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María Soledad Eva María Miguélez Jiménez
hace 6 años
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1 Introducción a la Geometría en el Espacio Ilustración En la figura adjunta los puntos M y N están en el mismo subespacio respecto al plano Q, y los puntos A, P, B están en Q. a. Si NB MB, MA NA, demostrar que MP NP. Q M A P B N. AMB ANB, por LLL. AB M AB N por qué?. MBP NBP por LAL ( cuáles?). 4. MP NP por qué? b. Será válida la tesis, M B N con N en semiespacio diferente respecto a Q?. c. Qué ocurre si M y N están en Q? Ilustración La altura de una pirámide hexagonal regular es tres veces el lado del hexágono. P a. Hallar el área total y el volumen de la pirámide. Sea l : lado del hexágono l OP h : es la altura PM a p : apotema de la pirámide OM a b : apotema de la base Área total Área de la base + Área lateral h F E A O B C M D

2 Área base Área ABCDEF semiperímetro x apotema 6BC l + OM l l Por ser OM l : altura del triángulo equilátero COD. Área lateral 6 Área CDP 6 CD MP l MP l OP + OM 5 l Reemplazando y en : Área total l + l 5 Q A l ( + 5) T El volumen V Área base x altura BC OM 6 x OP l BC OM OP l l V l Q b. Hallar el área total del cono circunscrito a la pirámide y de igual altura a la de ésta. El radio de la base es OC l r. Por qué? Área TOTAL del cono área base + área lateral π r + πrg ; g PD πr ( r + g) πl ( l + l0) π l ( + 0)

3 Volumen cono Área de la base x altura ( π r )( h) πl (l) πl c. Cuál es el volumen del prisma que tiene por base la de la pirámide y de longitud la altura de ésta? V Área de la base x longitud Área ABCDEF x longitud l x 9 ( l ) l Ilustración 4 Hallar el volumen mínimo de una esfera circunscrita a un cilindro circular recto cuyo radio de la base mide 5 cm y su longitud 40cm. P r Q O R Sea r 5 cm el radio de la base del cilindro R el radio de la esfera. l 40 cm, la longitud del cilindro. 0 R P 5 R , R 5 cm V 4 π (5) cm 8500 π cm

4 V 8. π cm PROBLEMAS PROPUESTOS. a. Dado un plano P, sean M, N, O puntos en P y Q un punto exterior a P tal que, QO MO, NO QO y MO NO. Demostrar que el MQN es isósceles. b. En el ejercicio a. si Q M N Q N M, M Q O N Q O, demostrar que QM O Q N O. Sea un plano P y se dan en semiespacios diferentes los puntos M y N tales que M-O-N con O la intersección de MN con P, A y B son puntos en P tales que AO MN, O punto medio de MN y MB NB. Demostrar que OB es recto y que A B M A B N. M. ABCD es un tetraedro regular. M y N son los puntos medios de las aristas AB yad respectivamente y P es un punto cualquiera en AC. Demostrar que el triángulo PMN es isósceles. 4. A, B, C, D son cuatro puntos no coplanares tales que AB BC, AB BD, BC CD, si C es el punto medio de EF con E-C- F-D, demostrar que AC CD. 5. Demostrar que en un tetraedro regular los segmentos que unen los puntos medios de dos aristas no adyacentes. a. Son perpendiculares a las aristas. b. Se cortan en sus puntos medios. 6. En un cono de base r y altura r se inscribe una pirámide de base triangular regular de igual altura. Cuál es la razón entre sus volúmenes?

5 7. En la ilustración encontrar el área total y el volumen del cono cuya base esta inscrita en la de la pirámide. 8. Calcular el área total y el volumen de un tetraedro regular cuya arista mide a. 9. Una pirámide cuadrangular regular de lado l l y altura es cortada por un plano paralelo a la base a los /4 del vértice a la base. Cual es el volumen y el área total del tronco resultante. 0. AB es el diámetro de la base de un cono circular recto de vértice C y en el cual se inscribe una esfera. Si el triángulo ABC es equilátero hallar el área total y el volumen del cono en función del radio r de la esfera.. Arquímedes (87- a.de J.C.) demostró que el volumen de una esfera es / del volumen del cilindro circular recto más pequeño que la contiene. Verificarlo.. La altura de un cono circular recto es el doble del radio de la base. En la dirección del eje del cono se taladra un agujero con una broca de radio igual a la mitad del radio de la base del cono. Hallar el área total y el volumen del sólido resultante.. La base de una semiesfera (hemisferio) y un cono son congruentes y coplanarias. Un plano que pasa por el vértice del cono es tangente a la semiesfera y paralelo al plano de las bases. Cuál es la razón entre los dos volúmenes? 4. Un carrotanque tiene la forma de un cilindro circular recto y el nivel del líquido tiene una longitud r. Si el tanque mide 8r de largo, Cuál es la cantidad de líquido que contiene?. Cuál es la superficie húmeda?

6 5. Una piscina tiene 0 m de ancho, 0 m de longitud y una profundidad de m y.5m en sus extremos. Si el nivel del agua en el centro tiene m de profundidad. Qué cantidad de agua hay en la piscina?. Cual es la superficie húmeda?

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