NÚMEROS REALES 1. RECTA NUMÉRICA REAL. Indicadores 2. RELACIÓN DE ORDEN. Contenido. Números Reales
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- Sandra Rivas Ortíz
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1 Indicdores NÚMEROS REALES Identific ls propieddes de los números reles, determinndo el vlor de verdd de proposiciones. Clcul el vlor de epresiones lgebrics usndo ls propieddes del vlor bsoluto. Evlú y justific enuncidos relciondos con ls propieddes de orden en R.. RECTA NUMÉRICA REAL L rect numéric es un rect geométric; donde se estblece un biyección, es decir cd número rel se hce corresponder un único punto de l rect y pr cd punto de l rect sólo le corresponde un único número rel. Contenido. Rect numéric rel. Relción de orden 3. Desiguldd Ley de Tricotomí Definiciones Teorems 4. Intervlos Clses de intervlos 5. Vlor bsoluto Definición Propieddes. RELACIÓN DE ORDEN El conjunto de los números reles está ordendo, esto signific que podemos comprr culesquier de dos números reles que no sen igules medinte desigulddes y decir que uno es menor que o myor que el otro. Así, si b R, se tiene: b : " es myor que b " b : " es menor que b " b : " es myor o igul que b " b : " es menor o igul que b " Profesor: Jvier Trigoso Págin
2 3. DESIGUALDAD Es quell comprción que se estblece entre dos números reles, medinte los símbolos de desiguldd: ; ; ; Ley de Tricotomí Ddos dos números reles y b; entre ellos solo se puede estblecer un de ls siguientes relciones: Definiciones Ddos, b, c, d R b ; b ; b. Si 0 es positivo. Si 0 es negtivo 3. b b b 4. b c b b c 5. b b 0 6. b b 0 7. Si b c b c 8. Si b c d c b d 9. Si b c 0 c bc 0. Si b c 0 c bc Teorems básicos de ls desigulddes. Si b c R c b c.c b.c. Si b c 0 b c c.c b.c 3. Si b c 0 b c c 4. R 0 0 b 5. 0.c b.d 0 c d 6..b 0 0 b 0 0 b 0 7..b 0 0 b 0 0 b Si y b tienen el mismo signo : b b. Si 0.b 0 si b 0 b. Si 0.b 0 si b 0 b Profesor: Jvier Trigoso Págin
3 3. ; R 4. ; R 5. b b ;, b R 04. Si + y > 0;.z < 0; y.z >. Cuáles de ls siguientes firmciones son necesrimente cierts? I. Si y > 0, entonces z > 0 II. Si < 0, entonces y.z < 0 III. Si.y 0 z, entonces > 0 A. I y III B. I y II C. Solo III D. Solo II PARA LA CLASE 0. Si bcd 0 ; d 0 ; bc 0, cuál de ls siguientes firmciones es necesrimente ciert? A. c < 0 B. c > 0 C. d < 0 D. d > 0 0. Si: < 0 < b, firmmos: I. > b II. b III. IV. < b b Cuánts son verdders? A. 0 B. C. D Si b < 0; + c > 0 y bc >, cuál de ls siguientes firmciones son verdders? I. Si < 0, entonces bc < 0 II. Si c > 0, entonces b > 0 III. Si bc > 0, entonces > 0 A. Solo I B. Solo II C. I y III D. II y III 05. De los siguientes enuncidos, cuántos son verdderos? I. Si II. Si 6 3 III. Si 3 5 IV. Si 5 V. Si 4 4 A. B. C. 3 D Si ;y;z R /, y,z 0 entonces podemos firmr que: I. Si z y II. Si y z III. Si y y y y A. Sólo I es fls B. Sólo II es fls C. Sólo III es fls D. Tods son flss Profesor: Jvier Trigoso Págin 3
4 07. De los siguientes enuncidos, cuántos son verdderos?, si sbemos que: < b < 0 I. Si b b b II. Si b b b III. Si b b b IV. Si b b V. Si b b A. B. C. 3 D De ls siguientes desigulddes; indic l(s) correct(s): I. 5 5 II. 0 7 III IV. 5 A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo IV PARA LA CASA 0. Ddos: > y > 0,, l desiguldd que no siempre es verdder es: A. + z > y + z B. - z > y z C. z > yz D. z > yz 0. Si.b 0 c 0. Entonces: A. < 0 B. > 0 C. bc < 0 D. bc > Pr reles firmmos: I. Si b c b c II. Si 0 0 III. b b Son verdders: A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Tods 04. Indic verddero (V) o flso (F) según correspond: I. Si II. Si III. Si A. VVV B. VFV C. FVF D.FFV 05. De los siguientes enuncidos, Cuántos son verdderos? I. Si 3 3 II. Si 8 4 III. Si 4 IV. Si V. Si A. B. C. 3 D Si: 0 < b < < <, señl el vlor de verdd de ls siguientes proposiciones: 3 I. b II. III. b b A. VFV B. VFF C. VVF D. FVF 07. Si < 0, y > 0, z > y. Cuáles son verdders? I. z y > II. y.z > 0 III. < y A. Solo I B. I y III C. I y II D. Tods Profesor: Jvier Trigoso Págin 4
5 08. Pr reles son verdders: I. Si 0 0 II. Si b c bc III. Si 0 b 0 b A. Tods B. Solo I C. I y III D. I y II 09. Si < b; indic cuáles son verdders: b b I. b II. III. b b 3 3 A. Solo I B. Solo II C. I y II D. Tods 0. Si w 5 yzw 0 ; 0 ; 0 yz Cuál de ls siguientes firmciones es necesrimente ciert? A. z > 0 B. w > 0 C. < 0 D. w < 0 yz y. Si yz 0 ; 0 ; 0 z Cuáles de ls siguientes firmciones son verdders? I. y > z II. y < III. y < z A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III. Si, y,z R /, y,z 0, entonces podemos firmr que: I. Si z y y z III. Si y y II. Si y y A. Solo I es fls B. Solo II es fls C. I y II son flss D. Tods son flss 3. Sen y b dos números; si se tienen ls siguientes proposiciones: 5 I. Si b II. Si 0 0 b III. Si 0 b c c b 0 Cuáles de ls siguientes proposiciones son siempre verdders? A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III 4. Si < b < 0. Hll el vlor de verdd de ls siguientes firmciones: I. b II. b b b III. Si b 0 b b III. b b A. VVVF B. FVVF C. FVFV D. VFVF 4. INTERVALOS Los intervlos son sub conjuntos de los números reles que sirven pr epresr l solución de ls inecuciones, estos intervlos se representn gráficmente en l rect numéric rel. Pr representr intervlos, se usn hbitulmente dos notciones, por ejemplo, pr representr el conjunto de los tl que < b se puede representr [; b) o bien [; b[. Profesor: Jvier Trigoso Págin 5
6 L primer es l vigente en el mundo nglosjón, l segund en Frnci. L regl del corchete invertido result más intuitiv si uno se imgin que el corchete es un mno que tir hci fuer o empuj hci dentro, respectivmente, un etremo del intervlo. En el ejemplo nterior, pertenece l intervlo mientrs que b no. Intervlo Semi bierto o Semi cerrdo: Por l izquierd: < b, b] ó ], b] Por l derech: b + < b [, b ó [, b[ b + Intervlos l infinito < Clses de intervlos ], [ + Intervlo Abierto: [, +[ + < < b, b ó ], b[ b + PARA LA CLASE Intervlo Cerrdo: b [, b] b + 0. Considere los siguientes intervlos: A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-, 4] ; D = (-4, 5]. Dibuj sobre l rect rel y escribe con notción de intervlo el resultdo de ls siguientes operciones: I. A U D II. A B III. B C IV. (AUC) - B Profesor: Jvier Trigoso Págin 6
7 0. Si "" represent un número entre 3 y 7; "b" represent un número entre y 33, b/ represent un número entre: A. 7 y 33/7 B. 3 y C. 3 y 7 D. 7 y 03. Si ;4 ; entonces " + 3" pertenece l intervlo: A. 4;8 B. 7; 04. Si 3 ; 7 ; entonces A. 4;8 B. 7; C. 4;8 D. 7; pertenece l intervlo: 3 C. ; D. ; Si 3;, indic el myor vlor entero en el intervlo de. A. 3 B. 4 C. 8 D Si ; y m;n. Hll m.n A. 3/43 B. 3/43 C. 43/3 D. 43/ Si ; ; hll el menor vlor de M sbiendo que: 4 M 4 A. /4 B. /5 C. /6 D. / Si b b, entonces M está comprendido entre: c c 5 A. -0 y B. y 0 C. y 0 E. y 0 PARA LA CASA 0. Si A = [-3;3] ;B =(-3;3) ; C =(-;4] ; D =(-4;-3); E =[-;4); F=(-4;3), determin: I. A U E II. E F III. D A IV. (F -E) U (E - F) V. C (A F) 0. Si 3;5 ; entonces "3 + 6" pertenece l intervlo: A. 9; B. 3; C. 3; D. 9; 03. Si A. ;3 3 ;, qué intervlo pertenece + 5? B. 6;8 C. ;3 D. 6;8 04. Si ; hll el myor vlor entero de + 3 A. 4 B. 5 C. 6 D Si A. ;5 6 4; 4 ; entonces "" pertenece l intervlo: B. ;5 C. ;0 D. ;0 Profesor: Jvier Trigoso Págin 7
8 06. Si ; 5 ; entonces pertenece l intervlo: 4 3 A. 5;7 B. 5;7 C. ; D. ; Ddo Clcul + b, si: 3 4 b 08. A. B. C. 3 D Si 3; 7, Además Indic el vlor de b b A. B. 6 C. / D. /6 0. Si 3 6. Señl el máimo vlor de 4 A. 49 B. 64 C. 80 D. 8 ; si R. Si ; 7 ; entonces pertenece l intervlo: A. 3;8 B. ; C. ; D. ; Si y b son números reles tles que b 5 7 b 6, 5 ; entonces P vrí entre: 3 A. 3 y B. 8 y 3 C. 5 y D. 6 y 6 3. Si ; 4 b, Además ; Indic el vlor de 3 8 b. A. B. 4 C. 6 D Hllr el menor número rcionl «m» que pr culquier vlor de ; 4 stisfce l siguiente desiguldd 3 m 5 A. -/3 B. -5/3 C. -/3 D. 5/ Hll «A + B», si ; 3 y demás A B 6 A. 79/89 B. 7/89 C. 76/89 D. 76/89 5. VALOR ABSOLUTO El vlor bsoluto de un número rel es su vlor después de quitrle su eventul signo negtivo. Si el número es positivo, su vlor bsoluto es él mismo; mientrs que si es negtivo, el vlor bsoluto es el número opuesto. Profesor: Jvier Trigoso Págin 8
9 El VALOR ABSOLUTO de un número represent l distnci del punto l origen. "" está uniddes de cero, y "-" tmbién está uniddes de cero. Así que el vlor bsoluto de es, y el vlor bsoluto de - tmbién es. Esto es: = ; = Propieddes: P. ; R P. 0 ; R P 3. ; R P 4. ; R P 5..y. y ;, y R P 6. y ;, y R y 0 y Pr cd número rel, l interpretción de es l distnci (sin importr l dirección) l que se encuentr del origen. Definición Si: R Ejemplos: ; si 0 ; si 0 7 = 7 3 = ( 3) = π π 3 PARA LA CLASE 0. Efectú: M 6 A. - B. - C. D. 0. Hllr el vlor de: P 3 A. 4 B. - C. 4 D. 03. Si = 0. Determin el vlor de A. - B. 0 C. D. J 5 5 Profesor: Jvier Trigoso Págin 9
10 04. Si y > demás - y = 7; + y = 3. Cuál es el vlor de " - y "? A. -9 B. 9 C. ± 9 D. Ningun 05. Si: - ; 4 Clculr: 5 A. 3 B. 4 C. 8 D Si < -; clcul: - - A. - B. - C. D Si: 0 ; 3 Reducir: E A. + 4 B. 7 C. D. + 7/ PARA LA CASA 0. Efectú: 3 E 3 4 A. B. 3 C. 4 D Hllr el vlor de: M 3 A. B. - C. D. 04. Clculr: P A. B. C D Si = 0. Determin el vlor de 8 6 A. -4/ B. 4/ C. / D. -9/ 06. Si = b + = c + 9 = 7, clcul el vlor de: P b c. c b c A. 0 B. 00 C. -00 D. -0, Si: < 07. Reducir: A. 3 B. - C. + 3 D Si > Cuál es el vlor de "" en l ecución : = 0 A. -3 B. 3 C. ± 3 D. Ningun 0. Efectú: P. 5 5 A. B. C. 0 D Si > > y. Clcul el vlor de "y" en: y 3 A. - B. - C. D. Profesor: Jvier Trigoso Págin 0
11 0. Si 6;9, clcul: M A. 85 B. 85 C. -80 D Si 30 < - < 4, clcul: R A. - B. -0 C. 0 D.. Si: ; 3 Clculr: A. B. C D Clculr: E, Si: -3 ; - A. -5 B. - C. 5 D Si: ; 7 Reducir: P A. 3 B. 5 C. 7 D. 6 3/ 5. Si 4; Hll el intervlo pr: A. 0;6 B. 3;5 C. ;5 M D. 0;5 Profesor: Jvier Trigoso Págin
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