ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

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1 ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA ASIGNATURA: CÁLCULO MULTIVARIADO Y PROBABILIDAD DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS PLANES DE ESTUDIO: CÓDIGO: 1. OBJETIVOS Mnemónico CMVP Numérico GENERALES Utilizar la teoría de la probabilidad en la toma de decisiones. Estudiar las diferentes maneras en que surge la probabilidad. Utilizar reglas para el cálculo de diferentes tipos de probabilidades. Estudiar el Teorema de Bayes y sus aplicaciones. Utilizar el concepto de valor esperado para tomar decisiones. Diferenciar y utilizar los diferentes tipos de distribuciones de probabilidad utilizar. Estudiar los conceptos de derivada e integral definida, de funciones de dos o más variables, que se requerirán en la solución de algunos problemas. Desarrollar en el estudiante un pensamiento probabilístico, en el que vayan a la par la comprensión clara de los diferentes conceptos y una experiencia importante en la modelación y resolución de problemas utilizando las técnicas estudiadas en el curso. Involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lecturas previas de los diferentes temas a tratar y mediante la asignación de problemas que deben ser sustentados en el aula. Propiciar que el estudiante aprenda a trabajar adecuadamente en grupo y también de manera individual. Posibilitar que el estudiante use eficientemente las herramientas tecnológicas a su alcance, en la solución de los problemas. 2. JUSTIFICACIÓN La mayoría de los profesionales tienen que enfrentarse a situaciones en las que el riesgo, la incertidumbre o, simplemente, la variabilidad se presentan como algo inherente e inevitable. Los métodos probabilísticos constituyen la mejor ayuda para orientar, evaluar, interpretar y decidir sobre los aspectos que, por su naturaleza estocástica, requieren ser tratados adecuadamente. 1/7

2 3. REQUISITOS ACADÉMICOS: (CIED ó CAL2 ó CALI) y ALLI 4. CRÉDITOS ACADÉMICOS: 3 INTENSIDAD SEMANAL Teórica 3.0 Práctica 1.5 Independiente 4.5 Total de horas/semana BIBLIOGRAFÍA Textos principales: 1. Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers y Keying Ye. (2012). Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. Novena Edición. Pearson Educación. México. ISBN: Stewart J., Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas. (2012). Séptima edición. Cengage Learning. ISBN: Otras referencias: 3. Devore, J. (1998). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. México: International Thompson Editores. 4. Freund, J. y Walpole, R. (1990). Estadística matemática con aplicaciones. México: Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana S.A. 5. Larson, R., Hostetler, R. y Edwards, B. (2006). Cálculo II. Octava edición. McGraw Hill. 6. Meyer Paul L. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Addison-Wesley Iberoamericana Miller, I, Freund, J. y Johnson, R. (1992). Probabilidad y estadística para Ingenieros. México: Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana S.A. 8. Milton J. y Arnold, J. (2003). Probabilidad y estadística con aplicaciones para Ingeniería y ciencias computacionales. México: McGraw-Hill. 9. Montgomery, D. y Runger, G. (2002). Probabilidad y estadística aplicadas a la Ingeniería. Segunda edición. México: Editorial Limusa Wiley. 10. Scheaffer, R. y McClave, J. (1993). Probabilidad y estadística para ingeniería. México: Grupo Editorial Iberoamérica. 6. CONTENIDO PROGRAMÁTICO RESUMIDO Los principales temas que se estudian en este curso son: Cálculo Multivariado: Diferenciación. Integración múltiple. Teoría de la probabilidad en general. Distribuciones de probabilidad tanto para variables aleatorias discretas como continuas. Distribuciones de probabilidad multivariadas. 2/7

3 7. CONTENIDO PROGRAMÁTICO DETALLADO 1. Cálculo Multivariado Determinar derivadas parciales de cualquier orden y derivadas direccionales, aplicar la Regla de la Cadena. Resolver problemas de optimización de funciones de dos variables, aplicando los criterios de segundo orden estudiados y/o los multiplicadores de Lagrange Funciones en varias variables Límites y continuidad para funciones en varias variables Derivadas parciales Planos tangentes y aproximaciones lineales Reglas de la cadena Derivadas direccionales. Vector gradiente Valores máximos y mínimos Criterios de optimización para funciones de dos variables Multiplicadores de Lagrange. 2. Integrales múltiples Calcular integrales dobles y triples. Aplicar las integrales dobles y triples en la solución de algunos problemas Integrales dobles Integrales dobles sobre rectángulos Integrales iteradas Integrales dobles sobre regiones generales Integrales dobles en coordenadas polares Algunas aplicaciones: áreas de regiones planas y volúmenes de sólidos. Momentos. Centros de masa. Momentos de inercia Integrales Triples Integrales triples sobre cajas rectangulares Integrales iteradas Integrales triples sobre regiones generales Cambios de variables en integrales triples Algunas aplicaciones de las integrales triples: volúmenes de sólidos, centros de masa. Momentos de inercia. 3. Análisis Combinatorio Objetivos: Resolver problemas sobre análisis combinatorio y conteo. Aprender a distinguir entre combinaciones y permutaciones Permutaciones Conteo con reemplazamiento 3/7

4 Conteo sin reemplazamiento 3.2. Combinaciones Con reemplazamiento Sin reemplazamiento 4. Probabilidad. Conceptos básicos Calcular probabilidades de eventos. Resolver problemas de aplicación para probabilidad condicional, específicamente la Regla de Bayes Experimento aleatorio. Espacio Muestral. Evento Probabilidad: definición. Axiomas. Regla de la adición Probabilidad Condicional Independencia. Regla de la multiplicación Probabilidad total Teorema de Bayes. 5. Variables aleatorias discretas y Funciones de distribución de Probabilidad Calcular valor esperado, varianza y desviación estándar para distribuciones de variables aleatorias discretas Variable aleatoria. Variable aleatoria discreta. Variable aleatoria continua Función de Masa de Probabilidad Función de distribución Acumulada Esperanza Matemática. Propiedades. Varianza. Desviación estándar. Desigualdad de Chebyshev Momentos Función Generatriz de Momentos. 6. Algunas Distribuciones de Probabilidad de variable aleatorias discretas Conocer las diferentes distribuciones discretas de probabilidad. Aprender a manejar y distinguir las diferentes distribuciones de probabilidad. Poder resolver problemas de aplicación de las diferentes distribuciones Uniforme Discreta Bernoulli Binomial Geométrica 6.5. Binomial Negativa Hipergeométrica Poisson Aproximación de la Binomial a la Poisson. 7. Variables Aleatorias continuas: Densidad. Distribución Acumulada Aprender a calcular valor esperado, varianza y desviación estándar para distribuciones de variables aleatorias continuas. 4/7

5 7.1. Función de densidad de Probabilidad Función de distribución Acumulada Media o valor esperado. Varianza de una variable continua. Desviación estándar. 8. Algunas Distribuciones de Probabilidad de variables aleatorias continuas Conocer las diferentes distribuciones continuas de probabilidad. Aprender a manejar y distinguir las diferentes distribuciones de probabilidad. Poder resolver problemas de aplicación de las diferentes distribuciones Uniforme continua Distribución Normal. Normal estándar Aproximación a una Normal de: Binomial Poisson 8.4. Distribución Lognormal Gamma Exponencial Erlang Weibull Beta Ji-Cuadrada. 9. Distribución de Probabilidad conjunta Comprender el concepto de función de densidad conjunta, marginal y condicional. Distinguir las diferencias entre conjunta, marginal y condicional. Entender el significado de covarianza y correlación Transformación de variables aleatorias discretas Transformación de variables aleatorias continuas De dos variables aleatorias discretas o continuas: Distribución de Probabilidad conjunta Distribución de Probabilidad Marginal Distribución de Probabilidad Condicional Independencia de variables aleatorias Esperanza y Varianza Condicional Covarianza. Correlación Distribución Normal en dos variables Combinación lineal de variables aleatorias. Multinomial. 8. METODOLOGÍA Un estudiante de la Escuela debe estar en permanente búsqueda del perfeccionamiento en su formación académica, ser un apasionado por el conocimiento, buscar constantemente la excelencia y su independencia intelectual. 5/7

6 El estudiante entonces será el principal responsable de su aprendizaje. De acuerdo con estas características, la metodología de los cursos de matemáticas busca involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lecturas previas a los diferentes temas a tratar y la asignación de problemas que deben ser discutidos en el aula. Se privilegia una metodología que propicie el dominio adecuado de los conceptos matemáticos estudiados y el desarrollo tanto de habilidades de pensamiento como de competencias para la resolución de problemas. Así mismo, debe permitir la incorporación del uso de la tecnología computacional al currículo de matemáticas, para facilitar los procesos de comprensión y representación de los temas matemáticos, y para potenciar el desarrollo de algunas habilidades cognitivas. Teniendo en cuenta las características del grupo se da inicio al curso desde lo que los estudiantes conocen, con el fin de facilitarles la conexión de los nuevos conocimientos con los previos. Simultáneamente a lo largo del mismo se evalúa permanentemente el desempeño del estudiante con el fin de tomar las decisiones pertinentes para el buen desarrollo del curso. Dentro de las actividades didácticas desarrolladas en los cursos se incluyen los talleres y/o laboratorios (cursos de Cálculo diferencial e integral). Los primeros van dirigidos a la práctica y refuerzo de los temas vistos en las sesiones teóricas y se desarrollan completamente en el aula con la guía del profesor. Los segundos apuntan al desarrollo de habilidades en la modelación, resolución de problemas, trabajo en equipo y presentación de informes, una parte del trabajo se realiza en el aula con la guía del profesor y otra de manera independiente. 9. EVALUACIÓN La gestión universitaria en la Escuela está enmarcada por la evaluación continua de sus actividades y es de acuerdo con los Lineamientos Curriculares integral, coherente, flexible e interpretativa. La evaluación del desempeño de los estudiantes es un proceso permanente que valora el cumplimiento de los objetivos propuestos y los compromisos adquiridos en cada asignatura. Se tienen en cuenta tres tipos de evaluación del aprendizaje de los estudiantes: la sumativa de los avances en el aprendizaje, la del proceso para reflexionar sobre la marcha del proceso educativo y el cumplimiento de las responsabilidades asumidas, y la comprensiva para valorar la calidad del trabajo realizado por el estudiante al finalizar el curso. 10. VIGENCIA Y MODIFICACIONES Contenidos vigentes desde: 20/11/2008 6/7

7 Contenidos vigentes hasta: Última fecha de actualización: Penúltima fecha de actualización: Nueva actualización 16/10/ /11/2008 Aprobado: JUAN MANUEL SARMIENTO PULIDO Firma: 7/7