2.- Vectores deslizantes.

Transcripción

1 .- Vectores deslzantes... Momento de un vector respecto a un punto (4);.. Momento de un vector respecto a un eje (4);.. Sstemas de vectores deslzantes (4);.4. Invarantes del sstema (44);.5. Par de vectores (45);.6. Eje central (46);.7. Centro de un sstema de vectores paralelos (47);.8. Sstemas de vectores equvalentes (49);.9. Reduccón de sstemas (50);.0. Vral de un vector (54);.. Vral de un sstema de vectores (55);.. Plano central (56);.. Punto central (56); Problemas (57) Hemos vsto en la leccón anteror como la defncón de gualdad (equpolenca) entre vectores nos permte clasfcarlos en dos categorías: la de los vectores lbres y la de los vectores deslzantes. En la leccón anteror hemos establecdo las reglas del Álgebra Vectoral bajo el supuesto de que nos referíamos a los vectores lbres. Así, cuando se defnía la suma vectoral, no teníamos nconvenente alguno en desplazar los vectores de modo que tuvesen un punto de orgen común. Esta operacón, obvamente, no la podemos realzar con los vectores deslzantes, a menos que sus rectas de accón concurran en un msmo punto. Así pues, debemos amplar nuestras defncones de modo que podamos dar cabda en el Álgebra Vectoral a los llamados vectores deslzantes... Momento de un vector respecto a un punto.- Defnmos el momento de un vector deslzante F con respecto a un punto O del espaco como el vector OP F, sendo P un punto cualquera de la recta de accón del vector F; esto es, OP F [.] Esta defncón exge que el momento de F con respecto al punto O sea ndependente de la poscón de F sobre su recta de accón. En efecto, magnemos el vector F desplazado a lo largo de su recta de ac- Fgura. cón, de modo que sea P su punto de aplcacón (Fgura.). La defncón [.] sgnfca que, llamando M O al momento de F, aplcado en P, con respecto al punto O es Manuel R. Ortega Grón 4

2 4 Lec..- Vectores deslzantes. OP F [.] de modo que restando [.] y [.] membro a membro resulta (OP OP ) F P P F 0 [.] por ser P P F. Por lo tanto es = M O. Es obvo que el módulo del momento de un vector F con respecto a un punto O puede expresarse por Fb [.4] donde b es la dstanca del punto Oalarecta de accón del vector. Dcha dstanca recbe el nombre de brazo del vector deslzante con respecto al punto O. Por otra parte, de la propedad Fgura. geométrca del producto vectoral, por la que representa el área del paralelogramo determnado por los dos vectores, se sgue una propedad geométrca análoga para el momento de un vector, que queda representado por el doble del área de los trángulos sombreados en la Fgura. y en la Fgura. El momento de un vector, aunque es ndependente de su punto de aplcacón sobre su propa recta de accón, depende del punto con respecto al cuál se toma. Esto es, s en lugar de tomarlo con respecto al punto O lo tomamos con respecto a otro punto O (Fgura.), en general, será. En efecto O P F (O O OP) F O O F [.5] de modo que sólo es gual a cuando O O F = 0, lo que ocurre cuando se escoge O sobre una recta que pasando por O sea paralela a la dreccón del vector F... Momento de un vector respecto a un eje.- Consderemos un vector deslzante F y un eje en la dreccón del versor e (Fgura.). Defnmos el momento del vector F con respecto al eje e como la proyeccón sobre dcho eje del momento del vector con respecto a un punto cualquera del eje. Esto es M eje e (OP F ) e [.6] o ben M [.7] eje M eje e Esta defncón sólo tendrá sentdo s logramos demostrar que, cualquera que sea el punto elegdo sobre el eje, la proyeccón sobre el eje del momento del vector con respecto a dcho punto del eje es sempre la msma (nvarante). En efecto, consderando otro punto del eje, O, tenemos

3 ..- Momento de un vector respecto a un eje. 4 M eje e (O P F ) e [.8] y restando membro a membro [.6] y [.8] resulta ya que OO e. Por lo tanto es M eje =M eje. El momento de un vector con respecto a un eje sólo será nulo cuando la recta de accón del vector corte al eje o cuando sea paralela a él; esto es, cuando el vector sea coplanaro con el eje, puesto que entonces el momento del vector con respecto a un punto del eje será perpendcular al eje y no dará proyeccón sobre él. M eje M eje [(OP F ) (O P F )] e [(OP O P) F] e (OO F ) e 0 [.9] Fgura... Sstemas de vectores deslzantes.- Consderamos un sstema de vectores deslzantes, F (=,,... n), aplcados respectvamente en los puntos P (Fgura.4). Llamaremos resultante general de un sstema de vectores deslzantes al vector que se obtene sumando todos los vectores del sstema como s fuesen lbres. Es decr, desgnando por R tal resultante R n [.0] Llamaremos momento resultante general de un sstema de vectores deslzantes, con respecto a un punto dado O, al vector obtendo sumando todos los momentos ndvduales, de cada uno de los vectores que ntegran el sstema, con respecto al punto O. Es decr, desgnando por tal momento resultante, es F Fgura.4 n, n (OP F ) [.] Obsérvese que la resultante R es ndependente del punto elegdo como polo o centro de reduccón; pero no sucede lo msmo con el momento resultante, que varía de un punto a otro. S elegmos otro centro de reduccón, O, tendremos

4 44 Lec..- Vectores deslzantes. n n (O P F ) n OP F n (O O OP ) F O O F O O n F [.] o sea M [.] O O O R de modo que el momento resultante con respecto al punto O es gual al momento resultante con respecto al punto O más el momento de la resultante del sstema, supuesta aplcada en el punto O, con respecto al punto O. Debemos advertr que el momento de un vector con respecto a un punto, tal como el O, es un vector aplcado en dcho punto, de modo que cuando sumamos los dos térmnos del segundo membro de [.], el prmero de ellos aplcado en O y el segundo en O, lo deberemos hacer como s de vectores lbres se tratara y luego trasladaremos el resultado al punto O. S las rectas de accón de todos los vectores del sstema concurren en un punto O, entonces es obvo que =0 y que O O R [.4] de modo que: el momento resultante de un sstema de vectores deslzantes concurrentes en un punto es gual al momento de su resultante aplcada en dcho punto de concurrenca. Este enuncado corresponde al llamado Teorema de VARIGNON (654-7), que puede enuncarse tambén en esta otra forma equvalente: El momento de la resultante de un sstema de vectores deslzantes concurrentes en un punto es gual a la suma de los momentos ndvduales de cada vector..4. Invarantes del sstema.- Hemos vsto que la resultante R de un sstema de vectores es ndependente del punto elegdo como centro de reduccón; se dce que la resultante R es un nvarante del sstema que, dado su carácter vectoral, recbe el nombre de nvarante vectoral o prmer nvarante del sstema. Podemos encontrar un segundo nvarante del sstema s multplcamos escalarmente por R ambos membros de la expresón [.]; entonces se sgue R R R (O O R) [.5] pero como (O O R) R = 0, resulta que R R [.6] que es el segundo nvarante del sstema que, dado su carácter escalar, recbe el nombre de nvarante escalar. El sgnfcado de este segundo nvarante se hace más evdente s lo escrbmos en la forma

5 .4.- Invarantes del sstema. 45 R R cte. [.7] expresón que suele recbr el nombre de tercer nvarante del sstema, aunque en realdad es sólo otra forma de escrbr la expresón del segundo nvarante. Vemos que el nvarante escalar expresa la constanca de la proyeccón del momento resultante en la dreccón de la resultante general del sstema de vectores deslzantes..5. Par de vectores.- Llamamos par de vectores a todo sstema formado por dos vectores del msmo módulo y dreccón (.e., stuados sobre rectas de accón paralelas entre sí), pero en sentdos opuestos. Evdentemente, la resultante de un par de vectores es nula (R = O), pero no así su momento, que goza de la propedad de ser ndependente del punto elegdo como centro de reduccón. Esto es, el momento resultante de un par de vectores es nvarante. En efecto, sea O un punto cualquera del espaco (Fgura.5); entonces, tomando momentos con respecto a dcho punto, tenemos OP F OQ ( F) QP F [.8] de modo que resulta ser ndependente (nvarante) del punto elegdo como centro de reduccón. El momento de un par de vectores es un vector perpendcular al plano defndo por los dos vectores y su sentdo es el del avance de un tornllo que grase en el sentdo ndcado por los vectores, esto es, el que mpone la regla de la mano derecha explcada en la leccón anteror. El módulo del momento de un par de vectores es M F QP senθ Fb [.9] Fgura.5 sendo b la dstanca entre las rectas de accón de los vectores que forman el par;.e., el brazo del par. Las propedades más mportantes del par de vectores son las sguentes: () El momento de un par es un nvarante. () El momento de un par es un vector lbre; esto es, no vnculado a nnguna recta de accón. () Dos pares son equvalentes s tenen el msmo momento. Esto es, al ser nula la resultante R del par, su momento lo caracterza completamente. (4) Un par puede grarse en su plano o trasladarse paralelamente a sí msmo, sn alterar su momento.

6 46 Lec..- Vectores deslzantes. (5) S un sstema de vectores está formado por varos pares, de momentos ndvduales M (=,,...), el momento del par resultante es M = M. (6) Dos pares se equlbran s M =-M..6. Eje central.- Hemos vsto que el momento resultante general de un sstema de vectores deslzantes (en lo sucesvo lo llamaremos smplemente el momento resultante) no es un nvarante del sstema, ya que depende del punto del espaco que eljamos como polo o centro de reduccón. Exstrán, por lo tanto, unos puntos del espaco en los que el momento del sstema presente un valor mínmo; el lugar geométrco de tales puntos (que demostraremos que es una recta) recbe el nombre de eje central del sstema. Esto es: Llamamos eje central de un sstema de vectores deslzantes al lugar geométrco de los puntos del espaco en los que el momento resultante del sstema presenta un valor mínmo. Para determnar dcho lugar geométrco, partremos del nvarante escalar, ya que este nvarante expresa la constanca de la proyeccón del momento resultante, cualquera que sea el punto de reduccón, sobre la dreccón de la resultante R del sstema. En consecuenca, el momento será mínmo en aquellos puntos en los que sea paralelo a dcha dreccón. Esto es, puesto que Fgura.6 M R MRcosθ cte. [.0] y como R=cte, se sgue que M será mínmo cuando cos θ sea máxmo, o sea cuando el ángulo θ determnado por los vectores M y R sea nulo. Entonces, el momento en los puntos del eje central será paralelo a la resultante R del sstema, lo que nos permte dar esta otra defncón del eje central: Llamamos eje central de un sstema de vectores deslzantes al lugar geométrco de los puntos del espaco en los que el momento del sstema es paralelo a la resultante R. Esta segunda defncón del eje central, en todo equvalente a la prmera, nos permte dentfcar fáclmente dcho lugar geométrco. En efecto, multplcando vectoralmente por R ambos membros de la ecuacón [.] se sgue R R R (OO R) R OO (R R) R(OO R) [.] o sea R M [.] O R R OO mr donde m=oo R es un parámetro escalar cuyo valor depende de la poscón del

7 .6.- Eje central. 47 punto O respecto al punto O. S consderamos que O sea un punto del eje central,.e., O E, la condcón de paralelsmo entre R y M E es R M E =0, de modo que la ecuacón (vectoral) del lugar geométrco buscado es OE R R λr [.] donde λ es un parámetro escalar (λ=m/r ) que es smplemente un transformado del parámetro m anterormente defndo. La ecuacón [.] lo es de una recta paralela a la dreccón del vector R y que pasa por un punto defndo por el vector de poscón R /R. La ecuacón de dcha recta puede escrbrse tambén en la forma x x 0 y y 0 z z 0 R x R y R z [.4] donde (x 0,y 0,z 0 ) representan las coordenadas cartesanas de un punto del eje central (el R /R, por ejemplo) y donde R x, R y y R z son las componentes cartesanas de la resultante R del sstema de vectores. Otro método.- Conocdo el momento resultante en el orgen de coordenadas, determnamos el momento resultante en un punto genérco E medante la expresón M E EO R [.5] Este momento resultante será funcón de las coordenadas (x,y,z) del punto E;.e., M E (x,y,z). Imponemos la condcón de que el punto E pertenezca al eje central, por lo que M E deberá ser paralelo a R; esta condcón se expresa en la forma M E,x M E,y M E,z [.6] R x R y R z que es la ecuacón de la recta asocada al eje central del sstema de vectores deslzantes. Obvamente, el módulo del momento mínmo puede calcularse proyectando el momento resultante en un punto cualquera del espaco sobre la resultante general del sstema de vectores deslzantes;.e., M mín R M R y su dreccón es la del vector R (.e., la del eje central). [.7].7. Centro de un sstema de vectores paralelos.- Dado un sstema de vectores paralelos entre sí, no necesaramente coplanaros, defnmos el centro de tal

8 48 Lec..- Vectores deslzantes. sstema como el punto de nterseccón de todos los ejes centrales correspondentes a todas las posbles orentacones en el espaco que pudera presentar dcho sstema de vectores, de modo que se mantengan constantes el módulo y el punto de aplcacón de cada uno de los vectores que lo ntegran. Sea un sstema de vectores paralelos a una certa dreccón que ndcaremos medante el versor e. Cada uno de los vectores que componen el sstema podrá expresarse en la forma F F e [.8] con F 0, y, obvamente, tendremos un versor e para cada orentacón del sstema en el espaco. Supongamos que sea G el punto que buscamos, esto es el centro del sstema (Fgura.7). Por pertenecer dcho punto al eje central del sstema deberá ser M G R. Pero, por otra parte, al estar consttudo el sstema sólo por vectores paralelos entre sí (sstema de vectores concurrentes en el punto mpropo), en vrtud del teorema de Vargnon [.4], deberá ser M G R. De modo que, para Fgura.7 que esas dos condcones puedan satsfacerse smultáneamente deberá ser M G =0. En consecuenca podemos enuncar: El centro de un sstema de vectores paralelos es un punto tal que el momento del sstema con respecto a él es nulo. Para cualquera de las orentacones del sstema, tomando momentos con respecto al punto O (orgen de un sstema de ejes coordenados) tenemos OP F OP F e ( OP F ) e [.9] y tomando momentos con respecto al punto G resulta M G OG R ( [ (F OP ) OG OP F ) e OG ( F ] e 0 F )e [.0] y como esta ecuacón deberá satsfacerse para cualquer orentacón del sstema de vectores, o sea para cualquer e, nos queda Obsérvese que F puede ser postvo o negatvo, según que el sentdo del vector F sea concdente u opuesto al del versor e. Así, estrctamente, F no es el módulo del vector F, ya que éste es esencalmente postvo.

9 .7.- Centro de un sstema de vectores paralelos. 49 OG F OP F [.] que nos determna la poscón del centro buscado. En coordenadas cartesanas, sendo (x, y, z ) el punto de aplcacón del vector F, la ecuacón [.] da lugar a tres ecuacones escalares x G F x F y G F y F z G F z F [.] que, como veremos en una leccón posteror, son las msmas expresones que defnen la poscón del centro de gravedad de un cuerpo en un campo gravtatoro unforme..8. Sstemas de vectores equvalentes.- Decmos que dos sstemas de vectores son equvalentes cuando tenen la msma resultante R y el msmo momento resultante con respecto a un punto cualquera del espaco. Para que la defncón anteror tenga sentdo, deberemos demostrar que s dos sstemas de vectores deslzantes tenen la msma resultante y el msmo momento resultante con respecto a un certo punto del espaco, tambén lo tendrán con respecto a cualquer otro punto. En efecto, dados dos sstemas de vectores, el V (=,,... m) con puntos de aplcacón A yelw j (j=,,... n) con puntos de aplcacón B j,y suponemos que ambos sstemas tengan la msma resultante y el msmo momento resultante con respecto al punto O; es decr, M V m OA V entonces, para otro centro de reduccón, O, será n j OB j W j M W [.] M V M V O O R V y M W M W O O R W [.4] y como por hpótess es M V =M W y R V =R W será tambén M V =M W. De acuerdo con la defncón de equvalenca entre dos sstemas de vectores deslzantes, tenemos: (a) Un sstema de vectores concurrentes en un punto es equvalente a un vector únco (.e., la resultante R del sstema), cuya recta de accón pasa por dcho punto de concurrenca. (b) Un sstema de vectores cuya resultante R sea nula, no séndolo el momento resultante M, es equvalente a un par de vectores que tenga el msmo momento. Dversas operacones nos permten transformar un sstema de vectores en otro que le sea equvalente. Las operacones elementales que consguen ese objetvo son: () La ncorporacón al sstema de vectores de dos vectores de gual módulo

10 50 Lec..- Vectores deslzantes. y recta de accón común, pero de sentdos opuestos. () La supresón de dos vectores en las msmas condcones anterores. () La susttucón de dos vectores concurrentes en un punto por su suma efectuada y stuada sobre una recta de accón que pase por el punto de concurrenca. (4) La susttucón de un vector por otros dos en las msmas condcones anterores. (5) Y, naturalmente, la traslacón de un vector a lo largo de su recta de accón..9. Reduccón de sstemas.- Reducr un sstema de vectores es sustturlo por otro sstema de vectores más sencllo que le sea equvalente. La reduccón de un sstema de vectores puede llevarse a cabo medante las operacones elementales enumeradas anterormente. Para la reduccón de un sstema de vectores resulta sumamente nteresante la consderacón de los sguentes teoremas: TEOREMA I.- Todo sstema de vectores deslzantes puede reducrse a un vector únco cuya recta de accón pasa por un punto arbtraro más un par cuyo momento sea el momento resultante del sstema con respecto a dcho punto. Esto es, elegdo un certo punto O como centro de reduccón, el sstema es equvalente al formado por la resultante general R aplcada enoyaunpar, consttudo por los vectores F y-f, que podemos elegr arbtraramente con tal de que el momento del par sea gual al momento resultante general del sstema dado con respecto al centro de reduccón O. Podemos consegur una reduccón de esa forma sn más que aplcar en el centro de reduccón O elegdo un vector gual a cada uno de los F (=,,... n) y otro, -F, gual y opuesto Fgura.8. Los vectores F aplcados en el punto O dan (sumados) la resultante R del sstema total así consttudo, en tanto que los vectores -F se agrupan por parejas con los dados ncalmente para formar n pares de vectores que, una vez sumados nos dan el momento resultante, esto es, el momento del par resultante (F, -F). Fgura.8 Fgura.9 TEOREMA II.- Todo sstema de vectores deslzantes puede reducrse a sólo dos vectores, para uno de los cuales podemos elegr la recta de accón.

11 .9.- Reduccón de sstemas. 5 En efecto, puesto que un par de momento M está compuesto por dos vectores, uno de los cuales puede tener la recta de accón que se desee, uno de ellos puede ser elegdo de modo que esté aplcado en el punto O (centro de reduccón arbtraro) del caso precedente, de modo que podrá sumarse a la resultante general R aplcada en O (Fgura.9). En consecuenca, nos quedará, además de esa suma, el otro vector que formaba parte del par de momento M; esto es, dos vectores en total. TEOREMA III.- Reduccón canónca. Todo sstema de vectores deslzantes cuyo nvarante escalar sea dstnto de cero, puede reducrse a un vector únco y a un par cuyo momento sea paralelo a dcho vector únco. Tal reduccón se llama canónca. En efecto, s tomamos el centro de reduccón sobre el eje central del sstema de vectores, la resultante y el momento resultante del sstema serán paralelos entre sí, como se muestra en la Fgura.0. El sstema así consttudo, equvalente al dado, se llama torsor y el eje del par (.e., el eje central del sstema) recbe el nombre de flecha del torsor. Evdentemente la condcón necesara y sufcente para que la reduccón canónca sea posble (.e. que el sstema pueda reducrse en un par de momento M mín paralelo a la resultante R) es que el nvarante escalar no Fgura.0 sea nulo, o sea RM 0, pues así n R n M son nulos n perpendculares entre sí. Cuando el nvarante escalar del sstema de vectores es nulo, es decr MR=0, sendo M el momento en un punto cualquera, se pueden presentar los casos sguentes: (a) S R=0 y M=0, esta stuacón se presentará para cualquer centro de reduccón y el sstema es equvalente a cero (sstema nulo). (b) S R=0 y M 0, el sstema se reduce a un par de vectores de momento M cualquera que sea el centro de reduccón. (c) S R 0 ym=0, el sstema se reduce a un vector únco cuya recta de accón pasa por ese centro de reduccón. Esta stuacón se presenta tanto s los vectores son concurrentes (sean coplanaras o no) (Fgura.), como s los vectores que consttuyen el sstema son paralelos entre sí (punto de concurrenca mpropo) (Fgura.). En todo caso, en los puntos que no pertenecen a la recta de accón de la resultante R (eje central del sstema) aparecerá un certo momento M 0, pero dcho momento será sempre perpendcular a la resultante R, ya que dcho momento será gual al momento de la resultante en esos puntos (teorema de VARIGNON). (d) S R 0 ym 0 pero es RM=0, deberá ser M R cualquera que sea el En la Físca, el adjetvo canónco sgnfca adaptado o ajustado lo mejor posble. El concepto se aplca a las magntudes, fórmulas y procedmentos que srven para descrbr los fenómenos físcos.

12 5 Lec..- Vectores deslzantes. centro de reduccón. Como caso partcular, s el centro de reduccón se toma sobre el eje central del sstema de vectores, deberá ser M mín R, de modo que para que puedan satsfacerse smultáneamente las dos condcones anterores (perpendculardad y paralelsmo entre M y R) y al ser R 0 e nvarante, deberá ser M mín =0, reducéndose el sstema a un vector únco (la resultante R del sstema) drgdo a lo largo del eje central. Fgura. Fgura. Ejemplo I.- Dado el sstema de vectores deslzantes: a = +j +k aplcado en A(,,) b = - j + k aplcado en B(-,0,) c =- +j -k aplcado en C(,0,-) hallar: a) su resultante; b) su momento resultante respecto al orgen de coordenadas; c) el módulo y componentes del momento mínmo del sstema; d) la ecuacón del eje central; e) el torsor del sstema. a) La resultante es R = a + b + c = +j +k y su módulo vale. R 4 b) El momento resultante es = (a) + (b) + (c), o sea c) El nvarante escalar es R =++0=4,demodo que el momento mínmo vale M mín R R en la dreccón de R, por lo que será:

13 .9.- Reduccón de sstemas. 5 M mín R R d) El punto R R pertenece al eje central, por lo que la ecuacones cartesanas de éste serán 4x 4y 4z Otro método: Calculamos el momento resultante en un punto genérco E(x,y,z) pertenecente al eje central M E EO R 7 5 x y z z y x z 7 y x 5 de modo que la ecuacón de la recta asocada al msmo será z y x z 7 y x 5 e) El torsor del sstema es R ; M mín (,,) ; 7 7 (,,) Ejemplo II.- La resultante de un sstema de vectores deslzantes es R = -j + k y su momento resultante con respecto al punto P(,-,) vale M P = +j - k. Determnar el eje central del sstema. Podemos evaluar el momento resultante en el orgen de coordenadas O(0,0,0); esto es, M P OP R 6 5 de modo que la ec. vectoral (ec. paramétrcas) del eje central será OE R R λr λ /4 λ 5/7 λ λ o ben, en forma contnua x 4 y 5 7 z Tambén podemos encontrar drectamente las ec. del eje central a partr del momento resultante del sstema en P; esto es,

14 54 Lec..- Vectores deslzantes. OE OP PE OP R M P R λr 4 λ 5/4 λ /4 λ 5/ λ o ben en forma contnua x 5 4 y 4 z 5 que es la msma recta que antes, como el lector comprobará fáclmente..0. Vral de un vector.- Defnmos el vral de un vector F, aplcado en un punto P, respecto al punto O del espaco, como el producto escalar del vector OP por el vector F. Esto es V O OP F [.5] El vral de un vector respecto a un punto es, evdentemente, una magntud escalar. La defncón del vral de un vector presenta una certa analogía con la del momento de un vector, ya que ntervenen los msmos elementos (los vectores OP y F), s ben el producto vectoral ha sdo reemplazado ahora por un producto escalar. Fgura. Obsérvese que en la defncón del vral de un vector hemos omtdo el carácter deslzante de éste; en su lugar, hemos destacado la palabra "aplcado". En efecto, el vral de un vector respecto a un punto dado del espaco no es ndependente de la poscón del vector F sobre su recta de accón (Fgura.). S calculamos el vral del vector F, aplcado en otro punto (P ) desu recta de accón, respecto al punto dado O, tenemos V O OP F (OP PP ) F [.6] o sea [.7] V O V O PP F de modo que V O V O. Consderaremos, pues, el vector F como un vector lgado. Establecemos, así, una nueva clase de vectores, la de los vectores lgados, junto a las dos anterores defndas de los vectores deslzantes y de los vectores lbres. En los sstemas de vectores lgados, el crtero de gualdad entre dos vectores (equpolenca) exge que los vectores tengan el msmo módulo, la msma dreccón y sentdo y el msmo punto de aplcacón. El vral de un vector depende del punto del espaco respecto al cual se tome.

15 Esto es, s en lugar de tomarlo respecto al punto O lo tomamos respecto al punto O, será, en general V O V O. En efecto;.0.- Vral de un vector. 55 V O O P F (O O OP) F [.8] o sea V [.9] O V O O O F de modo que V O sólo será gual a V O cuando O O F=0, lo que ocurre cuando se escoge O sobre Fgura.4 una recta que pasando por O sea perpendcular a la dreccón del vector F. Así pues, el vral de un vector tene el msmo valor en todos los puntos de un plano normal al vector (Fgura.4.).. Vral de un sstema de vectores.- Consderemos un sstema de vectores lgados, F (=,,...). aplcados respectvamente en los puntos P (Fgura.5). Llamaremos vral del sstema de vectores lgados, respecto a un punto dado O, al escalar que resulta de sumar todos los vrales ndvduales (.e., de cada uno de los vectores que ntegran el sstema) respecto al punto O. Esto es, s desgnamos por V O el vral del sstema, tenemos V O OP F [.40] El vral de un sstema de vectores depende del punto del espaco respecto al cual se calcula. El vral del sstema en un punto O será V O O P F (O O OP ) F OP F O O F [.4] o sea V O V O O O R [.4] donde R= F es la resultante general del sstema de vectores lgados (suma de todos los vectores del sstema como s fuesen lbres), de modo que el vral del sstema en el punto O es gual al vral del sstema en el O más el vral de la resultante del sstema, supuesta aplcada en el punto O, en el punto O. Fgura.5 De la expresón [.4] se deduce fáclmente que el vral del sstema tene el msmo valor en todos los puntos de cualquer plano perpendcular a la dreccón de la resultante general del sstema de vectores (Fgura.6), puesto que entonces es Q Q R=0.

16 56 Lec..- Vectores deslzantes... Plano central.- Hemos vsto que el vral de un sstema de vectores lgados no es un nvarante del sstema, ya que su valor depende del punto del espaco en el que se calcula; dcho valor varará de forma contnua desde - a, al pasar de un punto a otro. Tambén hemos vsto que el vral de un sstema de vectores lgados toma un valor constante en todos los puntos de cualquer plano perpendcular a la dreccón de la resultante general (R) del sstema. Exstrá, por lo tanto, un plano en cuyos puntos el vral será nulo; tal plano recbe el nombre de plano central;.e., Llamamos plano central de un sstema de vectores lgados al lugar geométrco de los puntos del espaco en los que se anula el vral del sstema. Para determnar la ecuacón del plano central, consderaremos un punto genérco Q de dcho lugar geométrco, en el que será V Q =0. Entonces, de acuerdo con la expresón [.4], será V Q V O QO R 0 [.4] o sea OQ R V [.44] O Fgura.6 que es la ecuacón de un plano normal a la dreccón de la resultante general del sstema de vectores (.e., normal al eje central), en cuyos puntos se anula el vral del sstema; la expresón [.44] es la ecuacón vectoral del plano central del sstema de vectores lgados. En coordenadas cartesanas (x,y,z), tomando el orgen en el punto O, como se ndca en la Fgura.6, la ecuacón del plano central se escrbe en la forma xr x yr y zr z V O [.45] donde (R x,r y,r z ) son las componentes de la resultante general del sstema sobre los ejes coordenados y V O es el vral del sstema en el orgen de coordenadas... Punto central.- Hemos defndo en esta leccón el eje central de un sstema de vectores deslzantes y el plano central de un sstema de vectores lgados. Consderemos ahora un sstema de vectores dado, F (=,,... n), cuyas rectas de accón pasen por los puntos P correspondentes. Consderémoslo, prmero, como un sstema de vectores deslzantes y determnemos el eje central del sstema. A contnuacón, consderaremos cada uno de los vectores del sstema lgados a los Fgura.7 puntos P correspondentes y determnaremos el plano central del sstema (para

17 ..- Punto central. 57 los puntos de aplcacón dados). El punto de nterseccón del eje central con el plano central (Fgura.7) recbe el nombre de punto central del sstema de vectores, para unos puntos de aplcacón dados. Para encontrar el punto central bastará, evdentemente, resolver el sstema de ecuacones formado por las ecuacones del eje central [.] o [.4] y la ecuacón del plano central [.44] o [.45]. De acuerdo con la defncón anteror, es obvo que el punto central de un sstema de vectores es aquél en el que el vral es nulo y mínmo el momento. Deberá quedar ben claro que el punto central sólo tene sgnfcado para un sstema de vectores lgados o para un sstema de vectores deslzantes para un conjunto de puntos de aplcacón dado (lo que equvale a consderar los vectores como lgados). No debemos confundr el concepto de punto central de un sstema de vectores lgados con el de centro de un sstema de vectores paralelos; sn embargo, en el caso de un sstema de vectores lgados paralelos, ambos concden en un msmo punto del espaco (vde Problema.5). Podemos consderar el punto central como una generalzacón del centro de un sstema de vectores paralelos (deslzantes o lgados). Problemas..- Determnar el momento del vector F = - j +k, aplcado en el punto P(,5,): a) con respecto al orgen de coordenadas; b) con respecto al punto O (,,-); c) comprobar que = +O O F...- Dado el vector deslzante F = +j + k, aplcado en el punto P(,4,), calcular su momento: a) con respecto a cada uno de los ejes coordenados; b) con respecto al eje determnado por el orgen de coordenadas y el punto Q(,,); c) con respecto a la recta de ecuacón (x-)/ = (y+)/ = (z-4)/(-5)...- Dado el vector deslzante F = -j + k, cuyo momento con respecto al orgen de coordenadas es =5 +6j + M z k, determnar M z y la ecuacón de la recta de accón del vector F..4.- Demostrar que el momento resultante de un sstema de vectores deslzantes no es gual al momento de la resultante del sstema salvo que los vectores sean concurrentes en un punto o paralelos entre sí..5.- Demostrar que, s el momento de un sstema de vectores deslzantes es nulo con respecto a tres puntos no alneados, el sstema de vectores es equvalente al sstema nulo. Qué ocurre s los tres puntos están alneados?.6.- Un sstema de vectores deslzantes está defndo por sus momentos respecto a tres puntos del espaco, en la forma sguente M = +j -k respecto a O (,0,) M = a +4j +k O (0,0,) M = b - j + ck O (,-,0) Hallar el vector resultante y completar las expresones de los momentos..7.- El módulo de la resultante de un sstema de vectores es R = 6, el nvarante escalar del sstema es MR=0 y la ecuacón del eje central del sstema es x = y =z. Hallar: a) el momento mínmo; b) la resultante; c) el momento respecto al orgen; d) el momento con respecto al punto (,,0).

18 58 Lec..- Vectores deslzantes..8.- a) Determnar el centro de un sstema de vectores deslzantes paralelos, formado por los vectores de módulos, 4y5,respectvamente, y aplcados en los puntos (,,0), (,,) y (,,). b) Determnar la resultante del sstema y el momento resultante con respecto al orgen de coordenadas..9.- Demostrar que el sstema de vectores: F =, F =- y F =-, aplcados en los puntos (0,0,0), (0,,0) y (0,0,), respectvamente, se puede reducr a un par y determnar dcho par..0.- Dado un vector deslzante F =- +j + k cuya recta de accón pasa por el punto P(,,), y el par de momento M =4 +j, reducr dcho sstema a un vector únco (de ser posble) aplcado en un punto del plano xy, cuyas coordenadas deben determnarse...- Dado el sstema de vectores deslzantes que se representa en la fgura, reducrlo a un vector que pase por el orgen de coordenadas y a un par. Determnar los módulos Prob.. de dchos vectores para que el sstema se pueda reducr: a) a un vector únco y b) a un par...- Sobre un cuerpo rígdo actúan dos fuerzas, F = -j + k y F = - j, aplcadas respectvamente en los puntos (0,,) y (,0,), y un par de fuerzas de momento M = - k. Susttur ese sstema de fuerzas por: a) una fuerza que pase por el punto (,,) y un par; b) por una fuerza y un par de eje paralelo a la fuerza...- Dados los vectores deslzantes a = + j + k b = - j - k c = + j d = k aplcado en A(,,0) aplcado en B(0,0,) aplcado en C(,,) aplcado en D(0,,0) reducrlo a dos vectores, uno aplcado en el orgen de coordenadas y otro de módulo undad aplcado en un punto del plano xy cuyas coordenadas deberán determnarse..4.- Sea el sstema de vectores deslzantes formado por los vectores a = j aplcado en A(0,0,) b = k aplcado en B(,0,0) Determnar un sstema equvalente al dado que esté consttudo por dos vectores, de modo que uno de ellos tenga el eje y como recta drectrz..5.- Determnar el eje central del sstema de vectores deslzantes defndos de la sguente forma: A = + j +k; P A (0,0,) B =6; B x >0; (x-)=y=z C =; C x >0; P C (,0,0); cosα=cosβ=cosγ.6.- Dado el sstema de vectores deslzantes: a = - j b = k aplcado en A(0,0,) aplcado en B(,0,0) determnar un tercer vector, de módulo y componentes enteras, que junto con los dos anterores consttuya un sstema cuyo eje central sea la recta x = y = z..7.- Consderemos el sstema de vectores deslzantes F = j - k aplcado en P (0,,0) F =-j aplcado en P (,0,0) Determnar un tercer vector tal, que junto con los dos anterores, consttuya un nuevo sstema equvalente a un par cuyo momento tenga la dreccón del eje z. Prob Consderemos el sstema de vectores deslzantes nfntesmales defndo por da = λds, donde λ es una constante y ds es el vector arco de la curva: x =a cos θ y =a sen θ z =4aθ para O θ π, como se muestra en la fgura. a) Calcular la resultante y el momento del sstema respecto al orgen de coordenadas. b) De-

19 Problemas 59 termnar el eje central y el torsor del sstema..9.- Sean dos sstemas de vectores deslzantes defndos por sus torsores {R;M} respectvos: T = {(,,);(,4,)} P (,0,0) T = {(0,,);(0,,)} P (0,,0) Determnar el torsor resultante del sstema de vectores consttudo por los dos dados..0.- Demostrar que el momento resultante de un sstema de vectores deslzantes es el msmo para todos los puntos de una recta paralela a la dreccón de la resultante general del sstema...- Demostrar que un vector y un par coplanaros equvalen a un vector únco y que, recíprocamente, un vector únco equvale a otro equpolente que pase por el punto que se desee yaunpar...- En el.6 hemos obtendo la ecuacón vectoral del eje central de un sstema de vectores deslzantes [.], en la que aparece un parámetro escalar λ que depende del punto O elegdo como centro de reduccón. Normalmente, dcho punto será el orgen de un sstema de coordenadas, de modo que O(0,0,0), adoptando entonces la ec. vectoral del eje central su forma más smple [.]. Sn embargo, s conocemos el momento resultante del sstema de vectores deslzantes en un punto cualquera P, podemos obtener la msma ec. vectoral del eje central en la forma paralelos al eje z, formado por los vectores de módulo, 4 y 5,respectvamente y aplcados en los puntos (,,0), (,,) y (,,), correspondentes. Determnar la poscón del centro y del punto central de este sstema de vectores. b) Ahora, gremos el sstema de vectores para colocarlo paralelo al eje x, sn alterar los módulos n los puntos de aplcacón de los vectores. Determnar de nuevo la poscón del centro y del punto central del sstema. Interpretar los resultados..5.- Demostrar los teoremas sguentes: a) Dado un sstema de vectores lgados y paralelos entre sí, el punto central de tal sstema queda defndo como el punto de nterseccón de todos los planos centrales correspondentes a todas las posbles orentacones que pudera presentar dcho sstema de vectores en el espaco. b) El centro y el punto central de un sstema de vectores paralelos concden en un msmo punto del espaco. OE OP PE OP R M P R λ P R sendo λ P un nuevo parámetro, asocado al nuevo centro de reduccón P, relaconado con el anteror por λ OP R P λ R Demostrar estas dos expresones y comprobar que se reducen a la [.] cuando el punto P concde con el orgen de coordenadas...- a) Calcular el vral en el orgen de coordenadas y determnar el plano central correspondente al sstema de vectores lgados dado en el Ejemplo I de esta leccón. b) Determnar el punto central de dcho sstema de vectores..4.- a) Consderemos el sstema de vectores

20 60 Lec..- Vectores deslzantes.