Tema 1: Funciones elementales

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1 BLOQUE: Análisis Matemático Concepto de función Funciones elementales Concepto de función Una función es una relación entre dos conjuntos que asocia a cada elemento del primer conjunto un único elemento del segundo conjunto. Generalmente trabajamos con conjuntos numéricos, concretamente con números reales, la definición entonces sería: Una función real de variable real, es una relación que asocia a cada número real, un úniconúmero real y = f() La variable se llama independiente y la variable y dependiente 1

2 Concepto de función Cuál de las gráficas representa una función y cuál no? Razona tu respuesta Funciones elementales (La recta) Función polinómica de primer grado Suelen llamarse también funciones afines y son del tipo f () = m + n Su gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el punto (0,n). El número n se llama ordenada del origen Casos especiales: m = 0, se llama función constante y su gráfica es paralela al eje n = 0, se llama lineal y pasa por el origen de coordenadas Para representarlas, buscamos dos puntos (tabla de valores), (pueden ser más pero no es necesario) y trazamos la línea

3 Funciones elementales (La parábola) Función polinómica de segundo grado: También se llaman funciones cuadráticas y son del tipo: Su gráfica es una parábola. Si a < 0, el vértice es un máimo si a > 0, el vértice es un mínimo f() = a + b + c Cómo representamos una función cuadrática: 1º Calculamos el vértice ºCalculamos los puntos de corte ( si no fueran eactos, podemos darle valores alrededor del vértice) 3ºConstruimos la tabla de valores y representamos Ejemplo: y = b ( 4) 1º X v = = = 1 a ( ) Yv = ( 1) 4 ( 1) + 1 = 3 º Resolvemos = , = ± + = 4 0, Funciones elementales (La parábola) Función polinómica de segundo grado: y

4 Funciones elementales (potencias sencillas) y = 3 y = Su gráfica es una parábola y por ello puede deducirse como lo hemos hecho anteriormente, pero en la práctica suele hacerse con una pequeña tabla de valores Su gráfica es una parábola cúbica, puede ayudarnos a representa una pequeña tabla de valores Tema 1: Límite de una función Funciones elementales (radicales sencillas) Son aquellas en cuya epresión algebraica aparece bajo el signo radical Para representarlas puede ayudarnos una pequeña tabla de valores (tendremos en cuenta el dominio también) y = y = 3 4

5 Funciones elementales (eponenciales) Son funciones del tipo: y =a donde a es un número real positivo y diferente de 1 Las características más importantes son: Siempre pasan por (0,1) Si a >1, es creciente Si 0 < a < 1 es decreciente Para representarlas podemos hacer una pequeña tabla de valores y = y = = 1 Funciones elementales (logarítmicas) Son funciones del tipo: y = logadonde a es un número real positivo y diferente de 1 Las características más importantes son: Siempre pasan por (1,0) Si a >1, es creciente Si 0 < a < 1 es decreciente Para representarlas podemos hacer una pequeña tabla de valores 5

6 Funciones elementales (trigonométricas) La función seno La función coseno La función tangente Funciones elementales (trigonométricas inversas) La función arcoseno La función arcocoseno La función arcotangente 6

7 Funciones elementales (funciones a trozos) Una función definida a trozos es una función con distintas epresiones algebraicas dependiendo del intervalo de su dominio y = log si si si 1 1 < 4 > 4 Para representarla haremos los siguiente 1º Representamos las funciones definidas en cada uno de los tramos ºConsideramos todos los trozos juntos Funciones elementales : El valor absoluto Es la función que asocia a cada número real, su valor absoluto: y = y = si < 0 si 0 Cómo representamos la función valor absoluto de una función cualquiera? Lo que está debajo del eje, pasa a estar por encima del eje 7

8 Tema 8: Funciones elementales Funciones elementales : El valor absoluto El valor absoluto y las funciones a trozos Consideremos la función 1ºRepresentamos la función sin el valor absoluto y = + 4 y = + 4 A partir de la representación gráfica, podemos epresarla como una función a trozos ºInterpretamos el valor absoluto gráficamente 3ºEpresamos analíticamente el resultado: 4 y = < > 4 Tema 8: Funciones elementales Funciones elementales : El valor absoluto El valor absoluto y las funciones a trozos Consideremos la función y = 4 Como no es toda la función la que se ve afectada por el valor absoluto, procedemos al revés, es decir: 1º Separamos como una función a trozos + 4 y = 4 < 0 0 a) Primer Intervalo (,0) ºRepresentamos cada trozo por separado y luego unimos Es una parábola con el vértice en = - Cortes en (-4,0) y (0,0) b) Segundo Intervalo [ 0, ) Es una parábola con el vértice en = Cortes en (4,0) y (0,0) 8

9 Tema 8: Funciones elementales Funciones elementales : El valor absoluto El valor absoluto y las funciones a trozos Consideremos la función y = 4 ºRepresentamos cada trozo por separado y luego unimos Transformaciones de funciones Muchas veces, la gráfica de una función se puede obtener a partir de funciones conocidas, por ejemplo 9

10 Traslaciones verticales Traslaciones horizontales 10

11 RESUMEN REFLEXIONES 11

12 EXPANSIONES Y CONTRACCIONES VERTICALES EXPANSIONES Y CONTRACCIONES HORIZONTALES 1

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