c) C = (c ij ) de tres files i tres columnes per a) u r = (1, 2, 3, 4), c) u r = (1, 1, 1), v r = (2, 4, 8) i w r = (3, 9, 27)

Transcripción

1 SOLUCONAR Unitat 8 Comencem Cada 100 g de producte d un determinat aliment conté 0,06 g de vitamina A, 0,3 g de vitamina B i 0, g de calci. Anàlogament, un altre aliment conté 0,1 g de vitamina A, 0, g de vitamina B i 0,15 g de calci, també per cada 100 g. Escriu la matriu corresponent. æ0,06 0,3 0, ö 0,1 0, 0,15 La representació matricial d una xarxa de transport per carretera, segons el conveni anterior, és donada per la matriu: æ ö Dibuixa un esquema que hi estigui relacionat. Resposta oberta. Per exemple: c) C = (c ij ) de tres files i tres columnes per a c ij = j i.. ndica els vectors que determinen cadascuna de les matrius de l exercici anterior. a) u r = (1,, 3, 4), r æ1 3 ö v= r æ1 4ö,1,, i w=,,1, r b) a r = c r = (, 0) i b r = d = (0, ) c) u r = (1, 1, 1), v r = (, 4, 8) i w r = (3, 9, 7) 3. Escriu una matriu que representi vectors de V, i una altra que representi 4 vectors de V 3. ndica l ordre de cadascuna. Resposta oberta. Per exemple: æ 1ö A = 1 1 æ1 3ö C = æ1 1 1ö B = La matriu A és d ordre (, ) i la matriu B d ordre (3, 4). 4. Escriu una matriu A d ordre (3, 4). Resposta oberta. Per exemple: Exercicis 1. Escriu les matrius següents: i a) A = (a ij ) i = 1,, 3, 4; j = 1,, 3 per a ij =. j æ1 1/ 1/3 ö 1 /3 A = 3 3/ 1 4 4/3 b) B = (b ij ) d ordre (, 4) sabent que b ij = = ( 1) i + ( 1) j. æ- 0-0ö B = 0 0 æ1 1 ö A = a) Troba n la matriu oposada i la matriu transposada. Comprova que la matriu oposada de la transposada és igual a la matriu transposada de l oposada. æ 1 1ö - A = t A æ 1 0 0ö 1 = 1 1 Mcraw-ill/nteramericana de España, S.A.U. Matemàtiques. Batxillerat 95

2 æ 0 0ö ( t A) = t ( A) = b) Comprova que t ( t A) = A. æ1 1 ö t ( t A) = 0 1 = A Donades les matrius següents: æ x 3zö æ 4y -t ö A = i B = x - y y z 3x + 4 Troba els valors de x, y, z i t sabent que A = = B. (1) x = 4y () 3z = t (3) x y = z (4) y = 3x + 4 De (1) i (4) x =, y = 1, substituint a (3) z = 1, i substituint a () t = Escriu una matriu quadrada d ordre 3 que sigui triangular superior. ndica els vectors de V 3 que defineixen la matriu. Calcula n la traa. Resposta oberta. Per exemple: æ 3 ö A = u r = (, 0, 0), v r = (3, 1, 0) i w r = ( 1,, 1) tra(a) = = 7. Escriu una matriu quadrada d ordre 4 que sigui alhora simtrica i antisimtrica. i ha moltes matrius que tinguin aquesta característica? La matriu quadrada nul la d ordre quatre. Només aquesta. 8. Qualsevol matriu diagonal és simtrica? antisimtrica? ustifica n les respostes. Sí, ja que si A és una matriu diagonal t A = A A és simtrica. No, perqu si és una matriu diagonal, els elements de la diagonal principal no són zero, i per tant no pot ser antisimtrica. Mcraw-ill/nteramericana de España, S.A.U. 9. Per qu han de ser zero els elements de la diagonal principal d una matriu antisimtrica? Perqu sigui una matriu antisimtrica, els elements de la diagonal principal han de verificar que a ii = a ii, d on s obté que a ii = Tenim la matriu: a) Com és aquesta matriu? És una matriu simtrica. b) Troba la matriu transposada de la matriu oposada. c) Com són entre elles la matriu que has trobat en l apartat anterior i la matriu inicial? Són oposades. d) Es pot enunciar, en aquest sentit, alguna propietat general? En una matriu simtrica, la transposada de l oposada coincideix amb la matriu oposada. 11. Donades les matrius: æ 6 1 4ö æ 1ö æ 1 1 ö A = B = æ0-3 1ö C = a) Comprova les propietats de la suma i del producte de matrius. Suma: associativa: A + (B + C) = (A + B) + C = Matemàtiques. Batxillerat 96

3 existncia d element neutre: - A + O = O + A = = A, sent O la matriu quadrada nul la d ordre tres. existncia d element simtric: A + ( A) = ( A) + A = O, 1 - sent A = 0-0 commutativa: A + B = B + A = Producte: associativa: æ ö (AB)C = A(BC) = distributiva: æ 7 16ö A(B + C) = AB + AC = æ 9 3 6ö (A + B)C = AC + BC = b) Prenent el valors k = i h = 3, comprova les propietats del producte d un nombre per una matriu. æ 0 6 0ö (A + B) = A + B = æ ö 5A = A + 3A = æ-6 1 6ö (3A) = æ 1ö 1A = = A 1 0 Mcraw-ill/nteramericana de España, S.A.U. c) Amb el mateix valor de k de l apartat anterior, comprova les propietats de la transposició de matrius. 0 t (A + B) = t A + t B = t (A) = ( t A) = t (AB) = ( t B)( t A) = t (A )+ = ( t A) = 1. Amb les matrius de l exercici anterior, calcula: a) A 3B + 4C b) AB + C c) 3A CB d) C(A B) e) A 3 f) (BC) Matemàtiques. Batxillerat 97

4 . Es diu que dues matrius A i B commuten quan AB = BA. Comprova, amb matrius quadrades d ordre 3, que: Respostes obertes. Per exemple: a) Una matriu diagonal commuta amb qualsevol matriu del seu mateix ordre. A = 1 1 B = 1 1 AB = BA = b) Si és la matriu unitat, A = A = A. A = A = 14. Siguin A i B dues matrius quadrades d ordre, tals que: A = (a ij ); a 11 = a = 1, a 1 =, a 1 = 0 B = (b ij ); b 11 = b = a 1, b 1 = b , b 1 = 0 a) Escriu les dues matrius. 1 3 A = B = b) Les matrius A i B commuten? Sí, ja que AB = BA = c) Comprova que (A + B) (A B) = A B. Per qu creus que passa això? ustifica n la resposta. (A + B)(A B) = A B = Si commuten, vol dir que AB = BA, d on tenim que: (A + B)(A B) = AA + BA AB BB = A + BA BA B = A B 15. Demostra que si A i B no commuten, aleshores (A + B) ¹ A + AB + B Si no commuten, tenim que AB ¹ BA, i per tant BA + AB ¹ AB, d on: (A + B) = (A + B)(A + B) = AA + BA + AB + BB = A + BA + AB + B Mcraw-ill/nteramericana de España, S.A.U. 16. Siguin A, B i C matrius quadrades d ordre 3 i no nul les. a) És possible que AB doni la matriu nul la d ordre 3? Sí, ja que el producte de dues matrius no nul les pot donar la matriu nul la. b) Si es verifica que AB = AC, podem assegurar que B = C? No, AB = AC AB AC = 0 A(B C) = 0 i pot ser que A ¹ 0 i B C ¹ 0 d on B ¹ C. 17. Donades les matrius: æ 8 5ö æ 3 5 -ö A = i B = calcula els productes AB i ( t B) ( t A) AB = ( t B)( t A) = Calcula els determinants d ordre següents: - 1 a) = cos a -sin a b) = 1 sina cos a c) 3 4 = / x e 1 d) = 0 x 1 e æ 1 3 ö 19. Considera les matrius: A = 0 3, 4 1 æ - 1 4ö æ3-5 1ö B = 1 7 i C = Calcula A, B, C i A + B + C. A =19, B =6, C =, A + B + C =17. Matemàtiques. Batxillerat 98

5 0. Comprova les igualtats següents: t - 10 t - 5 a) = (t 1)(t 5) 1+ t t = t 6t + 5 = (t 1)(t 5) b) x y z = (y x)(z x)(z y) x y z (y x)(z x)(z y) = yz xz + x z y z + + xy x y. 1. Resol les equacions: a) b) t 0 t t t x y z =yz +x z+xy x y xz y z x y z 1+ x x 1 =0 + x x 3 + 3x = 0 x = 0, x = 3 x - 1 x + 4 = x x 6x 4 = 10 x = 1 r. Considera els vectors de V 3, = ( 1,, 1), r v r u = (, 3, ) i w = (0, 1, 3); i calcula: D ( u r + v r + w r, u r v r + w r, u r + v r w r ) r r r - u + v + u = (3,0,0) ü r r r ï u - v + w = (-3,-,6) ý;0-6 = r r r u + v - w = (1,6,-4) ïþ = 3 = 3(8-36) = Considerant la matriu A de l exemple anterior, calcula A i A*. Quina relació s estableix entre els dos determinants? A = 14, A* =196, A* = A 4. Sigui A = (a ij ) una matriu quadrada d ordre 3, definida per a ij = i j + 1. Troba la matriu A* i comprova que t (A*) = ( t A)*. A* = Mcraw-ill/nteramericana de España, S.A.U. t (A*) = ( t A)* = 5. Sigui B la matriu definida pels vectors u r = r = (1, ) i v = ( 1, 1) de V. a) Troba B*. B* = b) Les matrius B i B* commuten? ustifica n la resposta. No, perqu BB* = -3-3 B*B = 3 0 c) Calcula B, B*, BB* i B*B. 6. Calcula el determinant B = B* =3, BB* = B*B =9. a) Per la regla de Sarrus = 9 b) Desenvolupant-lo pels elements de la segona fila. ( ) ( 1) = = 9 c) Desenvolupant-lo pels elements de la tercera columna. c) ( 7) + 5( 1) = 14 5 = Desenvolupa, per la columna o la fila més adequada, els determinants: a) b) c) æ1 -ö a columna 5 3a fila 0 a fila Matemàtiques. Batxillerat i 99

6 8. Comprova amb determinants d ordre 3 i utilitzant la regla de Sarrus les propietats a), b), c), g) i j). Resposta oberta. Per exemple: a) = = 1 0 b) 1 0 = 3; 1 0 = c) - 0 = 6; 1 0 = 3 = f ) = g) = = = + 1 = Esbrina, emprant determinants, la dependncia o independncia lineal dels vectors següents: a) u r = (3, 1, ), v r = ( 1, 1, ), w r = (0,, 3) 3 0 =- 10 ¹ 0 1 linealment independents -3 b) u r = ( 1, 1, 4), v r = (, 1, 1), w r = (, 0, ) = 0 linealment dependents 4 1 c) u r = (1, 0, 1), v r = (,, 1), w r = (1,, ) = 0 linealment dependents 1 - d) u r = (1, 1, 1), v r = (1, 1, 1), w r = ( 1, 1, 1) =- 4 ¹ linealment independents 1 1 Mcraw-ill/nteramericana de España, S.A.U. 30. Utilitzant determinants, troba els valors de a, per tal que els vectors de V 3 següents siguin linealment dependents: a) u r = (1, 1, a), v r = (, 3, ), w r = (5, a, 8) a = a + 17a + 30; a = 5 =- =- a 17a 30 0 a1, a 6 b) u r = (1, 3, ), v r = (, 1, a), w r = (,, ) = 7a+ 35; 7a + 35 = 0 a a = Calcula el determinant següent, calculant només un determinant d ordre : Resposta oberta. Per exemple, deixant la 1a fila igual i canviant les altres dues per f ' = f + + f 1 i f 3 ' = f 3 f 1 i desenvolupant-lo pels elements de la segona columna nova queda: 3 6 = Troba el rang de les matrius següents: æ3 1 ö a) A = æ3 1 5ö b) B = æ3 1 5ö 1 5 c) C = æ 1ö d) D = rang A =, rang B = rang C = rang D = 3 Matemàtiques. Batxillerat 100

7 æ 1 a 1 ö 33. Considera la matriu A = a a. Tro- 1 ba els valors de a pels quals rang A ¹ 3. A = 0 a + 3a = 0 a = 1, a = 34. Sigui A una matriu quadrada regular. Demostra: a) Si AX = B, aleshores X = A 1 B AX = B A 1 (AX) = A 1 B (A 1 A)X = A 1 B X = A 1 B X = A 1 B b) Si XA = C, aleshores X = CA 1 XA = C (XA)A 1 = CA 1 X(AA 1 ) = CA 1 X = CA 1 X = CA 1 c) Aplica-ho a les matrius: 35. De les matrius: æ 3ö æ 4 1ö A = ; B = 5 0 æ 1 0ö i C = X = A 1 B = 8 - X = CA 1 = æ 1 0ö æ 1 3ö A = ; B = æ3-1ö i C =. a) ndica n una que tingui inversa. La matriu A. b) Troba aquesta inversa. es-ne la comprovació A 1 = 1 AA 1 = A 1 A = Mcraw-ill/nteramericana de España, S.A.U. 36. Amb les matrius de l exercici anterior, troba una matriu X tal que AX B = C. X = A 1 (C + B) = 37. Troba la inversa de la matriu: i comprova-ho. æ 1 3ö A = Calcula A 1 i compara-ho amb A. Qu observes? A 1 = AA 1 = A 1 A = A 1 = 1/11 = 1/ A 38. Troba una matriu B, tal que BA = (1 0), essent A la matriu de l exercici anterior. B = ( 10/11 6/11 9/11) 39. Comprova que la inversa de æa bö 1 æ d -bö A = és A 1 = c d ad - bc -c a Demostra que A 1 = A A d b da bc = = = ( ad -bc) -c a ( ad -bc ) 1 1 = = ad - bc A Amb les matrius A i B, comprova: (BA) 1 =(A 1 )(B 1 ) i (AB) 1 = (B 1 )(A 1 ) æ3 1 ö æ0 0 1ö A = 0 1 ; B = Matemàtiques. Batxillerat 101

8 Acabem (BA) 1 = (A 1 )(B 1 ) = (AB) 1 = (B 1 )(A 1 ) = Donades les matrius: æ 1 3ö æ 4 0ö A = 1 0, B = 1 3 i troba, si existeix, la ma- æ 1 ö C = triu X: a) A B + X = C 1 b) X 3B = A C c) XB = C d) AX = B Mcraw-ill/nteramericana de España, S.A.U. æ 3 4ö. Sigui A = troba una altra matriu - quadrada B d ordre tal que AB = 3A. B = 3. Calcula el determinant d una matriu quadrada A d ordre 3, definida per les condicions: a ij = 3 (i = j), a ij = 1 (i ¹ j) A = A = Resol l equació següent: x + 1 3x - 1 4x = 0 3x - 1 4x 6x - 1 6x + 3x = 0 x = 0, x = 1/. 5. Demostra que les arrels del polinomi següent són 4, 8 i 1. p(x) = p(x) = x 3 11x = (x 4)(x 8)(x + 1). 6. Calcula: x x + 1 x + 1 æ 1 4 ö æ 1 0ö x x x Troba les matrius inverses de: æ 1-3ö æ 3ö A = 0 1, B = 1 0 i æ 4 3ö C = 0 1. Matemàtiques. Batxillerat 10

9 es-ne la comprovació. A 1 = B 1 = C 1 = AA 1 = A 1 A = BB 1 = B 1 B = CC 1 = C 1 C = = De les matrius: 1-7 æ 1 0 0ö æ 1 3ö A = 0 1 0, B = 1 3 i æ3-1ö C = 1-4 indica n una que tingui inversa i troba-la. Troba una matriu X tal que XA + B = C La matriu A, A = ; X = (C B)A = Les matrius: æ a bö æ c dö A = i B = -b a -d c commuten? ustifica n la resposta. Sí, ja que AB = BA = ac - bd ad + bc -bc -ad - bd + ac 10. Decideix, segons els valors de k, el rang de la matriu: æ1 k k ö k 5k + 6 = 0 k =, k = 3. Si k ¹ i k ¹ 3, el rang és 3; i si k = o k = 3, aleshores el rang és. 11. Troba el rang de les matrius següents: æ 1ö æ 1 1 1ö -3 - A = B = æö æ ö C = D = rang A = 3, rang B =, rang C = i rang D = Troba A n si: æ a 1- aö A = 1+ a -a Si n és parell A n =, si n és senar A n = A. Mcraw-ill/nteramericana de España, S.A.U. Matemàtiques. Batxillerat 103

10