Clase 13 de febrero. Ejercicios propuestos números 1, 2 (página 19)
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- María Soledad Godoy Ortíz
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1 Este documento contiene las actividades no presenciales propuestas al terminar la clase del día que se indica. Se sobreentiende que también se debe realizar el estudio de lo explicado en clase aunque no se incluya esa tarea en este documento. Clase 7 de febrero Del tema sobre integración múltiple disponible en la página de la asignatura realizar los siguientes ejercicios: Ejercicio resuelto número (página 7) Ejercicio resuelto número (página 8) Ejercicios propuestos números, (página 9) Clase de febrero Del tema sobre integración múltiple disponible en la página de la asignatura realizar los siguientes ejercicios: Ejercicios resueltos números 6 y 7 (página 0 y ) Ejercicios propuestos números y 7 (páginas 9 y 0) Clase de febrero Realizar los ejercicios propuestos de la práctica realizada este día. Nota: Puedes ayudarte de la herramienta: html Pág.
2 Clase 4 de febrero 4 Comprueba con el siguiente laboratorio cómo calcular el área comprendida entre dos curvas en polares. Página de acceso al laboratorio: multiple.html Pinchar sobre el enlace marcado en el recuadro: 5 Desde la página interactivo realizar los ejercicios 4 y 5 del apartado aplicaciones Pág.
3 6 De la página multiple.html realiza los ejercicios siguientes: Clase 0 de febrero 7 Terminar los ejercicios de la práctica realizada el día de hoy. 8 Clase de febrero Del tema sobre integración múltiple disponible en la página de la asignatura realizar los siguientes ejercicios: Ejercicios resueltos números 8 y 9 (páginas y 4) Ejercicios propuestos 0, y (página ) 9 Problemas de examen (a) Escribe la expresión matemática que se calcula con el siguiente código de Matlab inc=/0 x=inc:inc:; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=exp(-X.^-Y.^); valor=sum(z(:))*inc*inc Pág.
4 Qué representa este valor? (b) Calcula x,y uv, y uv, x, y siendo x u v y uv Solución: Comentarios al apartado a) El código Matlab calcula x i valor e siendo 0 0 i xi y i i j j y j j Se trata de la suma de Riemann de la función, x y f x y e en el intervalo [0,]x[0,] considerando una partición de 0x0 puntos y tomando como punto de cada subintervalo el vértice superior izquierdo: 0 0 i j x y e da e 00 i j i Comentarios al apartado b) Se pide calcular el jacobiano del cambio x x x,y u v v u uvuvu uv, y y v u u v Luego uv x, y xy, uv,, u 0 Problema de examen Se considera la región del plano siguiente: A xy, / 0 y, y x y (a) Representa esta región gráficamente y defínela en el otro orden (si viniera Pág. 4
5 definida como x simple, escribirla como y simple, y viceversa). (b) Calcula el área de A. (c) Supongamos que esta región es una lámina (sin grosor) de un material de densidad de masa proporcional en cada punto a la distancia del punto al eje y 0. Encuentra la masa de la lámina. (a) Calcula el valor medio de la función densidad en la placa y los puntos de la placa en los que se alcanza este valor. A x, y / 0 y, y x y x xy, / x, y área x 6 dydx ó Teniendo en cuenta que la densidad es x, y área kyla masa es y 0 y dxdy 6 y masa x, yda ky dxdy k 5 D 0 y xyda, k D 5 6 valor medio k área 6 / 5 Se alcanza el valor medio en los puntos 6 xy, / x, y Pág. 5
6 Clase de febrero Del tema sobre integración múltiple disponible en la página de la asignatura realizar los siguientes ejercicios: Resuelto número (página 6) y (página 8) Propuestos números, 4, 5, 6, 7 (páginas y ) Problema de examen Dado H la porción de sólido del primer octante limitado por x y, x 0, se pide z x y, z 4, (a) Escribir esta región en coordenadas cartesianas (b) Calcular su volumen (no necesariamente utilizando coordenadas cartesianas). Comentarios al apartado a) En la imagen se muestra a la izquierda el hólido H y a la derecha la proyección sobre el dominio XY La expresión en coordenadas cartesianas es H x y z x x y x x y z,, /0, 4, 4 Pág. 6
7 Utilizando coordenadas cilíndricas, H r,, z/,0r, r z4 4 / 4 4 r volumen H rdzdrd 4r r dr r r /4 0 r 0 r0 Nota: Se trata de la octava parte del paraboloide limitado por el plazo z=4. volumenh r rdzdrd Problema de examen x (a) Cambiar el orden de integración de la integral f, (b) Calcular la integral / 6 x 4 x y dydx x y dxdy siendo D el círculo unidad. D Apartado a Se trata de la región comprendida entre la parábola x y y la recta y x 4 x Invirtiendo el orden de integración de, I f x y dydx, se tiene 6 x 4 0 y 8 y,, I f x y dxdy f x y dxdy y 0 y Pág. 7
8 Apartado b Si utilizamos coordenadas polares / / D x y dxdy r r drd / r / r 8 rr dr 5/ 5 r0 4 Clase 6 de febrero Del tema sobre integración múltiple disponible en la página de la asignatura realizar los siguientes ejercicios: Resuelto número (página 8) y 4 apartado a) 5 Problema de examen (a) Calcular el volumen del sólido H limitado superiormente por z x y e inferiormente por z x y / (b) Calcular el volumen del sólido H limitado superiormente por x y z 4 z x y / e inferiormente por Apartado a) Nota: Este ejercicio es el propuesto número 9 del tema. El sólido está limitado por dos paraboloides Pág. 8
9 La curva intersección es: z x y x y z x y / z 4 Llamando D al interior de la curva proyectada sobre el plano XY D x y x y 4, / x,y,z cumpliendo se tendrá que el sólido H es el conjunto de puntos x, yd x y zx y En coordenadas cilíndricas r r,,z 0r 0 zr El volumen se podrá calcular como: / r V r dz d dr o 0 0 r / El código Matlab es: / / r V 4 r dz d dr (utilizando simetrías) 0 0 r / syms z t r int(int(int(r,z,r^/,-r^),t,0,*pi),r,0,/sqrt()) Apartado b) El sólido está limitado superiormente por una esfera e inferiormente por un paraboloide La curva intersección es: Pág. 9
10 x y z 4 zz 4 z 5 z x y / z x y / x y 5 Llamando D al interior de la curva proyectada sobre el plano XY D x y x y, / 5 x,y,z se tendrá que el sólido H es el conjunto de puntos con x, yd x y z 4x y En coordenadas cilíndricas r r,,z 0r 5 0 z 4r El volumen se podrá calcular como: 5 4r V r dz d dr 0 0 r / o El código Matlab es: 5 / 4r V 4 r dz d dr (utilizando simetrías) 0 0 r / syms z t r a=sqrt(-+*sqrt(5)) volumen=int(int(int(r,z,r^/,sqrt(4-r^)),t,0,pi/),r,0,a) double(volumen) 6 Problema de examen Calcula el área limitada por las siguientes curvas y x, y / x, x, y 0 barriendo la región por franjas horizontales y por franjas verticales. Barriendo el dominio por franjas verticales su área será: Dx, y/0 x, 0 y xx, y/ x, 0 y x Pág. 0
11 x / x dydx dydx xdx dx log x Barriendo el dominio por franjas verticales su área será: Dx, y/0 y, y x x, y/ y, y x y / / y / dxdy dxdy ydy ydy y 0 y / y 0 / y/ y y y y log y log log log 8 8 y0 y/ 7 Problema de examen (b) Pasa a coordenadas polares la siguiente integral y representa 94x gráficamente la región de integración:, / I f x y dydx 0 xx (c) Calcula el jacobiano del cambio de coordenadas rectangulares a esféricas. El dominio de integración es: 9 D x y x xx y x 4, /0 /, Para representar el dominio consideramos las curvas 9 C : y xx y xx x y C : y x y x x y El dominio de integración es: En polares, teniendo en cuenta que Pág.
12 se tendrá que la integral es: C x y x r r r : cos cos C x y y r r r : sen sen sen 4 cos I rf rcos, rsen drd Apartado b) Para el cambio de variables de coordenadas rectangulares a esféricas x = sencos, y = sensen, z = cos el jacobiano será J x y z ( xyz,, ) x y z (,, ) x y y = = sen 8 Clase 7 de febrero Terminar los ejercicios de la práctica realizada en la clase de hoy. 9 Clase 8 de febrero Del tema sobre integración múltiple disponible en la página de la asignatura realizar los siguientes ejercicios: Resuelto número 8, Pág.
13 0 Problema de examen (propuesto número 0) Un sólido H está formado por todos los puntos ( xyz,, ) Î que están dentro x + y del cono z = y que además verifican x + y + z 9. Se pide: a. Calcular el volumen de H b. Calcular la temperatura media sabiendo que en cada punto esa temperatura viene dada por T ( x, y,z) = z + x + y + z Apartado a) Dado que H está limitado por dos esferas y un cono, lo definimos en coordenadas esféricas transformando a este sistema las ecuaciones de las superficies dadas. Teniendo en cuenta { x rsen jcos q, y rsen jsen q, z rcosj } = = =, resulta x y z r r + + = = = ; x y z r r + + = 9 = 9 = ; x + y rsen j p z = rcosj = tg j = j = Se define H es esféricas, ì p ü H = ï í( rjq,, ) Î / 0 q p, 0 j, r ï ý ïî ïþ La integral para hallar el volumen de H será ( ) p p/ p p/ òòò ò ò ò Volumen H = r sen jd rdjd q = dq sen jdj r dr = é p/ r ù 6 6p 0 ê ú = pé cosjù ëê - ûú ê ú = p = ë û Pág.
14 la integral del numerador para calcular T media será p p/ p p/ senj r I = òòò r sen jdrdjdq = ò dq ò dj dr rcos j + r cos j ò + r æ ö = pé log cosj ù r p log log ê- + = = plog 0 - ë úû 0 ë û çè ç è ø ø p/ é ù æö ( ) ê ú ç ç ( ) ( ) Apartado b) Teniendo en cuenta la definición de temperatura media sobre el sólido H, T media = òòò H (,, ) òòò T x y z dv volumen de H = H z + x + y + z volumen de H dv La temperatura media será T media = ( - ) ( - ) p log 0 log 0 6p = Realiza el siguiente ejercicio de examen Hallar la masa de la porción del sólido limitado por z x y y el plano z=0, siendo la densidad en un punto de dicho sólido proporcional a la distancia entre el punto y el plano z=0. Apartado b) La masa de la porción de sólido es m H x, y, z dv donde x, yz, kz es la función de densidad (k es la constante de proporcionalidad) y H es el sólido limitado por z x y y el plano z=0. Pág. 4
15 Utilizando coordenadas cilíndricas r,, z kz H 0r 0 0 z 6 4r La masa del sólido es 64r z 64r z m k z rdz dr d k d rdr 0 0 z 4 r r0 0 k r rdr k r r k Pág. 5
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