n veces El número real a recibe el nombre de base, n el de exponente y el resultado del producto es la potencia de orden n de a:

Transcripción

1 Potenciación Sea a R; n N; la eresión a n de ne un número real asi: a n a a ::: a; n veces El número real a recibe el nombre de base, n el de eonente y el resultado del roducto es la otencia de orden n de a: Ejemlo base eonente eansión otencia Si el eonente es un número entero m 0 la eresión a m se de ne así: a m ; si m 0 a m donde a es el inverso multilicativo de a ; si m < 0 Ejemlo 0 ; 9 ( ) :. Proiedades de la otenciación Como consecuencia de la de nición, se tienen las siguientes roiedades. a y b reresentan números reales y n y m enteros P. Al multilicar otencias de igual base, se escribe la misma base y se suman los eonentes: a m a n a m+n P. Al dividir otencias de igual base, se escribe la misma base y se restan los eonentes: a m a n a m n P. La otenciación es distributiva con resecto a la multilicación (a b) n a n b n P. La otenciación es distributiva con resecto a la división (a b) n a n b n P. Potencia de una otencia, se escribe la misma base y se multilican los eonentes (a n ) m a nm. Radicación Si a R; m N; m la eresión raiz de orden m de a o también raiz m ésima de a; reresentada mediante el símbolo m a;es otro número real c que cumle la condición que c m a: m a c () c m a; c R

2 Obsérvese que se eije que c sea un número real, or tanto no tendrá sentido reguntarse or eresiones de la forma 8; q 9; 6 orque en niguno de los casos es osible encontrar un número real c ara el cual c 8; c 9; c 6 6 : En cambio si eisten, or ejemlo, t : 0; : Una vez se ha de nido la radicación es osible de nir a m con a R y m Q; en efecto, si m q ; donde tanto como q son enteros y q 6 0; se de ne a q q a Ejemlo ; ; q Las roiedades de la otenciación con eonentes enteros se conservan cuando los eonentes son números racionales. Ejemlo Los siguientes son ejemlos relativos a la simli cación de eresiones con eonentes enteros o racionales. 6 :. ( ) u v w v w. y v ( ) w u v w u v u w v u w y y y y y (y ) y (y ) y + ( ) y 9y y + y. 8 y 6 y y 6 y 6 y y 6 y y ( ) ( ) y y 8 9 y 8 9 y 9y y a b 8 a 0 b a b 8 a 0 b a 0 b ( a b 8 ) ( ) a 0 b ( ) (a ) (b 8 ) a b ab aa b b a b

3 a b b. c a c 8. ( + ) ( ) + ( ) a6 b c 6 b a 6 c a6 b c 6 a6 c b a 6+6 b c 6 a bc 6 ( + ) ( + ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 6 + ( ) ( ) 9. a a a a a + a 6 a 6 a 6 6 a 0. y y y y y 0 y 9 y 0 y + ( y ) + 6 y 9 0 s 0 y y y y y 6 y 9 0 y ab 9a b + 6 a b ab ab a b + a b ab + ab ab

4 ( + ) 6 () ( u v) (u uv + v). u u u v + v u u v + uv v v u u u v + v u u v + v u v v (u + v + v) u (u + u v) v (u + v) u (u v) v a a + b + c b + c a ab + ac + ab b + bc + ac a + ac b + c bc + c 6. 6 y y 6 y y 6 y 6 y 6 y 6 y 6 y 6 y 6 y 6 y 6 y 6 y y 6 y. 6 y 6 y 6 y 6 y 6 y 6 y 6y y y 6y + y 6y

5 8. a b a b a b a b a b a b 6 b b 6 a b 6 b + 6 a b 6 b. En cada una de las siguientes eresiones simli que y erese el resultado con eonentes ositivos. (a) (b) (c) u v w u 0 v w (d) y y y y (e) 6 ( + ) () ( + ) + ( + ) 6 () ( + ) () (f) y. Simli car las siguientes eresiones, las que contengan eonentes negativos deben ser eresadas con eonentes ositivos, tamoco deben haber eonentes fraccionarios en el denominador. r (a) a + a a r (b) 8y (c) s 9 y 98 6 y 8 y (d) 6 y 6 y 6 6 (e) R. 6 y 0 y y (f) 6a b 8 a 0 b R. a b (g) ( + ) ( + ) () + ( + ) R. ( + )

6 Eresiones algebraicas y olinomios. En la vida cotidiana se emlean eresiones como las siguientes: hay romoción, y hoy, este vestido cuesta la tercera arte de lo que costaba, Luisa gana el doble de lo que gana Pedro, es osible que este año se ierda el 0% de la roducción agrícola debido al fuerte invierno. Estas eresiones se ueden reresentar en forma simbólica mediante combinaciones de oeraciones algebraícas (sumas o restas, multilicaciones o divisiones, otenciación, radicación,...) con símbolos, generalmente letras del alfabeto, que se emlean ara reresentar situaciones cambiantes o variables. Por ejemlo, ara reresentar el recio de un vestido se uede usar la letra y la eresión este vestido cuesta la tercera arte de lo que costaba se uede simbolizar como : reresenta el recio de cualquiera de los vestidos que se encuentran en romoción. Los siguientes son ejemlos de eresiones algebraícas: m + j + 0 l t d s a > Con las eresiones algebraícas ueden hacerse oeraciones en la misma forma a como se realizan oeraciones con números reales. Los siguientes son ejemlos ilustrativos. cs cs + cs cs. (a + b) (a b) a + 0b 6a + 9b a + 9b. a (c d)+b (d c) c (a b) ( a b) ac ad+bd bc ca+cb+a+b ad + bd + a + b. + m m m + m m. a a a a a ab ab ab a a a ab a a b a a b Ejercicio Comruebe que si y + ) y + y y y +. Polinomios Un olinomio en una indeterminada o variable es una eresión algebraíca de nx la forma a 0 + a + a + a + ::: + a n n a i i con la condición que i N 0 f0; ; ; :::g y cada uno de los a i es un número que uede ser entero, i0 6

7 racional o real. Cada uno de los a i recibe el nombre de coe ciente, a i i es un término del olinomio y el mayor de los eonentes, recibe el nombre de grado del olinomio. Puede ocurrir que en la eresión a 0 + a + a + a + ::: + a n n cada uno de los a i ;eceto osiblemente a 0 ; sea igual a cero, en este caso se dice que se tiene un olinomio constante, en el caso que a 0 0 se tiene el olinomio nulo. 0; ; ; ; ; son ejemlos de olinomios constantes. El grado de un olinomio constante es cero. Ejemlo 6 olinomio grado En un olinomio, la variable, reresenta un número real que no está determinado. Dos términos que tengan el mismo grado, se consideran semejantes, 6 y 6 son semejantes... Oeraciones entre olinomios Adición Si a 0 +a +a +a +:::+a n n y b 0 +b +b +b +:::+b m m son olinomios, no es necesario que n y m sean iguales, esto es, los olinomios ueden tener grado diferente, se de ne la adición de olinomio como el olinomio c 0 + c + c + c + ::: + c k k donde cada c i a i + b i y el grado de este olinomio es el número mayor entre n y m: Ejemlo ( + ( )) + ( + ( )) + ( + 8) Multilicación Si a 0 + a + a + a + ::: + a n n y b 0 + b + b + b + ::: + b m m son olinomios, no es necesario que n y m sean iguales, esto es, los olinomios ueden tener grado diferente, se de ne la multilicación de olinomios como el olinomio c 0 + c + c + c + ::: + c k k donde cada c i a 0 b i + a b i + a b i + ::: + a i b 0 y el grado de este olinomio es n + m: Ejemlo

8 ( ( )) 0 ( ( ) + () ( )) ( ( ) + ( ) ( )) (( ) ( ) + 6 ( )) ( + 6 ( )) ( ) es más cómodo realizar este rocedimiento (( ) + ( ) ( )) 6 (6 + ( ) ( )) (0) 8 (0) 9 ( ) 0 multilicando cada uno de los términos de uno de los olinomios or cada uno de los términos del otro, esto uede hacerse gracias a la roiedad distributiva de la multilicación con resecto a la adición, al nal se reducen los términos semejantes ara obtener el resultado ( 8) Ejercicio 9 Calcular. ( y) ( + y). ( y + z). ( ) ( + ). ( ). ( + ) División de olinomios Si () y q () son olinomios, y el grado de () es mayor o igual que el grado de q () ; siemre es osible eresar a () c () q () + r () donde c () y r () son olinomios y el grado de r () menor que el grado de q () : El roceso que lo ermite se conoce como algoritmo de la división.. Se ordenan, mediante el grado de cada término, en forma decreciente tanto el olinomio dividendo como el olinomio divisor. Es útil comletar los términos faltantes con términos que tengan cero como coe ciente. 8

9 . Se divide el coe ciente del rimer término del dividendo or el coe ciente del rimer término del divisor, este será el coe ciente del rimer término del cociente, el grado de este término será la resta de los corresondientes eonentes. Recuerda que ara dividir otencias de igual base se escribe la misma base y se restan los eonentes.. Se multilica este rimer término del cociente or el divisor y el resultado se resta del dividendo. El resultado de esta sustracción será el nuevo dividendo.. Se reite los asos y con este dividendo. El roceso termina en el momento en que el grado del último dividendo sea menor que el del divisor. Ejemlo 0 Dividir + + entre + rimero se ordenan los olinomios: b ::::::::::::: El cociente es: y el residuo: or tanto Ejercicio Hallar el cociente y el residuo si 6 + or + ++ se divide Ejercicio Muestre que si + se divide or + el residuo es 0 9

10 . Factorización de olinomios Si () es un olinomio y es osible encontrar s () y q () ; olinomios no constantes, ara los cuales se cumle que () s () q () se dice que el olinomio () se ha factorizado y que s () y q () son factores de () : No siemre es osible encontrar factores de un olinomio dado, saber cuándo esto es osible, requiere de algunos criterios que desbordan los objetivos de este curso, nos limitaremos a resentar algunos tios de olinomios con coe cientes en Z o en Q que ueden ser factorizados sin di cultad y ejemlos de algunos que no son factorizables, un olinomio de la forma a + b si tanto a como b son enteros ositivos, no es factorizable, en articular un olinomio de la forma + b ; llamado suma de cuadrados, nunca es factorizable, un olinomio de la forma a + b + c no es factorizable en los reales si b ac < 0: nombre forma factor común ba 0 y + ba y + ba y + ::: + ba n y n diferencia de cuadrados a suma de cubos + a diferencia de cubos a trinomios cuadráticos a + b + c olinomio de grado n a 0 + a + a + ::: + a n n la forma general de factorizar estos olinomios es : nombre factorización factor común by a 0 + a + a + ::: + a n n diferencia de cuadrados ( a) ( + a) suma de cubos ( + a) a + a diferencia de cubos ( a) + a + a trinomios cuadráticos olinomio de grado n b+ b ac a b b ac a se estudiarán casos articulares Ejemlo ( ) ( + ) ( ) ( ) hay un factor común ; se factoriza ( ) [( + ) ( )] ( ) ( + + ) ( ) ( ) Ejemlo 9t s + 6ts + t s + ts hay un factor común ts ; se factoriza ts t + s + t + Ejemlo 9 es una diferencia de cuadrados,9 es el cuadrado de y es el cuadrado de ; se factoriza + Ejemlo 6 6y 8 es una diferencia de cuadrados, es el cuadrado de y 6y 8 es el cuadrado de y ; se factoriza y + y ; + y no es factorizable or ser una suma de cuadrados, ero y es una diferencia de cuadrados y se uede factorizar como y + y ; en consecuencia, la factorización de 6y 8 es y + y + y : Ejemlo (i y) 8z ; es un factor común ( y) 8z h( y) 9z la eresión ( y) 9z es una diferencia de cuadra- 0

11 dos, y es el icuadrado de ( y) y 9z es el cuadrado de z entonces h( y) 9z [(( y) z) (( y) + z)] [( y z) ( y + z)] Ejemlo 8 y 9 es una diferencia de cubos, es el cubo de y y es el cubo de y 9 se factoriza y + y + y y + y + y 6 Ejemlo 9 + es una suma de cubos, es el cubo de y es el cubo de 8; luego + ( + 8) () ( + 8) Ejemlo 0 + es un trinomio de la forma a + b + c con a ; b y c ;entonces, Ejemlo ( y) 8; 8 es el cubo de ; entonces ( y) 8 ( y) (( y) ) ( y) + ( y) + ( y ) () + y + y + y + ( y ) + y + y + y + Ejemlo 8 9 6y 8, obsérvese que es factor de 8 9 y de 6y 8 ) 8 9 6y y y 8 y y + y : Ahora, y es a su vez una diferencia de cuadrados, que se factoriza: y + y : Al ser + y una suma de cuadrados, no se factoriza. Luego la factorización de 8 9 6y 8 es y + y + y y + y 9 + 6y Ejemlo y y y ( + y) ( y) ( + y) ( + y) ( + y) (( y) ) ( + y) ( y ) Ejemlo 6bc 9c cd 8be + ce + 6de agruemos los términos en dos gruos de tres términos cada uno, (la agruación que se hace no es la única osible) 6bc 9c cd (8be ce 6de) el rimer gruo tiene un factor común que es c; y en el segundo, el factor común es e ) 6bc 9c cd (8be ce 6de) c (b c d) e (b c d) : Ahora, el factor común es b c d y la eresión se factoriza como: (b c d) (c e) : Ejemlo Una eresión de la forma a ( n ) + b n + c; se uede factorizar en dos factores reales de la forma (d n e) (k n m) con dk a; dm + ek b; em c siemre y cuando, b ac 0: (y) + y 6

12 ) y ) y 8 _ y 8 ) 6y + y 6 6 ( 6) 6 69 y + y (y + ) (y ) + Ejemlo 6 Una eresión de la forma n +a n cuando n es imar se factoriza como ( + a) n a n + a n a n + ::: + a n ; cuando n es ar, no siemre es factorizable en los reales. Si n es ar y también es múltilo de se uede factorizar como una suma de cubos: : En general, si ara el olinomio () a 0 + a + a + ::: + a n n ; hay un número real b; ara el cual (b) 0 se uede a rmar que b es un factor de () :No siemre es fácil encontrar los valores de b ara los cuales (b) 0; ero, números de la forma m n donde m es un divisor de a 0 y n es un divisor de a n son candidatos a cumlir esta función. Números de esta forma se les llama ceros racionales. El olinomio () + tiene como candidatos a ceros racionales el conjunto f ; g : ( ) ( ) + ( ) ( ) ; + no es un factor. () + () () + 0 or tanto es un factor. El olinomio se factoriza como ( ) + + : Es el olinomio + + factorizable en los reales? q () + + tiene como candidatos a ceros racionales al conjunto ; ; ; ; q Por tanto es un factor y + + c () Quién es c ()? Tiene q () algún otro cero racional? Obsérvese que en este caso es equivalente a encontrar un ar de números que sumados den como resultado b y multilicados c

13 Ejercicio Factorizar cada uno de los siguientes olinomios y 8. 9a b c a. 6 + y y 0y 8. (y z) 6 (y z) y + y Fracciones algebraícas. Si y q son olinomios, la eresión de la forma q recibe el nombre de fracción algebraíca. Ejemlo , + : Las fracciones algebraicas ueden simli carse, simli car una fracción algebraíca consiste en descomoner su numerador y su denominador en factores irreducibles en R y eliminar todos los factores que sean comunes al numerador y al denominador. Ejemlo ( + ) ( ) ( + ) ( + ) + De nimos la suma de fracciones algebraícas asi: si algebraícas, q + r s + rq s : qs Ejemlo Ejemlo ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) q y r s son fracciones

14 Ejemlo ( ) ( ) ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) La resta se de ne como q Ejemlo + r s q ( ) ( ) + ( ) ( ) El roducto se de ne como q r s r qs r s Ejemlo ( + ) ( ) ( + + 9) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ) 9 La división se de ne como q r s q s r s qr

15 Ejemlo Fracciones comlejas ( + + 9) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) Una fracción comleja es una fracción en la que su denominador o en su numerador hay a su vez fracciones. Ejemlo 6 + y + y ; Si se necesita transformar una fracción comleja en una fracción simle, se reducen, mediante oeraciones algebraícas el numerador y el denominador de la fracción, y se eliminan todos los factores osibles Ejemlo + Observe que + + ( + ) ( + ) ) ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + + +

16 . Reescribe la fracción dada de tal manera que obtengas una fracción equivalente, con la eresión que se encuentra a la derecha de la coma como denominador. (a) a + b ab ; (ab) a b (b) a + ab + b. Reducir cada fracción a su eresión mínima. + 6 (a) (b) (w + z) 6w + wz z (w z) (w wz 6z ) (c) 9 + y 9 6 y 6 (d) ah + bk ak 6bh ah bh + ak bk. Efectuar la oeración indicada y reducir cada resultado a su eresión mínima. (a) y + y + y y (b) 9y + y 9y (c) + 8y y + y y 9 + y + y 9y y + y (d) (e) 9 y + y y 6 y (f) (a + b) (g) (a + b) (a b) + (a + b) (a b). Transformar las fracciones comlejas en fracciones simles. (a) 6 a + a (b) a 0a + a a + 6

17 (c) (d) + +