Ecuaciones inecuaciones

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1 4 Ecuaciones e inecuaciones LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD En muchas ocasiones el modelo óptimo se consigue mediante sistemas de ecuaciones.

2 Adivina números Busca en la web Adivina números Gauss

3 Esquema de contenidos Ecuaciones e inecuaciones Ecuaciones de 1er grado Ecuaciones de º grado Soluciones Ecuaciones bicuadradas Otras ecuaciones Inecuaciones Con fracciones algebraicas Otras Con una incógnita Con dos incógnitas Sistemas Sistemas de ecuaciones Clasificación Resolución

4 Elementos de una ecuación de primer grado Miembro: en toda ecuación hay dos epresiones separadas por un signo igual. La epresión situada a la derecha es el primer miembro y la de la izquierda es el segundo miembro. Término: es cada uno de los sumandos de los miembros. Término independiente: es el miembro formado por un solo número. Incógnitas: son las letras cuyos valores desconocemos. Grado: es el mayor de los eponentes con los que figura la incógnita. primer miembro segundo miembro Incógnita Grado 1 términos

5 Soluciones Soluciones. Son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es encontrar su solución o sus soluciones. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o les resta el mismo número se obtiene otra ecuación equivalente. SUMAR + RESTAR - Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o les divide por el mismo número (distinto de cero) se obtiene otra ecuación equivalente. MULTIPLICAR DIVIDIR :

6 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones sencillas

7 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones sencillas 4 3 pasa como Agrupamos los números en el º miembro

8 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones sencillas 4 3 pasa como Agrupamos los números en el º miembro pasa + 3 como Agrupamos las en el 1 er miembro

9 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones sencillas 4 3 pasa como Agrupamos los números en el º miembro pasa + 3 como Agrupamos las en el 1 er miembro

10 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones sencillas 4 3 pasa como Agrupamos los números en el º miembro pasa + 3 como Agrupamos las en el 1 er miembro Operamos 8 8 4

11 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con paréntesis Seguimos los siguientes pasos: 1 (13 ) + 15 ( ) Eliminar paréntesis.. Agrupar las en un miembro y los números en el otro. 3. Reducir términos semejantes, si los hubiera. 4. Despejar y hallar la solución.

12 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con paréntesis Seguimos los siguientes pasos: 1 (13 ) + 15 ( ) Eliminar paréntesis Agrupar las en un miembro y los números en el otro. 3. Reducir términos semejantes, si los hubiera. 4. Despejar y hallar la solución.

13 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con paréntesis Seguimos los siguientes pasos: 1 (13 ) + 15 ( ) Eliminar paréntesis Agrupar las en un miembro y los números en el otro Reducir términos semejantes, si los hubiera. 4. Despejar y hallar la solución.

14 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con paréntesis Seguimos los siguientes pasos: 1 (13 ) + 15 ( ) Eliminar paréntesis Agrupar las en un miembro y los números en el otro Reducir términos semejantes, si los hubiera Despejar y hallar la solución.

15 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con paréntesis Seguimos los siguientes pasos: 1 (13 ) + 15 ( ) Eliminar paréntesis Agrupar las en un miembro y los números en el otro Reducir términos semejantes, si los hubiera Despejar y hallar la solución

16 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con denominador Seguimos los siguientes pasos:

17 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con denominador Seguimos los siguientes pasos: 1. Eliminar denominadores

18 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con denominador Seguimos los siguientes pasos: 1. Eliminar denominadores. m.c.m. (, 5, 3) ( ) 3( ) + 3( )

19 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con denominador Seguimos los siguientes pasos: Eliminar denominadores. m.c.m. (, 5, 3) ( ) 3( ) + 3( ) 15( + ) 6( + 1) + 1( 1) 5 3

20 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con denominador Seguimos los siguientes pasos: Eliminar denominadores. m.c.m. (, 5, 3) ( ) 3( ) + 3( ) 15( + ) 6( + 1) + 1( 1) 5 3. Eliminar paréntesis.

21 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con denominador Seguimos los siguientes pasos: Eliminar denominadores. m.c.m. (, 5, 3) ( ) 3( ) + 3( ) 15( + ) 6( + 1) + 1( 1) 5 3. Eliminar paréntesis

22 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con denominador Seguimos los siguientes pasos: Eliminar denominadores. m.c.m. (, 5, 3) ( ) 3( ) + 3( ) 15( + ) 6( + 1) + 1( 1) 5 3. Eliminar paréntesis Agrupar las en un miembro y los números en el otro.

23 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con denominador Seguimos los siguientes pasos: Eliminar denominadores. m.c.m. (, 5, 3) ( ) 3( ) + 3( ) 15( + ) 6( + 1) + 1( 1) 5 3. Eliminar paréntesis Agrupar las en un miembro y los números en el otro

24 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con denominador Seguimos los siguientes pasos: Eliminar denominadores. m.c.m. (, 5, 3) ( ) 3( ) + 3( ) 15( + ) 6( + 1) + 1( 1) 5 3. Eliminar paréntesis Agrupar las en un miembro y los números en el otro Reducir términos semejantes, si los hubiera.

25 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con denominador Seguimos los siguientes pasos: 1. Eliminar denominadores. m.c.m. (, 5, 3) ( ) 3( ) + 3( ) 5 3. Eliminar paréntesis Agrupar las en un miembro y los números en el otro Reducir términos semejantes, si los hubiera ( + ) 6( + 1) + 1( 1)

26 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con denominador Seguimos los siguientes pasos: 1. Eliminar denominadores. m.c.m. (, 5, 3) Eliminar paréntesis Agrupar las en un miembro y los números en el otro Reducir términos semejantes, si los hubiera Despejar y hallar la solución. 15( + ) 6( + 1) + 1( 1)

27 Resolución de ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones con denominador Seguimos los siguientes pasos: Eliminar paréntesis. 3. Agrupar las en un miembro y los números en el otro. 4. Reducir términos semejantes, si los hubiera. 5. Despejar y hallar la solución Eliminar denominadores. m.c.m. (, 5, 3)

28 Ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica con las siguientes características: Tiene una única incógnita. Alguno de sus términos es de grado y no contiene términos de grado mayor que. a + b + c a, b y c son números Reales conocidos y a Ecuación Coeficientes a b 5 c a 1 b c a 3 b 9 c

29 Ecuaciones de segundo grado FORMA SOLUCIÓN COMPLETA INCOMPLETA a + b + c a, b, c a + c a + b a a, b a, c FORMA a, b, c a b ± b 4ac a c ± a + b ( a + b) 1 Dos soluciones : b a SOLUCIÓN

30 Resolución de ecuaciones de segundo grado. Completas CASO 1: a + b + c b 4ac > b ± b 4ac a a) a 1 b 5 c 6 5 ± ± ± 1 5 ± Las soluciones son y 3.

31 Resolución de ecuaciones de segundo grado CASO 1: a ac b b 4 ± b) 9 c -6 b 1 a + ± ± ± ± ) ( 6) ( La solución es doble: 3. 4 b + + ac c b a

32 Resolución de ecuaciones de segundo grado CASO 1: a + b + c b 4ac < b ± b 4ac a c) + 3 a b 3 c 3 ± 3 4 ( ) ( ) ( ) 3 ± ± 7 4 No eiste ninguna solución.

33 Resolución de ecuaciones de segundo grado. Incompletas CASO : a + c a) 4 4 Despejamos ± 1 ± 1 4

34 Resolución de ecuaciones de segundo grado. Incompletas CASO : a + c a) 4 4 Despejamos ± 1 ± 1 4 b) Despejamos ± 5 No hay solución

35 Resolución de ecuaciones de segundo grado. Incompletas CASO 3: a + b a) 6 3 Factor común 3 ( 1) 3 ( 1) 3 1 1

36 Resolución de ecuaciones de segundo grado. Incompletas CASO 3: a + b a) 6 3 Factor común 3 ( 1) 3 ( 1) b) + 1 Factor común ( + 5) ( + 5) + 5 5

37 Ecuaciones bicuadradas Una ecuación bicuadrada es una ecuación de grado 4 sin términos de grado 3 ni de grado 1. a, b y c son números reales 4 y a es distinto de. a + b + c

38 Ecuaciones bicuadradas Una ecuación bicuadrada es una ecuación de grado 4 sin términos de grado 3 ni de grado 1. Ejemplo: a hacemos 4 + b + c el cambio z z 13z + 36 a, b y c son números reales y a es distinto de. z 13 ± ± 5 z z Como z, tenemos : 9 y 4 9 ± ± 4 3 4

39 Ecuaciones con fracciones algebraicas 1 + ) ( ) ( ) ( ) ( ± ± simplificamos operamos Resolvemos la ecuación de º grado,1).(.. mcm Hallamos el mcm de los demnominadores

40 Ecuaciones del tipo ( a) ( b)... ( 1)( )( + 6) Igualamos a cero cada factor: ( 1) 1 1 ( ) ( + 6) 1± ± Las soluciones son: 1,, 3 y

41 Sistemas de ecuaciones lineales Dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común: a + by c a' + b' y c' Forman un sistema de ecuaciones lineales. Una solución del sistema es todo par de números que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver un sistema es encontrar una solución.

42 Sistemas de ecuaciones lineales Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican, atendiendo a su número de soluciones, en: Compatible determinado: el sistema tiene una solución única. Compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones. Incompatible: el sistema no tiene solución.

43 Métodos de resolución de sistemas Sustitución Para resolver un sistema por el método de sustitución despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos su valor en la otra. Igualación Para resolver un sistema por el método de igualación despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos sus valores. Reducción Para resolver un sistema por el método de reducción buscamos otro sistema equivalente, en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales o de signo opuesto.

44 Métodos de resolución de sistemas. Sustitución Para resolver un sistema por el método de sustitución despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos su valor en la otra. Despejamos una incógnita en una ecuación y 3 9} 3 y } y y 9 Sustituimos en la otra ecuación ( 3 + y) + y 9 Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta 3 + y + y 9, 3y y 3 Calculamos la otra incógnita en una de las dos ecuaciones 3, 5 Solución: 5 e y

45 Métodos de resolución de sistemas. Igualación Para resolver un sistema por el método de igualación despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos sus valores. y 3 + y 9 Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones 3 + y 9 y Igualamos las incógnitas 3 + y 9 y Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta 6 y + y 9 3, 3y 6, y 3 3 +, 5 Calculamos la otra incógnita en una de las dos ecuaciones Solución: 5 e y

46 Métodos de resolución de sistemas. Reducción Para resolver un sistema por el método de reducción buscamos otro sistema equivalente, en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales o de signo opuesto. y y y + y Resolvemos 9 9 y Igualamos los coeficientes de una de las incógnitas Restamos o sumamos las ecuaciones para eliminar una incógnita 5 Calculamos la otra incógnita en una de las dos ecuaciones 3 ( y 3) 3 + y y 9 + y 9-5y 3, 3 Solución: 3 e y

47 Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad algebraica. Se compone de dos epresiones algebraicas separadas por los signos:

48 Inecuaciones con una incógnita resolvemos la ecuación ( ) 3( ) + 5 6( ) 5 - Es solución ( ) 3( ) + 5 6( ) 3 1 No es solución La solución es: (,1 ]

49 Inecuaciones con dos incógnitas + 3 y + 5 y + 3 y y - y Representa mos la ecuación: - y P(,), y ( ) No es solución y, y ( ) No es solución La solución es la porción del plano que contiene el punto, y.

50 Sistemas de inecuaciones + 3 < 5 < < < 1 5 < 3 < < 8 < 4 Representamos los dos intervalos y elegimos el intervalo que verifica las dos inecuaciones. < 4 La solución del sistema es: (,1 ) < 1

51 Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas + y y + y y y y Representamos, y y y, y 1 ( 1) 1 P(, 1) La solución es la porción del plano que contiene el punto, y 1.

52 Enlaces de interés Pensamiento matemático Matemáticas interactivas IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB

53 Actividad: El cubo del binomio Dirección: En la sección chilena de la Editorial Santillana, en esta actividad aparece un vídeo donde se muestra cómo se resolvió equivocadamente un sistema de ecuaciones usando cambio de variables. Para desarrollarla, sigue este enlace. INICIO

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