Taller: Sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 Deprtmento de ienis ásis Asigntur: Mtemátis I Doente: Vitor Hugo Gil Avendño Apellidos-Nomres: 0 de mrzo de 08 Tller: Sistems de euiones lineles Un sistem de euiones es un onjunto de dos o más euiones on vris inógnits. Este ño trjremos sistems on dos euiones y dos inógnits (llmdos x) y on 3 euiones y 3 inógnits (3x3) Un soluión l sistem orresponde un vlor pr d inógnit, de modo que l remplzrls en ls euiones se stisfe l iguldd. Expresremos ls soluiones de un sistem de euiones omo pres ordendos (x, y) o (x,y,z) según se el so. Cd euión en un sistem se represent por medio del gráfio de un líne ret. Ténis de resoluión de sistems de x ) Resoluión Gráfi: Pr resolver un sistem de euiones por el método gráfio deemos de: 3x + y = 4 { y + x = Se el sistem: Primero, se despej l inógnit y pr esriirlo en l form de un euión prinipl, omo sigue: L : y = 3x + 4 L : y = x Pr trzr ls rets, se signn dos vlores distintos x, y se lul el orrespondiente vlor de y, en d so.

2 Deprtmento de ienis ásis Se mrn estos dos puntos en el plno rtesino. Luego, se trz l ret que ps por estos dos puntos, y se repite el proedimiento pr l otr euión. En este so, en l primer euión, si x = 0, entones y = 4, esto orresponde l punto A(0, 4). Por otro ldo, si x =, entones y =, que orresponde l punto B(, ). De l mism mner, en l segund euión, si x = 0, entones y = ; esto orresponde l punto C(0, ). si x =, entones y = 3, que orresponde l punto D(, 3). Con esto se pueden grfir ms rets omo lo muestr el siguiente grfio Ls rets se intersen en el punto E(, ). Entones, x =, y = es soluión del sistem. ) Resoluión por igulión Tenemos que resolver el sistem: esto signifi, enontrr el punto de interseión entre ls rets dds, de ls ules se onoe su euión. Despejmos un de ls dos vriles en ls dos euiones, on lo ul tenemos un sistem equivlente (en este so elegimos y): Reordmos que l tener dos euiones, si los primeros miemros son igules los segundos tmién lo son, por lo tnto: Luego:

3 Deprtmento de ienis ásis Reemplzmos el vlor de x otenido en lgun de ls euiones (elegimos l segun: Opermos pr hllr el vlor de y: y= Verifimos, en ms euiones, pr ser si relmente (x ; y) = (4;): Ahor sí, podemos segurr que x= 4 e y = Relie este mismo ejemplo despejndo x l omienzo y reemplzndo en ls dos euiones. 3) Resoluión por sustituión. Tenemos que resolver el sistem: Despejmos un de ls vriles en un de ls euiones (en este so elegimos y en l primer euión): Y l reemplzmos en l otr euión: Opermos pr despejr l úni vrile existente hor:

4 Deprtmento de ienis ásis Reemplzmos el vlor de x otenido en lgun de ls euiones (elegimos ritrrimente l primer): Hllmos l respuest x=4, y =, ovimente igul que en el so nterior. No verifiremos, ddo que y semos que est respuest es orret. Relie este mismo ejemplo despejndo x l omienzo. 4) Resoluión por reduión Tenemos que resolver el sistem: El ojetivo es eliminr un de ls inógnits, dejándols inverss ditivs, siendo que un iguldd no mi si se l multipli por un número. Tmién semos que un iguldd no se mi si se le sum otr iguldd. Si se quiere eliminr l x, por qué número deo multiplir l segund euión, pr que l sumrl l primer se oteng ero? L respuest es -. Vemos: Con lo que otenemos: Y l summos l primer oteniéndose: -7y = -4 y = Reemplzr el vlor otenido de y en l primer euión:

5 Deprtmento de ienis ásis Y finlmente hllr el vlor de x: Ejeriio: Resuelve por este método: 5) Resoluión por determinnte Semos que un determinnte se represent omo: d Este se lul de l siguiente mner: = d Se el sistem: x + y = x + y = El vlor de x e y está ddo por: x e y Resolvmos el sistem:

6 Deprtmento de ienis ásis x y El punto de interseión de ls rets dds es {(4, )} Resuelve, por determinntes: Ejeriios:. Resuelve por el método de reduión los siguientes sistems de euiones lineles: ) 6x 5y 9 4x 3y 3 ) 7x 5y x 6y 8 ) 3x 4y 4 x 6 y 47 9x y 4 6x 5y 34 0x 3y 36 x 5y 4. Resuelve por el método de sustituión los siguientes sistems de euiones lineles: ) ) ) x 3y 6 5x y 3 5x 7 y 3x 4y 4 4y 3x 8 8x 9y 77 x 5y 8 7x 8y 5 5x y 3 7 y 9x 8 3. Resuelve por el método de igulión los siguientes sistems de euiones lineles: ) ) ) x 6 y 7 3x y 7x 3y 9 5x y 60 x 6 y 7 7x 3y 9 7x 4y 5 9x 6 y 7 9x 8y 3 4 y 3x 0 4. Resuelve por el método gráfio los siguientes sistems de euiones lineles: ) x y x y 7 ) x y 0 x 3y 8 ) 5x 3y 0 7x y 6 3x 4y 5x 6 y 38 3x 4 y 5 x y 5

7 Deprtmento de ienis ásis 5. Resuelve por el método que se más onveniente los siguientes sistems de euiones lineles: ) 8x 3y 30 5x 3y 9 ) 9x 5y 83 4x 5y 48 ) 3x 9y 50 0x 9y 6 3x 5y 8 4x 3y 8 6x 5y 5 7x 4y 4 6. Resolver los siguientes prolems: plntendo ls euiones y luego usndo el método desedo ) Enuentr dos números uy sum se igul 30, y el dole del primero, más el segundo se igul l dole de este último. ) L edd de Crl es el dole que l edd de Mren. He diez ños l sum de ls eddes er igul l edd que tiene hoy Crl. Cuál es l edd de d un en l tulidd? ) Si se divide un ángulo reto en dos ángulos gudos, de modo que uno se el dole del otro más 3', uál es l medid de d uno? Un pdre reprte $0.000 entre sus dos hijos. Al myor le d $.000 más que l menor. Cuánto dinero le orresponde d uno? Enuentr dos números tles que si d uno le gregmos siete uniddes, los resultdos están en l rzón 3 :, pero si les restmos ino uniddes, l rzón es 5 :. f) El perímetro de un retángulo es 30 m. El dole de l se tiene 6 m más que l ltur. Cuáles son ls dimensiones del retángulo? g) Dos estntes ontienen en totl 40 liros. Al trspsr 5 liros de un estnte otro, result que uno qued on el triple del otro. Cuántos liros hí originlmente en d estnte? h) Pr pgr un uent de $3.900, un extrnjero entreg 9 lirs esterlins y 5 dólres, reiiendo $75 de vuelto. Otro extrnjero pg su uent de $4.330, on 5 lirs esterlins y 9 dólres, reiiendo $5 de vuelto. A qué mio, en pesos, se hn otizdo ls lirs esterlins y los dólres? i) Enuentr ls eddes de dos hermnos siendo que l myor le fltn dos ños pr tener ino vees l edd tul del menor y que si el myor tuvier seis ños menos tendrín l mism edd.

8 Deprtmento de ienis ásis j) L sum de dos números es 45. Si l primero se le sum 5 y l segundo se le rest 5, se otienen dos números tles que el primero es el dole que el segundo. Cuáles son los números? k) El vlor de un frión es. Si se disminuye el numerdor en 3 uniddes y se ument el denomindor en 5 uniddes, el nuevo vlor es igul 3. Cuál es l frión? l) Enuentr dos números tles que su sum se 4 y su difereni 6. m) Un person tiene $8.000 en 00 moneds de $0 y de $50. Cuánts moneds de $0 y de $50 tiene? n) Divide el número 9 en dos prtes tles que /3 de l menor se igul 3/5 de l myor. o) Enuentr un frión que si se disminuye su numerdor en 4 uniddes y se ument su denomindor en 5, es equivlente. Pero si se disminuye sólo el denomindor en 7, será equivlente p) L sum de dos números es 3, si el myor se divide por el menor se otiene por uoiente y por resto. Enuentr mos números. q) L edd de un hijo es /4 de l edd de su pdre. En 7 ños más l edd del hijo será 4/9 l del pdre. Enuentr ls eddes tules de mos. r) Un niño tiene ños menos que el uádruplo de l edd de su perro. Si l difereni entre sus eddes es 4 ños. Enuentr l edd de mos. s) Si el numerdor de un frión se ument en 3 y su denomindor se disminuye en, se otiene 5/, pero si solmente se ument su numerdor en, ést equivle 4/3. Determin l frión. Enuentr dos números enteros onseutivos, siendo que l urt prte y l quint prte del primero y l sum de l terer prte y l séptim prte del segundo son tmién números onseutivos