COLEGIO PEDAGOGICO DE LOS ANDES GUIA DE TRIGONOMETRÍA RECUPERACION PERIODO UNO CECIMO GRADO. = 57,29578 grados = 57º rad

Transcripción

1 OLEGIO PEDGOGIO DE LOS NDES GUI DE TRIGONOMETRÍ REUPERION PERIODO UNO EIMO GRDO Los ángulos se pueden medir en grdos sexgesimles y rdines Un ángulo de 1 rdián es quel uyo ro tiene longitud igul l rdio - 60º = rdines (un vuelt omplet) - Un ángulo reto mide rdines (un urto de vuelt) - 180º = rdines (medi vuelt) - omo 180º = rd, result que 1º = 180 rd - Un ángulo de 1 rdin tiene 180 = 7,978 grdos = 7º 17 Pr trnsformr de un unidd otr, usmos l regl de tres: 180º xº rd y ejemplo: 0º rd 180º 0º rd 0º rd y = y 180º rd 18 rd 9 Ejeriios: Trnsformr el ángulo de grdos rd: 1) 1º ) º ) 80º ) 10º ) 00º 6) 90º 7) 60º 8) º 9) 0º Trnsformr el ángulo de rd grdos: 1) rd ) rd 10 ) rd ) 17 rd Funiones trigonométris Utilizremos un triángulo retángulo pr definir ls funiones trigonométris: seno (sen), oseno (os), tngente (tn), otngente (ot), sente (se) y osente (ose) En un triángulo retángulo, ests funiones se definen omo sigue: sen = os = teto opuesto hipotenus teto dyente hipotenus tn = ot = teto opuesto teto dyente teto dyente teto opuesto se = ose = hipotenus teto dyente hipotenus teto opuesto quí podemos drnos uent que st on onoer ls funiones sen y os pr poder lulr ls otrs funiones, vemos por qué: tn = sen os ot = os sen se = 1 os ose = 1 sen pli los ontenidos de mtemáti omún y lul los vlores de los ángulos de 0º, º y 60º Demostrr que: sen os 1, us los vlores de los ángulos nteriores y después demuéstrlo pr ulquier vlor del ángulo 1

2 Ejemplo: 1) Un ángulo gudo tiene 1º método: Usndo triángulos sen Hll ls restntes rzones trigonométris de este ángulo º método: Usndo ls identiddes ásis Por teorem de Pitágors usmos el otro teto del triángulo, es que es hor plimos ls definiiones de ls funiones trigonometris y enontrmos: sen op tn d hip se d d os hip d ot op hip os e op Por l identidd sen os 1 tenemos que: os 1 sen 9 os 1 os 1 16 os Luego, usndo estos dos vlores, del seno y oseno, lulmos tods ls demás funiones: sen tn os sí suesivmente os Ejeriios: 7 1) Si os, enuentr ls otrs funiones Entreg los vlores simplifidos y rionlizdos ) Si os 0,, enuentr ls otrs funiones ) Si tn 9 ngulos omplementrios: En el triángulo retángulo siguiente:, enuentr ls otrs funiones sen sen( 90º ) os os os(90º ) sen tn tn(90º ) ot En ests reliones, se umplen on dos ángulos que son omplementrios, que sumn 90º, y se dien que ests funiones son ofuniones un de l otr 90 º Ejemplos de uso de ls ofuniones: 1) lulr sen 0º Sen 0º = sen (90º - 0º) =os 60º = ½ ) Expresr los siguientes vlores de funiones trigonometris omo el vlor de l funión de un ángulo positivo menor que º ) sen 7º sen 7º = sen (90º - 7º) = os 18º ) os 6º os 6º = os (90º - 6º) = sen º Ejeriios: 1) Expresr el vlor de l funión trigonométri en términos de un ángulo no myor que º: ) sen 60º ) os 8º ) tn 9,8º d) sen 79,6º ) Resolver los triángulos retángulos pr los dtos ddos Us luldor ) = º y =16 ) = 6 y =,78 ) = º y =16 d) = 71º, = e) = 1,7 ; = 809 f) = 18 ; = 679

3 g) = 81º1 ; =, Desde un punto en l orill de un río, uy nhur es de 0m, se ve un árol justo enfrente uánto tendremos que minr río jo, por l orill ret del río, hst llegr un punto desde el que se ve el pino formndo un ángulo de 60º on nuestr orill? 9 Un person se enuentr en l ventn de su prtmento que está situd 8m del suelo y oserv el edifiio de enfrente L prte superior on un ángulo de 0 grdos y l prte inferior on un ángulo de depresión de grdos Determine l ltur del edifiio señldo

4 Sore un plno horizontl, un mástil está sujeto por dos les, de modo que los tirntes quedn ldos opuestos Los ángulos que formn estos tirntes on respeto l suelo son 7 grdos y 8 grdos Si l distni entr ls uñs es de 0 m uánto le se h gstdo?, uál es l ltur l ul están sujetos los les? 17 Desde lo lto de un torre de 00 m de ltur se oserv un vión on un ángulo de elevión de 1 grdos y un utomóvil en l rreter, en el mismo ldo que el vión, on un ángulo de depresión de 0 grdos En ese mismo instnte, el ondutor del utomóvil ve l vión jo un ángulo de elevión de 6 grdos Si el vión, el uto y el oservdor se enuentrn en un mismo plno vertil: lule l distni entre el vión y el utomóvil, tmién lule l ltur l que vuel el vión en ese instnte

5 Áre: MTEMÁTIS onoimiento: Teorem del seno y del oseno Doente: EDURDO RMIREZ PERIODO DOS REUPERION lumno: Feh: Teorem o Ley del Seno En todo tringul, ls longitudes de los ldos son diretmente proporionles los Senos de los ángulos opuestos dihos ldos Se Sen Sen Reomendiones: Pr l soluión de este tipo de prolems, es reomendle proeder sí: 1 Trtr de imginrse el prolem Relizr un grfio ilustrtivo del prolem pr mejor su omprensión Uir en el gráfio los dtos suministrdos por el prolem plir l euión del l Ley del Seno Prolem Un nten de rdio está sujet on les de ero, omo se muestr en l figur Hllr l longitud de los les Soluión: 6 º 6º 80m El ángulo en el vértie, serí de 7º, de modo que podemos plnter l ley del Seno sí: 80m 80m Sen6º 7,m Sen6º Sen7º Sen7º hor: 80m 80m Sen6º 60,m Sen6º Sen7º Sen7º Prolems Propuestos

6 1 Un inendio es detetdo por dos puestos de oservión y, que están seprdos 0 km Si el punto de oservión report el inendio en un ángulo F de, y el punto lo report on un ángulo F de 0 qué distni está el inendio del punto? Un vión vuel entre dos iuddes y, si en determindo instnte se hll que el ángulo de elevión del vión desde l iudd es de 60 y desde l iudd es de 8 demás l distni entre ms iuddes es de 10 Km Reliz un esquem y lul l distni del vión hst d iudd en ese preiso instnte En ls orills opuest de un río se sitún dos puntos y en l orill donde está situdo el punto, se determin un segmento de ret = 7 m y se miden los ángulos = 1 y ángulo = 8 Enontrr l longitud de Un digonl de un prlelogrmo tiene,8 uniddes de longitud y form ángulos de y 7 on los ldos Hllr los ldos Dos puntos y situdos l mismo ldo de un rreter distn 0 pies Un punto del otro ldo de l rreter está situdo de mner que el ángulo mide 70 y el ángulo mide 80 uál es el nho de l rreter? 6 Dos puestos de oservión y (seprdos 10 mills) en l ost, vigiln ros que entrn ileglmente en un limite de mills El puesto report un ro S en un ángulo S = 7 y el puesto report el mismo ro en un ángulo S = 0 qué distni está el ro de l ost? 7 Un st de nder que está olod sore l prte superior de un edifiio tiene pies de ltur Desde un punto que está en el mismo plno horizontl que l se del edifiio, los ángulos de elevión de l prte superior del st y de l prte inferior de l mism son respetivmente 61 y 6 Hllr l ltur del edifiio Teorem o Ley del oseno En todo tringul, el udrdo de l longitud de uno de los ldos, es igul l sum de los udrdos de ls longitudes de los otros dos ldos, menos el dole produto de estos, por el oseno del ángulo omprendido entre diho ldos os Reomendiones: Pr l soluión de este tipo de prolems, es reomendle seguir ls misms instruiones propuestos en el teorem o ley del Seno Prolem En el triángulo siguiente, se dn ls medids de los ldos y el ángulo de 0º lulr el ldo desonoido Soluión: 0m 0º 0m (0m) (0m) 0m0mos0º 1,6m 1,6m 6

7 0, m Prolems Propuestos 1 Dos ldos dyentes de un prlelogrmo se ortn en un ángulo de y tienen longitudes de de y 8 pies uál es l longitud de l digonl ms ort del prlelogrmo? ISLS PRDISÍS: En el mr de Ger, hy tres isls Si semos que l distni entre ls isls 1 y es de 18 Km, l distni entre ls isls 1 y es de Km y demás se se que el ángulo que se form desde l isl 1 l mirr hi ls demás isls es de 7 Entones: lulr l distni entre ls isls y Hllr los ángulos y de l gráfi TRENES: De l estión de trientenrio prten dos trenes, uno hi el entro on un veloidd de 70 Km /h y el otro hi Sn Jvier por l ví de repriones on un veloidd de 60 Km /h Si se se que el ángulo entre ls vís es de y que los trenes vijn en líne ret, entones: Reliz un esquem de l situión qué distni se enontrrán después de medi hor de vije? Y DELE ON LOS TRENES: Dos trenes prten simultánemente de un estión en diferentes direiones, uno de ellos vij 80 Km /h y el otro vij 100 Km/h Si se se que el ángulo omprendido entre ls vís es de 10 Responde: Qué distni hrá entre los trenes después de dos hors de vije? Qué distni hrá entre los trenes después de hor y medi de vije Un solr tringulr tiene frentes de 90 pies y 10 pies dos lles que se ortn en un ángulo de 8 Hllr el áre del solr 6 Ls longitudes de los ldos de un solr tringulr son de 0 pies y de 00 pies, y el ángulo opuesto l ldo myor mide 7 Hllr el terer ldo 7 Dos trenes prten simultánemente de un mism estión, en direiones tles que formn un ángulo de 0º Uno v 0 Km /h y el otro v 0 km/h después de dos hors de vije que distni se enuentrn? 8 Un rriler (en líne ret) de 10 km de longitud tiene por extremos ls iuddes y D; otr rriler (en líne ret) de 00 km de longitud, ontinu el reorrido de l iudd D l iudd E si ls dos rrilers formn entre si un ángulo de 10º, lule l distni entre ls iuddes y D 9 Un olegio tiene un prque de form tringulr uyos ldos son de 7m, 8m y 100m respetivmente Hllr ls medids de los ángulos internos que dihos ldos formn entre si 10 Un fro está situdo 18 km y l norte del este de un muelle Un ro sle del muelle ls 10:0 m y nveg hi el oeste rzón de Km /h qué hor se enontrrá 1 Km del fro? 7