una función acotada. a) Cuántas particiones puede tener el intervalo [ ab, ]?. c) Cuántos puntos como máximo puede tener una partición de [ ab, ]?.

Transcripción

1 Ejercicios del Tem de Integrles Cálculo Diferencil e Integrl II ) Sen A y B dos conjuntos no vcíos de números reles, tles que B A y A está cotdo superiormente Demostrr que B está cotdo superiormente y que sup B sup A ) Sen A y B dos conjuntos no vcíos de números reles, tles que B A y A está cotdo inferiormente Demostrr que B está cotdo inferiormente y que inf A inf B Se f un función cotd superiormente sore el intervlo cerrdo [, ] y [ c, d] [, ] ) Demostrr que f está cotd superiormente sore [ cd, ] ) Cuál relción se puede estlecer entre los siguientes conjuntos f ( ) : c d f ( ) : y? Son cotdos superiormente estos conjuntos? Si es sí, cuál relción entre sus supremos correspondientes puede estlecerse? Se f un función cotd inferiormente sore el intervlo cerrdo [, ] y [ c, d] [, ] ) Demostrr que f está cotd inferiormente sore [ cd, ] ) Cuál relción se puede estlecer entre los siguientes conjuntos f ( ) : c d f ( ) : y? Son cotdos inferiormente estos conjuntos? Si es sí, cuál relción entre sus ínfimos correspondientes puede estlecerse? 4 Se f :[, ] un función cotd ) Qué se entiende por un P prtición de [, ]? ) Qué se entiende por un Sum Superior de f pr P prtición de [, ]? c) Qué se entiende por un Sum Inferior de f pr P prtición de [, ]? d) Cuándo se dice que f es integrle en [, ]? e) De cuerdo con el criterio -P prtición, Cuándo se dice que f es integrle en [, ]? 5 Se f :[, ] un función cotd ) Cuánts prticiones puede tener el intervlo [, ]? ) Cuántos puntos como mínimo puede tener un prtición de [, ]? c) Cuántos puntos como máimo puede tener un prtición de [, ]? d) L unión de dos prticiones de [, ] es un prtición de [, ]? e) Si f es continu en [, ] Quiénes serín m i y M i en cd suintervlo de un prtición de [, ]?

2 6 Se f un función cotd sore el intervlo cerrdo [, ] y sen P y Q dos prticiones del intervlo cerrdo [, ] tles que P Q y Q tiene ectmente un punto más que P Demostrr que U( f, P) U( f, Q) 7 Clculr l sum superior e inferior pr cd un de ls siguientes funciones en el intervlo indicdo Utilizr un prtición P de 5 elementos tl que cd intervlo cerrdo generdo por l prtición teng l mism longitud 8 ) Qué funciones definids en un intervlo cerrdo [, ], tienen l propiedd de que tod sum inferior es igul tod sum superior? ) Qué funciones continus en un intervlo cerrdo [, ], tienen l propiedd de que tods ls sums inferiores son igules? 9 Se Usr el criterio de integrilidd de f sore [, ] ) Demostrr que ) Demostrr que d 6 d 6 c) Demostrr que d ( ) Sugerenci: usr n nn i, n N o i ( )( ) n n n n i, n N según se el cso i 6 Otener sin hcer cálculos complicdos, pero eplicndo detlldmente cd uno de sus rgumentos, l relción entre ls integrles de cd inciso (oserv l simetrí de ls funciones): i) d y d ii) 4 d y 4 d iii) 8 d y 8 d Decidir cuáles de ls siguientes funciones son integrles sore [,] Argumentr su respuest en términos de l definición de integrilidd de un función en un cerrdo [, ] Clculr l integrl cundo se posile

3 si i) f ( ) ii) f ( ) si, si es irrcionl, si iii) f ( ) iv) f ( ), si es rcionl 5, si Sen f :[, ] y g :[, ] funciones cotds Anlice ls siguientes proposiciones y justifique sus respuests detlldmente ) Si f g es integrle sore [, ], entonces f y g son integrles sore [, ] ) Si fg es integrle sore [, ], entonces f y g son integrles sore [, ] c) Si f g es integrle sore [, ], entonces f y g son integrles sore [, ] Demostrr Si c d c, y f es integrle sore, d, entonces f es integrle sore 4 Demostrr Si f es integrle sore [, ] y f( ) [, ], entonces f 5 Demostrr Si f y g son integrles sore [, ] y f ( ) g( ) [, ], entonces f g 6 Demostrr ) Si f es integrle en [, ] y m f ( ) M, [, ], entonces eiste un número tl que f ( ) ( ), con m M ) Si f es continu en [, ] entonces eiste [, ] tl que f ( ) ( ) f ( ) c) De un modo más generl, supóngse que f es continu en [, ] y que g es integrle y no negtiv en [, ], entonces f ( ) g( ) d f ( ) f ( ) d (Este resultdo recie el nomre de Teorem del Vlor Medio pr integrles) 7 Demostrr Si f es integrle sore [, ] entonces f es integrle sore [, ] Recordr que f ( ) f (), [, ] 8 Demostrr Si f es integrle sore [, ], entonces f ( t) f ( t)

4 c 9 Demostrr f ( ) d f ( c ) d c Sugerenci: Tod prtición P t,, tn P to,, tn t c t c Demostrr que =,, n Sugerenci: Puede escriirse de [, ] d origen un prtición de [, ] t t t t t d origen un prtición P to,, tn c Demostrr f ( ) d c f ( c) d c c y vicevers Pues Tod prtición P t,, tn t t de [, ] =,, n c Osérvese que se trt de un cso prticulr del ejercicio nterior Se Supóngse que f es un función integrle sore [, ] ) Si f es un función pr, demostrr que f ( ) d f ( ) d ) Si f es un función impr, demostrr que f ( ) d de [, ] y vicevers Suponer que f es no decreciente sore [, ] Oservr que f está utomáticmente cotd sore [, ], y que f ( ) f ( ) f ( ), [, ] ) Si P t,, tn es un prtición de [, ], determinr L( f, P ) y U( f, P ) ) Suponer que t i ti pr todo i = n, (esto signific que todos los intervlos tienen l mism longitud) Demostrr que U ( f, P) L( f, P) [ f ( ) f ( )] c) Demostrr que f es integrle en [, ] d) Dr un ejemplo de un función no decreciente sore [,] que se discontinu en un número infinito de puntos 4 Se f definid en el intervlo cerrdo [,] cuy regl de correspondenci es:, si, nn f( ) n, en culquier otro cso Es f integrle en [,]? Si l respuest es sí, clculr l integrl 4

5 5 Hllr l derivd de cd un de ls siguientes funciones: ) ) c) F( ) sin ( t) F ( ) F( ) sin ( ) t sin ( t) 5 8 t sin ( t) 6 ( ) y t 6 Hllr un función continu f que stisfg f ( t) ( f ( )) C 7 Hllr F( ) si F( ) f ( t) 8 Demostrr que si h es continu, f y g son derivles y F( ) h( g( )) g( ) h( f ( )) f ( ) ( ) ( ) F g h ( t ), entonces f ( ) 9 Demostrr que si f es continu, entonces u f ( u) ( u) du ( f ( t) ) du Se f( ) pr rcionl y f( ) pr irrcionl ) Clculr L( f, P ) y U( f, P ) pr tods ls prticiones P del intervlo cerrdo [,] ) Hllr sup (, ): [,] inf U ( f, P) : P es prtición de [,] L f P P es prtición de e Hllr un función f tl que f( ) sin ( ) Hllr f (), l imgen invers de, si ) f( ) sin(sin t) ) f( ) sin(sin t ) Biliogrfí ) Spivk, Michel Clculus d Edición Editoril Reverté ) Thoms, George Cálculo de un vrile 9ª Edición PEARSON Addison Wesley Longmn ) Arizmendi, Crrillo, Lr Cálculo 4) Hser, Lslle, Sullivn Introducción l Análisis Mtemático VolI Editoril Trills 5) Purcell, Vrerg, Rigdon Cálculo 9ª Edición PEARSON Prentice Hll 6) Suplemento de Spivk 5