Funciones. Las funciones no tienen una forma única de expresión, y sin embargo, de todas ellas podemos extraer propiedades.

Transcripción

1 7 Funciones LECTURA INICIAL Las funciones no tienen una forma única de expresión, y sin embargo, de todas ellas podemos extraer propiedades.

2 G. W. Leibniz Busca en la web El calculo Trabajando por separado y con métodos distintos, Newton antes y sin dar publicidad a sus resultados, y Leibniz unos años después, pero publicándolos antes, van a crear la herramienta más potente y universal de la historia de las Matemáticas y de todas las ciencias: el Cálculo. Enlace a la biografía de Leibniz

3 Esquema de contenidos Funciones Coordenadas cartesianas Concepto de función Representación gráfica Tablas Dominio y recorrido Funciones definidas a trozos Estudio de una función Continuidad Puntos de corte Crecimiento y decrecimiento Simetrías Periodicidad

4 Coordenadas cartesianas Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto, y se escribe: P (x, y)

5 Concepto de función Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Una función puede cortar varias veces al eje X, pero solo puede cortar una vez al eje Y

6 Concepto de función. Función real de variable real. No es función Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Una función real, f, de variable real, es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real y =f(x). Se puede expresar de esta forma: f : D ℝ ℝ x Sí es función y=f x Una función puede cortar varias veces al eje X, pero solo puede cortar una vez al eje Y

7 Concepto de función No es función Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. La variable x es la variable independiente, y es un valor prefijado. Sí es función Y la variable y es la variable dependiente, y su valor depende del valor de x.

8 Concepto de función A SI es función B SI es función C SI es función D NO es función

9 Representar gráficamente los siguientes datos que relacionan las horas transcurridas desde la apertura de una exposición con el número de personas que asisten. Gráfica (x,f(x)) Enunciado Nº personas Función expresada mediante tabla de valores, gráfica, fórmula o enunciado x y Horas desde la apertura Fórmula o expresión analítica f x =x 2 4 Altura de una piedra, en función del tiempo, que cae desde una altura inicial de 20 metros

10 Dominio y recorrido Se llama dominio de una función f(x) es el conjunto D ℝ de los valores para los que está definida la función (variable independiente, x). Se representa por Dom f(x) El recorrido o la imagen de una función f(x) es el conjunto de valores que toma la función (variable dependiente, y). Se representa por Im f(x)

11 Dominio y recorrido Se llama dominio de una función f(x) es el conjunto D ℝ de los valores para los que está definida la función (variable independiente, x). Se representa por Dom f(x) Dom f x =,0 ] [ 2,5 ] [6, El recorrido o la imagen de una función f(x) es el conjunto de valores que toma la función (variable dependiente, y). Se representa por Im f(x) I m f x = [0, { 1}

12 Cómo determinamos el Dominio de una función Las funciones polinómicas están definidas para todos los números reales. f ( x )=2x +1 Dom f =ℝ 2 Función cuadrática f ( x )=x 2x+1 Dom f =ℝ 5 3 Función polinómica de grado superior : f ( x)=x 2x + x +1 Dom f =ℝ P( x ) Las funciones racionales son funciones del tipo f ( x )= donde P(x) y Q(x) Q ( x) Función lineal son polinomios (con x en el denominador). No están definidas cuando el denominador se anula f ( x )= x Dom f =ℝ {3} x 3 f ( x )= x Dom f =ℝ {1, 1} 2 x 1 Las funciones radicales de índice par solo están definidas para radicandos mayores o iguales que cero f ( x )= x+ 4 x Dom f ={x ℝ x 4}=[ 4,+ ) x+4 x+ 4 0 x 2 x 2 Hallamos los valores que anulan el numerador y el denominador, x=-4 y x=2, y situamos estos valores sobre la recta real que queda, de este modo, dividida en tres intervalos. Evaluamos el signo de la fracción en cada intervalo, y nos quedamos con aquellos que verifican la inecuación, comprobando si incluyen los extremos: f ( x)= Dom f ( x)=(, 4 ] ( 2,+ ]

13 Cómo determinamos el Dominio de una función Las funciones logarítmicas solo están definidas para números reales positivos. f x =log x 1 x 1 0 Dom f ={x ℝ x 1}=[1, ) Las funciones trigonométricas de seno y coseno siempre está definidas en R f x =cos x Dom f =ℝ f ( x )=cos 2x Dom f =ℝ La función tangente no está definida cuando el coseno es cero f x =tg x Dom f ={x ℝ cos x 0}=ℝ { k,k ℤ} 2 f ( x)=tg(2x ) Dom f ={x ℝ cos(2x) 0}=ℝ { π +k π k ℤ} 4 2 π π π ya que cos 2x=0 en 2x= +k π k ℤ x= +k k ℤ x La funciones exponenciales son de la forma y= f ( x)=a, a >0 Su dominio es el conjunto de los números reales R. x f ( x )=2 Dom f =ℝ x 1 f ( x )= Dom f =ℝ 2 ()

14 Funciones definidas a trozos En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos. Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos.

15 Funciones definidas a trozos En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos. Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos. La función definida es: { 2 x 2 2x 2 x 4 y= x 5 4 x 2

16 Propiedades de funciones Continuidad Puntos de corte Crecimiento y decrecimiento Simetrías Periodicidad

17 Función continua Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo. Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo. Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función.

18 Función continua Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo. Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo. discontinua discontinua continua Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función. continua

19 Puntos de corte Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados. P.C: Eje X, hacemos y = 0 Son de la forma (a, 0). Se hallan calculando los valores de la variable x, cuando la variable y toma el valor 0. P.C: Eje Y,hacemos x = 0 Son de la forma (0, b). Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0.

20 Puntos de corte Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados. P.C: Eje X, hacemos y = 0 Son de la forma (a, 0). Se hallan calculando los valores de la variable x, cuando la variable x (0, 2) corte con eje Y y 0 0 y toma el valor 0. P.C: Eje Y,hacemos x = 0 Son de la forma (0, b). Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0. (-3, 0) corte con eje X

21 Crecimiento y decrecimiento en un intervalo Una función es creciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y. f : si x 1, x 2 a, b : x 1 x 2 f x 1 f x 2 Una función es decreciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y. f : si x 1, x 2 a, b : x 1 x 2 f x 1 f x 2

22 Crecimiento y decrecimiento en un intervalo (a,b) Una función es creciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y. f : si x 1, x 2 a, b : x 1 x 2 f x 1 f x 2 Una función es decreciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y. f : si x 1, x 2 a, b : Decreciente en (-, -5) x 1 x 2 f x 1 f x 2 Creciente en (-5, 4) Decreciente en (4, + )

23 Crecimiento y decrecimiento en un punto de abcisa x=xo Una función es creciente en un punto si existe un intervalo centrado en xo, (xo-h,xo+h) para el que la función es creciente Una función es decreciente en un punto si existe un intervalo centrado en xo, (xo-h,xo+h) para el que la función es creciente Decreciente en x=7 Creciente x=0 Decreciente en x=5

24 Ejemplos de crecimiento y decrecimiento.

25 Ejemplos de crecimiento y decrecimiento.

26 Concavidad y convexidad en un punto. Una función es concava en un punto si la recta tangente a la gráfica de f en ese punto está por debajo de la gráfica Convexa Cóncava Una función es convexa en un punto si la recta tangente a la gráfica de f en ese punto está por encima de la gráfica Si la recta tangente en un punto atraviesa la gráfica de la función, decimos que la función tiene un punto de inflexión. Un punto de inflexión es, por tanto, un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. Convexa P.Inflexión Cóncava

27 Máximos y mínimos relativos En los puntos donde la gráfica pasa de ser creciente a decreciente se dice que la función alcanza un máximo relativo. Una función f presenta un máximo relativo en un punto xo si existe un intervalo centrado en xo, (xo-h,xo+h) tal que para cualquier punto x del intervalo se cumple que f(x)<f(xo) En los puntos donde la gráfica pasa de ser decreciente a creciente se dice que la función alcanza un mínimo. Una función f presenta un mínimo relativo en un punto xo si existe un intervalo centrado en xo, (xo-h,xo+h tal que para cualquier punto x del intervalo se cumple que f(x)>f(xo) Mínimo en x = -5 Máximo en x = 4

28 Máximos y mínimos absolutos Una función f presenta un máximo absoluto en un punto xo si para cualquier valor de x del dominio de la función se cumple que: f(x)<f(xo) Una función f presenta un mínimo absoluto en un punto xo si para cualquier valor del dominio de la función se cumple que: f(x)>f(xo) Máximo absoluto en x = -8 Mínimo absoluto en x = 7,2

29 Ejemplos máximos y mínimos relativos y absolutos

30 Ejemplos máximos y mínimos relativos y absolutos

31 Simetrías Simetría respecto del eje de ordenadas (eje Y) o simetría PAR Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas si para cualquier punto x del dominio se cumple que: f x =f x x Domf Simetría respecto del origen de coordenadas o simetría IMPAR Una función es simétrica respecto del origen de coordenadas si para cualquier punto x del dominio se cumple que: f x = f x x Dom f

32 Simetrías: ejemplos con fórmulas y gráficas 2 f x =x 4 Simetría par f ( x ) = f ( x ) 2 f x = x f x = x 4=x 4 3 f x =x 5x Simetría impar f ( x ) = f ( x ) 3 f x = x 5x f x = [ x 3 5 x ]= [ x 3 5x ] = [ x 3 5x ] = f x

33 Periodicidad Una función f es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T (T>0), se le llama periodo. Es decir, se cumple que: f x =f x T =f x 2T =...=f x kt, k ℤ PeriodoT =2 Conocido el valor de la función en un intervalo de amplitud T, se puede construir el resto de la gráfica trasladándola a la derecha e izquierda por todo el dominio. y=f x =x [ x ], parte decimal

34 Estudia la función de la gráfica. Dominio: Y Recorrido: Continuidad: X Puntos de cortes con los ejes: Crecimiento y decrecimiento: Concavidad y convexidad: Máx. y mín. absolutos y relativos: Simetrías: Periodicidad:

35 Estudia la función de la gráfica. Dom f =[ 4, ) Dominio: Y Recorrido: Im f=[,0 ] Continuidad: No es continua X Puntos de cortes con los ejes: (-2,0) y (0,-9) Crecimiento y decrecimiento: f =( 4, 2 ) ( 0, ) f =( 2,0 ) Concavidad y convexidad: La función es convexa (cóncava hacia abajo) Máx. y mín. absolutos y relativos: Max. Abs. en x=-2. No tiene extremos relativos. No es simétrica Simetrías: Periodicidad: No es periódica

36 Estudia la función de la gráfica. Dominio: Recorrido: Continuidad: X Puntos de cortes con los ejes: Crecimiento y decrecimiento: Concavidad y convexidad: Máx. y mín. absolutos y relativos: Simetrías: Periodicidad:

37 Estudia la función de la gráfica. Dominio: Dom f =ℝ {2, 2 } Recorrido: Im f =ℝ Continuidad: No es continua en X 2 y -2 Puntos de cortes con los ejes: (0,0) Crecimiento y decrecimiento: f =, , f = 3.5, 2 2,2 2,3.5 Concavidad y convexidad: f = 2,0 2, f =, 2 0,2 P. Inflexión en x=0 Máx. y mín. absolutos y relativos: Max. Relativo en x=-3.5, mínimo relativo en x=3.5. No tiene extremos absolutos. Impar f(-x)=-f(x) Simetrías: Periodicidad: No es periódica

38 Estudia la función de la gráfica. Dominio: Recorrido: Continuidad: X Puntos de cortes con los ejes: Crecimiento y decrecimiento: Concavidad y convexidad: Máx. y mín. absolutos y relativos: Simetrías: Periodicidad:

39 Estudia la función de la gráfica. Dominio: Dom f =[ 8, 4 ] [ 3, ) Recorrido: Im f =[ 1,4 ] Continuidad: No es continua X Puntos de cortes con los ejes: (0,-1) (-4,0) (-3,0) (-1,0) Crecimiento y decrecimiento: f = 3, 1 0, 2 f = 8, 4 1,0 Es constante en 2, Concavidad y convexidad: f = 2, 1 0, 2 f = 3, 2 P. Inflexión en x=-2 Máx. y mín. absolutos y relativos: Mín. Relativo en x=0 Mín abs en x= 0 y Máx. Abs. en x=-8 No es simétrica Simetrías: Periodicidad: No es periódica

40 Transformaciones de funciones I y=f x k La gráfica se obtiene trasladando f(x) verticalmente k unidades hacia arriba, si k>0, y k unidades hacia abajo, si k<0 y =f x k La gráfica se obtiene trasladando f(x) horizontalmente k unidades hacia la izquierda, si k>0, y k unidades hacia la derecha, si k<0

41 Transformaciones de funciones II y = f x La gráfica es la gráfica simétrica de y=f(x) respecto al eje X. y =f x La gráfica es la gráfica simétrica de y=f(x) respecto del eje Y.

42 Ejemplo: Transformaciones de funciones Relacionamos las expresiones de las siguientes funciones con su representación gráfica. y= 1 2 x 1 1 unidad izquierda y= 1 2 x y= 1 x 3 2 unidades arriba y= 1 4 x 2 2 unidades derecha 2 unidades arriba 4 unidades abajo 3 unidades izquierda Todas son transformadas de la función 1 1 y =f x = ó y= x x

43 Operaciones con funciones Dadas dos funciones f y g: Suma de funciones: (f+g)(x) Producto: (f g)(x) Cociente: ( gf ) ( x ) El dominio de las funciones f+g y f g es el conjunto de valores que Dom f g =Dom f Dom g pertenecen a Dom f y Dom g: Dom( x log x)=dom( x) Dom (log x )=(,+ ) ( 0,+ )=(0,+ ) Dom( x + x 1)=Dom ( x ) Dom ( x 1)=(,+ ) [ 1,+ )= [1,+ ) El dominio de las función gf x es el conjunto de valores que pertenecen a Dom f y Dom g y, además, no anulan el denominador g(x). Dom Ejemplo: Dom f = Dom f Dom g { x ℝ / g x =0 } g log x = Dom log x Dom x 3 { x ℝ/ x 3=0 }= 0, [ 3, ) { x =3 }= 3, x 3

44 Composición de funciones Dadas dos funciones, f y g, se llama función compuesta de f con g a la función (g o f) que cumple que: g f x =g [ f x ] f g f x x g [ f ( x)] g f Es el resultado de actuar sucesivamente sobre x, primero f y después g g [f x ] g f x Se lee f compuesta con g de x El dominio de la función g o f es el conjunto de valores que cumplen que: x está en el dominio de f f(x) está en el dominio de g g x = x f x =x g [f x ]= x 1 x f x =x 1 2 g f x = x 1 x 2 La composición de funciones no es commutativa: g f f g f g x =f [ g x ]=x 1

45 Ejemplo de composición de funciones y g x = Dadas f ( x)= x 2 g x = f ( x )= x 2 f ( x)= x 2 x 1 calcula g f x y f g x x 1 1 x 1 x g ( x)= x x 1 x +1 g x = 1 x 1 f ( x)= x 2 g f x 1 2 x +1 1 ( g f )( x )= 2 x +1 g [ f ( x)]= Se lee f compuesta con g de x 1 2 ( x+1) 1 ( f g )( x )= 2 ( x +1) f [ g ( x)]= La composición de funciones no es commutativa: g f f g

46 Función inversa La función inversa de una función f es otra, f -1 tal que para para cualquier valor x de su dominio se cumple que: x f f x =b f f x f 1 b =x f f [b]=x 1 f f Se cumple que: 1 1 f f =f f =Id A Id se le denomina función Identidad y se define como Id x =x f x =b b

47 Gráfica de la Función inversa. Procedimiento para su cálculo. Las gráficas de una función y de su inversa son simétrica respecto a la recta y = x (bisectriz del primer y tercer cuadrante) 1 1 f f =f f =Id Id x =x Cómo calculamos la función inversa de una función? : 1.º) Expresamos la función en la forma y=f(x) e intercambiamos x por y en ambos miembros. 2.º) Despejamos y en la ecuación resultante.

48 Cálculo de función inversa de una función f 1 f =f f 1 =Id y= f x = 7 x x 7 y y y x=7 y y x y =7 y x 1 =7 y= f x =2 x 1.º x y x = 1.º x y x =2 y 2.º 2.º y =f 1 x = 7 x 1 Id x =x log 2 x=log2 2 y log 2 x= y y =log 2 x En GEOGEBRA ln(x) o log(x) es el logaritmo neperiano, y lg(x) es el logaritmo decimal o de base diez.

49 Estudio de una función I Dominio: Dom f x =, ℝ todos los números reales Recorrido: Im f x =, ℝ todos los números reales Puntos de corte: Eje X : x = -5 P(-5,0) x = 0 P(0,0) Continuidad: Eje Y : y = 0 P(0,0) la función es continua. Crecimiento y decrecimiento: Máximos y mínimos: decrecient e (-3,0) creciente (-,-3) (0, + ) máximo en (-3,3) mínimo en (0,0) Máximos y mínimos absolutos: No Simetría No Periodicidad. No

50 Estudio de una función II Dominio: Dom f x =ℝ 4, 2 Recorrido: Im f x =, 12 ] Puntos de corte: P.C. eje X : x= 4 ; x= 2 ; x=2 ; x=10 P.C. eje Y : y= 4 La función NO es continua Continuidad: En el intervalo (-4,-2) no está definida f en, 4 0,4 f en 2,0 4, Máximo relativo en x=4 Máximos y mínimos: Mínimo relativo en x =0 Máximo absoluto en x=4 Simetría. No Periodicidad No Crecimiento y decrecimiento:

51 Enlaces de interés DivulgaMat Diccionario matemático IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB

52 Actividad: La función lineal y la función afín Dirección: En la sección chilena de la Editorial Santillana, se propone una actividad en la que se podrá realizar la gráfica de la función f (x)= ax + b y g (x)= mx + n para distintos valores de la variable x y los parámetros m, n, a y b. Para conocerlo, sigue este enlace.