LUGAR DE LAS RAÍCES. Lugar de las raíces.
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- Ana Cruz Rey
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1 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas LUGAR DE LAS RAÍCES Lugar de las raíces. 1. Introduccón. Crteros del módulo y argumento. 2. Gráfcas del lugar de las raíces. 3. Reglas para construr el lugar de las raíces. 4. Lugar nverso de las raíces. 5. Lugar de las raíces generalzado. Contorno de las raíces. 6. Interpretacón del lugar de las raíces. Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
2 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas Bblografía Ogata, K., "Ingenería de control moderna", Ed. Prentce-Hall. Capítulo 6 Dorf, R.C., "Sstemas modernos de control", Ed. Addson-Wesley. Capítulo Kuo, B.C.,"Sstemas de control automátco", Ed. Prentce Hall. Capítulo 8 F. Matía y A. Jménez, Teoría de Sstemas, Seccón de Publcacones Unversdad Poltécnca de Madrd Capítulo 7 Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
3 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas CONCEPTO El lugar de las raíces srve para estudar como nfluye la gananca en bucle aberto en el comportamento dnámco de un sstema realmentado. Es una herramenta para el análss dnámco de sstemas realmentados: Establdad Rapdez del sstema en cadena cerrada al varar k Osclacones Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
4 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas CONCEPTO r(t) + - G(s) y(t) H(s) La funcón de transferenca en cadena cerrada es: M ( s ) = 1 + G ( s ) H ( s ) = k G ( s ) G ( s ) H ( s ) ( s z ) ( s p ) Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
5 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas CONCEPTO Los polos de M(s) son las raíces de ( s z ) 1 + k = 0 ( s p ) k es proporconal a la gananca estátca + - G(s) S modfcamos el valor de k, varían los polos de M(s). (los ceros no varían) r(t) H(s) y(t) Se denomna lugar de las raíces al lugar geométrco de los polos de M(s) al varar k desde cero hasta nfnto. Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
6 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas CONCEPTO El lugar de las raíces srve para estudar como nfluye la gananca en bucle aberto en el comportamento dnámco de un sstema realmentado. Es una herramenta para el análss dnámco de sstemas realmentados: Establdad Rapdez al varar k Osclacones del sstema en cadena cerrada Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
7 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas EJEMPLO k s( s + 2) M ( s) = = 2 k 1+ s s( s + 2) k + 2s + k Polos del sstema: s ( k = 0) s2 1 = 0 = 2 s 2 + 2s + k = 0 s s 1 2 = 1+ = 1 1 k 1 k ( k = 1) s s 1 2 = 1 = 1 s ( k = 10) s 1 2 = 1+ 3j = 1 3j Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
8 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas Crtero del módulo y del argumento Partendo de la gualdad compleja anteror: Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
9 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas Crtero del módulo y del argumento Partendo de la gualdad compleja anteror: ( s z ) ( s z ) 1+ k = 0, k = 1 ( s p ) ( s p ) Crtero del módulo k s z s p = 1, k = s p s z Crtero del argumento o tambén arg( s z ) arg( s p ) = ( 2q + 1) π arg( s p ) arg( s z ) = ( 2q + 1) π Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
10 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas CRITERIO DEL ARGUMENTO ( s z ) ( s z ) 1 + k = 0 k = 1 ( s p ) ( s p ) Crtero del argumento : permte determnar s un punto s pertenece o no al lugar de las raíces. a rg ( s z ) a rg ( s p ) = ( 2q + 1) π arg( s p ) arg( s z ) = ( 2q + 1) π s s- p arg(s- p ) p Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
11 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas CRITERIO DEL MÓDULO ( s z ) ( s z ) 1+ k = 0 k = 1 ( s p ) ( s p ) Crtero del módulo: permte determnar el valor de k para un punto del lugar de las raíces. k k s z s p = 1 k = s p s z producto de dstancas a todos los polos producto de dstancas a todos los ceros Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
12 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas Ejemplo - Crteros Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
13 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 1. Número de ramas n = número de polos de G(s)H(s) m = número de ceros de G(s)H(s) entonces número de ramas = max (m,n) Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
14 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 2. Puntos de comenzo y fnal ( s z ) 1 + k = 0 ( s p ) k 1 k k ( s p ) + k ( s z ) = 0 = 0 ( s p ) = 0 ( s p ) + ( s z ) = 0 = ( s z ) = 0 C o m e n z a e n lo s p o lo s F n a lz a e n lo s c e r o s La dferenca entre polos y ceros corresponde a puntos del nfnto Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
15 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 3. Puntos del eje real Aplcando el crtero del argumento en un punto del eje real a rg ( s p ) a rg ( s z ) = ( 2q + 1) π la aportacón de cada raíz real a la derecha es π la aportacón de cada raíz real a la zquerda es 0 la aportacón de cada par de raíces complejas conjugadas es α-α= 0 s p π p 0 s -α α Por tanto, para que se cumpla el crtero del argumento debe haber un número mpar de raíces reales a la derecha. Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
16 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 3. Puntos del eje real Un punto del eje real pertenecerá al lugar de las raíces cuando haya un número mpar de raíces reales a su derecha. Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
17 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 4. Smetría del lugar de las raíces. Las raíces son sempre reales o pares de complejos conjugados. El lugar de las raíces es smétrco respecto al eje real Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
18 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 5. Asíntotas θ a θ a θ a θ a arg( s p ) arg( s z ) = nθa mθa = ( 2q + 1) π 2q + 1 θa = π n m Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
19 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 6. Centrode El punto en que se unen las asíntotas se denomna centrode. σ 0 = p n m z Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
20 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 7. Ángulos de salda y llegada. Ángulos de salda Tomando un punto nfnítamente cercano a un polo arg( s p ) arg( s z ) = α + θ β = ( 2q + 1) π θ = ( 2q + 1) π α + β θ β 1 β 2 α 2 Ángulos de llegada Se calculan de forma equvalente, tomando un punto nfnítamente cercano a un cero α 1 Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
21 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 7. Ángulos de salda y llegada. s θ β 1 β 2 α 2 α 1 arg( s p ) arg( s z ) = α + θ β = ( 2q + 1) π θ = ( 2q + 1) π α + β Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
22 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 8. Puntos de dspersón y confluenca Concden con máxmos (dspersón) y mínmos (confluenca) locales de k sobre el eje real dk ds Las solucones deben satsfacer además los crteros del módulo y el argumento. Tambén se puede resolver a través de la ecuacón: 1 1 = σ p σ z Tanteo por zonas = 0 Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
23 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 9. Interseccón con el eje magnaro Se calcula usando el método de Routh: Cuando los polos de un sstema de segundo orden cortan al eje magnaro el sstema es margnalmente estable. S aplcamos el crtero de Routh en funcón de k, el sstema será margnalmente estable para el valor de k que nos de una fla de ceros en la tabla. La stuacón de los polos correspondentes a este valor de k se calculará con la ecuacón auxlar de la tabla. Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
24 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 10. Valor de k en un punto del lugar de las raíces Aplcando el crtero del módulo k = s p s z Regla 11. Suma de las raíces S la ecuacón característca es s n + a n n 1 n 2 1 s + an 2s a1s + a 0 = 0 entonces races = a n 1 Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
25 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas Ejemplo de Lugar de las raíces 8 R o o t L o c u s L u g a r d e la s r a íc e s d e G ( s ) H ( s ) = ( s + 1 ) /s ( s + 2 ) ( s + 4 ) 6 4 centrode Imagnary Axs Punto de dspersón R e a l A x s Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
26 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 1. Número de ramas Regla 2. Puntos de comenzo y fnal Regla 3. Eje real Regla 4. Smetría del lugar de las raíces Regla 5. Asíntotas Regla 6. Centrode Regla 7. Ángulos de salda y llegada Regla 8. Puntos de dspersón y confluenca Regla 9. Interseccón con el eje magnaro Valor de k en un punto del lugar de las raíces Suma de raíces. Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
27 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas Reglas para el trazado del lugar de las raíces Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
28 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas LUGAR INVERSO DE LAS RAÍCES Se denomna lugar nverso de las raíces al lugar geométrco de los polos de M(s) al varar k desde cero hasta menos nfnto. ( s z ) 1+ k = 0 < k < 0 ( s p ) ( s z ) ( s z ) 1+ k = 0 k = 1 ( s p ) ( s p ) Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
29 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas LUGAR INVERSO DE LAS RAÍCES Varía el crtero del argumento arg( s p ) arg( s z ) = 2qπ Varía el crtero del módulo k k = s z s p s p s z Se modfcan las reglas que hacen uso de los crteros del argumento y del módulo. = 1 Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
30 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR INVERSO DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 3. Eje real Un punto del eje real pertenecerá al lugar nverso de las raíces cuando haya un número par de raíces reales a su derecha. arg( s p ) arg( s z ) = 2qπ s p π p 0 s -α α Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
31 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR INVERSO DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 3. Eje real Un punto del eje real pertenecerá al lugar nverso de las raíces cuando haya un número par de raíces reales a su derecha. Lugar de las raíces arg( s p ) arg( s z ) = 2qπ Lugar nverso de las raíces Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
32 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR INVERSO DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 5. Asíntotas arg( s p) arg( s z ) = nθ mθ = 2qπ 2q θa = π n m a a Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
33 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR INVERSO DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 7. Ángulos de salda y llegada. Ángulos de salda Tomando un punto nfnítamente cercano a un polo arg( s p ) arg( s z ) = 2qπ α + θ β = 2qπ θ = 2qπ α + β θ β β 1 2 α 1 α 2 Ángulos de llegada Se calculan de forma equvalente, tomando un punto nfnítamente cercano a un cero Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
34 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR INVERSO DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 10. Valor de k en un punto del lugar de las raíces k = s p s z Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
35 Unversdad Carlos III de Madrd REGLAS DEL TRAZADO DEL LUGAR INVERSO DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Regla 1. Número de ramas Regla 2. Puntos de comenzo y fnal Regla 3. Eje real Regla 4. Smetría del lugar de las raíces Regla 5. Asíntotas Regla 6. Centrode Regla 7. Ángulos de salda y llegada Regla 8. Puntos de dspersón y confluenca Regla 9. Interseccón con el eje magnaro Regla 10. Valor de k en un punto del lugar de las raíces Regla 11. Suma de raíces. Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
36 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas CONTORNO DE LAS RAÍCES El lugar de las raíces srve para estudar como nfluye la gananca en bucle aberto en el comportamento dnámco de un sstema realmentado. El contorno de la raíces es un método que nos permte, en certos casos, extender el método del lugar de las raíces al estudo del comportamento dnámco de un sstema realmentado, cuando vara un parámetro dstnto de la gananca. Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
37 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas Contorno de las raíces (II) Contorno de las raíces r(t) G(s,x) + - y(t) H(s,x) Sea x un parámetro varable M ( s, x) G( s, x) = = 1 + G( s, x) H( s, x) A( s, x) B( s, x) Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
38 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas CONTORNO DE LAS RAÍCES S en el numerador y/o en el denomnador se pueda hacer la sguente transformacón P ( s, x ) = 0 D ( s ) + xn ( s ) = x N ( s ) 1 + = 0 D ( s ) 0 Entonces es posble aplcar el método del lugar de las raíces para saber como nfluye x en las raíces de P(s;x) Ya que al varar x pueden varar tanto las raíces del numerador como las del denomnador de M(s), en el caso general será necesaro hacer dos contornos de las raíces, uno para el numerador y otro para el denomnador. Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
39 Unversdad Carlos III de Madrd EJEMPLO DE CONTORNO DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas 1 2 G H ( s ) = ( s + 2 ) ( s + 3 ) ( 1 + τ s ) E c u a c o n c a r a c t e r s t c a : ( s + 2 ) ( s + 3 ) ( 1 + τ s ) = 0 s e p u e d e r e e s c r b r c o m o : [ ] ( s + 2 ) ( s + 3 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) τ s = 0 o e n e l f o r m a t o : s ( s + 3 ) ( s + 2 ) τ = 1 2 ( s + 5 s ) Ejemplo tomado de Unv. Ovedo ( Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
40 Unversdad Carlos III de Madrd EJEMPLO DE CONTORNO DE LAS RAÍCES Señales y Sstemas Ejemplo tomado de Unv. Ovedo ( Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
41 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas INTERPRETACIÓN 8 R o o t L o c u s L u g a r d e la s r a íc e s d e G ( s ) H ( s ) = ( s + 1 ) / s ( s + 2 ) ( s + 4 ) Imagnary Axs R e a l A x s Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
42 Unversdad Carlos III de Madrd Señales y Sstemas INTERPRETACIÓN 5 Root Locus Lugar de las raíces de G(s)H(s)=1/s(s+3)(s 2 +2s+2) Imagnary Axs Real A xs Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
43 Unversdad Carlos III de Madrd LUGAR DE LAS RAÍCES DE SISTEMAS CON RETARDO PURO Señales y Sstemas Ts G ( s ) H ( s ) = e k Crtero del argumento ( s z ) ( s p ) 1 + G ( s) H ( s) = 0 Ts e k ( s z ) ( s p ) = 1 Ts arg ( e ) + arg ( s z ) arg ( s p ) = ( 2q + 1) π Ts T ( σ + jϖ ) T σ jϖt arg ( e ) = arg ( e ) = arg( e e ) = ϖt ϖt + arg ( s z ) arg( s p ) = ( 2q + 1) π Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
44 Unversdad Carlos III de Madrd LUGAR DE LAS RAÍCES DE SISTEMAS CON RETARDO PURO Señales y Sstemas Aplcacón del crtero del argumento en un punto con parte real nfnto ϖt ϖt ( θ ϖt + + arg( s z m θ n θ = ( 2 0 ) = ( 2q + 1) π ) q arg( + 1) π s θ p θ ) = ( 2q θ + 1) π θ Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
45 Unversdad Carlos III de Madrd LUGAR DE LAS RAÍCES DE SISTEMAS CON RETARDO PURO Señales y Sstemas Aparecen nfntas asíntotas en el semplano postvo paralelas al eje real ϖ T = ( 2q + 1) π Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
46 Unversdad Carlos III de Madrd LUGAR DE LAS RAÍCES DE SISTEMAS CON RETARDO PURO Señales y Sstemas Aplcacón del crtero del argumento en un punto con parte real menos nfnto ϖt ϖt ( θ ϖt + + π ) + m θ ( m arg( s n θ = n ) π = z ) (2q (2q arg( + 1) π + 1) π s p ) = (2q + 1) π θ θ θ Aparecen nfntas asíntotas en el semplano negatvo paralelas al eje real θ Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
47 Unversdad Carlos III de Madrd LUGAR DE LAS RAÍCES DE SISTEMAS CON RETARDO PURO Señales y Sstemas ϖt + ( m n) π = (2q + 1) π Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
48 Unversdad Carlos III de Madrd LUGAR DE LAS RAÍCES DE SISTEMAS CON RETARDO PURO Señales y Sstemas Como consecuenca de las asíntotas, los sstemas con retardo puro realmentados se hacen sempre nestables para k grandes. Ejemplo G ( s) H ( s) = s e s + 1 4π/T 2π/T 0 2π/T 4π/T ω 3π/T π/t π/t 3π/T Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Mguel Ángel Salchs
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