TRIGONOMETRÍA RESOLUCIÓN de TRIÁNGULOS

Transcripción

1 TRIGONOMETRÍA RESOLUCIÓN de TRIÁNGULOS MATEMÁTICAS I º Bhillerto CCNN Alfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátis

2 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA REPASO de TRIGONOMETRÍA ELEMENTAL I.) Grdos y rdines: Sistem sexgesiml: Es el sistem que se hemos utilizdo hst hor. En él, por definiión, un vuelt omplet son 60º. Por tnto: 60º 80º 90º et. et. et. ÁNGULO LLANO ÁNGULO RECTO Este sistem y lo utilizn los ilonios hi el 000.C. Por qué eligieron 60º? Por prtiidd, ddo que es divisile por un grn ntidd de números:,, 4, 5, 6, 8, 9, 0,, 5, 8, 0, 4, 0, 6, 40, 45, 60, 7, 90, 0 y 80. Nótese que ls uniddes de este sistem, los grdos sexgesimles, se indin on el símolo º, y que éste no dee omitirse nun. Rdines: Es el sistem que más se utiliz en Físi (movimiento irulr, et.), pero tmién se emple en Mtemátis, y que, por ejemplo, omo veremos en el tem 6, los rdines se emplen en ls funiones trigonométris. Por definiión, un vuelt omplet son π rd. Por tnto: π rd π rd π/ rd et. et. et. ÁNGULO LLANO ÁNGULO RECTO Este sistem se empezó utilizr en Físi en épo reltivmente reiente (siglo XVIII). Por qué elegir π rd? De nuevo por omodidd. En efeto, supongmos un irunfereni de rdio. Como l longitud o perímetro de l irunfereni viene dd por L=πR, en este so l longitud serí π, que es preismente el vlor del ángulo en rdines. Si fuer medi irunfereni, l longitud del ro orrespondiente serí π rd, que de nuevo es el vlor del ángulo en rdines. Y sí suesivmente: L=π/ C R= L plr Trigonometrí (del griego trigonon, triángulo, y metron, medid) l introdujo el mtemátio y strónomo germno Brtolomäus Pitisus (56-6) en 595. Tmién onstruyó tls trigonométris detllds.

3 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA Es deir, «En un irunfereni de rdio unidd, l medid de un ángulo en rdines oinide on l longitud del ro orrespondiente». Un vez nos ostumremos ellos, los rdines resultn un form muy útil y ómod de medir ángulos. Resumen: GRADOS RADIANES Ejeriios finl tem: I.) Definiión de ls rzones trigonométris: B B' Considerr l figur djunt, formd por dos triángulos retángulos en posiión de Tles. Se define el «seno de un ángulo omo el oiente o rzón entre el teto opuesto y l hipotenus»: Th. de Tles O A A' sen α = teto opuesto = A B = A 'B' =... () hipotenus OB OB' Nótese que sen se puede expresr de infinits forms equivlentes, deido l teorem de Tles. Análogmente, se define el «oseno de un ángulo omo el oiente entre el teto ontiguo y l hipotenus»: Th. de Tles os α = teto dyente = O A = O A ' =... () hipotenus OB OB' Finlmente, se define l «tngente de un ángulo omo el oiente entre el teto opuesto y el teto ontiguo»: Th. de Tles teto opuesto A B A 'B ' senα tg α = = = =... = () teto dyente O A O A ' os α Nótese que de () y () se infiere fáilmente que l tngente es tmién el oiente entre seno y oseno. Est es preismente l primer identidd trigonométri de un lrg list que veremos lo lrgo del tem, y uyo resumen podemos ver l finl del liro. Ests tres rzones sí definids, llmds rzones trigonométris direts, se utilizn, omo veremos en reve, pr resolver triángulos.

4 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA Oserviones: ) «Ls rzones trigonométris dependen del ángulo pero no del triángulo». Ello es deido, omo y se h diho, l teorem de Tles. Y est es preismente l grn pliión de l Trigonometrí l álulo de distnis o longitudes inesiles o muy lejns. Por ejemplo, en Astronomí permite, medinte tringulión, otener distnis entre stros. ) Ls rzones trigonométris reen de uniddes, no sí los ángulos. Ello es ovio, y que un rzón es un oiente de medids de l mism unidd. ) Cd rzón diret tiene su orrespondiente rzón trigonométri invers: COSECANTE: ose α = senα (4) SECANTE: se α = osα (5) COTANGENTE: osα tgα = = tgα senα (6) Ests tres rzones inverss no se suelen utilizr pr resolver triángulos, sino en los álulos lgerios on fórmuls trigonométris, omo veremos profusmente lo lrgo del tem, y en el próximo urso. I.) Uso de l luldor en Trigonometrí. Rzones reípros: Vmos explirlo pr un Csio fx-8 MS, uno de los modelos más extendidos entre los estudintes. Pr ulquier otro modelo se suele proeder de form stnte nálog. En primer lugr, tenemos que eriorrnos de si l luldor está trjndo en grdos sexgesimles (en l prte superior de l pntll preerá DEG, i.e. degrees) o en rdines (preerá RAD). Pr ello hy que pulsr l tel smodes vris vees y elegir =DEG o =RAD. Ejemplo : sen º? ssins s=s 0, Pr introduir el ángulo en grdos, minutos y segundos hy que utilizr l tel sº ' ''s : Ejemplo : tg 0º ' 5''? stns 0 sº ' ''s sº ' ''s 5 sº ' ''s s=s -4, Pr otener ulquier de ls tres rzones inverss hy que invertir l rzón orrespondiente diret: Puede desrgrse el mnul en

5 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA Ejemplo : se 5º 0'? s:s soss 5 sº ' ''s 0 sº ' ''s s=s, Por otr prte está el prolem inverso, es deir, si por ejemplo semos que sen=0,85, de qué ángulo proede? Es deir, uál es el ángulo tl que sen=0,85? Esto nos llev definir ls rzones trigonométris reípros. Cd un de ls seis rzones nteriormente definids (ls tres direts y ls tres inverss) tienen su orrespondiente rzón reípro. En relidd sólo vmos mnejr ls rzones reípros de seno, oseno y tngente: Definiión: Si sen =x, se die que es el roseno de x, es deir, el ángulo uyo seno es x, y se indi de l siguiente form: sen=x =r senx r = ángulouyo Definiión: Si os=x, se die que es el rooseno de x, es deir, el ángulo uyo oseno es x, y se indi de l siguiente form: os=x =r os x r = ángulouyo Definiión: Si tg =x, se die que l rotngente de x, es deir, el ángulo uy tngente es x, y se indi de l siguiente form: tg =x =r tgx r = ángulouyo Hy que tener siempre en uent que un r sen, r os o r tg es un ángulo, y por tnto hy que indir siempre sus uniddes. Ejemplo 4: sen=0,85? sen=0,85 =r sen 0,85 Cómo se otiene un rzón reípro on l luldor? Hy que usr l tel sshifts : sshifts ssins 0,85 s=s 58, º Vemos que l luldor d el ángulo en grdos y déims de grdo, por lo que hy que psrlo grdos, minutos y segundos on l tel sº ' ''s : 58, º sº ' ''s 58º ' 4'' Por lo tnto, =r sen 0,85 s58º ' 4''s (NOTA: Puede omprorse que, efetivmente, sen 58º ' 4'' =0,85) Ejeriios finl tem: I.4) Rzones trigonométris de 0º, 45º y 60º: Rzones de 45º: d Considerr un udrdo que, pr simplifir los álulos, tendrá ldo (ver figur). Si trzmos un digonl otenemos el triángulo retángulo 45º

6 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA somredo de l figur, en el que vmos otener ls rzones de 45º. Pr ello, previmente vmos hllr por medio del teorem de Pitágors l digonl d: d = + = d = teto opuesto sen 45º = = = (7) hipotenus teto ontiguo os 45º = = = (8) hipotenus / / sen 45º tg 45º = = = (9) os 45º NOTA: Si huiérmos tomdo otro ldo del udrdo distinto de hrímos otenido los mismos resultdos, ovimente. Rzones de 60º: h 0º Considerr un triángulo equilátero, de nuevo de ldo pr simplifir los álulos. Trzmos l ltur h orrespondiente l se, on lo ul otenemos el triángulo retángulo somredo de l figur, en el que pree un ángulo de 0º y otro de 60º. Pr otener sus rzones previmente vmos hllr por medio del teorem de Pitágors l ltur h: / 60º = h + = h + h = = h = teto opuesto sen 0º = = = hipotenus / teto ontiguo os 60º = = = (7) y (8) hipotenus / teto ontiguo os 0º = h = = hipotenus teto opuesto h sen 60º = = = (9) y (0) hipotenus sen0º tg 0º = = = = os 0º / / / sen 60º tg 60º = = = () y () os 60º / Todo esto se puede resumir en l siguiente tl:

7 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA 0º 45º 60º sen os tg Oservmos que sen0º =os 60º y que os 0º =sen60º. Ello es deido que mos ángulos, 0º y 60º, son omplementrios (es deir, sumn 90º). Este resultdo vmos utilizrlo muy menudo lo lrgo del tem: Los dos ángulos gudos de un triángulo retángulo son omplementrios (i.e. sumn 90º). «Si dos ángulos son omplementrios, entones el seno de uno es el oseno del otro, y vievers»: 90º ( α) ( α) senα = os 90º osα = sen 90º () I.5) Reliones entre ls rzones trigonométris (Identiddes trigonométris): C Fórmul fundmentl de l Trigonometrí: sen α + os α = (4) Demostrión: Considerr el triángulo retángulo de l figur: + sen B + os B = + = + = = = (C.Q.D.) Th. de Pitágors B A De l relión fundmentl de l Trigonometrí se derivn otrs dos fórmuls muy preids entre sí: + tg α = = se α os α + tg α = = o se α sen α (5) y (6) Demostrión: Vmos demostrr (5) (l otr fórmul se demuestr nálogmente). Pr ello, prtimos de l relión fundmentl, y dividimos mos miemros por os : sen α os α + = tg α + = (C.Q.D.) os α os α os α os α Nótese que ello tmién ourre on 45º y su omplementrio, 45º (él mismo).

8 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA NOTA: En l práti pens utilizremos (6). Cuál es l utilidd de ests identiddes trigonométris, que relionn ls distints rzones? Permiten, dd un rzón trigonométri, hllr ls restntes. I.6) Resoluión de triángulos retángulos: C Considerr el triángulo retángulo de l figur 4. Todo triángulo tiene 6 elementos: ángulos y ldos. Siempre nos vn dr de esos elementos (en el so de un triángulo retángulo hy un dto implíito, A = 90º ), y resolver un triángulo onsiste en otener los restntes elementos, medinte ls siguientes herrmients mtemátis: º) B+ C = 90º, es deir, ddo uno de los dos ángulos gudos, el otro es su omplementrio. B A º) = +, es deir, el teorem de Pitágors, que nos permite, onoiendo dos ldos, hllr el terero. De tods forms, por uestiones didátis vmos prourr no utilizrlo en l medid de lo posile, y que es más rápido y prátio lo siguiente: º) Ls reliones trigonométris nteriormente definids. En l práti utilizremos sólo ls tres direts: senb = = osc osb = = senc tgb = tg C = Ejeriios finl tem: y 4 Reseñ históri: Los griegos de l épo lejndrin ( prtir del siglo IV.C.) desrrollron l Trigonometrí esféri -l ul inluye ides ásis de l Trigonometrí pln- deido, sore todo, l ide de untifir l stronomí: predeir ls posiiones de los uerpos elestes, medir el tiempo, el lendrio, l nvegión y l geogrfí. El primer grn strónomo lejndrino fue Aristro (. 0-0.C.), que utilizó l geometrí pr medir distnis y tmños reltivos entre uerpos elestes. Hipro de Nie ( C.) fue el primero en onstruir tls trigonométris, pliándols l estudio de l óved eleste. Se le onsider el funddor de l Trigonometrí. Ptolomeo de Alejndrí ( ), responsle del modelo de sistem solr geoéntrio que estrí vigente durnte muhos siglos, esrie hi el ño 50 el Almgesto, el liro más importnte de Trigonometrí de l ntigüedd. Continudor de l or de Hipro y Menelo, en él se mezln Trigonometrí y Astronomí. Reoge, entre otrs, ls fórmuls del seno de l sum y de l rest de dos ángulos, sí omo l del seno del ángulo mitd. Ello le permite onstruir uns omplets tls trigonométris. Este liro pone l Trigonometrí en su form definitiv, que perdurrá lrededor de mil ños. Durnte tod l Edd Medi no se produe ningún vne sustnil en este mpo. Como uriosidd, Roerto de Chester (s. XII) es el responsle de l tul plr seno, l trduir inorretmente del áre un ierto término, que él entendió omo sinus (hí o ensend, en ltín). Hst 450 l Trigonometrí sore todo er esféri, pero prtir de es feh empezó tener importni l Trigonometrí pln, de l mno de los lemnes. Johnn Müller (46-476), más onoido omo Regiomontno, expone los oneptos fundmentles sore mgnitudes y rzones, resuelve prolems de triángulos y ord l Trigonometrí esféri. Construyó tls de senos y tngentes stnte exhustivs. Trdujo diretmente del griego. El lemán Georg Johim Rhetius (54-576), lumno de Copérnio, ominó los vnes nteriores pr onstruir detllds tls de funiones trigonométris. A él se dee l noión tul de seno, y l utilizión de ls seis funiones trigonométris. Posteriormente, figurs omo el lemán Johnnes Werner (560-6), el frnés Frnçois Viet (540-60) et l. reunirán y sistemtizrán los onoimientos nteriores. 4 El riterio que se suele seguir es llmr A l ángulo reto, B y C los dos ángulos gudos, y los ldos on l letr minúsul del ángulo opuesto, es deir, es l hipotenus), y y los tetos.

9 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA I) AMPLIACIÓN de ls RAZONES TRIGONOMÉTRICAS CUALQUIER CUADRANTE II.) Ángulos positivos, negtivos y >60º: Puesto que hst hor nos eñímos un triángulo, es ovio que ulquier ángulo no podí sorepsr 80º. Sin emrgo, omo veremos ontinuión, existen ángulos myores, e inluso negtivos. Pr ello reurriremos los ejes rtesinos, que nos dividen el plno en utro udrntes. Por definiión: º) «Los ángulos omienzn siempre en l prte positiv del eje x». º) Por onvenio: «un ángulo se onsider positivo si v en sentido ontrrio ls gujs del reloj». «un ángulo se onsider negtivo si v en el sentido de ls gujs del reloj». Ejemplo 5: ángulos positivos en los utro udrntes: er udrnte o udrnte 60º 5º 0º er udrnte 5º 4 o udrnte Nótese que el sentido del ángulo (i.e. el signo) lo indi l fleh. Ejemplo 6: Como un vuelt omplet son 60º, es ovio ómo podemos definir los ángulos >60º: 40º 80º 900º 400º 40º = 60º+70º 80º = 60º+0º 900º = 60º+80º 400º = 60º +0º Ejemplo 7: ángulos negtivos: 5º 0º 90º 70º 90º 45º 50º 60º 5º = 45º 0º = 50º 70º = 90º 90º = 60º 70º

10 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA Ejeriios finl tem: 5 II.) Definiión de seno y oseno en l irunfereni goniométri: Vmos mplir l definiión de seno y oseno los utro udrntes. Pr ello utilizremos l llmd irunfereni goniométri, que es un irunfereni de rdio. Esto último es pr filitr los álulos. Veremos que hy senos y osenos negtivos: er udrnte: En el triángulo somredo el os serí el + + oiente entre teto dyente e hipotenus, y=sen pero omo est es, el os result ser el segmento horizontl resltdo, es deir, l sis. Por tnto, os >0. x=os Por lo que respet l sen, por l mism rzón result ser el segmento vertil resltdo, es deir, l ordend. Por tnto, sen >0. o udrnte: Ahor el os de nuevo es l sis, i.e. el + segmento horizontl resltdo que es negtivo. y=sen Por tnto, os < 0. x=os sen es siempre l ordend, i.e. el segmento vertil resltdo, que es positivo. Por tnto, sen >0. er udrnte: os es siempre l sis, i.e. el segmento horizontl resltdo os <0. x=os sen es siempre l ordend, i.e. el segmento vertil resltdo sen <0. y=sen 4 o udrnte: os = sis os >0. sen = ordend sen <0. x=os y=sen +

11 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA Nótese que, ovimente, sen y oseno están otdos: - sen - os Ejeriios finl tem: 6 II.) Gráfis de ls funiones seno y oseno: Es interesnte relizr el ejeriio 7 del finl del tem, que onsiste en, medinte tl de vlores propid, diujr ls gráfis de f (x ) =senx, f(x)=os x y f ( x ) =tgx. Pr ello hy que tener en uent que, hitulmente, se onsider x en rdines. Dihs gráfis pueden verse en el nexo finl del liro. Ejeriios finl tem: 8 8 II) RELACIONES ENTRE ls RAZONES de CIERTOS ÁNGULOS III.) Ángulos opuestos ( y -): sen sen ( ) Consideremos un ángulo en l irunfereni goniométri, que por simpliidd tomremos en el er udrnte (ver figur). Su opuesto, -, reordemos que, por ser negtivo, será en el sentido de ls gujs del reloj (en el diujo, el ángulo situdo en el 4º udrnte). Vemos que os y os (-) omprten el mismo segmento horizontl. Por lo tnto, os (-) = os. os=os ( ) Por otr prte, vemos que sen y sen(-) son opuestos, es deir, sen(-) = - sen. En resumen: sen ( α ) = sen α sen ( α) sen α tg ( α ) = = = tg α (7) os ( α ) = os α os ( α) os α III.) Ángulos suplementrios ( y 80º-): 80º os Supongmos en el er udrnte (ver figur). Su suplementrio 5, 80º-, se otendrá en el º udrnte prolongndo l líne horizontl disontinu. Por tnto, vemos que y 80º- tienen sus senos igules y sus osenos opuestos: os (80º ) sen (80º ) = sen sen (80º α ) = sen α os (80º α ) = os α tg (80º α ) = tg α (8) 5 Reordr que dos ángulos ern suplementrios undo sumn 80º. Por ejemplo, 0º y 60º.

12 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA III.) Ángulos que difieren 80º ( y 80º+): os (80º ) sen 80º+ os Supongmos de nuevo en el er udrnte, y le summos 80º. El ángulo 80º+ se otendrá prolongndo el segmento ontinuo que define, on lo ul estrá en el er udrnte (ver figur). Por tnto, vemos que y 80º + tienen sus senos y osenos opuestos: sen (80º ) sen (80º +α ) = sen α os (80º α ) = os α tg (80º α ) = tg α (9) III.4) Ángulos que difieren un nº entero de vuelts ( y +k 60º): En este so no es neesrio her un diujo. Consideremos un ulquier, y le summos un número entero de vuelts, es deir, +k 60º. Es ovio que volverá l mismo punto de l irunfereni goniométri, es deir, mos ángulos son esenilmente el mismo. Por lo tnto mos ángulos tendrán el mismo seno y oseno: sen ( α + k 60º ) = sen α os ( α + k 60º ) = os α tg ( α + k 60º ) = tg α (0) III.5) Ángulos omplementrios ( y 90º-): En este so tmpoo es neesrio el diujo. Y vimos en () (pdo. I.4) que si dos ángulos son omplementrios (i.e. sumn 90º), entones el seno de uno es el oseno del otro, y vievers: sen (90º α ) = os α os α tg (90º α ) = = tg α () os (90º α ) = sen α sen α III.6) Ángulos que difieren 90º ( y 90º+): sen (90º ) = os sen 90º+ os Supongmos un en el er udrnte, y le summos 90º. Ello signifi que el triángulo somredo del er udrnte (ver figur) psrá ser el triángulo somredo semejnte del º udrnte. Por tnto, sen(90º+) psrá ser igul os. Y os ( 90º +) psrá ser igul sen, pero negtivo: os (90º ) = sen sen (90º +α ) = os α os (90º +α ) = sen α tg (90º +α ) = tg α () Apliión: Reduión l er udrnte: Supongmos que nos dn un rzón (seno, tngente, et.) de un ángulo ulquier, el ul no tiene por qué estr en el er udrnte; inluso puede ser un ángulo negtivo, y/o de vlor elevdo. Se trt de otener un

13 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA rzón de un ángulo del er udrnte que se equivlente l dd. Pr ello, si el ángulo es muy elevdo, es deir, super 60º, hy que restrle ls vuelts neesris, hst que se < 60º. A ontinuión, y dependiendo de en qué udrnte esté, hy que tener en uent el siguiente esquem: Aplir 80º () Aplir 80º Sustituir por el equivlente negtivo, y plir Ejemplo 8: Reduir os 0º l er udrnte, y ompror on l luldor. Soluión: En primer lugr, tenemos que reduir vuelts 0º, pr lo ul lo más prátio es dividir: 0º 60º 50º D=d C+R 0º 50º = 50º + 60º Es deir, 0º es equivlente 50º. Como éste está en el º udrnte, según el esquem () tenemos que plir ls fórmuls de 80º-: os 0º = os 50º = os (80º 0º ) = os 0º = 50º º ud. plir 80º- os (80º-) =-os NOTA: Compruéese medinte luldor l vlidez del resultdo. Ejeriios finl tem (reduión l er udrnte): 9 III.7) Rzones trigonométris de l sum y difereni (±β): sen ( α + β ) = sen α os β + os α sen β tg tg tg ( α + β ) = α + β () os ( α + β ) = os α os β sen α senβ tg α tgβ Oserviones: ) Ls dos primers fórmuls pueden ser demostrds, pero ello exede ls pretensiones del urso. No ostnte, hy infinidd de demostriones en Internet 6. L de tg(+β) es fáil de demostrr: 6 Ests fórmuls fueron utilizds, entre otros, por el suizo Jen Bernouilli ( ) y el frnés Thoms Fntet de Lgny (660-74) en tiempos modernos, si ien pree ser que Ptolomeo de Alejndrí ( ) y ls emple.

14 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA sen α osβ os α senβ + sen( α + β) senα osβ + os α senβ osα osβ osα osβ tgα + tgβ tg ( α + β ) = = = = os ( α + β) osα osβ senα senβ osα osβ senα senβ tgα tgβ osα osβ osα osβ dividimos mos términos de l frión por os osβ (C.Q.D.) ) Tmién existen ls nálogs pr l rest: sen ( α β ) = sen α os β os α sen β tg tg tg ( α β ) = α β (4) os ( α β ) = os α os β + sen α senβ + tg α tgβ Su demostrión es stnte senill, prtiendo de ls fórmuls preedentes. Por ejemplo, pr sen(-β): ( ) ( ) ( ) ( ) sen α β = sen α + β = senα os β + osα sen β = senα osβ osα sen β (C.Q.D.) os (-β) = osβ sen (-β) =-senβ Ejeriios finl tem: 4 Ls otrs dos se demuestrn nálogmente. Pruéese. III.8) Rzones trigonométris del ángulo dole (): sen α = sen α os α tg α tg α = (5) os os sen tg α α = α α Ests fórmuls se demuestrn trivilmente prtir de (), sustituyendo β=. Se dej omo ejeriio her l demostrión de ls tres identiddes. Ejeriios finl tem: 4 4 III.9) Rzones trigonométris del ángulo mitd (/): α os α sen = ± α os α tg = ± os + os α (6) α + α os = ± Oserviones: ) Vmos demostrr l primer de ls identiddes 7. Pr ello prtimos de l fórmul fundmentl de l Trigonometrí, (4), y de l fórmul del oseno del ángulo dole, (5.), que sumremos miemro miemro: 7 Ests fórmuls fueron empleds en primer lugr por el griego Ptolomeo de Alejndrí ( ).

15 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA os + sen = os sen = os summos ms igulddes miemro miemro + os + os α + osα os = + os os = os = ± os = ± (C.Q.D.) hemos el mio =/ L segund expresión se demuestr de mner similr, pero restndo l prinipio. En unto l terer, su otenión es trivil. ) El signo + o - se dee esoger en funión de en qué udrnte se enuentre /, lo ul su vez depende de en uál esté : α α α α er er ud. 90º 0º 45º 0º ud. α α α α o er ud. 80º 90º 90º 45º ud. α α α α er o ud. 70º 80º 5º 90º ud. (7) α α α α o o 4 ud. 60º 70º 80º 5º ud. Ejemplo 9: Hllr ls rzones de 5º, y ompror on l luldor. Soluión: 0º os 0º sen5º = sen = + = = = = º + os 0º + + os5º = os = + = = = = 4 Nótese que en ls fórmuls de sen/ y os/ hemos elegido el signo + delnte del símolo rdil, pues 5º er udrnte. Puede omprorse on l luldor l vlidez de estos resultdos. Ejeriios finl tem: 4 5 ( ) ( ) tg5º = sen5º ( ) = = = = os5º + + ( + )( ) 4 = III.0) Trnsformiones de sums (o rests) en produtos: sen A + senb = A + B A B sen os sen A senb = A + B A B os sen os A + osb = A + B A B os os A + B A B os A osb = sen sen (8)

16 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA Oserviones: ) Vmos demostrr l primer de ls identiddes 8. Pr ello prtimos de ls fórmuls de sen(+β) y sen(-β), [(.) y (4.)], ls ules sumremos miemro miemro: sen ( α + β ) = senα osβ + osα senβ sen ( α β ) = senα osβ os α senβ summos ms igulddes miemro miemro sen ( α + β ) + sen ( α β ) = sen α osβ Hemos el mio A + B A B sen A + sen B = sen os (C.Q.D.) α + β = A α β = B Ls restntes expresiones se demuestrn de mner similr, pero prtiendo de l prej de fórmuls propid. Demuéstrense omo ejeriio. ) Tmién existen ls trnsformiones de produtos en sums: ( ) ( + ) sen x sen y = os x y os x y os x os y = os x y os x y sen x os y = sen x y sen x y ( ) + ( + ) ( ) + ( + ) (9) Ests fórmuls no serán utilizds este urso, no sí el siguiente. L terer, por ejemplo, prátimente y fue otenid en el primer pso de l demostrión nterior. Ls otrs dos se demuestrn nálogmente (ejeriio 56). Ejeriios finl tem: 5 Identiddes y euiones trigonométris: «Un identidd trigonométri es un iguldd en l que l vrile o inógnit está en un rzón trigonométri, y que se verifi siempre, se ul se el vlor de dih vrile». Y hemos visto un grn número de identiddes trigonométris, l myorí de ls ules hemos demostrdo. Ejemplo: sen x +os x = es un identidd trigonométri, pues se verifi x R. Pero existen infinidd de identiddes trigonométris, que siempre demostrremos prtiendo de ls fórmuls preedentes, y hiendo demás, hitulmente, determinds mnipuliones lgeris. Ejeriios finl tem: «Un euión trigonométri es un iguldd en l que l vrile o inógnit está en un rzón trigonométri, y que se verifi pr lgunos vlores de dih inógnit». 8 Ests fórmuls fueron empleds por primer vez -d uno seprdmente- por el serdote y geógrfo lemán Johnnes Werner (560-6) y el insigne mtemátio frnés Frnçois Viète (540-60).

17 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA Ejemplo: sen x-senx =0 es un euión trigonométri, pues su soluión, o mejor diho sus soluiones son x =k 80º; x = 90º+k 60º, donde k Z (ejeriio 58 g). Compror lguns soluiones. Ls euiones trigonométris se resuelven hiendo sustituiones medinte l pliión de ls fórmuls trigonométris más hitules, seguids de mnipuliones lgeris, mios de vrile, et. Alguns pueden requerir un rduo proeso. Ejeriios finl tem: III) RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS IV.) Teorem del seno: C Considerr el triángulo oliuángulo (es deir, no retángulo) de l figur. Se umple que: h «Los ldos de un triángulo son proporionles los senos de los ángulos opuestos» B A = = sen A sen B sen C (0) Demostrión: Trzmos un de ls tres lturs, por ejemplo h, es deir, l orrespondiente l ldo : h sen A = ; h = sen A sen A = senb; = (C.Q.D.) h sen A sen B senb ; h senb = = L terer expresión del teorem se otiene nálogmente. Oserviones: ) El teorem del seno se pli hitulmente triángulos oliuángulos, pero nótese que tmién se umple en un triángulo retángulo (ver figur): A = 90º sen A = = = sen B = ; sen C = sen B sen C C es deir, otenemos ls rzones trigonométris vists en el pdo. I.6. ) Reordr que l hor de resolver un triángulo nos dn tres de sus elementos, es deir, tres letrs, y hy que hllr los otros tres elementos. Pues ien, l expresión (0) sólo tiene utilidd lógimente undo lgun de ls tres letrs está repetid, pues B A

18 en ese so se puede plir un proporión on un sol inógnit. Mtemátis I TRIGONOMETRÍA ) Cuiddo! Si utilizmos el teorem del seno pr hllr un ángulo, reordr que hy dos rosenos (que son suplementrios) y que uno de ellos puede que de ser desehdo. Por lo tnto se reomiend, l hor de hllr un ángulo, plir siempre que se posile el teorem del oseno. Ejemplo 0: Diujr el triángulo de dtos =6m, B=45º, C=05º, y resolverlo. (Ejeriio 60) Soluión: (Solu: A=0º, 8,49 m,,59 m) IV.) Teorem del oseno: C En todo triángulo se umple que: h «El udrdo de un ldo ulquier es igul l sum de los udrdos de los otros dos ldos menos el dole produto de dihos ldos por el oseno del ángulo omprendido» B x x A = + os A = + osb = + osc () Demostrión: Trzmos un de ls tres lturs, por ejemplo h, es deir, l orrespondiente l ldo, y plimos el teorem de Pitágors los dos triángulos retángulos en que nos qued dividido el triángulo originl: = h + x x = h x x x = + = h + ( x) = h x x h + x + x + = = + = + x osb (C.Q.D.) x osb = x = osb

19 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA Ls otrs dos expresiones se demuestrn nálogmente, sin más que onsiderr ls otrs dos lturs. Oserviones: ) El teorem del oseno se pli hitulmente triángulos oliuángulos, pero nótese que tmién se umple en un triángulo retángulo. De heho, es un generlizión del teorem de Pitágors (ver figur): C A = 90º os A = 0 = + sustituimos en (.) Y si sustituimos est expresión en (.): = + + osb osb = B A osb = Lo mismo ourre on (.), es deir, otenemos de nuevo ls rzones trigonométris vists en el pdo. I.6. ) El teorem del oseno se utiliz sólo undo los dtos que nos dn son letrs distints ( difereni del teorem del seno). ) Y hemos omentdo que, l hor de hllr un ángulo, se reomiend plir el teorem del oseno. De heho, (0) se puede ver tmién de l siguiente form: os A = osb = osc = () Ejemplo : Diujr el triángulo de dtos =0dm, =7 dm, C=0º, y resolverlo. (Ejeriio 60) Soluión: (Solu: 5,7 dm, B 4º 8', A 08º ')

20 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA 4) Cuándo plir uno u otro teorem? L siguiente tl-resumen nos puede yudr: DATOS: EXISTENCIA de SOLUCIÓN? RESOLUCIÓN: UN LADO y ÁNGULOS Si A +B <80º º) C =80º-(A+B) º) Los otros ldos por th. del seno A B DOS LADOS y el ÁNGULO COMPRENDIDO C Siempre Aplir th. del oseno dos vees A DOS LADOS y el ÁNGULO OPUESTO UNO de ELLOS (CASO DUDOSO) A A A Sle sen B > solu. Sle sen B= solu. (es un triángulo retángulo en B) Sle sen B< puede her solu., o solu (B y B suplementrios) (ver figur) Aplir th. del seno dos vees TRES LADOS Siempre que l sum de dos ldos ulesquier se > que el er ldo Aplir th. del oseno dos vees Ejeriios finl tem: 60 hst el finl IV) ÁREA del TRIÁNGULO B V.) Triángulos retángulos: Se reomiend l onoid fórmul: A = () C A

21 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA V.) Triángulos oliuángulos: «El áre del triángulo es igul l semiproduto de dos ldos ulesquier por el seno del ángulo omprendido» C h A = sen A A = senb A = senc (4) B A Demostrión: Trzmos un de ls tres lturs, por ejemplo h, es deir, l orrespondiente l ldo, y plimos (): A = h = sen A (C.Q.D.) h = = sen A h sen A Ls otrs dos expresiones se demuestrn nálogmente, sin más que onsiderr ls otrs dos lturs. Oserviones: ) (4) es un generlizión de (). En efeto, si el triángulo es retángulo, entones A=90º, on lo que sena=, y (4.) se onvierte en (). ) Tmién existe l onoid fórmul de Herón 9 (ver demostrión en Internet), que permite hllr ómodmente el áre del triángulo, exlusivmente en funión de sus ldos: ( )( )( ) A = s s s s, donde s es el semiperímetro, i.e. s = + + (5) 9 Deid Herón de Alejndrí, mtemátio griego nterior l siglo I de nuestr er.

22 75 EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA Repso Trigonometrí elementl:. Completr en el uderno l siguiente tl: Grdos 05º 5º 0º 5º Rdines 4π/9 rd π/5 rd rd. Uso de l luldor: ) Hllr, on utro ifrs deimles ien proximds, el vlor de ls siguientes rzones trigonométris: sen 5º os 70º tg 5º sen 6º 7 os 78º 4 8 tg 4º 4 se º ose º tg 54º sen 5º os 05º ) Dds ls siguientes rzones trigonométris, hllr el ángulo gudo α del que proeden: sen α=0,5 os α=0,74 tg α= se α=,8 tg α=,5 ) Ddo os α=0,, hllr, medinte luldor, tg α, on utro deimles. (Solu: 4,8990) d) Ddo sen α=0,56, hllr, medinte luldor, os α (Solu: 0,885) e) Dd tg α=, hllr, medinte luldor, sen α (Solu: 0,8944) f) Dd ose α=, hllr, medinte luldor, os α (Solu: 0,948) g) Dd se α=,5, hllr, medinte luldor, tg α (Solu:,80) h) Dd tg α=, hllr, medinte luldor, ose α (Solu:,6). Resolver los siguientes triángulos, retángulos en A, plindo, siempre que se posile reliones trigonométris ( no el teorem de Pitágors!); hllr tmién su áre: ) =0 m, B=47º (Solu: C=4º; 4,0 m; 8,4 m; S ABC 557,64 m ) ) =4,5 m, =5,8 m (Solu: B 57º ; C º6 8 ;,90 m; S ABC 409,99 m ) ) =,8 m, B=º (Solu: C=68º; 87,56 m; 8,8 m; S ABC,40 m ) d) =8 mm, =6 mm (Solu: B 5º7 48 ; C 6º5 ; =0 mm; S ABC=4 mm ) e) =8 km, =6 km (Solu: B 48º5'; C 4º 5'; 5,0 km; S ABC 5,87 km ) f) = m, =5 m (Solu: B 67º'48 ; C º7' ; = m; S ABC 0 m ) g) =4,7 dm, C=º (Solu: B=59º; 8,9 dm; 7,06 dm; S ABC 57, dm ) h) =4 dm, B=67º ' (Solu: C º9';,99 dm; 97,6 dm; S ABC 84,9 dm ) 4. Un esler de omeros de 0 m de longitud se h fijdo en un punto de l lzd. Si se poy sore un de ls fhds form un ángulo on el suelo de 45º y si se poy sore l otr form un ángulo de 0º. Hllr l nhur de l lle. Qué ltur se lnz sore d fhd?

23 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA (Solu: nhur 5,7 m; ltur 7,07 y 5 m respetivmente) Rzones trigonométris en ulquier udrnte: 5. Expresr los siguientes ángulos omo sum de un número entero de vuelts y un ángulo positivo menor de 60º o π rd (her el diujo en el so de los ino primeros): ) 00º ) 9π/ rd ) 970º d) -00º e) -040º f) 0π rd g) 4π/4 rd h) 500º i) π/ rd j) -60º k) 6π/5 rd l) 4π/6 rd m) 4980º (Solu: ) 0º; ) π/ rd; ) 90º; d) 60º, e) 40º; f) 0 rd; g) π/4 rd; h) 60º; i) π/ rd; j)60º; k) π/5 rd; l) 7π/6 rd; m) 00º) 6. Sore ppel milimetrdo, y pr d uno de los prtdos que figurn ontinuión, trzr un irunfereni de rdio unidd (usr e indir un esl onveniente), señlr en ell los ángulos en uestión (utilizr pr ello un trnsportdor de ángulos) y trzr su seno y oseno, medir éstos proximdmente, y omprr el resultdo otenido on l luldor: ) 0º y 50º ) 45º y 5º ) 90º, 80º y 70º d) 60º y 00º e) 0º, 60º y 0º 7. Utilizndo l luldor, onstruir un tl de vlores propid pr representr, sore ppel milimetrdo, ls funiones sen x, os x y tg x (Pueden verse dihs gráfis en el nexo finl de este liro) 8. Siendo que os α=-/5 y 80º<α<70º, lulr ls restntes rzones trigonométris medinte identiddes trigonométris (no usr deimles). Compror el resultdo hllndo α on l luldor. (Solu: sen α=-4/5, tg α=4/; α º 7' 48'') 9. Siendo que tg α=-/4 y α 4º udrnte, lulr ls restntes rzones trigonométris, y ompror. (Solu: sen α=-/5, os α=4/5; α º 7' 48'') 0. Ídem on se α= y 0<α<π/ (Solu: sen α=. Ídem on tg α=- y π/<α<π (Solu: sen α= /, os α=/, tg α= 0 /0, os α=- 0 /0) ; α=60º). Ídem on os α=0, y π/<α<π (Solu: sen α=- 6 /5, tg α=- 6 ). Ídem on sen α=-0, y π<α<π/ (Solu: os α -0,95, tg α 0,; α 97º 7' 7'') 4. Ídem on tg α=4/ y π<α<π/ (Solu: sen α=-4/5, os α=-/5) 5. Clulr ls restntes rzones trigonométris siendo que: ) os α=4/5 70º<α<60º e) sen α=/4 α er ud. i) tg α=/4 0º<α<90º ) tg α=/4 80º<α<70º f) os α=-/ α º ud. j) se α=- α er ud. ) sen α=/5 90º<α<80º g) ose α=- 80º<α<70º k) ose α= 5 α º ud. d) tg α=- 90º<α<80º h) se α= 0º<α<90º 5 5 (Solu: ) sen α=-/5, os α=-4/5; d) sen α= /5, os α=- /5, g) sen α=-/, os α=- /; k) sen α=- 5 5 l) sen α= /5, os α=- /5) /, tg α=;

24 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA 6. Determinr los vlores de sen α y tg α siendo que tg α > 0 y os α=-5/ 7. Enontrr el ángulo α y ls demás rzones trigonométris siendo que sen α=/ y os α=- / 8. Resolver ls siguientes euiones trigonométris senills: ) sen x = ) os x = ) tg x = d) sen x = e) os x = f) tg x = Reduión l er udrnte: 9. Hllr, sin luldor: ) sen 570º ) os 450º ) sen (-0º) d) os (-40º) e) tg 565º f) os 5π/ rd g) sen 55π/6 rd h) tg 79π rd (Solu: ) -/; ) -/; ) - /; d) -/; e) ; f) 0; g) -/; h) 0) 0. Ídem: ) os 5º ) os(-60º) ) tg 0º d) sen (-470º) e) tg 900º f) sen 9π/6 rd g) os π rd h) os(-950º) i) tg 9π/4 rd j) sen π/4 rd k) tg π/ rd (Solu: ) - /; )/; ) - ; d) -/; e) 0; f) -/; g) -; h) - /; i) ; j) -; k) ). Expresr ls siguientes rzones en funión de l de un ángulo del er udrnte: ) sen 485º ) os 560º ) sen 000º (Solu: sen 45º; -os 60º; -sen 80º). Ídem: ) sen 00º ) os (-690º) ) tg 70º d) sen (-755º) e) sen (-0º) f) tg (-50º) g) sen 700º h) se (-5º) i) os (-0º) j) ose 440º (Solu: ) -sen40º; )os0º; ) -tg0º; d) sen45º; e) -sen60º; f) tg0º; g) 0; h) se5º; i) os0º; j) ose80º). Expresr seno, oseno y tngente de 755º en funión de un ángulo del er udrnte. Compror el resultdo on l luldor. Rzones trigonométris de diión y sustrión: 4. ) Hllr medinte ls fórmuls trigonométris orrespondientes (sin luldor, y sin utilizr deimles) el seno, oseno y tngente de 75º. ) Utilizndo los resultdos nteriores, lulr, de l form más rápid posile, (sin luldor y sin utilizr deimles) el seno y l tngente de los siguientes ángulos: i) 05º ii) 65º iii) 5º iv) 95º v) 5º (Compror todos los resultdos on l luldor) 5. Si sen x=/ y sen y=4/5, siendo x e y er udrnte, lulr: ) sen (x+y) ) sen (x-y) ) os (x+y) d) os (x-y) (Solu: ) 56/65; ) 6/65; ) -/65; d) 6/65) 6. Si tg =/4, hllr tg (+0º) y tg (45º-) Solu : ; 9 7

25 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA 7. Hllr el seno y el oseno de 9º y 6º en funión de os 6º 8. Hllr, sin luldor, 8sen05º sen45º (Solu: 4+4 ) Rzones trigonométris de -α, 80-α, 80+α, et: 9. Expresr únimente en funión de ls rzones trigonométris de α: ) π os +α ) 9π os α ) tg ( α + 5π) d) 5π sen α e) tg ( 60 α) (Solu: ) sen α; ) sen α; ) tg α; d) -os α; e) -tg α) 0. Simplifir ls siguientes expresiones: ) tg(α+80º)+tg(α-80º)+tg(α-70º)+tg(60º-α) ) sen(α+5π)+sen(α-π)+sen(α+π)+sen(α+π) (Solu: ) tg α- tg α; ) - sen α). Clulr sen (5π-x) siendo que os x=0,5 y x 4º ud. (Solu: - /). Siendo tg x=/ lulr: ) π tg x ) tg( π x) ) tg ( π + x) (Solu: /; -/; /) π π. Siendo que tg =/ lulr: ) os ( π + ) ) os ( π ) ) sen d) sen + / / / / (Solu: ) ; ) ; ) ; d) ) Rzones trigonométris del ángulo dole: 4. Clulr el seno y el oseno de 0º en funión de sen 0º, y ompror el resultdo on l luldor. 5. Hllr sen x, os x y tg x, siendo x er udrnte, en d uno de los siguientes sos: ) sen x=/ ) os x=/5 ) sen x=5/ / (Solu: ) ; /; ) 4/5; -7/5; -4/7 ) 0/69; 9/69; 0/9) 6. Ddo er udrnte tl que (Solu: sen = /; os =/) tg =, hllr ls rzones trigonométris del ángulo. 6 Otener gráfimente, utilizndo l irunfereni trigonométri, el ángulo del ejeriio nterior. (Solu: =0º) 7. Expresr sen y os en funión de sen y os respetivmente (Solu: sen =sen -4sen ; os =4os -os ) 8. Si os α=/5 y α er udrnte, lulr ls rzones trigonométris del ángulo 90º-α (Solu: -/5; 4 6/5)

26 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA 9. Si tg α=4/, hllr os α (Solu: 7/5) 40. Dd tg = y er udrnte, hllr ls rzones de. (Solu: sen = /; os =-/) 40.Hllr el ángulo del ejeriio nterior y ompror, sin luldor, el resultdo nterior. (Solu: =40º) 4. Siendo que tg =, hllr sen y os, siendo que <90º. De qué ángulo se trt? (Solu: sen =/; os= /; =0º) Rzones trigonométris del ángulo mitd: 4. Clulr tg π/8 (Solu: -) Solu : os = 4. Ddo α 4º udrnte tl que se α=, hllr os α/ 4. Otener gráfimente, utilizndo l irunfereni trigonométri, el ángulo α del ejeriio nterior. Compror, ontinuión, medinte fórmuls trigonométris (sin luldor) el resultdo nterior. (Solu: α=00º) 44. Se un ángulo situdo en el º udrnte tl que tg =-/4. Hllr ls rzones trigonométris del 0 0 Solu : sen = ; os = ángulo / Compror on l luldor el resultdo del ejeriio nterior. (Solu: 4º 7' 48'') 45. Ddo er udrnte tl que sen =-/, hllr ls rzones de /. De qué ángulo se trt? + Solu : sen = ; os = ; = 0º 46. Volver her el ejeriio 4, pero plindo ls fórmuls del ángulo mitd (Ayud: pr ello, plnter el mio de vrile =α/). ( ) 47. Ddo 4º udrnte on tg =, hllr ls rzones de / Solu : sen = ; os = 47. Otener gráfimente, utilizndo l irunfereni trigonométri, el ángulo del ejeriio nterior. Compror, ontinuión, medinte fórmuls trigonométris (sin luldor) los resultdos nteriores. (Solu: =00º) 48. Ddo α er udrnte tl que os α=-/, hllr, utilizndo l fórmul orrespondiente (resultdos simplifidos y rionlizdos; no vle utilizr deimles), y por este orden: ) sen α (Solu: /) ) os α/ (Solu: -/) ) sen (α-0º) (Solu: -/) d) tg (α+60º) (Solu: - ) e) Rzonr medinte l irunfereni goniométri (no vle on luldor) de qué α se trt. (Solu: 40º)

27 Solu : 0 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA 49. Ídem, ddo α 4º udrnte tl que tg α = ) os (α+0º) (Solu: /) ) tg (α-45º) (Solu: + ) ) sen (α+650º) (Solu: /) d) sen α/ (Solu: /) e) os α (Solu: -/) f) Rzonr (sin luldor) de qué α se trt. (Solu: 00º) 50. Ídem on α er udrnte tl que se α =- ) sen (α -60º) (Solu: ( - )/6) ) tg (α+45º) (Solu: -(9+4 )/7) ) os (α -640º) (Solu: (- 6)/6) d) os α/ (Solu: - /) e) sen α (Solu: 4 /9) f) Rzonr, medinte luldor y irunfereni trigonométri, de qué α se trt. (Solu: 50º ' 44'') 5. Ddo α 4º udrnte tl que sen α = / hllr, medinte ls orrespondientes fórmuls trigonométris (resultdos rionlizdos y simplifidos; no vle usr deimles): ) os α / (Solu: - /) ) sen ( 00º ) α (Solu: - /) tg α = 5. Siendo que y que π α π/, hllr medinte identiddes fórmuls trigonométris (resultdos rionlizdos y simplifidos; no usr deimles): + Solu ) sen α / : ) os ( α + 90º ) Trnsformión de sums en produtos: 5. Trnsformr en produto y lulr (ompror on l luldor): 6 ) sen 75º - sen 5º ) os 75º + os 5º ) os 75º - os 5º (Solu: ; ; ) Identiddes trigonométris: 54. Simplifir: ) sen 4α + sen α os 4α + os α (Solu: tg α) d) x tg x os sen x (Solu: tg x) ) sen α osα (Solu: tgα) e) α tg α sen + sen α (Solu: tg α) ) os (45º + α) os (45º α) os α (Solu: ) f) os( + ) + os( ) sen( + ) + sen( ) (Solu: tg )

28 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA g) + tgα tgβ tgα tgβ [Solu: tg(α+β)] h) x tg x + tg (Solu: os x) 55. Demostrr ls siguientes identiddes: ) os α = tg α sen α + os α ) sen α os α - sen α os α = sen α ) os α os (α-β) + sen α sen (α-β)=os β d) π sen α + osα = os α 4 e) se A tg A = i) sen A = osa j) sen x os x sen x tg x tgx = k) x tg sen x = x + tg f) A sena os A tg = = = osea tga + os A sena l) + sen x sen x = se x + tg x g) sen α sen α os α = = tg α sen α + sen α + os α h) α + β α β sen sen = senα senβ m) os x = tg x os x Demostrr ls siguientes fórmuls, llmds trnsformiones de produtos en sums: sen x sen y = os x os y = sen x os y = ( ) ( + ) os x y os x y ( ) + ( + ) os x y os x y ( ) + ( + ) sen x y sen x y Euiones trigonométris: 57. Resolver ls siguientes euiones trigonométris elementles: ) ) sen x = (Sol: x=60º+k 60º; x=0º+k 60º) os x = (Sol: x=5º+k 60º; x=5º+k 60º) f) sen x = 0 (Sol: x=k 80º) g) os x = (Sol: x=(k+) 80º) h) ose x = (Sol: x=0º+k 60º; x=0º+k 60º) ) tg x = (Sol: x=50º+k 80º) d) e) sen x = (x 9º8'6''+k 60º; x 60º'44''+k 60º) os x 4 = (x 4º7'48''+k 60º; x 6º5'''+k 60º) 5 i) se x = (Sol: x=50º+k 60º; x=0º+k 60º) j) tg x = (Sol: x=60º+k 80º) k) ose x = (Sol: / solu)

29 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA l) sen x + os x = (Sol: Se verifi x R) m) os x = (Sol: x=0º+k 0º; x=0º+k 0º) n) π sen x + = [Sol: x=kπ; x=(4k+) π/] Resolver ls siguientes euiones trigonométris más elords: ) sen x + os x = (Sol: x=45º+k 60º) ) ) sen x os x = (Sol: 0º, 50º, º4 5 y 8º5 5 ) sen x os x = (Sol: x=45º+k 80º) d) sen x=os x (Sol: x=0º+k 60º; x=50º+k 60º; x=90º+k 80º) e) sen x + os x = (Sol: x=k 60º; x=0º+k 60º) f) os x-sen x+=0 (Sol: x=90º+k 80º) g) sen x-senx=0 (Sol: x=k 80º; x=90º+k 60º) h) os x os x = 0 (Sol: x=90º+k 80º; x=0º+k 60º; x=0º+k 60º) i) sen x-os x= (Sol: x=90º+k 80º) j) os x-sen x=0 (Sol: x=45º+k 90º) k) os x+senx= (Sol: x=90º+k 60º; x=0º+k 60º; x=0º+k 60º) l) tg x tg x = 0 (Sol: x=k 80º; x=0º+k 60º; x=0º+k 60º) m) π sen + x sen x = 0 (Sol: x=π/4+k π) 4 n) π π sen x + os x = 6 (Sol: x=60º+k 60º; x=00º+k 60º) o) senx-os x=0 (Sol: x=90º+k 80º; x=45º+k 80º) p) osx-senx+=0 (Sol: x=0º+k 60º; x=50º+k 60º) q) 4sen x os x+os x-=0 (Sol: x=k 80º; x=45º+k 90º) r) 4sen x+senx osx-os x=0 s) (Sol: x=6º5,6 +k 80º; x=5º+k 80º) x os + os x = (Sol: x=90º+k 80º) t) x tg + = os x (Sol: x=k 60º) u) x sen + os x = 0 v) osx+senx= w) tgx tgx= (Sol: x=90º+k 80º; x=60º+k 60º; x=00º+k 60º) x) osx osx+os x=0 y) sen x=tg x z) x sen + os x = α) senx osx=6sen x β) π tg x + tg x = 4 γ) sen x os x = (Sol: x=50º+k 60º) 59. Resolver ls siguientes euiones, trnsformndo ls sums y diferenis en produtos: ) senx-senx=osx ) sen 5x + sen x = os x + os x ) sen x + sen x = os x os x d) senx-osx=senx-osx Resoluión de triángulos oliuángulos: 60. Resolver los siguientes triángulos y hllr su áre (on * se indi el so dudoso): ) =6 m, B=45º, C=05º (Solu: A=0º, 8,49 m,,59 m, S ABC 4,60 m ) ) =0 dm, =7 dm, C=0º (Solu: 5,7 dm, B 4º 8', A 08º ')

30 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA ) =5,4 dm, A=49º 8', B=70º ' (Solu: C=60º ', 8,66 dm,,58 dm, S ABC 49,94 dm ) d) = m, =4 m, =5 m (Solu: A 5º 7' 48'', B 59º 9' '', C 67º ' 48'', S ABC 84m ) * e) =4, =, B=40º ' (Solu: A 58º ', C 80º 56', 48,6; S ABC 66,55 A º 7', C 8º, 5,; S ABC 07,7) f) =5, =, =7 (Solu: A 4º 54', B 86º 8', C 50º 8') g) =0 mm, =7 mm, C=60º (Solu: 8,89 mm, A 76º 59' 46'', B 4º 0' 4'', S ABC 0,mm ) h) =0, =9, =7 (Solu: A 76º ', B 60º 57, C 4º 50') * i) =60 m, =40 m, A=4º (Solu: B 6º 0', 8,4 m, C º 0', S ABC 6,5 m ) * j) =40 m, =60 m, A=7º (Solu: / solu) * k) =50, =60, A=4º (Solu: B 5º 5', C 84º 5', 74,9 B 6º 5', C º 5', 4,9) l) A=0º, B=45º, = m (Solu: C=05º, = m,,9 m, SABC 0,68 m ) m) = hm, = hm, A=60º (Solu: = 7 hm, B 79º, C 40º 54', SABC = / hm ) n) A=0º, =, = * o) =4, =5, B=0º p) =79, =4, =64 * q) = hm, =57 hm, A=50º (Solu: / solu) r) =7, =57, C=75º 47' s) =,78, A=05º, B=8º 47' * t) =40, =60, A=º * u) =60, =40, A=8º v) =8 m, B=0º, C=05º (Solu: 5,66 m, 0,9 m, S ABC,86 m ) w) A=60º, B=75º, = m x) =4 km, B=45º, C=60º y) =4 mm, = mm, =6 mm z) = m, = m, B=60º α) =5 dm, = dm, =4 dm * β) =0 dm, =9 dm, C=45º γ) A=0º, =0 m, C=75º (Solu: B=75º, 5,8 m, =0 m, S ABC=5 m ) 6. Resolver el triángulo ABC siendo que su perímetro es 4 m, es retángulo en A y sen B=/5 (Solu: =0 m, =6 m, =8 m) 6. Clulr el áre de un triángulo de dtos =8 m, B=0º, C=45º 6. En un prlelogrmo ABCD el ldo AB mide 6 m, el AD 8 m, y el ángulo A=0º. Hllr sus digonles. 64. Hllr los ldos de un triángulo siendo que su áre mide 8 m y dos de sus ángulos A=0º y B=45º (Solu: 5, m, 7,6 m, 9,9 m)

31 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA 65. TEORÍA: Demostrr, utilizndo el teorem del oseno, que el triángulo de ldos 9, y 5 es retángulo. * 66. Uno de los ldos de un triángulo es dole que el otro, y el ángulo omprendido vle 60º. Hllr los otros dos ángulos. (Solu: 0º y 60º) Prolems de plntemiento: 67. Un grupo deide eslr un montñ de l que desonoen l ltur. A l slid del puelo hn medido el ángulo de elevión, que result ser 0º. A ontinuión hn vnzdo 00 m hi l se de l montñ y hn vuelto medir el ángulo de elevión, siendo hor 45º. Clulr l ltur de l montñ. (Solu: 6,60 m) 68. Ros y Jun se enuentrn mos ldos de l orill de un río, en los puntos A y B respetivmente. Ros se lej hst un punto C distnte 00 m del punto A desde l que dirige visules los puntos A y B que formn un ángulo de 0º y desde A ve los puntos C y B jo un ángulo de 0º. Cuál es l nhur del río? (Solu: 5, m) 69. Tres puelos A, B y C están unidos por rreters rets y llns. L distni AB es de 6 km, l BC es 9 km y el ángulo que formn AB y BC es de 0º. Cuánto distn A y C? (Solu: km 77 m) 70. Se h olodo un le sore un mástil que lo sujet, omo muestr l figur. Cuánto miden el le y el mástil? (Sol: le=5 m; mástil 7, m) 45º 0º 7º 60 m 80 m 7. Un gloo 0 m erostátio está sujeto l suelo medinte dos les de ero, en dos puntos que distn 60 m. El le más orto mide 80 m y el ángulo que form el otro le on el suelo es de 7º. Hllr l ltur del gloo y l longitud del le más extenso. (Sol: 7,80 m y 9, m, respetivmente) 7. Se lnz un flt desde un punto situdo 5 m y 8 m de mos postes de un porterí reglmentri de fútol, es deir, 7, m de longitud Bjo qué ángulo se verá l porterí desde diho punto? (Her un diujo previo que explique l situión). A qué distni se enuentr del entro de l porterí? (Sol: 4º 9' 54'') Si el punto estuvier 6 y 7 m, tendrí más ángulo de tiro? L distni, serí menor? 7. Desde l puert de un s, A, se ve el ine B, que está 0 m, y el quioso C, que está 85 m, jo un ángulo B ÂC = 40º Qué distni hy entre el

32 Mtemátis I TRIGONOMETRÍA ine y el quioso? (Her un diujo previo que explique l situión). (Sol: 77,44 m) 74. Dos ros slen simultánemente de un puerto on rumos que formn un ángulo de 8º. El primero nveg 8 mills por hor, y el segundo 5 mills por hor. Si mntienen inlterdos los rumos, uánto distrán entre sí l o de hors? (Solu: 86,0 mills) 75. TEORÍA: En l expliión del tem hy dos fórmuls uy demostrión no h sido heh. Se trt del seno de l sum de ángulos: sen ( α + β ) = sen α osβ + os α senβ y de l fórmul de Herón, pr hllr el áre de un triángulo: ( )( )( ) A = s s s s, donde s es el semiperímetro, i.e. s = + + Busr un demostrión en Internet, y psrl l uderno, prourndo entenderl.