; y la razón, l ára dl vástago, s tin: Scción ébolo Furza F V Vlocidad A TF rsión Q Caudal Q A V F/A Figura. Ectivant, la urza aplicada sobr l vástago d un cilindro hidráulico dividida por la scción dl cilindro, dtrina l caudal d acit a la salida. Es iportant obsrvar qu n hidráulica los surzos asociados a los graos son prsions dl luido, y los lujos son caudals. Sistas hidráulicos Esurzo rsión Flujo Caudal Figura.4 Aplicación dl lnto transorr El odlo indicado n la igura.7 tin cuatro grados d librtad: dsplazainto vrtical d la asa, dsplazainto vrtical d la asa, giro r d la asa M y dsplazainto vrtical d la asa M. 9

24 Capítulo T a b M,J r z k R k R v v k k v v Figura.5 El odlo propusto rprsnta una oto o incluso una sipliicación longitudinal d un vhículo d cuatro rudas, n dond l j dlantro vin rprsntado por la asa con sus lntos caractrísticos. K Rigidz vrtical dl nuático. K Rigidz dl ull d la suspnsión. R Constant dl aortiguador. ara analizar st caso s conzará por plantar la suspnsión d uno d los js y dspués s continuará con l rsto dl sista. Rcordando los jplos antriors, s obsrva qu l Bond-Graph d st lnto ya había sido dsarrollado y tabién s había dostrado qu una vz ralizado, podía aplicars íntgrant n cualquir odlo ás copljo. S:- g S:v Grao d pal k I: Figura.6 k R 4

25 Capítulo T El plantainto ralizado para l j dlantro pud sr aplicado al j trasro. Abos constituyn dos subodlos: subodlo j D. y subodlo j T. San: O Cntro d gravdad d la carrocría. a Distancia j dlantro al cntro d gravdad. b Distancia j trasro al cntro d gravdad. M Masa d la carrocría. J Monto d inrcia d la carrocría. r Vlocidad angular d la carrocría rspcto al cntro d gravdad. z Vlocidad vrtical d la carrocría. a b A M, J B r z Subodlo j D Subodlo j T Figura.7 El subodlo j D, counica al punto A una vlocidad vrtical qu, rspcto al sista d la carrocría, s sua d una vlocidad vrtical ás otra provocada por la vlocidad angular r. a V a z z A r a r Cntro gravdad carrocría Subodlo j D V a z-r a Figura.8 Al tratars d una sua d vlocidads s rprsntará diant una unión. or otro lado, la vlocidad angular r va ultiplicada por a, y para su rprsntación s plará un transorr. En la ralización dl Bond-Graph d un sista, rsulta con rcuncia d ucha ayuda idntiicar cada vlocidad por una unión. En st caso, s tin una unión caractrizada por la vlocidad r, y otra por la vlocidad z. 4

26 Capítulo T -r a TF a r r z-r a z Figura.9 El plantainto hcho n la igura.9 pud ralizars tabién d la siguint ora: -r a -/a TF r z r z-r a z Figura.4 Sobr sta últia igura hay qu hacr constar qu, dado un lnto transorr coo l indicado sguidant: a z En dond: Esurzo n grao d ntrada. Flujo n grao d ntrada. s Esurzo n grao d salida. s Flujo n grao d salida. a Razón dl transorr. TF Figura.4 s s or la dinición dada para dicho lnto, s cupl qu: s a s /a ro tabién s cuplirá qu: /a s a s or lo qu s pud invrtir l sntido dl transorr, invirtindo a su vz l valor d su razón. 4

27 Capítulo T Igual qu s ha actuado para palar la carrocría con l j dlantro, s hará con l j trasro. Rstará solant situar las purtas d inrcia y la unt d surzo dbida al pso propio d la carrocría. Las purtas d inrcia irán asociadas a las vlocidads r y z, intras qu la unt d surzo lo stará a la vlocidad z. Dinitivant l Bond-Graph quda d la siguint anra: I:J a TF b TF Grao d pal Subodlo j D S :- g I:M Figura.4 Grao d pal Subodlo j T El transorr rlacionado con l j trasro tin d razón /b con valor positivo, dbido a qu n l punto B s suan la vlocidad inducida por z y la originada por r. Ejplo d sistas ixtos cánico-hidráulicos El lnto transorr rsulta idal para cabiar d un sista cánico a otro hidráulico. Vaos una suspnsión hidronuática coo la indicada n la igura.4 dond A s l ára dl ébolo dl cilindro hidráulico;, la asa suspndida; v, la vlocidad dl ébolo; v, la vlocidad d la asa; K a, la rigidz dl acuulador hidronuático; y R, l aortiguainto d st acuulador. 4

28 Capítulo T V V A Scción dl ébolo Figura.4 En l Bond-Graph d st jplo pudn rsaltars cuatro puntos iportants sñalados n la igura.44. Unión tipo qu siula la drivación d acit qu s dirig hacia l acuulador hidronuático. or habr sua d lujos (caudals n l caso d la hidráulica) s rprsnta diant una unión tipo. Todo l caudal qu va hacia l dpósito dl acuulador pasa por la tubría rgistrándos una pérdida d carga. Existn pus, dos nónos qu uncionan con l iso caudal; la pérdida d carga (purta tipo rsistncia) y la acuulación (purta tipo rsort). Al xistir igualdad d caudals s pla una unión tipo.. El paso d un sista cánico a otro hidráulico contando con un cilindro hidráulico s raliza diant un transorr qu tin d razón l ára dl ébolo. ara hacr l iso paso n sntido contrario s pla un transorr d razón invrsa a la dl ára dl ébolo.. Esta unión tipo q pud asociars a la vlocidad v d la asa. Tanto l pso propio d la asa coo su inrcia s dsplazan a la isa vlocidad y por st otivo, stán n la isa unión tipo. 44

29 Capítulo T V Q Q S:- g V Q 4 Funt dl surzo para siular l pso propio d la asa Q /A Vlocidad d la part suprior dl cilindro / A TF Esurzo rsultant para aclrar la asa I: Transorr para cabiar d sista hidráulico a cánico Q Caudal qu va a la part suprior dl cilindro K Q Caudal qu va hacia l acuulador QA V Caudal gnrado por l cilindro Q Todo l caudal ntra n l acuulador para copriir l gas Q Todo l caudal pasa por la tubría y provoca una pérdida d carga R TF:A Transorr para pasar d sista cánico a hidráulico Funt d lujo para siular la xcitación d vlocidad conocida S :V Figura.44 Coo variabls indpndints s toan coo ya s habitual, la cantidad d oviinto asociado a la purta d inrcia y l volun d acit x asociado a la purta rsort. En hidráulica, l lujo s l caudal y la intgral dl caudal n l tipo s l volun d acit, concrtant l qu s introduc n l acuulador hidronuático. 45

30 Capítulo T S :v A TF / A TF 6 7 S :- g I: R K x Figura.45 Cálculo d los lujos y surzos. v Funt d lujo. A v or dinición d transorr. / 8 9 / A 7 9 Variabl indpndint n purta d inrcia. Unión. / Unión. A/ or dinición d transorr. - 6 A v - A / Unión. 4 A v - A / Unión. 5 A v - A / Unión. 4 K x or purta rsort. 5 5 R (A v - A /) R or purta rsistncia K x+ (A v - A /) R Unión. K x+ (A v - A /) R Unión. 6 K x+ (A v - A /) R Unión. A A K x + ( A v - A /) R or dinición d transorr. 7 A 6 A K x + ( A v - A /) R or dinición d transorr. 8 - g Funt d surzo A K x + ( A v - A /) R - g Unión. Coo cuacions dirncials dl odlo qudan: d /dt 9 A K x + ( A v - A /) R - g dx /dt 4 A v - A / Y n ora atricial: d/dt x - A R/ A K - A/. x + A v R - g A v 46

31 Capítulo T.6 ELEMENTO GYRATOR Estos lntos transoran lujos n surzos y surzos n lujos. Están orados por un grao d ntrada, otro d salida y la razón dl gyrator r. Coo n l caso d los transorr, no hay pérdida d potncia. Entrada r GY Figura.46 or dinición, n los lntos gyrator s cuplirá qu r Tabién s cupl qu: s s s r s r /r Salida Y por lo tanto no hay pérdida d potncia. Un jplo claro dl plo dl gyrator s l otor léctrico, ya qu al paso d una intnsidad produc un par otriz, y s cupl qu l par s igual a una constant dl otor por la intnsidad. s s M ar s I Intnsidad léctrica GY s I r ar cánico s Figura.47 47