FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

Transcripción

1 -CONTENIDOS: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. 1.1 Definición y terminología. 1. Funciones conocidas. 1. Operaciones con funciones. 1.4 Funciones recíprocas. 1.5 Funciones monótonas y funciones acotadas. Etremos relativos y absolutos. Apuntes de A. Cabañó 1.1 Definición y terminología. Una función real de variable real es toda ley que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales otro número real único. Esta definición de función se debe a Dirichlet ( quien la introdujo en 187. La función f de A en R se simboliza: f : A R f ( lo que indica que al elemento genérico de A le corresponde el número real f(. El símbolo f( fue utilizado por primera vez por el matemático suizo Leonardo Euler ( Al conjunto A se le llama dominio, conjunto de definición, o campo de definición de f (Dom f, y al conjunto de los números reales cuyos elementos son los transformados, mediante f, de los elementos de A se le llama imagen de f. La imagen de f se simboliza por f(a. Se llama recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y. Se designa por f(d. Al elemento genérico A se le llama variable independiente, y al elemento genérico de f(a y=f( se le suele llamar variable dependiente. Dominio (Dom f de las distintas funciones: a Función polinómica: definida para todo valor real y=p( b Función racional: cociente de dos funciones polinómicas, eiste para todo valor de que no anule el denominador. c Función irracional: y = n f( - Si n es impar: tiene el mismo dominio que f(. - Si n es par: eiste sólo para aquellos valores en los que f( eiste y es positiva o nula. f( d Función eponencial: y = a eiste en los puntos donde eista f(. e Función logarítmica: y = log a f( eiste sólo para los valores de que hacen f(>0. 1

2 f Funciones seno y coseno: y = senf(, y = cosf( eiste para los mismos valores que f(. 1. Funciones conocidas. - Funciones lineales se llaman así a las que corresponden a la forma y=m+n La representación de una función lineal es una línea recta, m es el coeficiente angular y n la ordenada en el origen, que corresponde al valor que toma la función para =0. - Función cuadrática es la función que tiene como epresión y=a +b+c donde a,b y c son números reales y a es distinto de 0. La representación de esta función en un sistema de ejes cartesianos se llama parábola. a>0 a<0 Para representar funciones de la forma y= +q basta desplazar verticalmente el vértice de la parábola y= q unidades hacia arriba si q es positivo, o hacia abajo si q es negativo Para representar funciones de la forma y=(-p basta desplazar horizontalmente el vértice de la parábola y= p unidades hacia la derecha si p es positivo, o hacia la izquierda si p es negativo. - Función eponencial. La epresión general de una función eponencial es y=k a donde k y a son números reales fijos con a positivo. La constante a se llama base de la función eponencial. Si a>1 la función crece a medida que aumenta Si a<1 la función decrece a medida que aumente y=a a>1 y=a a<1 Todas las funciones eponenciales pasan por P(0,1 ya que f(0=1 - Funciones logarítmicas. La etraña palabra logaritmo fue introducida a finales del siglo XVI por le matemático inglés John Napier. Logaritmo en base a de un número N es el eponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número: Log a N= N=a La representación de la función logarítmica es la siguiente:

3 Su dominio es el conjunto de los números reales positivos. -Función seno y coseno. Las dos funciones son periódicas. El recorrido de cada una de ellas es [-1,1]. Son continuas en todo su dominio. Y=sen y=cos - Función a rama o función a trozos. Son funciones definidas de la siguiente forma: g( si, < a f(= h( si, a - Función parte entera. Es la función definida como el entero menor o igual al valor de la variable dado. Se simboliza por y=e(. - Función valor absoluto. Se simboliza por la epresión y = La representación gráfica de esta función es la siguiente. 1. Operaciones con funciones. Sean f y g dos funciones que tienen el mismo conjunto de definición A. Se llama suma de las funciones f y g a la función h=f+g definida por h(=f(+g( para todo que pertenezca a A.

4 Siα R, se llama producto de la función f por el escalar α a la función h=α f definida por h(=α f(, para todo que pertenezca a A. Se llama producto de las funciones f y g a la función h=f g definida por h(=f( g( para todo que pertenezca a A. Si los conjuntos de definición de las funciones f y g son A y B, las funciones f+g y f g están definidas en A B. Se llama cociente de las funciones f y g a la función h=f/g definida por h(=f(/g(. Si los conjuntos de definición de las funciones f y g son A y B la función f/g está definida en A (B-{ g(=0} Si f es una función de dominio A y g una función de dominio f(a se llama función compuesta de f por g, a la función h=g f definida por h(=g[f(] para todo que pertenezca a A Ejemplo - Las funciones f y g están definidas por f ( f o g( ( g o g o f ( a b a b ( f o g( = f [ g( ] = f [ + 1] = ( + 1 ( = y g( = + 1. Calcula : = ( g o g o f ( = g[ g[ f ( ] = g g = g + 1 = = Funciones recíprocas. Si la función f: A->B es biyectiva, se llama función recíproca de f y se simboliza por f -1, la aplicación de B en A definida de la siguiente forma: -1 A, f(= y y B, f (y= En un sistema de referencia ortonormal, las curvas de las funciones f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. Para que pueda definirse la función recíproca es necesario que la función directa f sea biyectiva; es decir, que a cada valor le corresponda un valor y, y recíprocamente. Cuando la función f está dada por y=f( para hallar la epresión de f -1 : - se intercambian e y - se despeja y. La epresión obtenida para y es la que corresponde a f -1. Ejemplo - Calcula f 1(, sabiendo que : f ( + = Cambiamos por y, y despejamos la y : y + = = y + y = 1.5 Funciones monótonas y funciones acotadas. Etremos relativos y absolutos. Si B es un subconjunto del conjunto de definición de la función f:a->r se dice que f es una función creciente en B si: 4

5 Se dice que f es una función decreciente en B si: ( 1, B, > 1 f( f( 1 ( 1, B,, > 1 f( f( 1 En estos dos casos se dice que f es una función monótona en B La función f:a->r está acotada superiormente si eiste un número real C tal que para todo A se verifica que f( C. A los números que cumplen esta propiedad se les llama cotas superiores. La función f:a->r está acotada inferiormente si eiste un número real c tal que para todo A se verifica que f( c. A los números que cumplen esta propiedad se les llama cotas inferiores. La función f está acotada si está acotada superior e inferiormente. A la menor de las cotas superiores de f se le llama etremo superior de la función f en A, y se simboliza por M=sup f(. A la mayor de las cotas inferiores de f se le llama etremo inferior de la función f en A y se simboliza por m=inf f(. El etremo superior e inferior pueden o no pertenecer a f(a. La función f:a->r tiene un máimo relativo en 0 si eiste ε>0 tal que: A 0 - ε < < 0 + ε f( f( 0 Si la desigualdad es válida para todo A, se dice que f tiene un máimo absoluto en 0. La función f: A ->R tiene un mínimo relativo en 0 si eiste ε>0 tal que: Si la desigualdad es válida para todo A, 0 - ε < < 0 + ε f( f( 0 Se llama etremo de la función f a todo máimo o mínimo de f. A se dice que f tiene un mínimo absoluto en 0. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. -PROBLEMAS. 1º-Representar la gráfica de las funciones f de R en R dadas por:,si, < a f( = b f( = - + c f( = - 5+6,si, d f( = cos e f( = - + f,si, 1 f(=,si, 1< 4 -,si, < 5

6 g f( = - - h -,si, - -1 f(=,si, - 1 < < 1-1,si, 1 i f( = - - º-Calcular los dominios de definición de las siguientes funciones: a +1 f( = b f( = c f( = ln( - 4 d ln(1+ f(= e + f( = ln f f(= ln(1- g (ln f( = ( -1 1 h f(= + + ln(1- º-Dadas las funciones f(=+1 y g( = escribir las funciones compuestas: a f o f b f o g y g o f Es conmutativo? c f o f o g 4º-Hallar las funciones recíprocas de: a y = b y= + c y = d y= sen Indicar en cada caso el dominio de la nueva función. 5º-Dada la función f(= arctg a Hallar el etremo superior y el etremo inferior. b Tiene máimo y mínimo? 6º-A partir de la función y=sen, representar las funciones: a y= sen b y= -sen 7º-Conociendo la gráfica de la función f( = e eplicar, de una manera razonada, cómo se obtendría la gráfica de la función g(=+f(-1. Realizar un dibujo aproimado de las dos gráficas. 8º- Dadas las funciones f(=+1 g(=²-1/-1 Son iguales en su dominio? Si la respuesta es negativa, en qué dominio son iguales?. 6