LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES

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1 UNIDAD LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES Página 78 Problema Interpreta lo que significa el área bajo la curva en cada uno de los siguientes casos: VELOCIDAD (km/h) VELOCIDAD DE UN TREN v = f (t) Gráfica : 5 Espacio recorrido entre el tiempo horas y el tiempo t t TIEMPO (horas) CAUDAL (l/min) CAUDAL DE UN GRIFO QUE VIERTE AGUA SOBRE UNA BAÑERA C = f (t) Gráfica : Volumen de agua recogido en t minutos. 5 5 t 8 TIEMPO (min) FUERZA (N) FUERZA EMPLEADA PARA DESPLAZAR UN COCHE F = f (e) Gráfica : Trabajo realizado al desplazar el coche e metros. 5 5 e ESPACIO (m) Unidad. La integral definida. Aplicaciones

2 Problema Interpreta lo que significa el área entre las dos curvas en la siguiente gráfica. Distingue las áreas en azul y en rojo. CAUDAL (hm /día) AGUA CAÍDA EN UN PANTANO (LLUVIA Y RÍOS) DESDE SU INAUGURACIÓN Las áreas azules representan la diferencia de volumen entre las pérdidas de agua y el agua caída. PÉRDIDAS DE AGUA POR EVAPORACIÓN, FILTRACIONES, ETC. TIEMPO (días) Las áreas rojas representan la diferencia de volumen entre el agua caída y las pérdidas de agua. Problema F f F () = porque el área bajo f entre y es. F () = porque el área bajo f entre y es. F (5) = 7 porque el área bajo f entre y 5 es 7. Comprueba las afirmaciones anteriores y observa que cuanto mayor es f (a), más rápidamente crece F (a). La solución se encuentra en el mismo ejercicio. Página 79 Problema Dibuja aproimadamente la función área bajo f para cada una de las siguientes funciones: a) F f Unidad. La integral definida. Aplicaciones

3 b) F f c) 9 F f 7 Página 8. Halla gráficamente las siguientes integrales: a) ( + ) d b) d a) Es un trapecio cuyas bases miden y y cuya altura mide. y = + + Área = = u b) y = y = + y = (Circunferencia) y = Unidad. La integral definida. Aplicaciones El recinto cuya área queremos calcular es medio círculo de radio u. Área = π r = π = = π = 8 π = 5, u

4 . Halla gráficamente las siguientes integrales: a) ( + )d b) )d ( a) ( + ) d = d + d Llamamos I = d e I = d. Resolvemos gráficamente ambas integrales para posteriormente sumar los resultados. I : y = y = + y = (circunferencia) El recinto cuya área queremos calcular es medio círculo de radio u. Área = π r = π = = π = 8 π = 5, u y = I : Se trata de un rectángulo de dimensiones 8 u u. Por tanto, su área es u. y = b) Finalmente, I + I = 5, + = 57, u. ( ) d = d Observamos que se trata de las mismas integrales que en el apartado a), solo que ahora es I I, dando como resultado 5, =,9 u. d Página 87. Sea la función: F () = log (t + )dt. Calcula F' (). F () = log (t + )dt = f (t)dt, siendo f (t) = log(t + ) continua. Por el teorema fundamental del cálculo: F'() = f () = log( + ) Unidad. La integral definida. Aplicaciones

5 . Calcula la siguiente integral: π/ cos d π/ cos d = [sen ] π/ = sen sen = = π Página 88. Calcula: ( ) d I = [ 5 ] 5 = 9,8 +,8 = 9. Calcula: + d I = [arc tg ] = arc tg arc tg = Observación: a d π = + a a 5 = ( 5 ) ( 5 ) = π 5 Página 9. Halla el área comprendida entre la función y = y el eje X. I. Hallamos las soluciones de la ecuación: = Son, y. II. f () =. Buscamos su primitiva: G() = ( )d = III. G( ) =, G() =, G() = IV. G() G( ) = G() G() = 5 El área buscada es: + = u (Se incluye la gráfica para entender el proceso, pero es innecesaria para obtener el área). 8 y = 8 Unidad. La integral definida. Aplicaciones 5

6 . Halla el área comprendida entre las funciones y = + e y = + +. Se obtiene la función diferencia: y = ( + ) ( + + ) = Ahora se calcula el área comprendida entre esta función y el eje X, lo cual se ha hecho ya en el ejercicio anterior. 5 Por lo tanto, el área buscada es u. (También aquí es innecesaria la gráfica para obtener el área buscada). 8 y = + y = + + Página 9. Calcula el volumen de una esfera de radio 5 cm haciendo girar la semicircunferencia y = 5 alrededor del eje X. Qué límites de integración debes tomar? 5 V = π 5 5 ( ) d = π 5 5 [ ] (5 )d = π = π u Observación: El volumen del cuerpo engendrado por el círculo + y = r, al girar alrededor del eje X es: V = π r u Página 97 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Calcula el área comprendida entre la curva: y = +, el eje X y las rectas = y =. I. Calculamos las soluciones de la ecuación: + = No tiene soluciones, por lo que no corta al eje X. II. Buscamos una primitiva de f (): G() = ( + )d = III. G() =, G() = IV. G() G() = El área buscada es u. + Unidad. La integral definida. Aplicaciones

7 (La gráfica la hemos incluido para entender el proceso, pero es innecesaria para obtener el área). 5 y = + Calcula el área bajo la curva y = entre = y =. I. Hallamos la solución de la ecuación =. Es. II. Ordenamos los etremos del intervalo y la raíz que hay entre ellos:,,. III. Buscamos una primitiva de f (): G() = ( )d = IV. G( ) =, G( ) =, G() = 7 7 V. G( ) G( ) = = 5 8 y = G() G( ) = + = 5 El área buscada es: + = = u. (Se incluye la gráfica, aunque es innecesaria para obtener su area). 8 Halla el área bajo la curva y = entre = y =. I. Buscamos la primitiva de la función f () =. G() = d = II. G() =, G() = 8 = Unidad. La integral definida. Aplicaciones 7

8 III. G() G() = = El área buscada es: u. (Se incluye la gráfica, aunque es innecesaria para obtener el area). y = Halla el área comprendida entre y = 5 e y = + 5. I. Buscamos las soluciones de: 5 = + 5. Son 5 y 5. Por tanto, estos van a ser nuestros límites de integración. II. Se obtiene la función diferencia: y = ( + 5) ( 5) = + III. Buscamos su primitiva: G() = ( + )d = El área buscada es: 5 u. (Se incluye la gráfica, aunque es innecesaria para obtener el área). IV. G( ) =, G( ) = V. G( ) G( ) = + = y = y = S Calcula el área comprendida entre las curvas dadas en cada uno de los ejercicios siguientes: a) y = ; y = 8 b) y = ; y = c) y = + ; y = d) y = ( ) ( ); y = e) y = ; y = f) y = ; y = + g) y = + ; y = 7 a) I. Buscamos las soluciones de = 8. Son y. Por tanto, estos van a ser nuestros límites de integración. II. Calculamos la función diferencia: y = (8 ) ( ) = III. Calculamos su primitiva: G() = ( )d = Unidad. La integral definida. Aplicaciones 8

9 8 IV. G( ) = 8 + = 8 G() = 8 = El área buscada es: u. V. G() G( ) = ( ) = y = y = 8 b) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: =. Son y (nuestros límites de integración). II. Calculamos la función diferencia: y = ( ) = III. Calculamos su primitiva: G() = ( )d = 8 IV. G( ) =, G ( ) = 8 8 V. G( ) G( ) = + = El área buscada es: u. 8 (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para hallar el área). 5 y = y = c) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: + =. Son, y. II. Calculamos la función diferencia: y = ( + ) = + III. Calculamos su primitiva: G() = ( + )d = + Unidad. La integral definida. Aplicaciones 9

10 IV. G() =, G() =, G() = G() G() = G() G() = El área buscada es: + = u. (La gráfica que se adjunta es para entender mejor el ejercicio, pero es innecesaria para obtener el área). y = y = + d) I. Buscamos las soluciones de: ( ) ( ) =. Son, y. II. Calculamos la función diferencia: y = ( ) ( ) III. Calculamos su primitiva: G() = ( ) ( )d = + Resulta que se trata del mismo ejercicio que el apartado c). El área buscada es: u. e) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: =. Son y. II. Calculamos la función diferencia: y = III. Calculamos su primitiva: G() = ( )d = IV. G( ) =, G() = V. G() G( ) = = El área buscada es: = u. (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para resolver el ejercicio). y = Unidad. La integral definida. Aplicaciones

11 f) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: = +. Son y. II. Calculamos la función diferencia: y = ( ) ( + ) = III. Calculamos su primitiva: G() = ( )d = IV. G() =, G() = 9 V. G() G() = 9 El área buscada es: 9 = 9 u. (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria). y = + y = + g) I. Buscamos las soluciones de: + = 7. Son y. II. Calculamos la función diferencia: y = ( + ) ( 7) = + +. III. Calculamos su primitiva: G() = ( + + )d = 5 IV. G( ) =, G() = 9 5 V. G() G( ) = 9 + = El área buscada es: u. (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para la resolución del ejercicio). + + y = y = 7 Calcula el área de la región limitada por la curva y = ( ) ( + ) y las S rectas y =, =, =. I. Hallamos las soluciones de la ecuación: ( ) ( + ) =. Son y. II. Ordenamos los etremos del intervalo y las raíces que hay entre ellos:,. III. Buscamos una primitiva de f (): G() = ( ) ( + )d = + Unidad. La integral definida. Aplicaciones

12 5 IV. G() =, G() = 5 V. G() G() = = El área buscada es u. (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para resolver el ejercicio). y = ( ) ( + ) = 7 Halla el área limitada por las parábolas y = e y =. I. Buscamos las soluciones de la ecuación: =. Son y. II. Calculamos la función diferencia: y = III. Buscamos su primitiva: G() = ( )d = IV. G() =, G() = V. G() G() = = El área buscada es = u. (Se adjunta la gráfica, aunque no es necesaria para la resolución del ejercicio). 8 Calcula el área de la región limitada por la curva y = y las rectas S =, =, y =. I. Hallamos la solución de =. Es. II. Como esta solución se encuentra fuera del intervalo de integración, los etremos son y., la cual es continua en di- III. Buscamos la primitiva de la función f () = cho intervalo: G() = d = ln IV. G() = ln (), G() = ln (7) y = y = Unidad. La integral definida. Aplicaciones

13 V. G() G() = [ln (7) ln ()] El área buscada es: [ln (7) ln ()] u. (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para la resolución del ejercicio). = y = y = = 9 Calcula el volumen engendrado al girar alrededor del eje X los recintos siguientes: a) f () = entre = y = 5 b) f () = entre = y = c) f () = entre = y = a) V = π 5 ( ) d = π 5 b) V = π ( ) d = π [ ] ( ) d = π 5 [ ] d = π 5 = π u. 5 c) V = π ( ) d = π ( + ) d = 5 = π [ + ] 5 π = u. 5 = 8π u. Calcula el volumen engendrado al girar alrededor del eje X los recintos limitados por las gráficas que se indican: a) f () =, g() = b) y =, = a) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: =. Son y. Estos son nuestros límites de integración. II. Calculamos la función diferencia: y = III.V = π ( ) d = π ( + 5/ )d = 5 = π[ + ] 7/ = π u 7 b) V = π f () d = π () d = π [8 ] = 8π u Unidad. La integral definida. Aplicaciones

14 Calcula: π/ sen cos d S π/ sen cos d = Aplicamos el siguiente cambio: sen = t; cos d = dt para = ; t = π para = ; t = / tdt= [ ] / = Halla el valor de la integral definida de la función f () = cos (π) S + en el intervalo I = [, ]. ( cos (π)) [ ] d = ln ( + ) sen (π) + π t = ln () ln () = ln () = PARA RESOLVER a) Dibuja la región limitada por la curva y = ( ) y la recta y =. S b) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior. a) 5 y = ( ) 5 y = b) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: ( ) =. Son y. II. Calculamos la función diferencia: f () = ( ) ( ) = + + III.Calculamos su primitiva: G() = ( + + )d = + + Unidad. La integral definida. Aplicaciones

15 7 IV.G( ) =, G() = 7 9 V. G() G( ) = + = 9 El área buscada es u. Dibuja el recinto plano limitado por la parábola y = y por la recta paralela a y = que pasa por el punto (, ). Calcula el área de ese recinto. I. Calculamos las soluciones de la ecuación: y = y +. (Esta ecuación resulta de despejar la en: y = ; y = ). Sus soluciones son y = y. Y = y + = y X II. Calculamos la función diferencia: = (y ) (y + ) = y y III. Buscamos su primitiva: y y G(y) = (y y ) dy = y 7 IV. G( ) =, G() = 7 V. G() G( ) = = El área buscada es = u. 5 Comprueba que 5 d =. d = ( + ) d + / ( ) d = / = [ / + ] + [ ] = = 5 / Unidad. La integral definida. Aplicaciones 5

16 Halla el área limitada por la función y = y sus tangentes en los puntos en los que corta al eje de abscisas. I. Buscamos las soluciones de la ecuación: =. Son y. II. Calculamos la derivada de f () =, que es f'() =. La tangente que pasa por (, ) tiene pendiente f'() =, por tanto es y =. La tangente que pasa por (, ) tiene pendiente f'() =, por tanto es y = +. III. Tenemos que distinguir dos intervalos de integración: entre y y entre y. La función diferencia en el primer intervalo es: f () = ( ) = y en el segundo intervalo es: f () = + ( ) = + IV. Sus primitivas son: G () = d = G () = ( + )d = + V. G () =, G () =, G () G () = 7 8 G () =, G () =, G () G () = El área buscada es: + = u. y = + (Se adjunta la gráfica aunque no es necesaria para resolver el ejercicio). y = y = 7 Dadas la hipérbola y= y la recta + y 7 =, calcula el área limitada por la recta y la hipérbola. I. Buscamos las soluciones de la ecuación: 7 =. Son y (nuestros límites de integración). II. Calculamos la función diferencia: y = 7 Unidad. La integral definida. Aplicaciones

17 III. Buscamos su primitiva: G() = ( ) 7 IV. G() = 7 = G() = ln () = 7 ln 5 V. G() G() = ln () = ln () El área buscada es: 7 5 ln () u. (Se adjunta la gráfica, aunque no es necesaria para resolver el ejercicio). 5 y = y = Calcula el área limitada por la curva y = + y la recta tangente a ella en el origen de coordenadas. I. Calculemos la ecuación de la recta tangente en el punto (, ), para ello calculamos la derivada de nuestra función: y' = + y'() = (pendiente) La recta tangente tiene por ecuación y =. II. Calculamos las soluciones de: + =. Son y (límites de integración). III. Obtenemos la función diferencia: y = + = IV. Buscamos su primitiva: G() = ( )d = V. G() =, G() = G() G() = El área buscada es: = u. (Se adjunta la gráfica aunque no es necesaria para la resolución del ejercicio). y = y = + Unidad. La integral definida. Aplicaciones 7

18 Página 98 9 Halla el área comprendida entre la curva y =, el eje de abscisas y S 9 + las rectas verticales que pasan por los puntos de infleión de dicha curva. I. Buscamos los puntos de infleión, para ello, calculamos las dos primeras derivadas: y' = (9 + ) y'' = (9 + 8 ) (9 + ) Igualamos a cero para encontrar en qué valores de cero. Esto ocurre en y (puntos de infleión). II. Calculamos la primitva de nuestra función: G() = = arc tg 9 + ( ) III. G( ) ( ) = arc tg G( ) ( ) = arc tg G( ) ( ) ( ( ) ( )) G = arc tg arc tg ( El área buscada es: ( ) ( )) arc tg arc tg la segunda derivada es (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para la resolución del ejercicio). y = 9 + y = y = Si f () = y g() = : S a) Dibuja las dos gráficas en un mismo plano y halla sus puntos de intersección. b) Determina el área del recinto encerrado entre ambas gráficas. Unidad. La integral definida. Aplicaciones 8

19 , si a) g() = =, si > Buscamos los puntos de intersección resolviendo la siguiente ecuación: Y g() = f() = = ( ) X Sus soluciones son y. (Límites de integración). b) Tenemos que distinguir dos intervalos de integración: a y a. I. La función diferencia en el primer intervalo es: h () = ( ) La función diferencia en el segundo intervalo es: h () = ( ) II. Sus primitivas son: H () = ( + ) = ( ) + H () = ( + ) = ( ) + 5 III. H ( ) = ; H () = = H () = +, H () = IV. H () H ( ) = + H () H () = 5 5 El área buscada es + + = u. Unidad. La integral definida. Aplicaciones 9

20 Se considera la función: S si < g() = si < si < Representa la función g y calcula el valor de las siguientes integrales definidas: I = g()d J = g()d K = g()d Y y = y = y = X I = g() d = d + [ ] d= + [ ] = 8 + = J = g() d = d+ ( ) d = [] [ ] + = 5 K = g() d = I + J = + 5 = Dibuja el recinto comprendido entre las gráficas de las funciones y =, y =, y = 8, y halla su área. S 5 5 y = 8 y = y = I. Buscamos los puntos de intersección de las funciones: = : Solución =. = 8: Solución =. = 8: Solución =. Unidad. La integral definida. Aplicaciones

21 Tenemos dos intervalos de integración: de a y de a. II. Hallamos la función diferencia en el primer intervalo: f () = 8 Y en el segundo intervalo: f () = III. Buscamos sus primitivas: G () = (8 )d = 7 G () = ( ) d = IV. G () =, G ( ) = G ( ) =, G () = V. G ( ) G () = G () G ( ) = El área buscada es + = = u Calcula el área del recinto plano limitado por la curva y = e y las rectas S = y = 5. Buscamos una primitiva a nuestra función: 5 8 G() = e d = ( + ) e (aplicando el método de integración por partes). G() = G(5) = 7 e 5 G(5) G() = 7 e 5 El área buscada es (7 e 5 ) u 5. y = e y = 5 (Se adjunta la gráfica, aunque no es necesaria para resolver el ejercicio). 5 Unidad. La integral definida. Aplicaciones

22 Halla el polinomio de segundo grado que pasa por los puntos (, ) y (, ), S sabiendo que el área limitada por esa curva, el eje Y y el eje X positivo es /. Como el polinomio pasa por los puntos (, ) y (, ), una raíz es =, por tanto: y = ( ) (a b) Por otro lado, cuando =, y =, así: = ( b) = b, b = Quedando: y = ( ) ( ) a Puesto que pasa por los puntos indicados y está limitado por los ejes X e Y (positivos), los límites de integración son y. Así, buscamos la primitiva del polinomio: G() = ( ) ( ) a d = a a + G() = 7 9 G() = 9a a G() G() = 9a a + = De donde sacamos que a = 7 Por tanto, el polinomio es: y = ( ) ( 7 ) 5 Dada la curva y = + +, halla el área limitada por la curva, la recta S tangente en el punto donde la función tiene un etremo y la tangente a la curva con pendiente. Buscamos el punto donde la curva tiene un etremo, hallando su derivada e igualando a cero: y' = + =, el punto es (, ). La ecuación de la recta tangente en dicho punto es y =. Por otro lado, la ecuación de la recta tangente con pendiente es y =. Buscamos los puntos de corte de la curva con ambas rectas, de y = + + con y = es (, ); de y = + + con y = es (, ); y de y = con y = es (, ). Distinguimos dos intervalos de integración: de a y de a. En el primer intervalo la función diferencia es: f () = + + = + + Unidad. La integral definida. Aplicaciones

23 En el segundo: f () = + + ( ) = + Buscamos sus primitivas: G () = G () = G ( ) =, G ( ) = G ( ) =, G () = G ( ) G ( ) = + = G () G ( ) = 8 7 = El área buscada es: + = u y = + + y = y = / De la función f() = a + b + c + d se sabe que tiene un máimo relativo S en =, un punto de infleión en (, ) y que 5 f ()d =. Calcula a, b, c y d. Sabemos que pasa por el punto (, ), es decir, f () =, de donde averiguamos que d =. Por otro lado, sabemos que tiene un máimo relativo en =, esto es que f'() =, es decir: a + b + c =. También tiene un punto de infleión en (, ), por lo que f''() =, de donde b =. Como a + b + c = y b =, se tiene que a + c = c = a. Así, nuestra función queda reducida a la función: f () = a a. Unidad. La integral definida. Aplicaciones

24 Buscamos su primitiva: a G() = a a a G() =, G() = = G() G() = 5a 5a 5 El resultado es que es igual a, de donde deducimos que a = y por tanto c =. La función buscada es f () = +. 5a 7 Teniendo en cuenta que la función f () = + k toma valores positivos y negativos, halla el valor de k de forma que el área de la región limita- S da por el eje X, las rectas =, = y la curva f () quede dividida por el eje X en dos partes con igual área. Supongamos que = a comprendido entre y es el punto donde nuestra función corta al eje X, por tanto tenemos que distinguir dos intervalos de integración: de a a y de a a. Buscamos una primitiva de nuestra función: G() = + k = + k G( ) = k G() = k Si suponemos que en el primer intervalo la función es negativa, el área es: G( ) G(a) y en el segundo intervalo al función es positiva, el área es: G() G(a) Y como el área en los dos intervalos tiene que ser igual, se tiene la siguiente igualdad: G( ) G(a) = G() G(a) es decir: G( ) = G() k = k k = Observar que se obtiene el mismo resultado independientemente de qué intervalo consideremos en el que la función es positiva o negativa. Unidad. La integral definida. Aplicaciones

25 8 Se consideran las curvas y = e y = a, donde < a <. Ambas curvas se S cortan en el punto (, y ) con abscisa positiva. Halla a sabiendo que el área encerrada entre ambas curvas desde = hasta = es igual a la encerrada entre ellas desde = hasta =. El punto de corte es ( a, a). Dibujamos las áreas para tener una idea más clara de nuestro ejercicio: Y y = a y = a Tenemos dos intervalos de integración: de a a y de a a. La función diferencia para el primer intervalo es: f () = a Su primitiva es: G () = a G () =, G ( a ) = a a a a a a = El área en el primer intervalo es a a u. La función diferencia en el segundo intervalo es: f () = a Su primitiva es: G () = a a a G ( a ) = a a, G () = a a a G () G ( a ) = a + El área en el segundo intervalo es a a a + u. Como el área en los dos intervalos es igual, se tiene que: a X a a = a + a a De donde obtenemos que a = Unidad. La integral definida. Aplicaciones 5

26 9 Sean y = a e y = a + a las ecuaciones de una parábola p y de una recta S r, respectivamente. Demuestra las siguientes afirmaciones: a) Los puntos de corte de p y r no dependen del valor de a. b) Si se duplica el valor de a, también se duplica el área encerrada entre p y r. a) Los puntos de corte se obtienen al igualar ambas ecuaciones: a = a + a a a a = a ( ) = Como suponemos a, para que sean ciertamente una parábola y una recta, dividiendo toda la ecuación entre a, llegamos a: = y sus soluciones son: y (las cuales no dependen de a). b) La función diferencia es: f () = a + a a = a ( + + ) Si llamamos h() = + +, se tiene que: f () = a h() y la primitiva de f () es a por la primitiva de h(), es decir: G () = a H() El área comprendida es por tanto: G ( ) ( ) ( ( ) ( )) + 5 G 5 = a H + 5 H 5 u Si duplicamos a, se tiene que la función diferencia es ahora: f () = a h() y su primitiva: G () = a H() Por lo que el área comprendida es: G ( ) ( ) ( ( ) ( )) + 5 G 5 = a H + 5 H 5 u.. Halla el volumen del cuerpo limitado por la elipse + y = al dar una vuelta completa alrededor de OX. 5 S V = π 5 5( ) = π [ ] d = π 5 5( ) d = π = u. 5 Unidad. La integral definida. Aplicaciones

27 Calcula el área limitada por f () =, el eje X y las rectas = a y + = b, siendo a y b las abscisas del máimo y el mínimo de f. La función corta al eje X en =. Por otro lado, tiene un mínimo en = y un máimo en =. Tenemos que distinguir entre dos intervalos: de a y de a. Hallamos la función primitiva: G() = d = ln ( + ) + El área en el primer intervalo es: G( ) = ln (8) G() = ln () G() G( ) = (ln () ln (8)) (ln () ln (8)) = (ln (8) ln ()) u El área en el segundo intervalo es: G() = ln (8) G() G() = (ln (8) ln ()) (ln (8) ln ()) u El área total es: (ln (8) ln ()) + (ln (8) ln ()) = (ln (8) ln ()) u Halla el área comprendida entre las curvas y = e, y = y las rectas = y =. I. Hallamos la función diferencia: y = e ( ) = e + II. Buscamos su primitiva: G() = e + III. G() = G() = e G() G() = e El área buscada es ( e ) u Unidad. La integral definida. Aplicaciones y = e = y = 7

28 La curva y =, los ejes de coordenadas y la recta = limitan una superficie S. Calcula el área de S y el volumen de la figura engendrada por + S al girar alrededor del eje X. Buscamos una primitiva: G() = ln + G() = ln () G() = ln (8) G() G() = (ln (8) ln ()) El área buscada es (ln (8) ln ()) u. y = + = = V = π ( ) d = π [ ] + + = π = π u. 8 Página 99 Halla el área de la región del plano limitado por la curva y = ln, la recta y = y los ejes de coordenadas. La curva y = ln e y = se cortan en = e, por tanto los límites de integración son y e. Por otro lado, la región comprendida entre y. Así que distinguimos dos intervalos: de a y de a e. En e primer intervalo, la función diferencia es: y = = Su primitiva es: G () = G () =, G () = G () G () = El área para el primer intervalo es u. En el segundo intervalo, la función diferencia es: y = ln Unidad. La integral definida. Aplicaciones 8

29 Su primitiva es: G () = ( ln ) = ln G (e ) = e e = e G () = G (e ) G () = e El área para el segundo intervalo es (e ) u. Por tanto, el área total es: ( + e ) = (e ) u. y = y = ln Calcula el área de la figura limitada por las curvas que se dan en los siguientes casos: a) y =, y = b) y+ 8 =, y =, y = c) y = sen, y = cos, = a) Se cortan en = y =. En el intervalo de a, la función diferencia es: y = y = ( ) = + En el intervalo de a, la función y = diferencia es: y = Por simetría, basta calcular el área en uno de los dos intervalos, por ejemplo, en el segundo. Buscamos su función primitiva: G() = + 7 G() = G() = 7 G() G() = 7 7 El área total es = u. Unidad. La integral definida. Aplicaciones 9

30 b) 5 y = 8 y = y = Las tres funciones se cortan a en: 8, y. Por tanto, calculamos el área en dos intervalos, de 8 a y de a La función diferencia en el primer intervalo es: y = Su primitiva es: G () = 8 ln G ( 8) = 8 ln ( 8) + 8 G ( ) = 8 ln ( ) + G ( ) G ( 8) = 8 ln ( ) ln ( 8) 8 = = 8 (ln ( ) ln ( 8)) = 8 ln ( ) = 8ln La función diferencia en el segundo intervalo es: y = Su primitiva es: G () = G ( ) = G ( ) = G ( ) G ( ) = El área buscada es: ( 8ln + ) = ( 8ln ) u c) y = sen y = cos Las dos curvas se cortan en π =. Por tanto, nuestros límites de π integración son y. Unidad. La integral definida. Aplicaciones

31 Buscamos la función diferencia: y = cos sen Su primitiva es: G() = sen + cos G() = π G( ) = π G( ) G() = El área buscada es ( ) u. Sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva y = y la 9 recta y = b es igual a, calcula el valor de b. La curva y = y la recta y = b se cortan en el punto de abscisa = b y en =. Así, nuestros límites de integración son y b. La función diferencia es: y = b Su primitiva es: G() = b G() = G(b) = G(b) G() = Como el área es b b 9 9 =, b, se tiene que: de donde obtenemos que b = y = y = 7 Calcula el valor de a para que el área de la región limitada por la curva y = + a y el eje X sea igual a. La curva corta al eje X en los puntos de abscisa y a (estos son los límites de integración). Unidad. La integral definida. Aplicaciones

32 Su primitva es: G() = a + G() = a G(a) = a G(a) G() = Como el área es, se tiene que: a =, de donde averiguamos que a = y = Dada la función y =, calcula el valor de a para que el área limitada + por esa curva y las rectas = y = a sea igual a. Buscamos su primitiva: G() = ln ( +) G() = y = + G(a) = ln (a + ) G(a) G() = ln (a + ) Como el área es igual a, se tiene que: ln (a + ) =, de donde averiguamos que a = e. e = e 9 Considera la región del plano que determinan las curvas y = e e y = e y la recta = k. a) Halla su área para k =. b) Determina el valor de k > para que el área sea. a) Si k =, nuestros límites de integración son y. Hallamos la función diferencia: y = e e Su primitiva es: G() = e e G() =, G() = e e G() G() = e + e Unidad. La integral definida. Aplicaciones

33 e El área buscada es ( e + ) u y = e y = e = b) Ahora nuestros límites de integración son y k. Como la función diferencia y su primitiva son las mismas que en el apartado a), se tiene que: G() = e G(k) = k e k G(k) G() = e k e k + Como el área es, se tiene que: e k e k + = Resolviendo la ecuación, averiguamos que k = ln (). Calcula el área encerrada entre la curva y = y la cuerda de la misma que tiene por etremos los puntos de abscisas y. Los puntos que determinan la cuerda son (, ) y (, ), de donde obtenemos la ecuación de la recta que contiene la cuerda: y = Nuestros límites de integración son y. Hallamos la función diferencia: y = ( ) = Su primitiva es: G() = G() = G() = G() G() = El área buscada es = u. 5 y = y = Unidad. La integral definida. Aplicaciones

34 Dadas y = + y la recta y = a, a <, determina el valor de a de modo 8 que el área entre la curva y la recta sea u. La curva y la recta se cortan en los puntos de abscisa = a y = a. La función diferencia es: y = + a Su primitiva es: G() = + a G( a ) = a + a a G( ) = ( a a) + a a G( a ) G( a ) = ( a) Como el área es ( a) 8, igualamos: ( a) a = 8 Resolviendo la ecuación, obtenemos que a =. a a y = + y = Halla el área de la porción de plano encerrada entre las curvas y = sen e y = sen para valores de en el intervalo [ ], π. π Las curvas se cortan en el punto de abscisa =. π π π Por tanto, tenemos dos intervalos de integración de: a y de a. La función diferencia en el primer intervalo es: y = sen sen Su primitiva es: G () = G () = + = π G ( ) = + = π cos + cos G ( ) G () = = Unidad. La integral definida. Aplicaciones

35 La función diferencia en el segundo intervalo es: y = sen sen Su primitiva es: cos G () = cos + G ( π ) = = y = sen π G ( ) = π π G ( ) G ( ) = + = y = sen = π El área buscada es + = u. π Halla el área comprendida entre la curva y = ( ), el eje OX y las rectas = y =. ( + ) Buscamos una primitiva de nuestra función: ( ) ( + ) + + = d = G() = d = ( ) d = G() = ln () = d + d = = ln ( + ) G() = ln (9) G() G() = ln (9) + ln () + = = + (ln () ln (9)) = + ( ln ( )) u El área buscada es [ +ln ( 9 )] u. ( + ) ( + ) 9 y = ( ) ( + ) = Unidad. La integral definida. Aplicaciones 5

36 Calcula el área limitada por la hipérbola y = y la cuerda de la misma que tiene por etremos los puntos de abscisas y. La cuerda tiene por etremos los puntos (, ) y ( ),. Así, obtenemos que la ecuación de la recta que contiene a la cuerda es: 5 y = + Nuestros límites de integración son y. Calculamos la función diferencia: 5 y = + Su primitiva es: G() = 5 + ln 8 9 G() = y = G() = ln 9 5 G() G() = ln = ln y = El área buscada es ( ln ) u. 5 La región limitada por la recta y =, la parábola y = ( 5) y el eje OX gira alrededor del eje OX. Halla el volumen del cuerpo de revolución que se genera. Buscamos los puntos de corte de la recta y la parábola: = ( 5) y = Se cortan en los puntos (, ) y (7, ). Por tanto, nuestros límites de integración y = ( 5) son y 7. Hallamos el volumen generado por la recta y = alrededor de OX entre y 7, y posteriormente le restamos el generado por la curva y = ( 5) alrededor de OX entre los mismos límites. V = π 7 V = π 7 ( ) ( ) d = π [ ] 7 ( 5) 5 ( 5) d = π [ ] = π u = π u 5 Unidad. La integral definida. Aplicaciones

37 El volumen buscado es: 7 V V = π π = π u 5 5 Halla el volumen del cuerpo engendrado por la región del plano limitada por los ejes de coordenadas, la curva de ecuación y = e y la recta =, al girar alrededor del eje OX. V = π (e ) d = π e d = π = [e ] = π (e ) u y = e 7 Calcula el volumen que se obtiene al hacer girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las funciones y =, = y, =. y = y = Las curvas y = y = y se cortan en el punto de abscisa. Por tanto, nuestros límites de integración son y. El volumen buscado es el resultado de restar el volumen engendrado por la curva y = alrededor de OX entre y, y el volumen engendrado por la curva y = alrededor de OX entre los mismos límites. V = π ( ) d = π [ ] V = π ( ) d = π [ ] El volumen buscado es: 5π π 7π V V = = u 5π = u π = u Unidad. La integral definida. Aplicaciones 7

38 8 Calcula el volumen engendrado por la hipérbola = cuando [, ]. 9 y y = 9 V = π f () d = 9 = π ( 9) d = = π [ 9] = = π = 8π u 9 Halla el volumen engendrado por el círculo + y + = al girar alrededor de OX. El círculo del ejercicio tiene su centro en (, ) y radio, por tanto corta el aje OX en (, ) y (, ). Así, nuestros límites de integración son y. ( ) + y = + y + = V = π ( ) y d = π ( ( ) ) d = π [ ] π = u 5 Obtén la familia de curvas en las que la pendiente de la tangente es f () = e. Cuál de esas curvas pasa por el punto A(, )? Buscamos su primitiva: e d = Utilizando el método de integración por partes obtenemos: e y = + k 9 Como pasa por (, ), se tiene que: + k =, de donde k =. Así, la curva buscada es: e e e y = + 9 Unidad. La integral definida. Aplicaciones 8

39 5 Epresa la función de posición de un móvil sabiendo que su aceleración es constante de 8 cm/s, que su velocidad es cuando t = y que está en el origen a los segundos. Llamamos S(t) a la posición del móvil al cabo de t segundos. Así: V(t) = S'(t) y a(t) = S''(t) = 8 cm/s Calculamos la velocidad V(t): V(t) = a(t)dt = 8 dt = 8t + k V() = + k = k = Calculamos S(t): V(t) = 8t S(t) = V(t) dt = (8t ) dt = t t + c S() = + c = c = Por tanto: S(t) = t t 5 Un móvil se desplaza en línea recta, con movimiento uniformemente acelerado, con aceleración de m/s y con velocidad inicial v = m/s. Calcula y compara las distancias recorridas entre t = y t = y entre t = y t =. Calculamos la velocidad del móvil: V(t) = a(t)dt = dt = t + k V() = k = Distancia recorrida entre t = y t = : V(t) = t + d = V(t)dt = + )dt = [t (t + t] = m Distancia recorrida entre t = y t = : d = V(t)dt = [t + t] = = m Por tanto, recorre la misma distancia entre t = y t = que entre t = y t =. Página CUESTIONES TEÓRICAS 5 Calcula la derivada de la función dada por F () = cos t dt de dos formas: a) Obteniendo de forma eplícita F () y, después, derivando. b) Aplicando el teorema fundamental del cálculo. Unidad. La integral definida. Aplicaciones 9

40 a) F () = [sen t] = sen F'() = cos b) Como f es una función continua en todos los puntos, se puede aplicar el teorema fundamental del cálculo: F'() = f ( ) ( )' = cos 5 Halla la derivada de las funciones que se dan en los siguientes ejercicios: a) F () = cos t dt b) F () = (t ) dt c) F () = dt d) F () = sen ( + t) dt + sen t a) Como f es continua, podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo: F'() = cos b) Como f es continua, también podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo: F'() = ( ) ( )' = ( ) c) Aplicamos el teorema: F'() = + sen d) Análogamente: F'() = ( + sen ) (sen )' = ( + sen ) cos 55 Sin resolver la integral, indica dónde hay máimo o mínimo relativo en la función: F () = (t ) dt Los máimos o mínimos relativos se obtienen para los valores de donde la primera derivada es cero, en nuestro caso F'() =. Como f es continua, podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo: F'() = F'() = en = y =, así en los puntos de abscisa y, hay máimos o mínimos relativos. 5 Sabemos que f (t)dt = ( + ), siendo continua en Á. Calcula f(). Aplicando el teorema fundamental del cálculo, se tiene que: f () = ( + ) + f () = Unidad. La integral definida. Aplicaciones

41 57 Sea F () = cos t dt. Halla los posibles etremos de dicha función en el intervalo [, π]. Como f () = cos es continua en [, π], podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo, y así obtenemos la primera derivada de la función F (): F'() = cos Esta tiene sus etremos en los valores de en que F'() =, esto es en = π y =. 58 Sabemos que el área limitada por una función f, el eje de abscisas y las rectas = y =5 es f + igual a. Cuánto aumentará el área si trasladamos unidades f hacia arriba la función f? Es fácil ver que el área añadida es la de un rectángulo 5 de base u y u de altura, su área es 8 u. Es decir, su área aumentará 8 u. π 59 Si una función f es positiva para todos los valores de su variable, cualquier función primitiva de ella es creciente en cada uno de sus puntos. Por qué? Cierto, puesto que si la primera derivada de una función es positiva, dicha función es creciente. La gráficas I, II y III corresponden, no necesariamente por ese orden, a las de una función derivable f, a su I II III función derivada f' y a una primitiva F de f. Identifica cada gráfica con su función, justificando la respuesta. La gráfica II es la de la función, la gráfica I es la de su derivada y la gráfica III la de su primitiva. La razón es: partiendo de la gráfica II, observamos que se trata de una función lineal (afín) con pendiente positiva, por lo que la función derivada tiene que ser una función constante (la pendiente de la función afín). Por otro lado, la primitiva de la función afín tiene que ser una función cuadrática, cuya gráfica corresponde a la parábola. Cuál de las siguientes epresiones nos da el área limitada por la gráfica de f y el eje de abscisas? f a) c f; b) a c f a ; c) b f + a c f ; b d) b f + a c f b a b c d). Unidad. La integral definida. Aplicaciones

42 Si una función f no corta al eje X, cualquier primitiva de ella no puede tener máimos o mínimos. Por qué? Cierto, porque la función f sería la derivada de su primitiva y al no ser nunca cero, no puede tener ni máimos ni mínimos. Dada la función y =, halla el punto c [, ] tal que el área d sea igual a la de un rectángulo de base y altura f (c). Es decir, f (c) = d. Qué teorema asegura la eistencia de c? d = 8 8 Así pues, se tiene: f (c) =, de donde averiguamos que c =. El teorema que asegura la eistencia de c es el teorema del valor medio del cálculo integral. Sea F una función definida en [, + ) tal que F () = ln ( + t) dt. Analiza si es verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones: a) F () = ln b) F'() =, + c) F es creciente en su dominio. a) F () = ( + ) ln + ( + ) ln + F () = ln ln + = Es falsa, además basta ver que no hay área. b) Como f es continua para, aplicamos el teorema del cálculo integral: F'() = ln + También es falsa. c) Cierta, porque su derivada F' es positiva en todo el dominio. Página PARA PROFUNDIZAR 5 Deduce por integración el volumen del cilindro de radio r y altura h. Haz girar alrededor de OX el rectángulo limitado por la recta y = r entre = y = h. Y r V = π h r d = π [r ] h = π r h O h X Unidad. La integral definida. Aplicaciones

43 Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el volumen de la esfera es V = π R. La esfera se engendra al girar el círculo + y = R alrededor del eje X. V = π R y d = π R R R R = π ( R + R ) = π R [ ] (R ) d = π R R R R = 7 Demuestra que el volumen del elipsoide obtenido al girar la elipse + y = es: a b a) π a b si gira alrededor de OX. b) π a b si gira alrededor de OY. a) V = π a a( b ) [ d = π b ] a a a a ab = π ( b a + b a ) = π ab b) V = π b( b a y ) [ dy = π a y ] b b b b ba b a ab ba = π ( a b + a b ) = π ba y b a = = 8 Determina la función y = f () sabiendo que su gráfica pasa por el punto P (, ), que la tangente en P es paralela a la recta + y = y que f''() =. La información que tenemos es: f () = f'() = f''() = Calculamos f'(): f'() = + a Unidad. La integral definida. Aplicaciones

44 Como f'() = f'() = + a =, entonces a = f'() = Calculamos f (): f () = + b 7 Como f () =, averiguamos que b =, así: f () = + 9 Determina el valor del parámetro a > de tal manera que el área de la región del plano limitada por el eje X y la gráfica de la función f () =a( +) ( + ) valga 8. La función corta al eje X en los puntos de abscisa = y = a. Nuestros límites de integración; buscamos una primitiva: G() = [a( + ) ( + ) ] d = a ( + ) G(a ) = a G( ) = G(a ) G() = Como el área tiene que ser 8, igualamos: a a = 8. De donde obtenemos que: a = 7 Halla la ecuación de una parábola de eje vertical, tangente en el origen de coordenadas a una recta de pendiente y que delimita con el eje X un recinto de base [, ] y área 9. y = a + b + c ( + ) Pasa por (, ) y() = = 7 y'() = b = y = a + El área entre y es 9, así: (a + )d = a [ + ] = 9a + 8 = 9 De donde averiguamos que: a = Así, la función es: y = + Unidad. La integral definida. Aplicaciones

45 7 Halla, si es posible, un número entero n, n, para el cual sean iguales las áreas de los tres recintos: el rojo y cada uno de los dos azules. Para calcular el área central, hallamos la función diferencia: n y = n y = n y = n Calculamos su primitiva: n n G() = n + n + G() = n G() = = n + n + n G() G() = n + Por otro lado, el área de la zona que limita con OX la obtenemos con la siguiente función: y = n Su primitiva es: G() = n + n + G() = G() = n + G() G() = n + La región que falta tiene el mismo área que esta última. Como las áreas tienen que ser iguales, las igualamos: n n + = n + n + n + n n + De donde deducimos que n =. 7 Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área del círculo + y 9 es 9π. + y 9 Área = 9 d Calculamos G() = 9 d, mediante un cambio de variable: 9 ) G() = d = d ( ( ) ( ) Unidad. La integral definida. Aplicaciones 5

46 Cambio: = sen t = sen t d = cos t dt G() = sen t cos t dt = 9 cos tdt= cos t = arc sen ( ) = 9 = arc sen ( ) = = 9 ( + ) dt = 9 [ t + sen t] = t + sen t = 9 = arc sen ( ) + 9 Por tanto, el área será: A = (G() G()) = 9π = 9π 7 Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de la elipse + y = es π. + y = Despejamos y: y = y = ( ) y = ± El área será: A = ( ) d ( ) Calculamos G() = ( ) d Cambio: = sen t = sen t d = cos t dt sen t G() = cos t dt = cos t dt = cos = + ( t ) dt = sen t ( + cos t) dt = = t + = arc sen ( ) + = = arc sen ( ) + El área será: A = [G() G()] = π = π Unidad. La integral definida. Aplicaciones

47 7 Calcula el área encerrada por la elipse de ecuación + =. 9 Calculamos G() = y = 9 = 9 y = 9 ( ) y = ± El área es: A = ( ) d = = ( ) d Cambio: = sen t = sen t d = cos t dt sen t ( ) d G() = cos t dt = cos t dt = = + cos ( t ) dt = ( + cos t) dt = = t + sen t = arc sen ( ) + = = arc sen ( ) + 8 El área será: A = [G() G()] = π. y y ( ) 75 Halla la epresión analítica de la función polinómica de segundo grado que corta al eje X en = y =, y de la que sabemos que el área sombreada de la figura vale /. Como corta al eje X en = y en =, ha de ser: f () = k ( ) ( ) = k ( + ) El área sombreada será: A = k ( + )d = k [ + ] = = k = k = Por tanto, f () = +. Unidad. La integral definida. Aplicaciones 7

48 PARA PENSAR UN POCO MÁS 7 Halla el volumen de un tronco de cono de radios r = 7 cm, r = cm y altura cm. Para ello, haz girar alrededor del eje X el segmento adecuado. Qué ecuación tiene la recta que sostiene al segmento rojo? Cuáles son los límites de integración que debes tomar? Y 7 X La recta pasa por los puntos (, 7) y (, ). Obtenemos su ecuación: 7 m = = =, la recta es y = 7 + Los límites de integración son = y =. El volumen será: V = π ( f ()) d = π ( 7 + ) d = = π ( ) d = 9 = π [ ] = 5π u. 77 Para hallar la fórmula del volumen de un tronco de cono, debes proceder como en el ejercicio anterior, pero con dimensiones variables. Hazlo para un tronco de cono tal que los radios de sus bases sean r y r y su altura, h. Debes llegar a la fórmula: V = π h(r + r + r r ) r r h La recta pasa por los puntos (, r) y (h, r ). r r h r r h r r h Obtenemos la ecuación: m = = y = r + ( ) Unidad. La integral definida. Aplicaciones 8

49 El volumen será: r r h V = π h [ r + ( ) ] d = r r h r r h = π h [ r + ( ) + r ( ) ] d = r r r r = π [ r + ( ) + r ( ) ] h h h = = π [ r h + ( ) + r ( ) h ] = = π h [ r + (r + r r r )+ r r r ] = r r h = π h [ r + r r r + r r ] = = π h [r + r + r r ] h r r h Unidad. La integral definida. Aplicaciones 9