INTEGRAL DEFINIDA 1.INTRODUCCIÓN E DEFINICIÓN

Transcripción

1 INTEGRAL DEFINIDA.INTRODUCCIÓN E DEFINICIÓN A ide de prtid pr introducción do concepto de integrl definid é o intento de resolver o seguinte prolem: Dd unh función f continu f> en [, ], Cl é áre d reión delimitd pol gráfic de = f() e s rects = e =, R(f,,)? Cl é áre io gráfic d curv no intervlo [, ]?. A ide será trtr de proimr áre des reión usndo áres de figurs coñecids,( de rectángulos ) e trtr de mellorr ess proimcións Definición : Prtición dun intervlo [, ] é un conunto de puntos P = {,,., i-, i,.. n } con = e n =, que definen os intervlos pechdos [, ], [, ],.[ i-, i ],..[ n-, n ], e que supoñeremos que teñen todos eles mesm lonitude. P =... i- i.. n- n = Eemplo : Unh prtición de [, ] serí P = {, /, } / Outr prtición : P = {, /, /, /, } / / / A prtición P é máis fin que prtición P que os intervlos que determin P en [, ] son de menor lonitude que os que determin P Recordndo resultdos nteriores ( Teorem de Weiestrss e Propiedde do vlor intermedio deducid do Teorem de Bolzno ) temos que : f continu nun intervlo pechdo [, ] f lcnz máimo ( M ) e mínimo ( m ) en [, ]. f continu nun intervlo pechdo [, ] f continu en cd intervlo pechdo [ i-, i ] determindo por unh prtición P clquer dese intervlo f lcnz máimo ( M i ) e mínimo ( m i ) en cd un dos intervlos [ i-, i ] determindos pol prtición P f continu nun intervlo pechdo [, ] f tom tódolos vlores comprendidos entre f() e f() Definición : Sum superior de f socid unh prtición P, S(f, P) n S(f, P) = ( - )M + ( - )M ( n - n- )M n ou escrit como un sumtorio S(f, P) = ( i i ) M i i É sum ds áres dos rectángulos que teñen por se os suintervlos [ i-, i ], determindos pol prtición e por ltur o máimo Mi d función en cd un deses suintervlos N gráfic de eemplo os máimos lcánznse nos etremos d dereit de cd un dos tres suintervlos d prtición É unh proimción por eceso d áre d reión R(f,, ) A sum superior de f decrece medid que umentn os puntos d prtición. Por eemplo se entre os puntos e introducimos un novo punto terímos dous novos rectángulos, de ses [, ] e [, ]en vez do rectángulo de se [, ] pero sum ds áres destes dous novos é menor que áre do nterior, que non estrí zon rid Integrl idefinid páin

2 Definición : Sum inferior de f socid unh prtición P, S(f, P) I(f, P) = ( - )m + ( - )m ( n - n- )m n ou escrit como un sumtorio n I(f, P) = ( i i ) m i i É sum ds áres dos rectángulos que teñen por se os suintervlos [ i-, i ], determindos pol prtición e por ltur o mínimo m i d función en cd un deses suintervlos N gráfic de eemplo os mínimos lcánznse nos etremos d esquerd de cd un dos tres suintervlos d prtición É unh proimción por defecto d áre d reión R(f,, ) A sum inferior de f crece medid que umentn os puntos d prtición. Por eemplo se entre os puntos e introducimos un novo punto terímos dous novos rectángulos, de ses [, ] e [, ]en vez do rectángulo de se [, ] pero sum ds áres destes dous novos é mior que áre do nterior, que gor estrí tmén zon rid. En resume, medid que umentmos os puntos d prtición s sums inferiores crecen e s superiores decrecen proimándose cd vez máis, unh por defecto, e outr por eceso á áre io curv no intervlo [, ] este número se lle chm integrl definid de f en [, ] e se denot por etremos inferior e superior de integrción f ( ) d sendo e os. SIGNO DA INTEGRAL DEFINIDA. As sums superiores e s inferiores non teñen porque ser áres, só se f > en [, ], e polo tnto integrl definid só representrá unh áre no cso en que f > A integrl definid pode tomr signos distintos dependendo dos signo que tom f en [, ] f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d Únicmente no primeiro eemplo, f>, integrl definid proporcion directmente o vlor d áre io curv. No segundo, f<, herí que cmir o signo d integrl pr poder interpretl como áre d R(f,, ), que integrl definid serí negtiv. No terceiro o signo totl d integrl serí positivo, que hi máis áre positiv que negtiv, pero poderí tomr vlores negtivos ou incluso nulrse. Pr clculr neste cso áre d R(f,, ) terímos que cmir de signo á integrl de f en [c, ] e sumrlle o vlor d integrl en [, c]. Integrl idefinid páin

3 . PROPIEDADES c ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d con c un punto interior de [, ]. No cso en que f > temos unh interpretción c con áres que áre io curv en [, ] é sum ds áres io curv en [, c] e [c, ] ) f ( ) d ( Se non hi intervlo áre, se f >, serí cero ) c) f ( ) d f ( ) d ( Se cmimos os etremos de integrción integrl cmi de signo ) d) ( f g)( ) d f ( ) d g( ) d e) ( k. f )( ) d k f ( ) d con k un número rel ) TEOREMA DO VALOR MEDIO DO CÁLCULO INTEGRAL. f continu en [, ] c (, ) / f ( ) d f ( c).( ) Interpretción eométric: Supoñemos f > en [, ] Áre do rectángulo (,, A, B ) Áre do trpecio mito (,, A, B) Are do rectángulo (,, A,B ) e polo tnto: A áre do trpecio mitilíneo (,, A, B), áre io curv en [,], é igul áre dun rectángulo de se () e ltur f ( c ) sendo c un punto interior de [, ] Pr ese punto c Áre d reión R = Áre d reión R 5 ) TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL. Definición : Función integrl. Dd f continu en [,] definimos F: [, ] F( ) f ( t) dt Se = F( ) f ( t) dt Integrl idefinid páin

4 Se = F( ) f ( t) dt integrl definid de f en [, ] Se f > en [, ] F() d o vlor d áre io curv no intervlo [,] ( zon rid ) : TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL. Se f é continu en [, ] entón función integrl socid F( ) f ( t) dt é derivle en [, ] e F () = f() pr todo de [, ] ( A función integrl é unh primitiv de f en [, ] 6) REGRA DE BARROW. f continu en [, ] f ( ) d G( ) G( ) G primitiv de f (notción) G() Eemplo : ) ) t dt t G. M. m dr G. M. m dr G. M. m G. M. m r r r r r r r r r r r G. M. m G. M. m. r r r r EXERCICIOS RESOLTOS ) 5 5 t ( ) t dt ) t. t. ( t t t ) dt. t t 5 5 = 96 5 ) dr r r ) d. Ln( ). Ln(6) Ln() =.Ln(6) 5) cos t dt sen( t) sen( ) sen() = 6) sen d 7 7cos 7cos 7cos 7 7 = t t 5t 5. ( ) ( ) 5.( ) 9 7) t -t 5t dt - t -. -.( ) ) e d e, 9) e e d ) ). e d e.( ) e.( ) ( ). e primitiv clculse por prtes: u = e dv = e - d 5. Ln( ). Ln( ) 5. Ln(5) d. Ln() 995 (Integrl rcionl con ríces reis simples ) Integrl idefinid páin

5 ) 7. Ln( ). Ln( ). Ln( ) d ( ) (Integrl rcionl con 5 5 ríz rel simple e unh dole) ). Ln( ) 5 Ln( ) d. Ln() Integrl por prtes chmndo u =Ln() dv = d ) d Ln( Ln( )) Ln( Ln()) Ln( Ln()) ( É inmedit de tipo logrítmic) ( Ln( )) 5) ) d. rctg ( ) C ) ( ) d rctg Son tods inmedits 6) d sen e d. Ln( e ) C c) e cos sen sen d C d) cos( ) cos.. Por prtes chmndolle u = dv = sen d Integrl idefinid páin 5

6 Cálculo de áres. Cálculo d áre entre unh curv f(), o eie OX e s rects =, = Pr clcul-l áre comprendid entre unh curv e os vlores = e =, plicámo-lo seguinte procedemento: ) Clculámo-ls ríces d ecución f ( ) = ) Somente temos en cont s que están no intervlo [, ] c) Descompoñémo-lo intervlo de integrción en suintervlos [, c], [c, d], [d, ] d) Aplicámo-l regr de Brrow cd un dos novos intervlos. Cndo curv está encim do eie OX integrl definid dnos positivo, e cndo está deio, negtivo; por tnto, considermos sempre o vlor soluto c d Áre = f ( ) d f ( ) d f ( ) d c d Eemplo : Clcul áre do recinto limitdo pol curv f e s rects = e = 6 ( ) 6 8 ) = As ríces son: = = ) As dús ríces están no intervlo [, 6] c) Tomámo-los intervlos: [, ], [, ], [, 6] d) Clculmos ls tres integris: 6 ( 6 8) d 8 ( 6 8) d 8 ( 6 8) d 8 Áre Totl = 8 6 Integrl idefinid páin 6

7 Cálculo d áre entre dús curvs f() e g() Pr clcul-l áre entre dús curvs, plicámo-lo seguinte procedemento: ) Clculámo-ls sciss dos puntos de corte ds dús curvs. Pr isto, resolvémo-lo sistem: f() = g() ) Se só temos dous puntos de corte, : Áre = ( f ( ) g( )) d c) Se temos vrios puntos de corte,, c, d: Áre = c d ( f ( ) g( )) d ( f ( ) g( )) d ( f ( ) g( )) d c Eemplo : Clcul-l áre limitd pols curvs f ( ) e g( ) 5 ) Achámo-los puntos de corte: 5 Resolvendo est ecución, otémo-ls ríces e ) A áre é: [(5 ) ( )] d (6 ) d 6 6 Áre comprendid entre unh función f() e o eie OX É un cso prticulr d áre comprendid entre dús curvs, curv dd e rect =. Pr chl, clculámo-los puntos de corte de f(), co eie OX :,, c, d..., e chámo-ls áres ds reións que se formn. c d Are = f ( ) d f ( ) d f ( ) d c Eemplo Clcul-l áre limitd pol curv f () = e o eie OX ) Achámo-los puntos de corte d curv co eie OX: 6 8 ( 6 8),, ) A Áre é : A ( 6 8 ) d A ( 6 8 ) d Áre totl = A + A = + =8 Integrl idefinid páin 7

8 EXERCICIOS RESOLTOS 8) Clcul áre limitd pol curv =, o eie de sciss e s rects = e =. 9) Clcul áre d superficie que determinn s curvs f() = - e g() =. ) Clcul áre d superficie limitd pols curvs f() = 6 - e g() = -. ) Clcul áre d superficie limitd pols curvs e 8. Represent gráficmente figur resultnte ) Clculr, usndo Regr de Brrow, integrl definid d ) Clcul usndo Regr de Brrow áre d reión limitd pols curvs ;, e o eie OX. Represent reión. ) Clcul superficie limitd por = f() = + e o eie OX 5) Clcul áre do recinto limitdo pols gráfics ds seguintes curvs Fcer un deuo do recinto descrito,, 8) Clcul áre limitd pol curv =, o eie de sciss e s rects = e =. 5.. = ^ É áre io práol entre e. É dicir : 8 7 d u.. = =. Áre ) Clcul áre d superficie que determinn s curvs f() = - e g() =. 5. (,). =. (,) ÁREA. = -^. (,) Pr deur unh práol hi que clculr: VÉRTICE. É un máimo ou un mínimo polo tnto : f ( ) Como f ( ) f (), entón en = hi un máimo Se = temos que = 8 =. Vértice = (, ) PUNTOS DE CORTE COA HORIZONTAL fcendo = ( ) ;. Temos os puntos A(,) e B (,) PUNTOS DE CORTE COA VERTICAL.Fcendo = temos que = Temos o punto C(,) Se non cheg con estes puntos fise unh. TÁBOA DE VALORES. O mesmo que frímos pr deur rect = ( vlores) Trátse de clculr áre limitd pols gráfics de dús funcións. As sciss dos puntos de corte ds funcións serán os etremos de integrción. Pr clcullos igulmos f() g() e Os puntos de corte serán: A(, ) que se = entón = =. E B(, ) que se = entón = = Áre = ( ) d d u Integrl idefinid páin 8

9 ) Clcul áre d superficie limitd pols curvs f() = 6 - e g() = -.. (, 9) = ^ (,8) = 6 - ^.. (,) (6,) (, -). Representmos s dús práols como no eercicio nterior Trátse de clculr áre limitd pols gráfics de dús funcións Pr clcul os etremos de integrción igulmos f() g() 6 8 e. Sustituindo estes vlores en clquer ds dús funcións, resultn os puntos de corte ds gráfics (,) e (,8) 8 d d Áre = (6 ( )) u ) Clcul áre d superficie limitd pols curvs resultnte (,8) ÁREA. = ^- e 8. Represent gráficmente figur Representmos s dús práols como no eercicio nterior Trátse de clculr áre limitd pols gráfics de dús funcións Pr clcul os etremos de integrción igulmos f() g() 8 e. Sustituindo estes vlores en clquer ds dús funcións, resultn os puntos de corte ds gráfics (-,) e (,) Áre = ( ( 8)) d d (8 ) ( 8 ) u.. = - ^ + 8. (,-) ) Clculr, usndo Regr de Brrow, integrl definid = Integrl idefinid páin 9 d É áre limitd pol función e o eie OX. Os puntos de corte de mos son :. E tendo en cont definición do vlor soluto : ( ) se se. (Cd trmo é unh rect ) se se Teremos que : d ( ) d ( ) d u ) Clcul usndo Regr de Brrow áre d reión limitd pols curvs ;, e o eie OX. (-.,) Represent reión (-,) = - ^ +... = = s() A A A A = s() (.,).... Representmos práol e nteriores. Puntos de corte de co eie OX ( ): (,) e (,) Punto de corte de será (,) Puntos de corte de se como nos eercicios se. co eie OX ( ): O punto e

10 ou. Comprondo s solucións = non vle. Só vlen = ou e = -. E os puntos son (,) e (-,) Tendo en cont simetrí d reión : Áre = d ( ) d u ) Clcul superficie limitd por = f() = + e o eie OX... = ^-^+ (.5,.6) ÁREA.... ÁREA (.,-.) Clculmos os puntos de corte de = f() = + e o eie OX ( = ).( ). ou E Áre será = ( ) d ( ) d 7 u. Pr representr reión clculremos demáis dos puntos de corte co eie OX MÁXIMOS E MÍNIMOS : 7 7 f ( ) 8 8 =. e.5 f (.5).5 mimo. Se.5 f (.5).6 Como f ( ) 6 8 M(.5,.6) e m(.,-.) f (.). minimo. Se. f (.). PUNTOS DE INFLEXIÓN f ( ) 6 8. e como f ( ) 6. ser un punto de infleion concvo-conveo. Sustituindo en f() teremos que o punto de infleión será (., -.7) 5) = ^. (,) = = /.... Integrl idefinid páin