UNIDAD 1. NÚMEROS REALES

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1 UNIDAD 1. NÚMEROS REALES Conocemos y manejamos varios conjuntos numéricos. Todos ellos están bien estructurados: Los números naturales, Ν = { 1,2,3,4,... }. Son los números que sirven para contar. Si a estos les añadimos sus opuestos(negativos), obtenemos el conjunto de los enteros, Ζ = {... 3, 2, 1,0,1,2,3,... }. Si a los enteros les añadimos los fraccionarios, obtenemos el conjunto de los racionales, Q =,,, NÚMEROS FRACCIONARIOS. Los números fraccionarios son aquellos que se pueden poner en forma de fracción, existe una relación entre números fraccionarios y los números decimales, vamos a ver cómo pasamos de fracción a decimal y de decimal a fracción Paso de fracción a decimal. Una fracción puede considerarse como una división indicada. Por ello, para pasar de fracción a decimal, bastará que dividamos el numerador entre el denominador. Decimal exacto. 13 = 0,325 El cociente tiene un número limitado de cifras decimales y el resto es 40 cero. Decimal periódico puro. 11 = 1, = 1,2 El cociente tiene un número ilimitado de cifras decimales que 9 se repiten periódicamente a partir justamente después de la coma.las cifras que se repiten se llaman periodo. Decimal periódico mixto. 32 = 2, = 2,13 Hay una primera parte decimal que no se repite 15 llamada anteperiodo. A partir de ella, las cifras del cociente se repiten periódicamente Paso de decimal exacto o periódico a fracción. Decimal exacto. REGLA: En el numerador se pone el número completo sin coma y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.

2 ,125 = =, (hemos simplificado la primera fracción) Decimal periódico puro. REGLA: En el numerador se pone el número entero sin coma y se le resta la parte no decimal ;en el denominador se ponen tantos 9 como cifras tenga el periodo ,2 = = 9 9 Decimal periódico mixto REGLA: En el numerador copiamos el número entero sin coma ni arco se le resta la cifra que esta delante del arco; en el denominador, se ponen tantos 9 como cifras tenga el periodo y tantos 0 como cifras tenga el anteperiodo ,22 = = = NOTA: Todas las fracciones representan a un número decimal, sin embargo, no todos los números decimales se pueden poner como fracción. 2. NÚMEROS IRRACIONALES. Los números irracionales son los decimales que no se pueden poner en forma de fracción. Su expresión decimal es infinita no periódica Ejemplos: π = 3, ; 2; Φ = número aúreo = ; 3; 4 etc NÚMEROS REALES. El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de los números reales y se designa por R. NATURALES ENTEROS ENTEROS NEGATIVOS RACIONALES EALES R = FRACCIONARIOS IRRACIONALES,

3 1. La recta real Representación números racionales. Los pasos a seguir para representar una fracción con un valor mayor o menor que 1: 1. Simplificar la fracción hasta llegar a la irreducible. 2. Dividir numerador entre denominador para saber entre qué dos números enteros está situada nuestra fracción. 3. Descomponer la fracción (siempre que su valor sea mayor que 1 ó menor que -1) como suma de un número entero y una fracción con numerador menor que denominador, es decir, cuyo valor está entre 0 y 1 ó 0 y -1. a) Decimal exacto. Ejemplo: 1,3 Tenemos dos formas de representarlo: 1) El número está entre 1 y 2, así que dividimos en 10 trozos iguales el intervalo (1,2), y elegimos Tantos trozos como nos indica el decimal, en este caso 3 trozos. 2) Se halla la forma fraccionaria del número y se representa siguiendo los pasos de representación de una fracción. b) Decimal periódico. Tanto si el número es decimal periódico puro como mixto, se halla su forma fraccionaria y se representa la fracción.

4 c) Irracional. Para representar un número irracional, se hace una aproximación del número y se siguen los pasos explicados. Ejemplo: 14 Vamos a representar. Lo primero que haremos es dividir 14 entre 5 para saber 5 entre qué dos números enteros está situada la fracción, en este caso, 14:5= 2.8, está 14 4 entre 2 y 3.La descomponemos, = 2 + y ahora la representamos entre 2 y 3, 5 5 trazando una línea desde 2, la dividimos en 5 partes iguales, unimos el último trozo con 3 y después contamos 4 trozos desde 2 y trazamos una paralela que corte al intervalo (2,3).

5 4. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS.

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7 5. APROXIMACIONES Y ERRORES. Para manejar números irracionales se utilizan las aproximaciones. Hay dos tipos: Aproximaciones por defecto: se eligen valores inferiores del número. Aproximaciones por exceso: se eligen valores superiores al número. REGLA DEL REDONDEO: Para redondear un número decimal a una cierta cifra decimal, se desprecian todos las siguientes a esa cifra: Si la primera cifra despreciada es inferior a 5, se aproxima por defecto. Si la primera cifra despreciada es superior o igual a 5, se aproxima por exceso. ERROR ABSOLUTO: es la diferencia entre el verdadero valor y la aproximación. ERROR RELATIVO: es el cociente entre el error absoluto y el valor real del número, aunque muy a menudo se utiliza la aproximación. Ejemplos: 1) Aproxima los siguientes números con un error menor que una centésima(0,01) a) 2,6457, tomamos 2,64 ó 2,65 como aproximación b) -8,9442.., tomamos -8,95 ó -8,94 como aproximación. 2) Sea el número 43/24, Qué valores debes tomar para aproximar el número con el menor error posible? a) 1,79166 b) 1,79167 c) 1,7917 La respuesta correcta es la b) 6. VALOR ABSOLUTO

8 7. NOTACIÓN CIENTÍFICA