MATEMÁTICAS II - P.A.E.U. CÁLCULO DIFERENCIAL CUESTIONES

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1 MATEMÁTICAS II - P.A.E.U. CÁLCULO DIFERENCIAL CUESTIONES. Calcular a b 0 + siendo a, b >. (J9) Sol.: ab.. Hallar el máimo y el mínimo absoluto de f()=3-9+ en [0,]. (S9) Sol.: Má (0,); mín (3/,-/). 3. Puede tener una función dos límites en el mismo punto?. Por qué?. Razona la respuesta. (J95) Sol.: No.. Calcula razonadamente ( 3 )( + 3)( 5) ( + 6)( 3 + 5). (J95) Sol.:. 5. Se sabe que la suma de dos funciones continuas en un punto es una función continua en el mismo punto. Si dos funciones no son continuas en el punto a puede serlo la suma de ambas?. Si la si 0 si respuesta es afirmativa pon un ejemplo. (S95) Sol.: Sí. f ( ) =, g( ) = 0 si = si = 6. Calcular razonadamente [ + ] 3 ( 35 ) 7. Resuelve la ecuación: ( 5 ). (S95) Sol.: n ( + ) n log = 3 ln log n. (J96) Sol.: =, =3. 8. Sean r y r dos raíces consecutivas de un polinomio P(). Justifica que entre ellas hay un máimo o un mínimo. Razona si pueden eistir ambos y también si han de ser únicos. (J96) Sol.: Por T a de Rolle. Pueden eistir ambos y no han de ser únicos. Ejemplo: y= 9. Calcula razonadamente (S96) Sol.: e. 0. Calcular. Estudiar si la función f()= es continua en =. (J97) = Sol.: ¼. No. Discontinuidad evitable.. Lee atentamente el siguiente enunciado: "Dada una función f definida y derivable en un intervalo abierto (a,b) de los números reales, si f es estrictamente creciente en dicho intervalo, entonces f '()>0". Es cierto?. En caso afirmativo razonar la respuesta y en caso contrario poner un contraejemplo. (J97) Sol.: No. f()= 3 en (,).. Calcula el dominio y los intervalos de crecimiento de la función f()=. (J97) Sol.: Dom f=r {-,}. Creciente en (-,-) (-,0); decreciente en (0,) (, ). IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág.

2 3. Estudiar la continuidad de la función f()= respuesta. (S97) e 0 0 <. Es derivable en =0? Razonar la > Sol.: f() es continua en R {} y derivable en R {0,}.. Una función polinómica de grado puede tener dos máimos? Y algún punto de infleión? Razonar las respuestas. (S97) Sol.: No. No. La derivada se anula solo una vez. 5. Calcular simplificando todo lo posible el resultado, la derivada de la función: f ( ) + = ln. (J98) 6. Se puede asegurar que la función f()= 3 3sen + toma el valor 0 en algún punto del intervalo [-,]? Razonar la respuesta indicando el resultado teórico utilizado. (J98) Sol.: Sí, por el teorema de Bolzano, f(-) f()<0. α -' Hallar los intervalos de crecimiento de la función f()= Sol.: + +. (J98) + + Sol.: Creciente en (-,0); decreciente en (,-) (0, ). 8. Dada la función f()= determinar su dominio de definición y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (S98) Sol.: Dom f=r {-,}. Creciente en (,-) (-,0), dereciente en (0,) (, ). 9. Enunciado del teorema de Rolle. (S98) (J00) 0. Calcular arc tg. (J99) Sol.: -. 0 sen. Determinar los intervalos de crecimiento de la función f()=. Calcular ( + ) 0. (J99) + Sol.: Creciente en (-,); decreciente en (-,-) (, ).. (S99) Sol.: e Siendo f()=(+) y g()=3, calcular la derivada de la función compuesta g(f()). (S99) Sol.: 6(+).. Hallar un punto de la gráfica y= ++5, en el cual la recta tangente sea paralela a la recta y=3 8 (S99) Sol.: P(,7). cos 5. Calcular, simplificando el resultado todo lo posible, la derivada de la función: f()= ln + cos 6. Enunciado del teorema del valor medio. (J00) (J00) Sol.: y'= cosec. 7. Utilizando el teorema de los incrementos finitos demostrar que para cualesquiera números reales a<b, se verifica sen b sen a b a. (S00) Sol.: Aplicar el teorema. a la función f()=sen en [a,b] 8. Calcular las asíntotas de la función y= (S00) Sol.: A.H. y=; A.V. = IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág.

3 9. Calcular e 0 cos (J0) Sol.: 30. Se puede aplicar el teorema de Bolzano a la función f ( ) cos = en el intervalo [0,π]? Razonar la respuesta. (J0) Sol.: No. La función no es continua en = π [0,π] 3. Determinar un punto P sobre la curva y= situado en el primer cuadrante de forma que el área del rectángulo determinado por los dos ejes y las rectas paralelas a los ejes que pasan por P sea máima. (S0) Sol.: P(,8). 3. Calcular ( ) sen e 0 +. (S0) Sol.: Si 0 -, L= - ; si 0 +,L=+. El límite pedido no eiste. 33. Sean f() y g() dos funciones derivables para todo valor de, que verifican que f(0)=g(0) y que f'()>g'() para 0. Se puede asegurar que f()>g() para >0? Razona la respuesta indicando en que resultados de basas. (S0) Sol.: Sí. Aplicar el tª del valor medio a h()=f() g() en [0,] 3. Dadas las funciones 3 f ( ) = + + y g ( ) = Ln( + 8) 3 derivada. (J0) Sol.: ( g f )( ) = Ln ;( g f ) ' ( ) 35. Calcular, escribir la función g o f y calcular su = ( + + ) 3 +. (J0) Sol.: 0 e 36. Calcular 0 + sen. (S0) Sol.: sen + sen( + ) 37. Dada la función f ()= cos cos( + ) en el intervalo [0, π ], demostrar, calculando su derivada, que f() es constante. (S0) Sol.: ( ) = 0 f, f ( ) = ctg 38. Hallar a, b y c para que la función f () = 3 + a + b + c tome el valor 0 para =l, presente un máimo relativo en = y un mínimo relativo en = 0. (S0) Sol.: a=3/, b=0, c= -5/ 39. Calcular e 0 cos. (J03) Sol.: sen 0. Demostrar que la ecuación = 0 tiene eactamente una raíz en el intervalo [,]. En qué resultados te basa?. (J03) Sol.: En el t. de Bolzano y en que f es creciente en el intervalo.. Calcular ( ln( + ) ln ). (S03) Sol.: 3. Hallar los puntos de la gráfica de f ( ) = 3 + en los que la tangente a la curva es paralela a la recta y =. (S03) Sol.: (0,0) y (, ). IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág. 3

4 3. Utilizando la definición de derivada, estudiar la derivabilidad de la función f ( ) = en =. (S03) Sol.: f() no es derivable en = porque f ' ( + )= y f ' ( )=.. Demuéstrese que las gráficas de las funciones f() = e y g() = se cortan en un punto, > 0. (J0) Sol.: Aplicar el Tª de Bolzano en [½,] 5. Calcúlese (J0) Sol.: 0 0 sen 6. Calcúlese el valor de tg( ) tg( ) π / 6 (S0) Sol.: /3 7. Determínese el valor del parámetro a para que se verifique + a + = + (S0) Sol.: a= 8. Calcúlese ln e ( ). (J05) Sol.: 0 9. Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que para > 0 se verifica: arctg( ) arctg( ) < (J05) Sol.: Aplícar el teorema a f()=arctg() en [, ] Estúdiese, según los valores de los números reales α y β, la continuidad de la función f + α, si 0 definida por f ( ) = + e (J05) β, si = 0 sen( ) 5. Calcúlense los valores de λ 0 para los cuales Sol.: Si α=0 y β=0, f es continua en R; en los demas casos, f continua en R-{0}. 0 cos ( λ) =. (S05) Sol.: λ=± 5. Calcúlese ln( ) sen( ) 0. (S05) Sol.: 0 [el límite sólo eiste por la derecha] 53. Calcúlese el valor de ln 0 ( cos( ) ). (J06) Sol.: L = Sea f ( ) = a + b + c + d. Determínense a, b, c y d para que la recta y + = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto (0, ), y la recta y = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto (, ). 3 (J06) Sol.: y = 55. Determínense los valores de a y b para los cuales a 0 + b + cos sen ( ) ( ) =. (J06) Sol.: a=/ b= Calcúlese ln 0 ( cos( ) ) + cos( ). (S06) Sol.: L =. IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág.

5 57. Eisten máimo y mínimo absolutos de la función f ( ) = cos( ) + en el intervalo [ 0,π ]? Justifíquese su eistencia y calcúlense. (S06) Sol.: Sí, por el teorema de Weierstrass. El máimo absoluto es y se alcanza en =0; el mínimo absoluto es 0 y se alcanza en =π. 58. Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f ( ) en el punto =0. (S06) Sol.: Recta tangente, y=0; recta normal =0. = Calcular 0 ln ( + ). (J07) Sol.: L = /. 5π 60. Demostrar que las curvas f ( ) = sen y g( ) = se cortan en algún punto del intervalo ( π, ). 5π (J07) Sol.: Aplicar el Tª de Bolzano en [ π, ] 6. Hallar a y b para que la función f ( ) a + ln = b sen ( π ) si si si > 0 = 0 < 0 sea continua en todo R. (J07) Sol.: a=b=π 6. Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y = , la recta tangente a la misma es paralela a la recta y = + 7. (S07) Sol.: (0,) y (,-). 63. Discutir si la ecuación + sen = tiene alguna solución real. (S07) Sol.: Aplicar el Tª de Bolzano en [,], α,06060 ( e e ) 6. Calcular, si eiste, el valor de 0. (S07) Sol.: L = 65. Calcular sen () (J08) Sol.: L = 66. Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función f()= 3 +a en el punto =0 sea perpendicular a la recta y+=-3. (J08) Sol.: a= ( ) 67. Calcular las asíntotas de la función: f()= + (J08) Sol.: A.V.: No tiene A.H.:y= A.O.: No tiene 68. Demostrar que la ecuación 3 +-5=0 tiene al menos una solución en el intervalo (,) (J08) Sol.: Aplicar el Tª de Bolzano en [,], α,5 cos 69. Estudiar la continuidad en R de la función: f()= 0 0. (S08) Sol.: f() es continua en R = 0 IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág. 5

6 70. Calcular los valores del número real a sabiendo que 0 e a ln 7. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f() = a = 8. (S08) Sol.: a=± en su dominio de definición. (J09) 7. Calcular el límite: ln( e sen 0 ) Sol.: Creciente en (0,e) y decreciente en (e,+ ) (S09) Sol.: L=ln 73. Probar que la ecuación 009 e + = 0 tiene alguna solución. (S09) Sol.: Aplicar el teorema de Bolzano a f()= 009 e + en [-,0] 7. Hallar los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de la función f () = 3 es paralela a la recta de ecuación y=3+. (S09) Sol.: P(,) Q(-,-) 75. Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él. (J0) Sol.: f()= en =0 76. Si el término independiente de un polinomio p() es 5 y el valor que toma p() para =3 es 7, se puede asegurar que p() toma el valor en algún punto del intervalo [0,3]? Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen. (J0) Sol.: Si, tª Bolzano a f()=p()- en [0,3]. O Darbou 77. Hallar el valor de a para que se verifique que + a = 3 0 sen (J0) Sol.: a= IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág. 6

7 PROBLEMAS. Un segmento de longitud 5 apoya sus etremos en los semiejes positivos OX y OY, de manera que forma con estos un triángulo rectángulo. Hallar las dimensiones del triángulo de área máima así construido. (J9) Sol.: (0, 5 5 ) y (,0).. Determinar, si eisten, todos los valores de p y k (p>0, k entero positivo) que hacen derivable a la 0 0 p función f()= 0 < < en: a) =0 b) = c) demás puntos (S9) k k + Sol.: Si p=, k= f() es derivable en R {0}; si p=, k f() es derivable en R {0,}; si p, p=k f() es derivable en R; p, p k f() es derivable en R {} Dada la función f()=, estudiar su continuidad, derivabilidad, crecimiento, concavidad, + asíntotas y representarla gráficamente. (J95) Sol.: Continuidad, R. Derivabilidad, R. Creciente en (-, ) (,+ ) Decreciente en (,). Cóncava (hacia abajo) en (-, 3 ) (0, 3 ) Convea (hacia arriba) en ( 3,0) ( 3,+ ). Asíntotas: y=.. Enunciar el teorema del valor medio del cálculo diferencial. Dada la función f()=3-6, verifica que cumple las hipótesis del teorema del valor medio y halla todos los valores en el intervalo (,6) tales que lo cumplen. (S95) Sol.: 3 5. Escribe la derivada primera, segunda y tercera del producto de dos funciones f() y g(). Aplícalo al caso en que f()= ++ y g()=e. A partir de los resultados anteriores busca una regla de recurrencia y calcula la derivada de orden 5 para esas mismas funciones sin hacer las catorce anteriores. (J96) n Sol.: y=uv, y'=u'v+uv', y''=u''v+u'v'+uv'', y'''=u'''v+3u''v'+3u'v''+uv''', y = n) 6. Representa gráficamente la función f()= 3, justificando la posición de los puntos críticos. Estudia el crecimiento, los puntos de infleión y la concavidad. (S96) Sol.: Mínimos absolutos en (-,0) y (3,0). Máimo relativo en (,). Creciente en (-,) (3, ), decreciente en (-, -) (,3). Cóncava (hacia abajo) en (-,3), convea en el resto.puntos de infleión: (-,0) y (3,0). k = 0 n u k n k ) v k ). y 5) =( +3+) e 7. Un barco pasa por una boya a las 9 de la mañana y continua rumbo norte a una velocidad de millas por hora. El barco B, que navega a 8 millas por hora, pasa por la misma boya en dirección este a las 0 de la mañana. Cuál es la velocidad a la que crece la distancia entre los barcos? (S96) ( ) 6 3t + Sol.: t=0 (9 horas), v ( t) = 3t + 8t + IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág. 7

8 8. Dada la función f ( ) = 3 + b + c + d. Se pide: a) Poner un ejemplo de b, c y d de forma que la función carezca de máimos y mínimos relativos b) Demostrar que si c=0 y b<0, entonces la función presenta un máimo y un mínimo relativo. (J97) Sol.: a) b=0, c>0, d R. b) Má en =0, Mín en =-b/3 9. Enunciar el teorema de Bolzano. Se considera la función f()= a) Demostrar que tiene una raíz en [0,] b) Demostrar que es estrictamente creciente en los números reales y deducir que la raíz del apartado a) es única. (S97) Sol.: a) f(0) f()<0. b) f ()>0, α 0' Concepto de máimo y mínimo relativo. El coste de un marco para una ventana se estima en 50 pts por cada metro de altura y 880 pts por cada metro de anchura. La ventana tendrá una superficie de un metro cuadrado. Qué dimensiones debe tener la ventana para que el marco resulte lo más económico posible? (S97) Sol.: Alto 0'8 m, ancho '9 m.. Se desea construir un jardín itado en dos de sus lados por un río que forma un codo de 35º y en los otros dos por una valla ABC de ' km de longitud (ver figura). Hallar las dimensiones del jardín de área máima. (J98) Sol.: AB = 800 m, BC = 00 m Río C 35º A B. Se quiere vallar un terreno rectangular situado junto a una carretera. Si la valla que está junto a la carretera cuesta a 00 ptas por metro, y la del resto a 00 ptas por metro, hallar el área del mayor campo que puede cercarse con un presupuesto de 3000 ptas. (S98) Sol.: Área=500 m. Dimensión, a) Concepto de máimo y mínimo local b) Se quiere dividir un alambre de unidades de longitud en dos partes para construir un triángulo equilátero y una circunferencia, de forma que la suma del área del triángulo y del círculo correspondiente sea mínima. Determinar las longitudes de cada una de las partes (J99) IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág. 8 Sol.: 8 (triángulo), π π 3 (círculo) π Dentro del triángulo itado por los ejes OX, OY y la recta +y=8, se inscribe un rectángulo de vértices (a,0), (0,0), (a,b) y (0,b). Determinar el punto (a,b) al que corresponde el rectángulo de área máima. (S99) Sol.: (,). 5. a) Definir los conceptos de máimo y mínimo locales de una función b) Caracterizar, en función de la derivada, la condición de que un punto sea máimo o mínimo local de una función c) Hallar sobre la recta +3y=30 un punto P con la propiedad de que la suma de sus distancias al origen y al eje OX sea mínima. (J00) Sol.: (6,8). 6. Se considera la función y = e. Estudiar el dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, puntos de infleión y asíntotas, representando gráficamente la función dada. (S00) Sol.: Dom f =R. Asíntota, y=0. Decr. en (-, 0) (, ), crec. en (0,). Mín. en el (0,0). Má.en el (, e - ). P. I. en los puntos de abscisa =, = +.

9 7. Tenemos que vallar un terreno circular y un terreno cuadrado, que por uno de sus lados está itado por una casa. Calcular el área del terreno circular y del terreno cuadrado que se pueden cercar, utilizando 50 metros de valla, con la condición de que la suma de dichas áreas sea mínima. (S00) 8. Dada la función b f ( ) a + Sol.: π r =,l = ; Área( circulo ) = ; Área( cuadrado ) = π + 9 π + 9 =, siendo a y b constantes positivas, se pide: a) Demostrar que el mínimo valor de f() en (0,+ ) es ab. a + b b) Deducir que ab. c) Para a=, b=8, hallar las asíntotas y la gráfica de f() en (0,+ ) ( π + 9) ( π + 9) ab (J0) Sol.: a) Mínimo en 0=. b) Aplicar que f(0) f() y operar c) =0, y=. a Decreciente en (0,), creciente en (, + ). Mínimo en el (,8) 9. Dada la función f ( ) ( ), estudiar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y = decrecimiento, etremos relativos y asíntotas. A partir de estos datos, representar la gráfica de f(). (S0) Sol.: Dom f =R {-,}. Creciente en (-, ) (-, 3 ) ( + 3,+ ) Decreciente en ( 3, ) (, + 3 ). Máimo en = 3, Mínimo en = + 3. Convea en (-, ) (, '0...) Cóncava en (,) ('0...,+ ) P.I. en ('0..., 0'9) Asíntotas: y=, =, =. 0. a) Enunciar el teorema de los incrementos finitos. b) Una función f (), derivable en toda la recta, verifica: f(0) =, f () = 6. b) Aplicando el teorema anterior, probar que eiste un punto c en el intervalo (0,) tal que f (c) =. b) Si además f () tiene derivada continua y f '(0) = 0, probar que hay un punto en el intervalo (0, ) en el que la derivada de f toma el valor 3. (S0) Sol.: b) Considerar la función h()=f () y aplicar la propiedad de Darbou en [0,c]. a) Hallar a y b para que la función siguiente sea continua en =0: ln( e + sen) si < 0 f ( ) = 3 + a + b si 0 b) Hallar a y b para que f() sea derivable en =0. π c) Calcular f. (J03) Sol.: a) b=, a R. b) a=/e, b=. c) 0.. a) Hallar las coordenadas del punto P de la gráfica de la función y = cos siendo π 0 con la propiedad de que la suma de la ordenada y la abscisa es máima. b) Calcular el área comprendida por la curva y = cos, y la recta π π π y = en el intervalo,. (S03) Sol.: a), 3 6 ( 3 π ). b) IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág. 9 3 u.

10 3. Sea f la función dada por f() = -3+, R. a) Estúdiese la derivabilidad de f en =0 mediante la definición de derivada. b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus etremos relativos. c) Esbócese la gráfica de f. (S03) Sol.: a) Derivable en R-{0} b) Creciente en (-3/,0) (3/,+ ) y decreciente en (-,-3/) (0,3/). Mín. relativo (-3/,-/) y (3/,-/). Má. relativo (0,). a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( ) infleión y asíntotas. = e, sus etremos relativos, puntos de 3 d (J05) b) Esbócese la gráfica de f y calcúlese f ( ) Sol.: a) Creciente en (-, 0) y decreciente en (0, + ). Máimo relativo (0, e). Convea en (-, ) ( e Asíntotas: y=0. b) 8 e, ) y cóncava en (, 8 ). Puntos de infleión ± (, e). 5. Sea f ( ) = e + ln( ), ( 0, ). a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y s u s asíntotas. b) Pruébese que f tiene un punto de infleión en el intervalo [,] y esbócese la gráfica de f. (J05). Sol.: a) Creciente en (0, + ). Asíntotas: =0. b) Aplicar el teorema de Bolzano a f =y en [,] ln( + ), 6. a) Estúdiese la derivabilidad de f ( ) =, > 0 0, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos de infleión. Esbócese su gráfica. b) Calcúlese el área deitada por la gráfica de f () y las rectas =, =, y = 0. (S05) Sol.: a) Derivable en R. Decreciente en (-, 0) y creciente en (0, + ). Puntos de infleión (, ) π 5 Ln. b) + Ln u Sea P(a, sen a) un punto de la gráfica de la función f ()= sen() en el intervalo [0, π]. Sea r P la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y A P el área de la región determinada por las rectas r P, =0, = π, y = 0. Calcúlese el punto P para el cual el área A es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin π demostrar, que la recta r P se mantiene por encima del eje OX entre 0 y π). (S05) Sol.:, P IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág. 0

11 8. Considérense las funciones f ( ) = e, y g( ) = e. Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. (J06) Sol.: r =0. 9. Dada la función f ( ) = +, se pide: a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad, los puntos de infleión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. b) Calcúlese el área de la región itada por dicha gráfica y las rectas = 0, y = 0 Sol.: a) Creciente en (, ) (, + ), no tiene etremos. Convea en (, ) y cóncava en (, + ). No tiene puntos de infleión. Asíntotas: y=, = b) Ln u.. (J06) 30. a) Estúdiese los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f ( ) = e, sus máimos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de infleión. Demuéstrese que para todo se tiene que f ( ) e b) Pruébese que la ecuación = e 3 tiene alguna solución en (, ]. (S06) Sol.: a) Creciente en (,), decreciente en (, + ), (, /e) máimo relativo. Punto de infleión, (, /e ). Asíntotas: y=0. En =, máimo absoluto. b) Aplicar el teorema de Bolzano a la función F( ) e = 3 en (0, ), α = 0' Sea f ( ) = a) Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máimos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica. b) Calcúlese f ( ) ln( )d 3. Sea la función ( ) (S06) Sol.: a) Dominio, R { 0}. Asíntotas: =0, y=. Impar. No tiene ni máimos ni mínimos relativos. Ln Ln + b) ( ) f =. a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad, los puntos de infleión y las asíntotas. Esbozar su gráfica. b) Calcular el área de la región itada por dicha gráfica y las rectas =, =. (J07) Sol.: a) Decreciente en (,-) (,) (, + ). Convea en (,0) (, + ), cóncava en (,-) (0,). Punto de infleión, (0,0). Asíntotas: =, =-, y=0. Ln5 b) Área= 0,805 u IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág.

12 f = + e. a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas. Esbozar su gráfica. b) Demostrar que eiste algún número real c tal que c + e c =. (J07) 33. Sea la función ( ) Sol.: a) Decreciente en (, 0) y creciente en (0, + ). Mínimo relativo en (0,). Convea en (, + ). Asíntotas: y= b) Aplicar el Tª de Bolzano en [3,5] y en [-, -], c=3,983 y c =-, Sea f la función dada por f ( ) = e. a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos y las asíntotas de f. b) Determinar el número de soluciones de la ecuación f ( ) = en el intervalo [0,]. (S07) Sol.: a) Decreciente en (, + ) y creciente en (, ). Máimo relativo en (, e). Asíntotas: y=0 b) Aplicar el Tª de Bolzano y crecimiento en [0,]. 35. Sea la función f ( ) =. Se pide hallar: + a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, los máimos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica. b) El área de la región itada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas = y =. (S07) Sol.: a) Decreciente en (,-) (, + ), creciente en (, ). Mínimo relativo en el punto (-, -¼), máimo relativo en el punto (, ¼). Asíntotas: y=0. b) Área= Ln u. ln 36. Sea f ( ) = con ( 0,+ ). Se pide: a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica. b) Calcular f ( ) d. (J08) Sol.: a) Estrict. creciente en (0, e ), estrict. decreciente en ( e, + ). Máimo rel. e,. A.V. =0,, A.H. y=0, e b) ln I = + C IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág.

13 37. Dada sen( ) si f ) = si > 0 (, se pide: 0 a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(). b) Calcular π f ( ) d. (J08) Sol.: a) Continua en R y derivable en R {0}; b) - π 38. Hallar, de entre los puntos de la parábola de ecuación y = -, los que se encuentran a la distancia mínima del punto A(-,- ) (S08) Sol.: P(-,0) 39. Sea f() = + ln con (0,+ ). a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas de f. Esbozar la gráfica de f. b) Probar que eiste un punto c, tal que f(c)=0. (S08) e Sol.: a) Creciente en (0,) Decreciente en (,+ ) Má. relativo (,) Cóncava en (0,+ ) Asíntota: =0 b) Aplicar el tª de Bolzano a f() en [e -,]. 0. Sea la función f ( ) = a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad y esbozar su gráfica. b) Demostrar que no es derivable en =. c) Calcular el área de la región itada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas =-, = 0. (J09) Sol.: a) Creciente en (-,-) (/,+ ); Decreciente en (-,/) (,+ ); Cóncava en (-,) Convea en (-,-) (,+ ) b) f ( - )=-3 f ( + ) c) 3 u. Un campo de atletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible. (J09) Sol.: 00 00/π IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág. 3

14 . Sea la función f ( ) 3 = + a) Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, intervalos de concavidad y conveidad, puntos de infleión y asíntotas. Esbozar su gráfica. 0 b) Calcular el valor de f ) d ( (S09) Sol.: a) Dom f()=r. Creciente en R. No tiene etremos. Convea en (, 3 ) ( 0, 3 ) Cóncava en ( 3, 0) ( 3, + ), P.I. (0,0), 3,, 3,. Asíntotas: y= b) I= ( ln) Sea la función f () = sen + cos, definida en el intervalo [0,π]. a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los etremos relativos. Esbozar su gráfica. b) Calcular el área del recinto itado por la gráfica de f y las π rectas de ecuaciones =0, =, e y=. (S09) Sol.: a) Creciente en ( 0, π ) ( 5π,π) decreciente en ( π 5π ) ( ), M π ( ), m 5π,- π b) A= =0 57 u. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 70 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 /cm y para la base un material un 50% más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo. (J0) Sol.: Base de 6 cm lado y 7 5 cm de altura. 5. Dada la parábola y= 3, y la recta y = 9, hallar las dimensiones y el área del rectángulo de área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola. (J0) Sol.: Cuadrado 66, A=36cm 6. Dada la función f()= +, se pide: a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad, y las asíntotas. b) Calcular el área de la región itada por la gráfica de la función g()= f ( ), el eje OX y las rectas =, =. (J0) Sol.: a) Decreciente en R-{}. Cóncava en (-,) y convea (,+ ). A.V., =; A.H., y= b) A=ln( 5) u 7. Calcular b y c sabiendo que la función f()= + b + c ln( + ) 0 > 0 es derivable en el punto =0. (J0) Sol.: c=, b= / 8. Se divide un alambre de 00 m de longitud en dos segmentos de longitud y 00-. Con el de longitud se forma un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea f () la suma de las áreas. Para qué valor de dicha suma es mínima? (S0) Sol.: = = 56 5 m IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág.

15 9. Sea la función f ( ) =. a) Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos. b) Esbozar su gráfica. (S0) Sol.: Dom f=[-,]. Creciente en (-, ), decreciente en (-,- ) (, ) Má. (, ) y Mín. (,- ) 50. De f: R R se sabe que f '' ( ) = + + y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(, ). Hallar la epresión de f. (S0) Sol.: f()= Dada la función ( ) ( + 3) f =, se pide determinar: e a) El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas. b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los etremos relativos. c) La gráfica de f. (S0) Sol.: a) Dom f=r. Puntos de corte: eje OX (0,9), eje OY (-3,0). Asíntota: y=0 b) Creciente en (-3,-), decreciente en (-,-3) (-,+ ). Má. (-,e). Mín. (-3,0) 5. Sean f ( ) = y g ( ) =. Hallar ( f ( ) ) 3 0 > 0 g. (S0) Sol.: g(f ())= 3 < a) Estudiar si la función f : [0,] R dada por < del teorema de Rolle. Enunciar dicho teorema. verifica las hipótesis b) Calcular cos( ) e 0 sen( ) (J) Sol.: a) Si las verifica; =7/6 b) L= Sea f () = a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, intervalos de concavidad y conveidad y sus asíntotas. b) Esbozar su gráfica. (J) Sol.: Crec. en (-,0) (,+ ). Decrec. en (0,) (,) (0,). Má.(0,-3). Mín. (,). A.V.: =, A.O. y=- Convea en (,+ ). Cóncava en (-,) IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág. 5

16 5. Hallar el valor de los parámetros reales a y b para los que la función sen a > 0 f () = + b 0 es continua en R. (J) Sol.: a= b=0 55. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) y determina en el primer cuadrante con los ejes coordenadas un triángulo de área mínima. Calcular dicha área. (S) Sol.: y= -+; A=u 56. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f()= - en el intervalo [-,]. Calcular la función derivada de f() en ese intervalo. (S) Sol.: Continua en [-,] y derivable en (-,) (,), f ()={ < < < < ln 57. Dada la función y =, determinar su dominio de definición, sus asíntotas, etremos relativos y puntos de infleión. Hacer un esbozo de su representación gráfica. (S) Sol.: Dom f=(0,+ ) A.V., =0 A.H., y=0 Má.(, ) e e ( ) P.I. 3 e, 3 3 e IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág. 6

17 GUIÓN de los ejercicios Composición de funciones: P5 Límites sencillos: C3 - C - C6 - C7 - C9 - C - C35 - C7 Teorema de Bolzano: C6 - C30 - C0 - C - P9a - P30b - C60 - C63 - C68 - P39b - C73 - C76 Propiedad de Darbou: P0b - P33b - P3b Teorema de Weierstrass: C8 - C57 Continuidad y derivabilidad: C5 - C0 - C3 - C3 - P - P -P3a - C50 - P6a - C6 - P37a - C69 - P0b - C75 - P7 - P55 - P57 Teorema de Rolle: C8 - C9 - P9b - P53a Teorema del valor medio: C6 - C7 - C33 - P - P0ab - C9 Derivadas: C5 - C5 - C37 - P5 Interpretación geométrica de la derivada: C - C - C5 - C6 - C66 - C7 - P50 Regla de la cadena: C3 - C3 Aplicaciones de la derivada: C - C - C - C - C7 - C - C38 - P3bc - C58 - P38 - C7 Límites por la regla de L'Hôpital: C - C0 - C9 - C3 - C35 - C36 - C39 - C- C5 - C6 - C8 - C5- C5 - C53 - C55 - C56 - C59 - C6 - C65 - C70 - C7 - C77 - P53b Estudio de funciones (y áreas): C - C7 - C8 - C - C8 - C38 - P3 - P6 - P8 - P9b - P6 - P8 - P9 - P - P5 - P6a - P9 - P30a - P3a - P3a - P33a - P3a - P35a - C67 - P36a - P39a - P0ac - P - P3 - P6 - P9 - P5 - P5 - P58 Problemas de máimos: C3 - P - P7 - P0 - P - P - P3 - P - P5 - P7 - Pa - P7 - P8 - P - P - P5 - P8 - P56 IES Diego de Siloé - Matemáticas II PAEU. Cálculo Diferencial Pág. 7