2. Tratamiento de errores

Transcripción

1 . Tratamento de errores Carlos R. Fernández-Pousa e Ignaco Moreno Dvsón de Optca. Departamento de Cenca y Tecnología de Materales Unversdad Mguel Hernández de Elche.. Introduccón Se entende por medda la observacón cuanttatva de alguna magntud defnda en el ámbto de cualquer cenca. Toda medda epermental adolece de mprecsón porque los métodos e nstrumentos que se emplean para medr son mperfectos. Por eso, el número que epresa el resultado de una medda, además de r acompañado de la correspondente undad, debe estar tambén acompañado de otro número menor que llamamos error y que es un índce de la mprecsón de la medda... Tpos de errores Una medda drecta puede tener errores por tres motvos: Errores sstemátcos: se producen por una causa conocda y debe evtarse ntroducendo la correccón oportuna (por ejemplo, el error de cero). S no fuera posble evtarlos, las meddas deben corregrse tenendo en cuenta este error sstemátco. Errores de sensbldad: son debdos a la lmtacón en la precsón de cualquer aparato de medda. Errores aleatoros: se producen por causas desconocdas, por mprecsones en el método de medda o porque la magntud que se mde es ntrínsecamente aleatora.

2 Tratamento de errores -.3. Especfcacón de errores: error absoluto y error relatvo S denota el resultado de un epermento y su error, la epresón correcta del resultado meddo debe ser en la forma sguente. (.) Indca que el valor verdadero de la magntud se encuentra dentro del ntervalo entre y. La cantdad recbe el nombre de error absoluto de la medda. El error puede epresarse tambén en porcentaje, lo que se conoce como error relatvo r defndo como r 00. (.).4. Meddas drectas o por aparatos calbrados Una vez elmnados o corregdos los errores sstemátcos, el error epermental asgnado a la varable está determnado por el error de sensbldad (o escala) del aparato y el error aleatoro del epermento..4.. Error de sensbldad El error de sensbldad o escala s es el que se derva de la lmtacón en la escala mínma de los aparatos de medcón. Cada medda ndvdual está sujeta a este error. Se debe dstngur entre la medcón con aparatos analógcos y dgtales. Cuando se efectúa la medcón sobre una escala graduada de un aparato analógco, a menudo la ndcacón obtenda no se corresponde con una dvsón eacta de la escala, sno que queda comprendda entre dos valores (por ejemplo, meddas hechas con una regla). En estos casos puede hacerse la estmacón de forma vsual y se puede aprecar hasta la mtad de la dvsón de escala. Por tanto el error de sensbldad s asgnado a la medda es la mtad de la mínma dvsón del aparato de medda. Por el contraro, cuando el aparato de medda es dgtal, la aprecacón mínma que puede tomarse corresponde a la últma cfra que

3 Tratamento de errores -3 ndca el aparato. En estos casos, el error de sensbldad s que se debe asgnar a la magntud es gual a la mínma dvsón del aparato..4.. Error aleatoro: desvacón típca El error aleatoro a provene del hecho de que, al repetr un epermento, los resultados pueden dferr. Para este tpo de errores, la estmacón se hace medante la desvacón típca de los datos. Supongamos que se realzan meddas sucesvas,..., de una magntud. Asumendo que la dstrbucón de los datos es normal, el valor más probable de la magntud es el valor medo de los valores. Esto es, el valor que se asgna a la magntud es. (.3) El error aleatoro a asocado a esta medda es la desvacón típca de los datos (o error cuadrátco medo), que vene dado por la epresón a. (.4) Esta cantdad es una medda de la repetbldad de los datos, ya que cuanto mayor es la desvacón típca de los valores menor es el grado de concdenca, y por tanto mayor es el error Dspersón de meddas El número de meddas necesaro de una magntud para que el epermento pueda consderarse precso depende de la repetbldad de los valores obtendos. El crtero que segumos para determnar el número de meddas a realzar en un epermento es el sguente: Se toman tres meddas,, 3 de la magntud y se calcula su valor medo y la dspersón de los valores, defnda como la dferenca entre los valores etremos, es decr, Dmamn. Se calcula la dspersón relatva de los valores, D / 00 d. S d es menor al % es sufcente con las tres meddas realzadas. S d está entre el % y el 8% se hacen ses meddas. S d está entre el 8% y el 5% se hacen qunce meddas.

4 Tratamento de errores -4 S d es superor al 5% se hacen trenta meddas Cfras sgnfcatvas y redondeos Al presentar numércamente un resultado se debe tener en cuenta el concepto de cfra sgnfcatva. El número de cfras sgnfcatvas de un resultado se obtene contando desde la derecha el número de cfras de la cantdad hasta que encontremos un últmo número no cero, a partr del cual todos números a la zquerda son ceros. Por ejemplo el número 0,03 tene cfras sgnfcatvas. S hubésemos epresado el resultado como 0,030, éste tendría 3 cfras sgnfcatvas, y querría decr que el aparato de medda es capaz de medr hasta la cuarta cfra decmal. Cuando se da el valor de una medda epermental, el crtero que tomamos es que el error se epresa con una sola cfra sgnfcatva. El valor sempre debe redondearse por eceso o por defecto según sea el valor más cercano. El crtero para el resultado es asgnar cfras sgnfcatvas hasta el decmal que corresponde a la cfra del error. Por ejemplo, un resultado que sea, con un error 0,00 debe epresarse como,000,00. Tambén se realza el redondeo del resultado en funcón de cual es el valor más cercano. Por ejemplo, un resultado 4,56 con un error 0, debe epresarse como 4,30,. En cambo, s el valor hubese sdo 4,6 se debería epresar como 4,0, Epresón de errores Cuando se realza una medda epermental drecta se deben comparar las dos fuentes de error, el error de sensbldad o escala s y el error aleatoro a. La forma de presentar el resultado de la medda drecta consste en dar el valor medo de las meddas realzadas y asgnar a dcha medda un error gual al mayor de los dos errores, esto es ma(s,a. Ejemplo: Consderemos que se hace una medda de tempo con un cronómetro dgtal que apreca hasta las centésma de segundo. Se hacen tres meddas y el resultado es el sguente:

5 Tratamento de errores -5 t t t 3 5, s, 4, s, 5, 0.0 s. El valor medo de los valores es t 5, 0466 y su dspersón relatva es d0.55%. Como d<% no es necesaro tomar más meddas. El error de escala de cada medda es s0.0 s. El cálculo del error aleatoro da como resultado a0,070 s. Por lo tanto, el mayor factor de error es el error aleatoro. Aplcando el crtero de una cfra sgnfcatva en el error, el resultado de la medda drecta debe epresarse como t 5, s. El error relatvo es r 0,3%..5. Meddas ndrectas: propagacón de errores Las meddas ndrectas son aquellas que se obtenen como resultado de aplcar una fórmula teórca sobre valores que son el resultado de meddas drectas. S se tene una cantdad y que es funcón de m varables,,..., m, cada una con un error asocado,,..., m,, el cálculo del error y asocado al resultado de una ecuacón yf(,,..., m) se obtene por cálculo de propagacón de errores. Tomamos como crtero de error la propagacón de errores absolutos. Se obtene dferencando la funcón f y asemejando las dferencales a ncrementos fntos, y por lo tanto a errores, se obtene que f f y... f m m. (.5) Algunos autores consderan como crtero de error la propagacón de errores cuadrátcos, según el cual el error y vene dado por la relacón f f f y... m. (.6) m

6 Tratamento de errores -6 Ejemplo: se calcula la velocdad v de un cuerpo a partr de las meddas drectas del espaco recorrdo L y del tempo t empleado en recorrerlo, utlzando la relacón vl/t. Suponemos que los valores obtendos son L 0,5 0,05 m, t 0,54 0,08 s. El valor de la velocdad es v0,568 0,568 m/s, donde se utlzan los valores medos L y t. El error v que se debe asgnar a la velocdad es L v L 0,0044 0,0034 m/ s, t t donde nuevamente se usan los valores de L y t para evaluar la epresón. Por lo tanto, aplcando el crtero de una cfra sgnfcatva en el error, la velocdad debe epresarse como v 0,50,57 0,003 0,004 m / s. Algunos ejemplos de propagacón de errores en funcones sencllas son: Suma o resta: y y Producto: y y Cocente: y y y y.6. Consderacones para la reduccón de errores A contnuacón se dan algunas normas que se deben tener en cuenta al realzar una eperenca, y que ayudan a reducr los errores.. Se debe comenzar planfcando ben la eperenca, señalando claramente las varables a medr.. Delmtar los ntervalos de varacón de las varables a medr y probar dversas partes del dspostvo epermental para hacer una prmera estmacón del resultado. 3. Realzar una eperenca prelmnar, para encontrar la mejor manera de tomar las meddas epermentales.

7 Tratamento de errores Hacer todas las meddas en el ntervalo de tempo más corto posble, para evtar que alguna varable que debe permanecer constante pueda cambar. 5. Calbrar correctamente los aparatos de medda. 6. Corregr o tener en cuenta el error de cero de los aparatos de medda, a fn de evtar los errores sstemátcos. 7. Evtar el error de paralaje que se tene cuando el objeto que se quere medr se encuentra a certa dstanca de la escala, con lo que la línea de mrada varía el resultado, aumentando el error. Este tpo de error es común en aparatos en los que una aguja se mueve sobre una escala. La forma de evtarlo es procurar que la separacón entre la aguja y la escala sea mínma. 8. En la medda de funcones peródcas, en lugar de medr un solo perodo, hacer la medda sobre perodos, con objeto de reducr el error absoluto de la medda. Se calcula el perodo como medda ndrecta. 9. En las meddas en crcutos eléctrcos, es convenente garantzar que las coneones estén ben seguras, ya que sno pueden aparecer resstencas adconales que enmascaren los resultados. 0. Hacer las meddas de forma relatva sempre que sea posble, dada la comoddad que presentan.. S esten smetrías en el dspostvo epermental convene efectuar ntercambos, con lo que las meddas deberán quedar teórcamente nalterables. De esta manera se puede comprobar la bondad de los resultados..7. Representacón gráfca La presentacón de los resultados en forma de gráfcas tene gran utldad ya permte obtener una concepcón vsual de la evolucón de un epermento en funcón de una varable. Además se utlza para determnar el valor de una magntud, por lo general la pendente de una recta, que representa la relacón entre dos varables.

8 Tratamento de errores Gráfcas y tablas os restrngmos a gráfcas del tpo yf(). Se utlzan para representar un epermento físco en el que se varía de manera controlada una varable (que se representa en el eje de abcsas), y se mde su ncdenca en otra varable relaconada y (que se representa en el eje de ordenadas). La mejor forma de presentar las gráfcas es de la manera más senclla posble, pero que contenga toda la nformacón del epermento. Los ejes coordenados deben tener títulos que ndquen de qué magntud se trata, y en qué undades se epresa. Las escalas de ambos ejes deben abarcar todo el ntervalo de meddas realzadas, y solamente éste, aunque para ello el orgen de coordenadas no concda con el valor cero. Es convenente que en el fondo de la gráfca se presente una rejlla asocada a valores enteros de la escala de los ejes, para poder aprecar los valores de los puntos epermentales. Los datos se presentan en forma de puntos. Estos puntos tenen que estar acompañados de barras de error, tanto vertcales como horzontales que ndquen la mprecsón en las varables e y. S se presentan varas curvas en una msma gráfca, es convenente ntroducr una leyenda asgnando la característca de cada una de las curvas..7.. Ajuste por mínmos cuadrados En muchas ocasones la relacón funconal entre las varables e y es medante una recta yab, donde A y B son dos constantes que pueden tener nterés físco. Convene poder evaluar su valor y su error a partr de los datos epermentales. El problema consste en obtener los valores de A y B que mejor representen un conjunto Recta de regresón de valores epermentales {, y},,... El crtero que se sgue es obtener la recta que mnmce la suma de los cuadrados de las dstancas dy(ab). El resultado de dcho ajuste por mínmos cuadrados se puede epresar en funcón de los puntos {, y} como y d Fgura.. Se mnmza la suma de los cuadrados de las dstancas d a la recta de regresón.

9 Tratamento de errores -9 y y A, (.6a) y y B. (.6b) Epresones más elaboradas nos permten determnar el error de A, y el error de B: El ajuste medante una recta de regresón no es solamente váldo para el caso de un epermento que sgue una ley lneal. Se pueden ajustar a una recta otros comportamentos sn más que hacer una transformacón de los datos. Algunos ejemplos son: y : Se representa y a b. Defnendo ~ e ~ y y se puede hacer un ajuste a una recta ~ y A~ B, y los parámetros obtendos se relaconan con los de la ley orgnal según A a y B b. Ajuste de a b Ajuste de y b epa : se representa ln y ln b a. Defnendo ~ e y ~ ln y se puede hacer un ajuste a una recta ~ y A ~ B, y los parámetros obtendos se relaconan con los de la ley orgnal según A a y B lnb. Ajuste de y ba : se representa ln y ln b ln a. Defnendo ~ e y ~ ln y se puede hacer un ajuste a una recta ~ B y A ~, y los parámetros obtendos se relaconan con los de la ley orgnal según A ln a y B lnb.

10 Tratamento de errores Correlacón S nos fjamos en los tres conjuntos de datos que se representan en la fgura, se observa que en el prmero de ellos los datos se esparcen en forma de nube, sn una relacón entre ellos. En el segundo, la varable y tene una tendenca a aumentar a medda que aumenta. Fnalmente el tercero presenta una dependenca lneal muy acusada. y y y (a) (b) (c) Fgura.. Dstrbucón de datos (a) sn correlacón, (b) con dependenca estadístca y (c) con dependenca funconal (correlaconados) Se dce entonces que los datos e y de la prmera gráfca no están correlaconados, o que son ndependentes. En el segundo caso se dce que los datos presentan una dependenca estadístca, mentras que en el tercer caso presentan una dependenca funconal. Para evaluar numércamente estas tendencas se defne un coefcente de correlacón r que puede tomar valores entre y. S el valor de r es gual o smlar a entonces este una dependenca funconal; s es gual o cercano a cero, entonces las varables son ndependentes. El coefcente de correlacón vene dado por la epresón. r y y y y. (.8) Tanto el ajuste medante las ecuacones (.7) como la evaluacón del coefcente de correlacón dependen del número de meddas realzadas. Tomamos como crtero tomar al menos 6 meddas dferentes para poder consderar los resultados váldos.

11 Tratamento de errores -.8. Informe y memora de una eperenca Al realzar una eperenca, los datos deben anotarse con la máma clardad ya que frecuentemente serán analzados más adelante. Es aconsejable hacer las gráfcas y cuadros de datos en el msmo laboratoro mentras se hace la eperenca. El guón de práctcas es un documento que especfca el objetvo de la práctca, su metodología y srve de guía para su realzacón. El nforme de práctcas es el documento que presenta los resultados del epermento. Los apartados que debe contener el nforme de práctcas son:. Objetvo de la práctca.. Breve descrpcón teórca. 3. Breve descrpcón y reseña de ncdencas del montaje epermental. 4. Descrpcón comentada y reseña de ncdencas del desarrollo epermental. 5. Análss de los datos. Tablas de datos. Análss estadístco. Análss gráfco. 6. Presentacón y dscusón de resultados. Conclusones. Bblografía. C. Sánchez del Río, Análss de errores, Ed. Eudema.