M.C. Jorge Enrique Valle Can Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010

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1 gprograma DE ESTUDIO Teoría de Números I Programa Educativo: Licenciatura en Matemáticas Área de Formación : Sustantiva Profesional Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8 Clave: F1142 Tipo : Asignatura Carácter de la Optativa asignatura Programa elaborado por: L.M. Rodolfo Conde del Águila M.C. Jorge Enrique Valle Can Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010 Seriación explícita Asignatura antecedente No Asignatura Subsecuente Seriación implícita Conocimientos previos: Sí Conceptos y fundamentos de álgebra superior F1142 Teoría de Números I 1/6

2 Presentación La Teoría de Números o Aritmética Superior es una de las ramas de las matemáticas cuyos antecedentes los podemos encontrar en escritos de los matemáticos de la antigüedad como Euclides y Diofanto, sin embargo en los siglos XIX y XX recibe un impulso importante con los trabajos de Fermat, Euler, Gauss, Kummer, Diritchlet, Chebishev y Otros. La Teoría de los Números se caracteriza fundamentalmente por la enorme belleza de sus resultados y por haber conservado la pureza de la Matemática Teórica. Objetivo General Manejar con bastante soltura los conceptos relacionados con la Divisibilidad en el conjunto de los números Enteros, así como también las nociones de Congruencia y Residuo cuadrático, de acuerdo a los contenidos de las Unidades que conforman el Temario del Curso. Competencias que se desarrollaran en esta asignatura Desarrollo de la teoría de números y su relación con otras teorías. Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura Desarrollo lógico de teorías matemáticas y sus relaciones entre ellas Salón de clases. Escenario de aprendizaje Perfil sugerido del docente Licenciatura en matemáticas, de preferencia con posgrado en matemáticas básicas F1142 Teoría de Números I 2/6

3 Contenido Temático Unidad No. Objetivo particular Hrs. estimadas 20 1 Divisibilidad Familiarizar al alumno con el Conjunto de los Enteros, y los conceptos básicos de Divisibilidad, Máximo Común Divisor, Mínimo Común Múltiplo, numero primo numero compuesto y teorema fundamental de la aritmética. Temas 1.1. Definición de Divisibilidad en los enteros Teoremas relativos a la Divisibilidad Unidades Numero Primo Numero compuesto Teorema fundamental de la aritmética Algoritmo de la División Máximo Común Divisor Mínimo Común Múltiplo Teoremas relativos al Resultados del aprendizaje Comprensión de las nociones de Divisibilidad en el conjunto de los enteros. Comprensión de los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Habilidad para demostrar propiedades de divisibilidad. Habilidad para demostrar teoremas relativos al mcm y al mcd. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor y realizar ejercicios que permitan entender con claridad los conceptos. Estrategias y criterios de evaluación Resolver ejercicios de la Bibliografía solicitada. Dejar una lista de problemas importantes para tener derecho a presentar los exámenes parciales. Realizar de dos a tres exámenes parciales. Valorar la participación del alumno en la clase. F1142 Teoría de Números I 3/6

4 Máximo Común Divisor y al Mínimo Común Múltiplo. Unidad No. Objetivo particular 2 Congruencias Entender el concepto de congruencia, su importancia en el lenguaje de las Matemáticas, así como resolver congruencias de grado uno y algunas de grado superior. Hrs. estimadas 30 Temas 2.1. Definición de congruencia 2.2. Teoremas relativos a la Congruencia 2.3. La congruencia como relación de equivalencia en el conjunto de los Enteros Juego completo y juego módulo m 2.5. Función de Euler 2.6. Teorema de Euler reducido Resultados del aprendizaje Comprensión de las nociones de congruencias. Comprensión de los teoremas relativo a congruencias como Teorema de Euler, de Fermat, Wilson y Teorema Chino del Residuo. Habilidad para resolver problemas que involucren congruencias, usando teoremas relativos. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor y realizar ejercicios que permitan entender con claridad los conceptos. Estrategias y criterios de evaluación Resolver ejercicios de la Bibliografía solicitada. Dejar una lista de problemas importantes para tener derecho a presentar los exámenes parciales. Realizar de dos a tres exámenes parciales. Valorar la participación del alumno en la clase. F1142 Teoría de Números I 4/6

5 2.7. Teorema de Fermat 2.8. Teorema de Wilson 2.9. Congruencias de grado uno Teorema Chino del Residuo Algunas propiedades de la función de Euler Congruencias de grado Superior Teoremas relativos a congruencias de grado superior Raíces primitivas. Unidad No. 3 Reciprocidad Cuadrática Objetivo particular Entender el concepto de residuo cuadrático, manejar los símbolos de Legendre y Jacobi y comprender la Ley Gausseana de la reciprocidad cuadrática. Hrs. estimadas 30 Temas 3.1. Definición de residuo cuadrático 3.2. Símbolo de Legendre Resultados del aprendizaje Comprensión del concepto de residuo cuadrático, así como teoremas relativos al Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor y realizar ejercicios que permitan entender con Estrategias y criterios de evaluación Resolver ejercicios de la Bibliografía solicitada. Dejar una lista de problemas F1142 Teoría de Números I 5/6

6 3.3. Teoremas relativos al símbolo de legendre 3.4. Lema de Gauss 3.5. Ley de la Reciprocidad Cuadrática 3.6. Símbolo de Jacobi Teoremas relativos al símbolo de Jacobi Símbolo de Legendre. Comprensión del Lema de Gauss y ley de reciprocidad cuadrática. Comprensión del símbolo de Jacobi y teoremas relativos. Habilidad para usar teoremas de la teoría de números en la resolución de problemas. claridad los conceptos. importantes para tener derecho a presentar los exámenes parciales. Realizar de dos a tres exámenes parciales. Valorar la participación del alumno en la clase. Bibliografía básica 1. Hardí, G. H. y Wright E. M. (1979). An introducción of the Theory of Numbers. 5 a ed. Oxford: Clarendon. 2. Joshep, Silverman (2001). Friendly Introduction to Number Theory, Prentice Hall. 3. Niven, I. y Zuckerman (1969). Introducción a la Teoría de los Números. México: Limusa 4. Rose, H. E. (1995). A course in number theory. 2nd ed. USA: Oxford University Press. Bibliografía complementaria 1. Alan, Backer (1984). Concise Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge University Press. 2. Usiskin, (1980). Algebra, Theory of Numbers and Their Applications, American Mathematical Society. 3. Pommersheim, J. Marks, T. y Flapan, E. (2010). Number Theory: A Lively Introduction with Proofs, Applications, and Stories. New York: Wiley. F1142 Teoría de Números I 6/6