Una función f(x) es una regla que asocia a cada valor posible de la variable independiente un valor, y solo uno, de los números reales

Transcripción

1 Tema : Limite y continuidad 0. INTRODUCCIÓN Las gráficas de algunas funciones presentan características especiales que, para su estudio, requieren del uso del cálculo. Por ahora, con nuestras herramientas podremos ver ciertas características que nos aportan información acerca del comportamiento de las funciones a estudiar. Una función f() es una regla que asocia a cada valor posible de la variable independiente un valor, y solo uno, de los números reales 1. CONCEPTOS BÁSICOS Dominio: Conjunto de valores de la variable independiente para los que eiste f() Recorrido: Conjunto de valores que toma la variable dependiente Domf =[,11] Los valores de de esta función son los comprendidos entre y 11, ambos incluidos Im f = [1, 6] Los valores de la variable y son los comprendidos entre y 6, ambos incluidos 1/1

2 Tema : Límite y Continuidad Imagen de 0 : al valor que se obtiene en f ( 0 ) Antiimagen de y 0 : Conjunto de valores del dominio que se transforman en y 0 La imagen del 6 es f(6), que si miramos en la gráfica: f(6) = La antiimagen de son varios valores f 1 () = {, 6, 9} Cortes con los ejes Con el eje X, aquellos valores de ordenada nula. Los obtenemos resolviendo la ecuación f () = 0 El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0) Ejemplo: Sea la función f () = + 6 cuya gráfica se indica. Calcula el dominio, los cortes con los ejes y las antiimágenes de y 4. Domf = [, ] Corte eje X (-,0) Corte Eje y (0, 6 ) f 1 () = 1 f 1 (4) = 5 /1

3 Tema : Limite y continuidad Cómo lo haríamos si no conocemos la gráfica de la función? f () = + 6 DOMINIO: La raíz cuadrada sólo tiene sentido si el radicando (lo que está dentro) es positivo o cero, es decir: Bastará resolver la inecuación 6 Domf = [, ] CORTES CON LOS EJES Con el eje Y, hacemos f(0); es decir, f (0) = = 6. El punto es (0, 6 ) Con el eje X, resolvemos la ecuación f () = = 0 ANTI-IMÁGENES + 6 = 0 = 6 = El punto es (-,0) f 1 (). Se trata de resolver la ecuación + 6 = + 6 = 4 = = 1 f 1 (4). Se trata de resolver la ecuación + 6 = = 16 = 10 = 5 /1

4 Tema : Límite y Continuidad Monotonía de una función Al observar una gráfica vemos que la curva en ocasiones sube (crece), en otras baja (decrece) y en otras ocasiones ni sube ni baja (constante). Estas subidas o bajadas de la función es la idea intuitiva del concepto de crecimiento o decrecimiento y es lo que denominamos variación de la función o intervalos de monotonía. Función creciente: Si a < b, entonces f(a) < f(b) Función Decreciente: Si a < b, entonces f(a) > f(b) Máimos y Mínimos relativos, son aquellos puntos donde la función cambia de creciente a decreciente o al revés Máimo relativo Mínimo relativo 4/1

5 Tema : Limite y continuidad. CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Vamos a analizar una función describiendo cómo la vemos intentando utilizar el vocabulario aprendido en el apartado anterior DOMINIO: RECORRIDO: CRECIENTE: DECRECIENTE: Im f() = R MÁXIMO RELATIVO: (1,) MÍNIMO RELATIVO: (-1,-1) (, ) U (, 0) U ( 0 ) Domf =, (, ) U ( 1, 0) U ( 0,1) (, 1) U ( 1, ) Ahora bien, la situación en los puntos = - y = 0, son especiales. Además, para valores de muy grandes o muy pequeños, también deberíamos decir qué es lo que ocurre porque, aunque no podamos dibujar la gráfica completa, si tenemos que decir cuál es su tendencia; es decir, su límite. En RESUMEN Qué es lo que falta para describir la función? Eplica qué ocurre en los valores que están señalados en el dominio ( 0 ) (, ) U (, 0) U ( 0 ) Domf =, 5/1

6 Tema : Límite y Continuidad Para ello necesitaremos un concepto nuevo; LÍMITE Vamos a ir parte por parte; en primer lugar qué ocurre en, es decir, qué ocurre para valores muy muy grandes de la variable. Fijémonos en el dibujo otra vez ( ) Los valores de la gráfica tienden a estabilizarse en cerca del valor 1 Esto lo escribimos así: lim f() = 1 y decimos que: El límite de f cuando tiende a infinito es 1 La gráfica se va pareciendo a la recta y = 1, es por lo que dicha recta se llama asíntota horizontal Si nos fijáramos ahora en los valores de cada vez más negativos, los valores de la función continúan decreciendo sin acercarse a ningún valor. Eso lo epresamos como lim f() = ( ) 6/1

7 Tema : Limite y continuidad Vamos a analizar qué ocurre para los valores de cercanos al valor - ( ) Para valores cercanos a = - (tanto a la derecha como a la izquierda del valor - La variable puede acercarse al valor -, por la derecha o por la izquierda tanto como queramos, pero sin llegar a ser -) los valores de la gráfica de la función son cada vez más grandes, decimos entonces que tienden a infinito y lo epresamos lim f() = La gráfica tiende a parecerse a la recta vertical = -, que se llama asíntota vertical. Del mismo modo, si nos fijamos qué le ocurre a la gráfica para valores cercanos a = 0 Ahora depende si los valores son mayores que cero (por la derecha) o menores (por la izquierda) Lo epresamos de la forma escrita a continuación y la recta = 0 también se llama asíntota vertical lim f() = + 0 lim f() = + 0 7/1

8 Tema : Límite y Continuidad EN RESUMEN: La idea de límite es una forma de escribir el comportamiento de la gráfica de una función, habitualmente se usa en los puntos especiales (roturas de la gráfica de una función, puntos que están fuera del dominio,...) y para valores muy grandes ( negativos ( ) ) o valores cada vez más Las asíntotas, son rectas imaginarias hacia las cuales la gráfica de una función se va aproimando y podemos distinguir los siguientes tipos:. Y SI NO SABEMOS LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN? En general, no sabemos cómo es la gráfica de una función, es por lo que surgen métodos para poder determinar cómo es su comportamiento, es decir, sus límites Vamos a analizar los casos más sencillos de tendiendo a infinito, tendiendo a un número y también qué hacer cuando es una función a trozos. 8/1

9 Tema : Limite y continuidad Caso 1: Lo más sencillo es intentar esbozar la gráfica de la función (sobre todo si es una recta o una parábola), pero si no sabemos cómo, tendremos en cuenta que: El comportamiento en el infinito es igual que el del monomio de mayor grado. Ejemplo 1: lim 4 ( + 7 5) = lim 4 Ahora si imaginamos valores muy grandes de, se obtienen valores cada vez más grandes de la función y es por lo que, su límite es. 4 En resumen: lim ( + 7 5) = lim 4 = Ejemplo : + 5 lim = lim 1 1 = lim = Así el límite vale 1/ y la función tiene una asíntota horizontal en y = 1/. Ejemplo : + 5 lim = lim = lim Ahora si imaginamos valores muy grandes de, se obtienen valores cada vez más pequeños de la función (cercamos a cero) y es por lo que su límite es En resumen: lim = lim La recta y = 0 es una asíntota horizontal = lim = 0 Ejemplo 4: lim = lim = lim = 9/1

10 Tema : Límite y Continuidad Caso : a Lo que haremos será sustituir el valor de la variable por el número a. Ejemplo: lim = = 6 Puede ocurrir que nos salgan algunas situaciones anómalas (llamadas indeterminaciones) Ejemplo 1: + 1 lim = 0 Esta división no se puede hacer, pero si tomamos valores cercanos (pero no iguales) a, el resultado va a ser muy grande o muy pequeño Veámoslo: = = = = Escribiremos entonces que: lim = = ± 0 Ejemplo : 1 lim 1 = 0 0 Tampoco podemos hacer esta división, tenemos que intentar simplificar la fracción. Aunque hay muchos métodos el más cómodo de todos es haciendo la división por el método de Ruffini. Para ello vamos a dividir tanto en numerados como el denominador por ( 1) El límite se puede epresar entonces como lim 1 1 ( 1) ( + 1) ( 1)( + 1) + 1 = lim = lim lim = = 1 ( 1) 1 ( 1) /1

11 Tema : Limite y continuidad Caso : Funciones a trozos Vamos a centrarnos solamente en los puntos frontera de los trozos, porque en otro caso, sería igual que los casos 1 o. Pues solamente hay que tener en cuenta que como hay a cada lado una epresión diferente, tendremos que hacer dos límites, uno por la derecha y otro por la izquierda. Ejemplo 1: Supongamos la función f() = 1 > Cómo calculamos lim f()? lim f() = lim lim f() = lim + 1 = 7 = = 4 Como los límites son diferentes, diremos que NO EXISTE el límite. Ejemplo : f() = + 5 < lim f() = lim = 19 lim f() = lim = = 19 Como son iguales diremos que lim f() 19 = DISCUSIÓN EN GRUPO: el profesor planteará una pregunta a resolver en grupo. Redacta aquí las conclusiones 11/1

12 Tema : Límite y Continuidad 4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN La idea intuitiva de continuidad es que la función pueda ser representada en un solo trazo, es decir que se pueda dibujar sin levantar el lápiz del papel. Una función continua en un punto es aquella que no da saltos en ese punto. Observa las siguientes gráficas: La gráfica de f 1 () puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel, así que diremos que es una función continua. Pero las demás, no pueden dibujarse sin levantar el lápiz del papel, ya que presentan algún tipo de salto. Diremos que son funciones discontinuas, en este caso en =. Observa que a pesar de que las tres funciones son discontinuas, presentan una discontinuidad diferente cada una. Continuidad en un punto Las funciones que hemos estudiado hasta ahora son continuas en su dominio, es decir, en los puntos en los que están definidas. Una función es continua en =a si se verifica la siguiente condición: lim f() f(a) a = Para ello, deben cumplirse estas tres premisas: El límite de la función eiste y es finito (no vale infinito). La función está definida en a, o lo que es lo mismo, eiste imagen para = a. El límite de la función cuando tiende al punto es igual a la función definida en a. 1/1

13 Tema : Limite y continuidad Tipos de discontinuidad Eisten distintos tipos de discontinuidad, dependiendo de la condición que falle. Discontinuidades de salto Los límites laterales eisten, son finitos pero de valor diferente: lim f() lim f() Este tipo de discontinuidad se a a + conoce también como salto finito. Los límites laterales eisten, pero alguno de ellos es infinito. Este tipo de discontinuidad se le conoce también como salto infinito. Discontinuidades evitables Se denomina discontinuidad evitable cuando eiste el límite de la función y es finito, pero la función en ese punto no está definida o no coincide con el valor del límite. De ese modo, pueden presentarse estos dos casos: Cuando lim f() eiste, pero la función no está definida a en a.(a no está en el dominio) Cuando lim f() eiste, la función está definida en a, a pero no coinciden: Se llama discontinuidad evitable porque se puede redefinir la función en dicho punto para transformarla en una función continua. 1/1