Matemáticas Empresariales II. Sistemas de Ecuaciones lineales

Transcripción

1 Matemáticas Empresariales II Lección 4 Sistemas de Ecuaciones lineales Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales II 1 / 34

2 Sistema de ecuaciones lineales Se define sistema de ecuaciones lineales a es todo conjunto m de ecuaciones lineales con n incógnitas cuyos coeficientes sean escalares de un cuerpo conmutativo K. La expresión genérica de un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas toma la forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m M. León Matemáticas Empresariales II 2 / 34

3 Sistema de ecuaciones lineales Utilizando el producto de matrices, dicho sistema se puede poner como: a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 x 1. a m1 + x 2. a m2 O en notación matricial: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.. a m1 a m2 a mn + + x n O en notación matricial de forma compacta AX = B x 1 x 2. x n. a mn = = b 1 b 2. b n. b m M. León Matemáticas Empresariales II 3 / 34

4 Discusión del sistema Se define solución del sistema a todo vector X ɛk cuyas n componentes satisfagan a las m ecuaciones. Discusión del sistema Sistema tiene solución o no (una o varias) 1 Sistema compatible (tiene solución) 1 Sistema compatible determinado (solución única) 2 Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones) 2 Sistema incompatible (no hay solución) Discusión de un sistema clasificación del sistema M. León Matemáticas Empresariales II 4 / 34

5 Discusión del sistema - Teorema de Rouché-Fröbenius Partiendo del sistema AX = B con m ecuaciones y n incognitas. Se define la matriz A ampliada (A B) : 1 Si r(a) = r(a B) = compatible. 1 Si además r(a) = r(a B) = n = compatible determinado. 2 Si además r(a) = r(a B) < n = compatible indeterminado. 2 Si r(a) r(a B) = incompatible. M. León Matemáticas Empresariales II 5 / 34

6 Discusión del sistema - Ejemplo Diga de que tipo es el sistema siguiente: x + y + z = 1 2x + z = 2 x + y + z = 3 En primer lugar determinamos la matriz A, que tiene la forma A = y la matriz A ampliada (A B), que tiene la forma A B = M. León Matemáticas Empresariales II 6 / 34

7 Discusión del sistema - Ejemplo Ahora tenemos que calcular el rango de ambas matrices. En el caso de la matriz A, como vemos que hay un menor de orden dos distinto de = 2 y que el determinante formado por toda la matriz es A = = 0 Entonces el rango de A es 2. Ahora calculamos el rango de A ampliada. M. León Matemáticas Empresariales II 7 / 34

8 Discusión del sistema - Ejemplo A partir del menor de orden dos que hemos visto era distinto de 0, orlamos quitando la tercera columna e incorporando la cuarta, es decir calculamos el determinante siguiente: Aplicando la regla de Sarrus vemos que el determinante vale 4 0 y por lo tanto el rango de A ampliada es 3 ya que hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de 0. Como el rango de A es 2 y el rango de A B es 3, entonces r(a) < r(a B) y el sistema es incompatible. No existen ningunos valores (x, y, z) tal que al ponerlos en el sistema las tres ecuaciones se cumplan a la vez. M. León Matemáticas Empresariales II 8 / 34

9 Discusión del sistema - Ejercicio Diga de que tipo es el sistema siguiente: x + y + z = 1 x y z = 1 2y + 2z = 0 M. León Matemáticas Empresariales II 9 / 34

10 Resolución del sistema - Ejemplo Encontrar la solución (o soluciones) = Regla de Cramer Sistema de Cramer Son aquellos sistemas lineales AX = B, en los que la matriz A es regular, es decir A es cuadrada con det(a) 0. Sistemas compatibles determinados y se pueden resolver como: X = A 1 B La expresión matricial X = A 1 B es un vector columna que contiene los valores de las n incógnitas, obtenidos conjuntamente. M. León Matemáticas Empresariales II 10 / 34

11 Resolución del sistema Regla de Cramer a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n a n1 b n a nm x i = A La regla de Cramer sirven para encontrar las soluciones del sistema y sólo requiere el cálculo de dos determinantes, por un lado el determinante de A y por otro el determinante de la matriz A pero cambiando la columna i por la columna de los términos de B. M. León Matemáticas Empresariales II 11 / 34

12 Resolución del sistema - Ejemplo Discuta y resuelva, en su caso, el siguiente sistema de ecuaciones: x + y + z = 1 2x + 2z = 2 x + 2y + z = 2 En primer lugar, se debe calcular el rango de la matriz A y de la matriz A ampliada (A B). La matriz A del sistema anterior tiene la forma: A = y la matriz A ampliada (A B), tiene la forma A B = M. León Matemáticas Empresariales II 12 / 34

13 Resolución del sistema - Ejemplo El determinante de la matriz A es A = 4 = el rango de A es 3 La matriz (A B) es de orden 3 x 4 = rango de (A B) también es 3 Como r(a) = r(a B) = 3 igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. Para encontrar la solución utilizamos la regla de Cramer. Por lo tanto, la solución para x tiene la forma: x = A = 6 4 = 1,5 M. León Matemáticas Empresariales II 13 / 34

14 Resolución del sistema - Ejemplo Para encontrar la solución para y, al sustituir en la matriz A la segunda columna por B se obtiene y = = 0 A 4 = 0 Y para encontrar la solución para z, al sustituir en la matriz A la tercera columna por B se obtiene z = = 2 A 4 = 0,5 M. León Matemáticas Empresariales II 14 / 34

15 Resolución del sistema - Ejercicio Ejercicio: Discuta y resuelva, en su caso, el siguiente sistema de ecuaciones: x y + z = 1 x + z = 2 x + y = 0 M. León Matemáticas Empresariales II 15 / 34

16 Sistemas reducibles a sistemas de Cramer a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Donde la matriz A no es regular, esto es A = 0 El sistema es compatible = r(a) = r(a B) = r < n. En el sistema hay r ecuaciones linealmente independientes y m r que son combinación lineal. M. León Matemáticas Empresariales II 16 / 34

17 Sistemas reducibles a sistemas de Cramer Se puede formar un sistema equivalente con las r ecuaciones L.I: a 11 x a 1r x r = b 1 a 1r+1 x r+1 a 1n x n. a r,1 x a r,r x r = b 1 a r,r+1 x r+1 a r,n x n Se eliminan las m r ecuaciones linealmente dependientes Hay n r variables con valores arbitrarios (variables libres) Se encuentra la solución de las r restantes en función de las libres M. León Matemáticas Empresariales II 17 / 34

18 Sistemas reducibles a sistemas de Cramer - Ejemplo Discuta y resuelva, en su caso, el siguiente sistema de ecuaciones: x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = 2 2x + 2z = 2 En primer lugar, se debe calcular el rango de la matriz A y de la matriz A ampliada (A B). La matriz A del sistema anterior tiene la forma: A = y la matriz A ampliada (A B), tiene la forma A B = M. León Matemáticas Empresariales II 18 / 34

19 Sistemas reducibles a sistemas de Cramer - Ejemplo A = 0 = menores de orden 2 formados por la primera y la segunda fila (todos son 0) = combinación lineal Se calcula un menor de orden 2 formado por la primera fila y la tercera y se observa que = 2 0 Por lo tanto el rango de A es 2. rango de (A B) = menor de orden 2: = 0 y por lo tanto la segunda fila de (A B) es una combinación lineal de la primera = rango de (A B) es 2 Como r(a) = r(a B) = 2 menor al número de incógnitas (3), el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. M. León Matemáticas Empresariales II 19 / 34

20 Sistemas reducibles a sistemas de Cramer - Ejemplo Para encontrar la solución del sistema debemos reducirlo a una sistema de Cramer. 1) suprimimos la fila que sea combinación lineal de las otras : { x + y + z = 1 2x + 2z = 2 Como el rango de A es 2 y el número de incógnitas es 3, entonces debe haber 3 2 = 1 incógnitas con valores arbitrarios, que pasan al otro lado de las ecuaciones. En este caso eligiendo z: { x + y = 1 z 2x = 2 2z Ahora el sistema obtenido es un sistema de Cramer, ya que A = 2 0 y se puede aplicar la regla de Cramer. M. León Matemáticas Empresariales II 20 / 34

21 Sistemas reducibles a sistemas de Cramer - Ejemplo Para la solución de x se obtiene que: 1 z 1 2 z 0 x = 2 = z 2 2 Para la solución de y se obtiene que: 1 1 z 2 2 z y = = 2 z 2 + 2z = z Quedando la solución del sistema en función del valor para z. Si llamamos a z como un parámetro, por ejemplo z = α entonces la solución del sistema es M. León Matemáticas Empresariales II 21 / 34

22 Sistemas reducibles a sistemas de Cramer - Ejemplo x = α 2 2 y = α 2 z = α M. León Matemáticas Empresariales II 22 / 34

23 Sistemas reducibles a sistemas de Cramer - Ejercicio Discuta y resuelva, en su caso, el siguiente sistema de ecuaciones: x y + z u = 1 x + z = 2 3x 2y + 3z 2u = 4 y u = 1 M. León Matemáticas Empresariales II 23 / 34

24 Aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius al concepto de Sistema Generador y Base Sistema Generador si: x = λ 1 v λ p v p Nos lleva a un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son los λ i : Sistema Compatible = hay solución = Existen los λ i para cualquier x = Es SG Sistema Incompatible = NO hay solución = NO Existen los λ i para cualquier x = NO es SG M. León Matemáticas Empresariales II 24 / 34

25 Aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius al concepto de Sistema Generador y Base Base si son L.I. = Teorema independencia: 0 = λ 1 v λ p v p λ i = 0 i v i L.I. Nos lleva a un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son los λ i (siempre es compatible - Homogéneo) Sistema Compatible Determinado = solución UNICA = λ i = 0 = Es Base Sistema Compatible Indeterminado = infinitas soluciones = λ i 0 = NO es Base M. León Matemáticas Empresariales II 25 / 34

26 Aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius al concepto de Sistema Generador y Base - Ejemplo Dados los vectores x 1 = (1, 2, 3), x 2 = (3, 1, 0), x 3 = ( 2, 1, 2) y x 4 = (1, 0, 0) determinar si dichos vectores forman un sistema generador del espacio vectorial R 3, una base o ninguno de los dos. Sistema Generador - Definición: (a, b, c) = k 1 (1, 2, 3) + k 2 (3, 1, 0) + k 3 ( 2, 0, 2) + k 4 (1, 0, 0) = k 1 + 3k 2 2k 3 + k 4 = a 2k 1 k 2 = b 3k 1 + 2k 3 = c No hace falta resolver sólo discutir: A = M. León Matemáticas Empresariales II 26 / 34

27 Aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius al concepto de Sistema Generador y Base - Ejemplo y la matriz (A B) toma la forma a A B = b c La matriz A es de orden 3x4 y el rango máximo es 3. La matriz A B es de orden 3x5 y el rango máximo es 3. Para saber si el rango es 3 obtenemos un menor de orden 3, por ejemplo = 20 0 Como r(a) = r(a B) = 3 = sistema es compatible = sistema generador. M. León Matemáticas Empresariales II 27 / 34

28 Aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius al concepto de Sistema Generador y Base - Ejemplo Base - Indepenencia Lineal - Teorema - Definición: k 1 (1, 2, 3) + k 2 (3, 1, 0) + k 3 ( 2, 0, 2) + k 4 (1, 0, 0) = (0, 0, 0) = k i = 0: k 1 + 3k 2 2k 3 + k 4 = 0 2k 1 k 2 = 0 3k 1 + 2k 3 = 0 rango de A es 3, que es menor que el número de incógnitas (4) y por lo tanto el sistema es compatible indeterminado. Como existen infinitos escalares que cumplen el sistema, en particular algunos que cumplan k is 0 entonces los vectores son linealmente dependientes y no forman una base de R 3. M. León Matemáticas Empresariales II 28 / 34

29 Aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius al concepto de Sistema Generador y Base - Ejercicio Sea el espacio vectorial V = {a + bx 2 + cx 4 /a, b, c ɛ R}. Y sea S un conjunto de elementos de V donde S = {3, 3x 4 x 2, 6x 4 2x 2 3}. Se pide Es S un sistema generador? Es una base?. Utilize el Teorema de Rouché-Fröbenius. M. León Matemáticas Empresariales II 29 / 34

30 Cambio de base en notación vectorial Sea X B1 = (x 1 x 2... x n ) t las coordenadas de x referido a la base B 1 = ( v 1 v 2... v n ) Sea X B2 = (x 1 x 2... x n) t las coordenadas del mismo x, pero referido a la base B 2 = ( u 1 u 2... u n ) El problema del cambio de base consiste en encontrar las expresiones que relacionan X B1 y X B2 (ecuaciones del cambio de base). Coordenadas del vector respecto a la base son los escalares que permiten poner x como combinación lineal de los vectores de la base: para B1: y para B2: x 1 v 1 + x 2 v x n v n x 1 u 1 + x 2 u x n u n M. León Matemáticas Empresariales II 30 / 34

31 Cambio de base en notación vectorial Como ambos vectores son el mismo, entonces las ecuaciones del cambio de base salen de la igualdad: x 1 v 1 + x 2 v x n v n = x 1 u 1 + x 2 u x n u n y teniendo en cuenta el producto de matrices, se puede poner la expresión anterior de forma matricial: o también ( v 1 v 2... v n ) x 1 x 2. x m = ( u 1 u 2... u n ) x 1 x 2. x m B 1 X B1 = B 2 X B2 M. León Matemáticas Empresariales II 31 / 34

32 Cambio de base en notación vectorial De la expresión B 1 X B1 = B 2 X B2 se obtienen las ecuaciones del cambio de B 1 a B 2 y las de cambio de B 2 a B 1 En el cambio de B 1 a B 2 se supone conocido X B1, por lo que se despeja X B2. siendo Por lo tanto, X B2 = B 1 2 B 1X B1 = CX B1 C = B 1 2 B 1 X B2 = CX B1 es la ecuación matricial del cambio de B 1 a B 2. M. León Matemáticas Empresariales II 32 / 34

33 Cambio de base en notación vectorial Por otro lado, en el cambio de base de B 2 a B 1 se supone conocido X, por lo que se despeja X. siendo en este caso X B1 = B 1 1 B 2X B2 = CX B2 Por lo tanto C = B 1 1 B 2 X B1 = CX B2 es la ecuación matricial del cambio de B 2 a B 1. M. León Matemáticas Empresariales II 33 / 34

34 Cambio de base en notación vectorial - Ejercicio Ejercicio: Sea B 1 = {(1, 1), (2, 1)} una base de R 2 y sea x B1 = (2, 1) las coordenadas del vector x respecto de la base B 1. Encuentre las coordenadas de dicho vector respecto de la base B 2 = {(0, 1), ( 1, 1)} a partir de la definición de coordenadas y en notación vectorial. Compruebe que los resultados son iguales. M. León Matemáticas Empresariales II 34 / 34