Soluciones de los ejercicios del segundo examen parcial

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1 Matemáticas II (GIC, curso 5 6 Soluciones de los ejercicios del segundo examen parcial EJERCICIO. Halla el área que encierra la curva C dada en polares por r = + sen(θ. Solución: Primero debemos hallar el dominio de la función. Puesto que debe ser r, es decir, sen(θ /, tenemos que el dominio es π/6 θ 7π/6. Entonces el área encerrada por C es área = 7π/6 π/6 ( 4π sen(θ dθ =. Errores más comunes: ( No conocer la fórmula del cálculo del área de una región rodeada por una curva dada en coordenadas polares. ( No determinar el dominio y extender la integral a [, π]. (3 Equivocarse al determinar los ángulos para los que sen(θ = /. (4 Equivocarse al calcular la primitiva y no aplicar bien la regla de Barrow. EJERCICIO. La curva de la figura izquierda puede parametrizarse mediante x(t = cos (t, y(t = cos(3t, para t π. Determina el área encerrada por el lazo (la parte sombreada de la figura. (La fórmula sen(a cos(b = sen(a + b + sen(a b puede ser útil. Solución: Por simetría, el área pedida será el doble del área de la región rayada que se muestra a la derecha. Para usar en este caso la expresión β α y(t x (t dt del área encerrada entre una curva dada en coordenadas paramétricas y el eje OX, debemos determinar el intervalo [α, β] de variación del parámetro que corresponde a la parte superior del lazo, es decir, el arco ABP de la figura. Puesto que, en coordenadas cartesianas, P = (.5, y A = (,, se obtiene que el arco ABP corresponde al intervalo t [π/6, π/] (aunque se recorre en sentido P BA. Entonces, usando sen(t cos(3t = sen(5t + sen( t para hallar la primitiva, el área encerrada entre el arco ABP y el eje OX es, π/ π/6 y(t x (t dt = = π/ π/6 π/ π/6 ( cos(3t 4 sin(t cos(t dt ( 3 cos(3t sin(t dt =

2 Matemáticas II (GIC, 5 6 Restando el área del rectángulo de diagonal OP, obtenemos que el área de la región rayada es, entonces, = 3 3 y, finalmente, el área pedida es Errores más comunes: ( No conocer la fórmula del área encerrada entre una curva dada en coordenadas paramétricas y el eje OX. ( No determinar el intervalo [α, β] de variación del parámetro que corresponde a la parte superior del lazo y extender la integral a [, π]. (3 Equivocarse al determinar los ángulos para los que cos(3θ =. (4 Derivar mal la función x(t o no ponerla en valor absoluto. (5 Equivocarse en el cálculo de la primitiva y en la aplicación de la regla de Barrow. EJERCICIO 3. Se taladra un agujero cilíndrico de 3 cm de radio a través de una esfera de aluminio de 5 cm de radio, de manera que el eje del cilindro coincide con un diámetro de una esfera. Cuál es el volumen del objeto resultante? Solución: En la figura de la derecha hemos superpuesto una sección diametral por el eje del cilindro y situado unos ejes de coordenadas cartesianas con el origen como centro de la esfera y el eje OX como eje del cilindro. Entonces el punto A tiene como ordenada el radio del cilindro, 3, y como abscisa 5 3 = 4 y el volumen pedido es el volumen de la figura de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje OX la parte rayada; es decir, la región limitada por las curvas y = 5 x e y = 3 para 4 x 4. Este volumen viene dado por 4 ( 4 4 volumen = π 5 x dx π 3 ( dx = π 5 x dx 7π = π. Errores más comunes: ( No conocer la fórmula del volumen de un cuerpo obtenido como la revolución de una figura alrededor del eje OX. ( No separar los casquetes eliminados por el taladro a la derecha y a la izquierda y extender la integral a [ 5, 5]. (3 No restar el volumen del agujero. (4 Equivocarse en el cálculo de la primitiva y en la aplicación de la regla de Barrow. EJERCICIO 4. Calcula el valor de la integral impropia x(x + (x + dx. Solución: Aplicando el método de descomposición en fracciones simples obtenemos x(x + (x + = x + x + + x +

3 Soluciones de los ejercicios del segundo examen parcial 3 con lo que una primitiva es dx = log(x log(x + + log(x + = log x(x + (x + ( x(x + (x +, y, usando la regla de Barrow, el valor de la integral viene dado por ( ( x(x + ( + dx = lím x(x + (x + log x (x + log ( + = log( log(3/4 = log(4/3. Errores más comunes: ( Equivocarse al descomponer en fracciones simples. ( Calcular mal el límite que aparece al aplicar la regla de Barrow; en particular, no saber resolver la indeterminación que sale si dejamos la primitiva como log(x log(x + + log(x + y tomamos límite cuando x. EJERCICIO 5. Determina si la integral impropia Solución: Como la función x( + x dx es convergente. tiene una asíntota vertical en x =, para estudiar la con- x( + x vergencia hay que estudiar por separado la integral impropia de segunda especie y la integral impropia de primera especie ( Usando el criterio de la mayorante: Como < la integral < entonces x dx converge, entonces x( + x dx x( + x dx. Esto puede hacerse de varias formas < para x > y sabemos que x( + x x dx también converge. Por otro lado, como x( + x < x( + x x para x > y sabemos que la integral x x x dx = dx también converge. Es decir, la integral impropia x( + x convergente. dx converge, x3/ dx es x( + x ( Usando el criterio de comparación por paso al límite: En x = comparamos con x ya que lím x x( + x x = lím x + x =. Como sabemos que la integral Por otro lado, para x comparamos con dx converge, entonces x x x ya que x( + x dx también converge. lím x x( + x x x x = lím x + x =.

4 4 Matemáticas II (GIC, 5 6 Como sabemos que la integral x x dx = también converge. Por tanto, la integral impropia dx converge, entonces x3/ dx es convergente. x( + x (3 Calculando una primitiva mediante el cambio de variables x = t. Entonces dx = x( + x + t dt = arctan(t = arctan( x. Puesto que lím arctan( x = y lím arctan( x = π x x = π, obtenemos que la integral impropia x( + x dx es convergente y su valor es π. x( + x dx Errores más comunes: ( No separar en dos integrales impropias de manera que cada una de ellas lo sea por una sola razón. ( No elegir bien la función con la que comparar. (3 Aplicar mal el criterio de la mayorante; en particular, al afirmar que como < para x > y sabemos que la integral diverge. x dx diverge, entonces EJERCICIO 6. Halla los valores de a > para los que la integral es una integral impropia convergente. log( + x x + x sen(x a dx < x( + x x x( + x dx también Solución: Esta es una integral impropia de segunda especie en x =. Para buscar una función con la que comparar, usamos que el término principal del polinomio de Maclaurin del numerador log( + x x + x es x / y, por otro lado, que sen(x a es un infinitésimo equivalente a x a (porque a >. Entonces, usando estos infinitésimos equivalentes, comparamos con y obtenemos lím x g(x = x / x a = x a log( + x x + x sen(x a x a =. Como la integral impropia x a dx converge si, y solo si, a >, es decir, a < 3, el criterio log( + x x + x de comparación por paso al límite nos dice que si a > entonces sen(x a dx converge si, y solo si, a < 3. Errores más comunes: ( Decir que el término principal del numerador log( + x x + x es x (al no tener en cuenta que el polinomio de Maclaurin de grado de log( + x es x x. ( No conocer la condición de convergencia de las integrales xp dx.

5 Soluciones de los ejercicios del segundo examen parcial 5 EJERCICIO 7. ( Halla una parametrización de la curva C que se obtiene al cortar el paraboloide z = x y con el cilindro x + y = y. ( 3 ( Calcula un vector tangente y el plano osculador a dicha curva en el punto P =,,. (3 Dibuja el punto y el vector tangente en la figura. Solución: ( Puesto que en la ecuación x + y = y no aparece la variable z, la proyección de C sobre el plano XY es la circunferencia dada por x + y = y, que tiene centro en (, y radio. Entonces, usando además z = x y = y, podemos parametrizar la curva mediante r(t = ( cos(t, + sen(t, sen(t con π t π. En particular, obtenemos P con t = π/6 (o con t = π/6 si se trabaja en t π. También podríamos parametrizar escribiendo la circunferencia x +y = y en coordenadas polares r = sen(θ, o bien usando y como parámetro, despejando x = y y, z = y de las ecuaciones; este procedimiento tiene el inconveniente de que hay que parametrizar por separado la parte delantera x con la raíz cuadrada positiva, y la parte trasera x con la raíz cuadrada negativa. En coordenadas polares se obtendría P con θ = π/6 y usando y como parámetro se obtendría P para y = /. ( y (3 Para hallar un vector tangente en P, derivamos r(t y sustuimos t = π/6 con lo que un vector tangente a C en P es t = r (t = π/6 = ( sen(t, cos(t, cos(t ( 3 (t = π/6 =,, 3. Este es el vector que hemos representado en la gráfica de la derecha. Trabajando en polares se obtendría t y trabajando con y como parámetro se obtendría 3 t. Para hallar el plano osculador, observemos que la curva es plana, porque en los puntos de la curva se tiene z = y, así que este plano es el plano osculador. Otra forma de hallar el plano osculador es saber que el plano viene generado por t = r (t = π/6 y por u = r (t = π/6 = ( cos(t, sen(t, sen(t ( 3 (t = π/6 =,. Entonces, un vector perpendicular a t y u es b = (, ( 3, 3 3,, = (,, y el plano osculador es el plano que pasa por el punto P y es perpendicular a b. Este plano viene dado por la ecuación y + z =.

6 6 Matemáticas II (GIC, 5 6 Otra forma, mucho más complicada, de hallar el plano osculador es hallar el vector tangente unitario genérico ( T(t = r (t r (t = sen(t + 4 cos (t, cos(t + 4 cos (t, cos(t, + 4 cos (t derivar y sustituir t = π/6 para obtener un vector n = T (t = π/6, que es paralelo al vector normal principal, y calcular un vector ortogonal al plano osculador como t n. Errores más comunes: ( Equivocarse al hallar el centro o el radio de la proyección. ( No especificar el signo adecuado de la raíz cuadrada cuando se usa y como parámetro. (3 No especificar el valor del parámetro para el que se obtiene P y, en consecuencia, dejar el vector tangente de forma genérica, sin especificar cuál es el vector tangente a la curva en P. (4 Al derivar T(t = r (t r (t, tratar el denominador r (t = + 4 cos (t como si fuera una constante, cuando no lo es, y, por tanto, no calcular esta derivada correctamente. (5 No saber situar el punto P o el vector t en el dibujo. EJERCICIO 8. Calcula la longitud de la parábola semicúbica de ecuación y = x 3 en el tramo x. Solución: La longitud viene dada por longitud = + (y (x dx = La primitiva 8 7 o haciendo el cambio de variable t = x x dx = ( x3 se puede calcular como una integral inmediata, ajustando el coeficiente, Otra opción es parametrizar la curva como r(t = ( t, t 3 para t, con lo que la longitud viene dada por longitud = (t + (3t dt = t 4 + 9t dt que también es inmediata o puede calcularse con el cambio de variable u = 4 + 9t. Errores más comunes: ( No conocer la fórmula para hallar la longitud. ( Equivocarse al derivar y(x. (3 Calcular la integral de forma aproximada, cuando puede hallarse su valor exacto. (4 Equivocarse al hallar la primitiva o al aplicar la regla de Barrow; en particular, no determinar los límites de integración de la nueva variable cuando se hace un cambio. EJERCICIO 9. Calcula de forma aproximada la longitud del tramo de la elipse 4x + y = 4 con x.5 utilizando, para aproximar la integral correspondiente, el polinomio de Maclaurin de grado del integrando. Solución: Hay dos formas de hacer este ejercicio: emplear coordenadas cartesianas y = x con x.5, o bien usar la parametrización x = cos(t, y = sen(t con π/3 t π/. Si trabajamos en coordenadas cartesianas, la longitud viene dada por longitud = + (y (x dx = + ( x dx = x. + 3x x dx.

7 Soluciones de los ejercicios del segundo examen parcial 7 Dividiendo en potencias crecientes obtenemos que el polinomio de Maclaurin de grado de + 3x x es + 4x. Usando ahora que el de + x es + x y la regla de sustitución, obtenemos que el + 3x polinomio de Maclaurin de grado de x es + 4x = + x. Entonces + 3x longitud = x dx ( + x dx = 7. Si usamos la parametrización x = cos(t, y = sen(t con π/3 t π/, entonces longitud = π/ π/3 sen (t + 4 cos (t dt. El polinomio de Maclaurin de grado de sen (t + 4 cos (t es 4 3t que se obtiene al truncar en grado el polinomio t + 4( t. Escribiendo 4 3t = 4( 3 4 t y volviendo a usar que el polinomio de Maclaurin de grado de + x es + x y la regla de sustitución, obtenemos que el de sen (t + 4 cos (t es ( + ( 3 4 t = 3 4 t. Entonces π/ π/ longitud = sen (t + 4 cos (t dt ( 34 t dt = π 3 9π π/3 Errores más comunes: ( No conocer la fórmula para hallar la longitud. ( Equivocarse al derivar y(x. (3 Equivocarse al hallar los polinomios de Maclaurin que aparecen o hallar solo los del radicando, no el del integrando completo. (4 Cuando se usan coordenadas paramétricas, equivocarse al hacer la parametrización o no determinar los límites de integración de t, dejando los de x. EJERCICIO. Sea C la cicloide parametrizada por r(t = ( t sen(t, cos(t con t π. Calcula los siguientes elementos: ( El parámetro longitud de arco s en función de t. ( La longitud de la cicloide al cabo de dos tercios de giro. (3 La curvatura κ(t. Solución: ( El parámetro longitud de arco viene dado por s = = t t π/3 t (x (t + (y (t dt = ( cos(t + (sen(t dt t cos(t dt = sen(t/ dt = 4 4 cos(t/. ( Dos tercios de giro corresponden a t = 3 π = 4 3π, así que la longitud de la cicloide hasta ese instante es s( 4 3 π = 4 4 cos( 3π = 6. (3 La curvatura viene dada por κ(t = x (ty (t x (ty (t [ (x (t + (y (t ] 3/ = ( cos(t cos(t sen(t sen(t ( cos(t 3 = cos(t ( cos(t 3 = cos(t = 4 sen(t/

8 8 Matemáticas II (GIC, 5 6 Errores más comunes: ( No conocer la fórmula para hallar el parámetro longitud de arco o confundirla con la longitud de la curva completa. ( No terminar el cálculo de la primitiva de cos(t (que se ha hecho en clase o aplicar mal la regla de Barrow. (3 Equivocarse al determinar el valor de t cuando se han dado dos tercios de giro. (4 No conocer la fórmula para hallar la curvatura. EJERCICIO. Se quiere construir la clotoide (en negro en la figura inferior de curvatura κ(s = s/a y longitud L = que, desde el origen O, enlace el segmento horizontal [, ] (en gris con una circunferencia (en gris de centro C y radio r =, siendo P el punto de enlace entre la clotoide y la circunferencia. ( Calcula la constante A de la clotoide. ( Halla la parametrización de la clotoide con el parámetro longitud de arco s. (3 Halla las coordenadas del punto P de la siguiente manera: (i Calcula la abscisa de P aproximando el valor de la integral mediante el polinomio de Maclaurin de grado 8 del integrando. (ii Calcula la ordenada de P aproximando el valor de la integral mediante el método de los trapecios con n = 5 trapecios. (4 Calcula el ángulo α que mide la inclinación de la tangente en el punto P. (5 Halla las coordenadas de C, el centro de la circunferencia. Solución: ( Sabemos que A = L r =, así que A =. ( Dados L = y A =, sabemos que la parametrización es con s. x(s = y(s = s s cos(u /A du = sen(u /A du = s s cos(u /4 du sen(u /4 du (3 El punto P se btiene para s =, es decir, P = ( x(, y(, así que su abscisa viene dada por x( = cos(u /4 du El polinomio de Maclaurin de grado 8 de cos(u /4 es (u /4 + 4! (u /4 4 = u4 4 + u ,

9 Soluciones de los ejercicios del segundo examen parcial 9 así que x( = cos(u /4 du ( u4 4 + u du = 8.9. Por otro lado, la ordenada es y( = sen(u /4 du. Para usar la regla del trapecio con n = 5 trapecios en [, ], de manera que h = /5 = 4, debemos evaluar el integrando f(u = sen(u /4 en los puntos u =, 4, 8,, 6, : Entonces f( =, f(4 =.4, f(8 =.6, f( =.35, f(6 =.6, f( =.84. y( = En consecuencia P (8.9, 6.8 sen(u /4 du h [ + ( ] = 6.8. (4 Sabemos que el ángulo que en cada punto de la clotoide forma la tangente con el eje OX es ϕ(s = s /A, luego α = ϕ( = /4 = radián. (5 Sabemos que el centro de curvatura C viene dado por C = P + rn, siendo N el vector normal principal a la curva en P. Como el vector tangente unitario a la curva en P viene dado por T = ( cos(α, sen(α = ( cos(, sen(, entonces N = ( sen(, cos( = (.84,.54. Por tanto C = P + rn (8.9, (.84,.54 = ( 9.68,.68. Errores más comunes: ( No conocer la fórmula que liga la constante A con la longitud total L y el radio de curvatura r en el extremo final. ( No conocer la parametrización de la clotoide dados A y L o confundir la parametrización con las integrales que dan el punto final. (3 Establecer que el punto final P se obtiene como (x(, y( en vez de (x(, y( (4 Equivocarse al determinar el polinomio de Maclaurin de grado 8 de cos(u /4 o al calcular su primitiva. (5 No conocer la fórmula de los trapecios. (6 Usar la fórmula de los trapecios calculando en grados, no en radianes. (7 No conocer la fórmula que liga el ángulo α = ϕ(l con la longitud total L y la constante A. (8 No conocer la fórmula que da el centro de curvatura. (9 Equivocarse al calcular el vector normal principal.