Tema 2 Estadística descriptiva Conceptos y objetivos de la estadística descriptiva

Transcripción

1 Tema 2 Estadística descriptiva. Conceptos y objetivos de la estadística descriptiva ESTADÍSTICA: Conjunto de técnicas y métodos para: Clasificar, organizar, representar y resumir (en suma hacer entendible) la información obtenida de las variables observadas sobre una muestra representativa. Inferir (def.: inducir una cosa de otra) conclusiones para toda una población a partir de la información obtenida en la muestra. Construir Modelos Matemáticos que expresen relaciones entre conjuntos de variables. Estructurar la recogida de información (datos) de modo que la inferencia se realice de forma óptima dentro de las restricciones existentes (de capacidad de experimentación u observación, de tiempo, económicas,...)

2 TIPOS DE POBLACIONES DE ESTUDIO: POR TAMAÑO: Finitas (Alumnos matriculados en lafacultad este curso) o infinitas (puntos de una superficie o de un volumen) POR ACCESIBILIDAD: Reales (Turistas que han visitado la isla durante el año 200) o virtuales (Turistas que visitarán la isla durante el año 2003) POBLACIÓN es un conjunto de objetos (o sujetos) de una misma naturaleza, sobre los que se pretende realizar alguna clase de estudio: Evaluar una o varias características de los objetos. Evaluar las posibles relaciones existentes entre estas características. Verificar la validez de alguna hipótesis previa. Ejemplos: Habitantes de Gran Canaria; ballenas del Mar del Norte; algas de una especie determinada. MUESTRA: Subconjunto de la población MUESTRA REPRESENTATIVA: muestra cuyas características generales coinciden con las de la población de la que se ha extraido. Motivos importantes para utilizar muestras representativas en lugar de la Población: Imposibilidad de acceder a toda la población, falta de tiempo para disponer de información de la población, costes elevados en la medición y disposición de las variables de la población,...

3 VARIABLE: característica definida sobre los elementos de un conjunto (POBLACIÓN O MUESTRA) susceptible de tomar diferentes valores sobre cada uno de los elementos de dicho conjunto. (Ej.: peso, edad, temperatura,...) Tablas y gráficas para datos de tipo continuo Para la construcción de una tabla de distribución de frecuencias para datos de tipo continuo seguiremos los siguientes pasos :

4 ) Dividir la recta real en intervalos de la forma, I j = [ x0 + ( j ) h, x0 + jh) j Z, donde h es un número real positivo y x 0 es un valor arbitrario de la recta real. Al número h se le conoce como amplitud del intervalo y al valor x 0 se le conoce como origen de la tabla de frecuencias. 2) Contar el número de datos f j que caen en cada intervalo I j. 3) Construir a partir de la información la tabla de frecuencias. Por lo general aparecen cuatro columnas: en la primera se disponen por filas y en orden creciente los intervalos que contienen algún elemento, en la segunda columna la marca de clase (semiamplitud de los intervalos de la columna anterior, en la tercera la frecuencia absoluta y en la cuarta la frecuencia acumulada. Nota : El valor x 0 no presenta ningún problema pues es una valor arbitrario, sin embargo la amplitud debe elegirse con cierto cuidado para resumir de una forma óptima toda la información de la muestra. Respecto a su elección suelen aplicarse una las siguientes criterios: a) b) c) max min h = (Regla de Sturges ) log n h = 3.5 s n donde s es la desviación típica de los datos. (Regla de Scott) 3 h= 2 IQ n donde IQ es el rango intercuartílico de los datos. (Regla de Freedman-Diaconis)

5 La tabla de frecuencias se puede representar gráficamente de la siguiente manera. A partir de un diagrama cartesiano se construye para cada uno de los intervalos I j anteriores un rectángulo que tenga por base a dicho intervalo y una altura proporcional a la frecuencia, es decir, la altura es k f j. Desde luego podemos tomar como alturas las frecuencias absolutas, es decir, k =. Esta representación gráfica recibe el nombre de histograma. Es costumbre tomar como valor de k, el valor k = n h. De esta manera la suma de las áreas de todos los rectángulos es igual a. Obsérvese que si nos dan un histograma de esta manera y queremos calcular la proporción de valores que cae en un intervalo concreto I j debemos multiplicar la altura de dicho intervalo por la amplitud de dicho intervalo, es decir, Proporción de medidas I j = a j h donde a j representa la altura del rectángulo de base I j. Ejemplo: Construir una tabla de frecuencias para los siguientes 30 datos. A continuación pintar el histograma correspondiente. 4.4, 2.8, 2.8,.2,.4,.8, 7.83, 5.9, 8., 9.83, 2.59, 6.6, 5.76,.6,.6,.9, 5.46, 4.3, 6.78, 0.3, 3.5, 9.5,, 7.54, 0.7, 9.92, 7.95, 8.59, 2.8,.2 En primer lugar construimos los intervalos I j. Para ello, elegimos x 0 = 9 (Recuérdese que es un valor arbitrario). Otro valor que debemos determinar es h. Adoptaremos el criterio de Scott 3 h = 3.5 s n. Para nuestros datos h = I = [ x (-), x ) = [9, 2.38)

6 I 2 = [ x (2-), x 2) = [2.38, 5.76) I 3 = [ , ) = [5.76, 9.4). Este intervalo va a ser el intervalo más a la derecha pues no existe ningún dato en la muestra superior a 9.4 I = [ x (0 -), x 0) = [5.62, 9) I 0 = [ , ) = [2.24, 5.62). Este intervalo va a ser el intervalo más a la izquierda pues no existe ningún dato en la muestra inferior a La tabla de frecuencias queda de la siguiente manera : Marca f F f F r r [2.24, 5.62) /30 2/30 [5.62, 9.00) /30 0/30 [9.00, 2.38) /30 23/30 [2.38, 5.76) /30 29/30 [5.76, 9.4) /30 Si representamos esta tabla de forma gráfica obtenemos un histograma para nuestros datos. Elegimos como factor de proporción a k = / (30 x 3.38), es decir, las frecuencias relativas divididas por la amplitud de los intervalos h.

7 En el histograma anterior las alturas de los intervalos son ( de izquierda a derecha ) : ; ; 0.28 ; ; Recuerda que estos valores son proporcionales a las frecuencias relativas (no son las frecuencias relativas). Ejercicio : Construir una tabla de frecuencias para los siguientes 30 datos. A continuación pintar el histograma correspondiente. 4.8,.7, 4.42, 9.46, 0.5, 7., 0.7, 0.7, 3.7, 9.02, 3.67, 3.8, 5.29, 9.03, 0.6, 8.99, 9.25, 0.8, 7, 7.9, 9.28, 0.7, 6.78, 2.8, 5.06, 8.06, 6.5, 9.63, 9.,.6

8 Otra gráfica muy común en estadística para datos de tipo continuo es el polígono de frecuencias. Es muy fácil de obtener: a partir de un histograma se unen a través de una recta los puntos medios del lado superior de los rectángulos. Para los datos del ejemplo anterior el polígono de frecuencias es el siguiente. Aparte del polígono de frecuencias, también suele hablarse del polígono de frecuencias acumuladas. Es también muy fácil de hacer: A partir de un diagrama cartesiano se pinta para cada intervalo I i los ( x 0 + ( i ) h, Fr ( i ) ) y ( x0 + ih, Fr ( i) ) donde F r(i) denota la frecuencia relativa correspondiente al intervalo i y F r( i ) la frecuencia relativa del intervalo anterior al I i. En caso de que esta última frecuencia no exista en la tabla se tomará

9 como cero. Para el ejemplo anterior el valor el polígono de frecuencias acumuladas es el siguiente. Nota : El histograma, el polígono de frecuencias y el polígono de frecuencias acumuladas son gráficas que se construyen a partir de la tabla de frecuencias correspondiente. Para datos de tipo continuo, aparte de las gráficas, tablas y funciones anteriormente explicadas, existe otra función usual de cierta importancia: la función de distribución empírica. Esta función se define a partir de los datos iniciales y no precisa de cálculos intermedios como los anteriores. Es decir, no hay que agrupar por intervalos ni nada por el estilo

10 Dado un muestra de datos distribución empírica a, x,...,, x2 xn se llama función de F ( x) = n nº de datos x n = n i= Ind( x i x) Mostramos a continuación la función de distribución empírica para el ejemplo anterior. Obsérvese que esta función es una función discontinua y tiene forma escalonada. Estas dos características las va a tener siempre.