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Juan Antonio Zúñiga Fernández
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UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ALGEBRA I GUÍA DE PROGRESIONES Y TEOREMA DEL BINOMIO Profesor: David Elal OLivero Primer año Pla Comú de Igeiería Primer

1 UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ALGEBRA I GUÍA DE PROGRESIONES Y TEOREMA DEL BINOMIO Profesor: David Elal OLivero Primer año Pla Comú de Igeiería Primer Semestre 2009 PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.. El tercer térmio de ua P.A. es 7 y el octavo es 7. Ecuetre: a La diferecia d. b El primer térmio. c El térmio de orde Qué lugar ocupa el térmio 28 e la P.A.: 8, 5, 2,...? 3. Determie los dos primeros térmios de ua P.A. e el cual el tercer térmio es 4 y el oveo es. 4. Hallar la suma de: a Los 20 primeros térmios de la progresió: 2, 3 4, 9 2,... b Los 4 primeros térmios de la progresió: 7 2, 7, 6 2,... c Los 2 primeros térmios de la progresió: ab 2, a, 3a b 2, E ua P.A. el primer térmio es 2, el último 29 y la suma 55. Hallar la diferecia comú. 6. La suma de tres úmeros e P.A. es 600 y la diferecia 5. Hallar el primer térmio. 7. E ua P.A. el tercer térmio es igual a cuatro veces el primero y el sexto térmio es 7. Ecuetre el térmio -ésimo. 8. La suma de tres úmeros e P.A. es 2 y la suma de los cubos de los mismos es 408. Ecuetre los úmeros. 9. Hallar la suma de todos los eteros compredidos etre 00 y 800 que sea múltiplos de 3. ALGEBRA I: GUÍA 2

2 0. Ecuetre el térmio cetral de ua P.A. de 35 térmios, si el primer térmio es 4 y el último 09.. Los dos primeros térmios de ua P.A. so (a b 2 y (a b 2. Hallar la diferecia y la suma de los 7 primeros térmios. 2. El último térmio de ua P.A. de 0 térmios vale 6. La suma de todos sus térmios vale 70. Calcule el primer térmio y la diferecia. 3. Iterpolar: a 4 medios aritméticos etre 4 y 2 4 b 8 medios aritméticos etre 35x y 3x. c 20 medios aritméticos etre 4 y La suma de tres úmeros e P.A. es 27 y su producto es 504. Hallar estos úmeros. 5. Cuátos térmios de la P.A. 3,7,,...,es preciso sumar para obteer 275? 6. Ecuetre la suma de todos los úmeros aturales múltiplos de 8 compredidos etre 7 y La suma de los 50 primeros térmios de ua P.A. es 200 y la suma de los 50 térmios que sigue es Determiar el -ésimo térmio de la P.A. 8. Ua persoa debe cacelar ua deuda de $360,000 e 40 cuotas que forma ua Progresió Aritmética. Cuado 30 de los pagos etá cubiertos la persoa fallece, dejado la tercera parte de la deuda si saldar. Calcular el valor de la primera cuota. 9. Si a, b y c está e P.A. demostrar que la ecuació ax 2 2bx c = 0 admite al úmero como raíz 20. Demostrar que para todo úmero atural la suma de térmios de la P.A.: 4, 2, 20, 28,... es u cuadrado perfecto. Aprovechado este hecho calcular Si la suma de los p primeros térmios de ua P.A. es igual a la suma de los q primeros térmios, demostrar que la suma de los (p q primeros térmios es igual a cero. 22. El úmero de térmios de ua P.A. es par, la suma de los térmios impares es 24, la de los térmios pares es 30 y el último térmio excede al primero e 0. Ecotrar el úmero de térmios. 23. Demostrar que el producto de cuatro úmeros eteros e P.A. más la cuarta potecia de la diferecia es u cuadrado perfecto. 24. Dada la Progresió Aritmética demostrar que: a0 a 0 a a 2 a 0, a, a 2,...a a2 a 3... a a = a0 a ALGEBRA I: GUÍA 2 2

3 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (P.G.. Calcular la suma de 0 térmios de la P.G.: 2, 4, 8, La suma de los 6 primeros térmios de ua P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres primeros térmios. Hallar la razó comú. 3. La suma de ua P.G. de razó 3 es 728 y el último es 486. Hallar el primer térmio. 4. Determie el décimo térmio y la suma de los 0 primeros térmios de la P.G.: 3, 3 3, 9, Determie el décimo térmio y la suma de los 0 primeros térmios de la P.G.:,,, Si cada térmio de ua P.G. se resta del térmio siguiete, etoces las diferecias sucesivas forma ua P.G. 7. El tercer térmio de ua P.G. es 2 3 primeros térmios de la progresió. 2 y el sexto. Determie la suma de los El cuarto térmio de ua P.G. es y el sexto. Determie la suma de los primeros térmios de la progresió. 9. Cosidere la P.G.: 3, 6, 2,.... Cuál es la diferecia de ua P.A. cuyo primer térmio es 8, y la suma de los primeros térmios de la P.G. sea igual a la suma de los primeros térmios de la P.A.? 0. Iterpolar 6 medios geométricos etre los úmeros 4 y Iterpolar 3 medios geométricos etre 9 4 y Iterpolar 5 medios geométricos etre 2 y Iterpolar medios geométricos etre x y xy. 4. La suma de los 6 primeros térmios de ua P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres primeros térmios. Hallar la razó de la progresió, sabiedo que esta es distita a. 5. Supoiedo que u automóvil pierde u 2 % de su valor cada año, ecotrar su valor al fial del cuarto año si su precio origial es de $25,000, Ecotrar la P.A. cuyo primer térmio es y los térmios segudo, décimo y trigésimo cuarto está e P.G. 7. A Do Milto le ofrece u trabajo que es cada mes mas riesgoso, por lo que la remueració aumeta segú dos opcioes A y B a saber: Eero Febrero Marzo Abril Mayo... A B , , Qué alterativa le coviee elegir para obteer mayor remueració aual? ALGEBRA I: GUÍA 2 3

4 8. Si el p-ésimo, q-ésimo y -ésimo térmio de ua P.G. so a, b y c respectivamete, demostrar que a q b p c p q = 9. Si el medio aritmético etre a y b, co a > b y b 0, es el doble del respectivo medio geométrico, etoces demostrar que: a b = Determiar el valor de x para que x, (x 6 y (x 8 forme ua P.H. 2. Si a 2, b 2 y c 2 está e P.A. etoces (b c, (c a y (a b está e P.H. 22. Si el p-ésimo, q-ésimo y r-ésimo térmio de ua P.A. so a, b y c respectivamete, demostrar que TEOREMA DEL BINOMIO q r a. Demuestre las siguietes propiedades: a ( ( k = k. b ( ( k ( k = k. c ( =. d ( 0 =. e ( =. 2. Pruebe que: a j=0 ( j ( j = 0. b ( ( ( 3 5 = 2 3. Hallar el valor de e: a (3! = 05. (3 2! b ( ( 2 3 : 2 = c ( ( 3 = Desarrolle los biomios que se idica. a (3x 2y 4. b (2x y 5. c ( 3a 2 6. r p b p q c = 0 ALGEBRA I: GUÍA 2 4

5 d (2 3x e ( x 2 7. f ( 2 a8 g ( 2x 3 3 2x 6. h ( x Ecotrar: a El cuarto térmio de (x 5 3. b El doceavo térmio de (2x 3. c El cuarto térmio de ( a 3 9b0. d El quito térmio de (2a b 3 8. e El séptimo térmio de ( 4x 5 5 2x Hallar el térmio cetral de ( x Hallar el coeficiete de x 8 e (x 2 3a x Hallar los dos térmios cetrales de (3a a Hallar el térmio idepediete de x e ( 3x2 2 3x Los segudo, tercero y cuarto térmios del desarrollo de (x y so 240, 270 y 080, respectivamete. Hallar x, y y.. Ecotrar el valor de r si el coeficiete de x 2 y el de x r e el desarrollo de (3x 2 9 so iguales 2. Probar que los coeficietes de x 2 y x 3 e el desarrollo de (x 2 2x 2 so respectivamete, 2 2 y 3 (2 2. ALGEBRA I: GUÍA 2 5

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